Bồi dưỡng HSG Chuyên đề Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức Toán 7

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 1
<b>CHUYÊN ĐỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC </b>

<b>1.Các kiến thức vận dụng : </b>

* a2 + 2.ab + b2 = ( a + b)2  0 với mọi a,b
* a2 – 2 .ab + b2 = ( a – b)2  0 với mọi a,b
*A2n _{0 với mọi A, - A}2n _{0 với mọi A}
* <i>A</i>  0, <i>A</i> , − <i>A</i> 0, <i>A</i>

* <i>A</i>+ <i>B</i>  +<i>A B</i>,<i>A B</i>, dấu “ = ” xẩy ra khi A.B  0
* <i>A</i>− <i>B</i>  −<i>A B</i>,<i>A B</i>, dấu “ = ” xẩy ra khi A,B  0
<b>2. Bài tập vận dụng: </b>

* Dạng vận dụng đẳng thức : a2 + 2.ab + b2 = ( a + b)2  0 với mọi a,b
Và a2 – 2 .ab + b2 = ( a – b)2  0 với mọi a,b

<b>Bài 1: </b>Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức sau:
a) P(x) = 2x2 – 4x + 2012

b) Q(x) = x2 + 100x – 1000
<b>Hướng dẫn </b>

a) P(x) = 2x2 – 4x + 2012 = 2(x2 – 2.x. + 12 ) + 2010 = 2( x – 1)2 + 2010
Do ( x - 1)2  0 với mọi x , nên P(x)  2010 . Vậy Min P(x) = 2010
khi ( x - 1)2_{= 0 hay x = 1}

b) Q(x) = x2 + 100x – 1000 = ( x + 50)2 – 3500  - 3500 với mọi x
Vậy Min Q(x) = -3500

Từ đây ta có bài tốn tổng quát : Tìm GTNN của đa thức P(x) = a x2 + bx +c ( a > 0)

<b>Hướng dẫn </b>

P(x) = a x2 + bx +c = a( x2 + 2.x.
2

<i>b</i>
<i>a</i> +

2

( )

2

<i>b</i>

<i>a</i> ) + ( c -
2

4

<i>b</i>
<i>a</i>)

= a(

2 2

2 4 4

) ( ) ,

2 4 4

<i>b</i> <i>ac b</i> <i>ac b</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

− −

+ +   Vậy Min P(x) =

2

4
4

<i>ac b</i>
<i>a</i>

−

khi x =
2

<i>b</i>
<i>a</i>

−
<b>Bài 2 </b>: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

a) A = - a2 + 3a + 4
b) B = 2 x – x2 
<b>Hướng dẫn </b>

a) A = - a2_{+ 3a + 4 =} 2 3 3 2 9 3 2 25

( 2. . ( ) ) (4 ) ( )

2 2 4 2 4

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

− − + + + = − − +

Do ( 3) 0,
2

<i>a</i> <i>a</i>

− −   nên A 25,

4 <i>a</i>

  . Vậy Max A = 25

4 khi a =
3

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 2
Vậy Max B = 1 khi x = 1

<b>Bài 3</b> : Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
a) P = ₂ 2012

4 2013

<i>x</i> + <i>x</i>+

b) Q =

2012
2012
2013
2011
<i>a</i>
<i>a</i>
+
+

<b>* Dạng vận dụng A2n</b> <b>_{0 với mọi A, - A}2n</b> <b>_{0 với mọi A}</b>

<b>Bài 1 : </b>Tìm GTNN của biểu thức :
a) P = ( x – 2y)2_{+ ( y – 2012)}2012
b) Q = ( x + y – 3)4 + ( x – 2y)2 + 2012
<b>Hướng dẫn </b>

a) do 2

(<i>x</i>−2 )<i>y</i>  0, <i>x y</i>, và 2012

(<i>y</i>−2012)  0, <i>y</i> suy ra : P 0 với mọi x,y
 Min P = 0 khi 2 0 4024

2012 0 2012

<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i>

<i>y</i> <i>y</i>
− = =
 

 ₋ ₌  ₌
 

b) Ta có 4

(<i>x</i>+ −<i>y</i> 3)  0. <i>x y</i>, và 2

(<i>x</i>−2 )<i>y</i>  0. <i>x y</i>, suy ra : Q  2012 với mọi x,y
 Min Q = 2012 khi

2
2

( 3) 0 2

1
( 2 ) 0

<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i>

<i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>
 + − =  =
 _
 _{ =}
− =
 


<b>Bài 3</b> : Tìm GTLN của R = ₂ 4

2013

(<i>x</i>−2) + −(<i>x</i> <i>y</i>) +3
<b>Bài 4: </b>Cho phân số:

5
4
2
3
−
+
=
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>C</i> (x  Z)

a) Tìm x  Z để C đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó.
b) Tìm x  Z để C là số tự nhiên.

