Bồi dưỡng HSG Chuyên đề Vận dụng tính chất phép toán để tìm x, y Toán 7

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 1
<b>CHUN ĐỀ VẬN DỤNG TÍNH CHẤT PHÉP TỐN ĐỂ TÌM X, Y </b>

<b>1. Kiến thức vận dụng : </b>

Tính chất phép tốn cộng, nhân số thực
Quy tắc mở dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế

Tính chất về giá trị tuyệt đối : <i>A</i> 0<b> với </b>mọi A ; , 0

, 0

<i>A A</i>
<i>A</i>

<i>A A</i>



= ₋ _


Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối :

<i>A</i>+ <i>B</i>  +<i>A B</i> dấu ‘=’ xẩy ra khi AB 0; <i>A B</i>−  <i>A</i>− <i>B</i> dấu ‘= ‘ xẩy ra A,B >0
( 0)

<i>A</i> <i>m</i>

<i>A</i> <i>m</i> <i>m</i>

<i>A</i> <i>m</i>




 _{  −} 

 ; ( )

<i>A</i> <i>m</i>

<i>A</i> <i>m</i> <i>hay</i> <i>m</i> <i>A</i> <i>m</i>

<i>A</i> <i>m</i>




 _{  −} −  

 với m > 0

Tính chất lũy thừa của 1 số thực : A2n  0 với mọi A ; - A2n 0 với mọi A
Am = An m = n; An = Bn  A = B (nếu n lẻ ) hoặc A =  B ( nếu n chẵn)
0< A < B  An < Bn ;

<b>2. Bài tập vận dụng </b>

<b>2.1. Dạng 1: Các bài tốn cơ bản </b>
<b>Bài 1: Tìm x biết </b>

a) x + 2x + 3x + 4x + …..+ 2011x = 2012.2013

b) 1 2 3 4

2011 2010 2009 2008
<i>x</i>− ₊ <i>x</i>− ₋ <i>x</i>− ₌ <i>x</i>−
Hướng dẫn

a) x + 2x + 3x + 4x + …..+ 2011x = 2012.2013
x( 1 + 2 + 3 + ….+ 2011) = 2012.2013

2011.2012

. 2012.2013

2
<i>x</i>

 = 2.2013

2011
<i>x</i>

 =