<b>Hướng dẫn </b>

3 2 3 4.(3 2) 3 12 8 3 23

. . .(1 )

4 5 4 3.(4 5) 4 12 15 4 12 15

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>C</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

+ + +

= = = = +

− − − −

C lớn nhất khi 23

12<i>x</i> −15 lớn nhất 12 <i>x</i> −15 nhỏ nhất và 12 <i>x</i> −150  =<i>x</i> 2
Vậy Max C = 3(1 23) 8

4 + 9 =3 khi x = 2
<b>Bài 5 : </b>Tìm số tự nhiên n để phân số

3
2
8
7
−
−
<i>n</i>
<i>n</i>

cã giá trị lớn nhất
<b>Hng dn </b>

Ta cú 7 8 7 2(7. 8) 7 14. 16 7(1 5 )

2 3 2 7(2 3) 2 14 21 2 14 21

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

− ₌ − ₌ − ₌ ₊

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 3
Để

3

2

8
7

−
−

<i>n</i>
<i>n</i>

lớn nhất thì 5

14<i>n</i>−21 lớn nhất 14<i>n</i>−21 0 và 14n – 21 có giá trị nhỏ nhất

21 3

14 2

<i>n</i>

  =

và n nhỏ nhất  n = 2

<b>* Dạng vận dụng </b> <i>A</i>  0, <i>A</i><b> , </b>− <i>A</i> 0, <i>A</i>
, ,

<i>A</i>+ <i>B</i>  +<i>A B</i> <i>A B</i> dấu “ = ” xẩy ra khi A.B  0
, ,

<i>A</i>− <i>B</i>  −<i>A B</i> <i>A B</i> dấu “ = ” xẩy ra khi A,B  0
<b>Bài 1: </b> Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

a) A = ( x – 2)2 + <i>y</i>−<i>x</i> + 3
b) B = 2011

2012− −<i>x</i> 2010
<b>Hướng dẫn </b>

a) ta có (<i>x</i>−2)2 0 với mọi x và <i>y</i>− <i>x</i> 0 với mọi x,y  A  3 với mọi x,y
Suy ra A nhỏ nhất = 3 khi

2

( 2) 0 2

2
0

<i>x</i> <i>x</i>

<i>y</i>
<i>y</i> <i>x</i>

 − =  =

 _

 _{− =} _{ =}




b) Ta có − −<i>x</i> 20100 với mọi x  2012 − −<i>x</i> 2010 2012 với mọi x
<i>B</i>

 2011

2012

<i>B</i>

  với mọi x, suy ra Min B = 2011

2012 khi x = 2010
<b>Bài 2</b> : <b>Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức</b>

a) <i>A</i>= −<i>x</i> 2011+ −<i>x</i> 2012

b) <i>B</i>= −<i>x</i> 2010 + −<i>x</i> 2011+ −<i>x</i> 2012
c) C = <i>x</i>− + − +1 <i>x</i> 2 ...+ −<i>x</i> 100
HD :

a) Ta có <i>A</i>= −<i>x</i> 2011+ −<i>x</i> 2012 = <i>x</i>−2011+ 2012−  −<i>x</i> <i>x</i> 2011 2012+ − =<i>x</i> 1

với mọi x  <i>A</i> 1 với x . Vậy Min A = 1 Khi (<i>x</i>−2011)(2012−<i>x</i>) 0 2011 <i>x</i> 2012
b) ta có <i>B</i>= −<i>x</i> 2010 + −<i>x</i> 2011+ −<i>x</i> 2012 =(<i>x</i>−2010 + 2012−<i>x</i>)+ −<i>x</i> 2011

Do <i>x</i>−2010 + 2012−  −<i>x</i> <i>x</i> 2010 2012+ − =<i>x</i> 2 với mọi x (1)

Và <i>x</i>−2011 0với mọi x (2)

Suy ra B =(<i>x</i>−2010 + 2012−<i>x</i>)+ −<i>x</i> 2011 2 . Vậy Min B = 2 khi BĐT (1) và (2) xẩy ra dấu “=”

hay ( 2010)(2012 ) 0 2011

2011 0

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

− − 



 =

 − =

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 4
1 2 ... 100

<i>x</i>− + − +<i>x</i> + −<i>x</i> = (<i>x</i>− +1 100−<i>x</i>) (+ <i>x</i>− +2 99−<i>x</i>) ... (+ + <i>x</i>−50+ 56−<i>x</i>)

1 100 2 99 .... 50 56

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 − + − + − + − + + − + − = 99 + 97 + ....+ 1 = 2500
Suy ra C 2050 với mọi x . Vậy Min C = 2500 khi

( 1)(100 ) 0 1 100

( 2)(99 ) 0 2 99

... ...

( 50)(56 ) 0 50 56

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

− −   

 

 ₋ ₋ _  _{ }

 _

 

 

 ₋ ₋ _  _{ }

 

50 <i>x</i> 56

  

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 5
Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội

dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi
về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh
tiếng.

I.Luyện Thi Online

-Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây

dựng các khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học.
-Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường
PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên
khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn.

II.Khoá Học Nâng Cao và HSG

-Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho các em HS

THCS lớp 6, 7, 8, 9 u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG.

-Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành

cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh Trình, TS.
Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng
đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia.

III.Kênh học tập miễn phí

-HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các
môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu
tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

-HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng
Anh.

<i><b>V</b></i>

<i><b>ữ</b></i>

<i><b>ng vàng n</b></i>

<i><b>ề</b></i>

<i><b>n t</b></i>

<i><b>ảng, Khai sáng tương lai</b></i>

<i><b> H</b><b>ọ</b><b>c m</b><b>ọ</b><b>i lúc, m</b><b>ọi nơi, mọ</b><b>i thi</b><b>ế</b><b>t bi </b><b>–</b><b> Ti</b><b>ế</b><b>t ki</b><b>ệ</b><b>m 90% </b></i>

<i><b>H</b><b>ọ</b><b>c Toán Online cùng Chuyên Gia </b></i>

</div>

<!--links-->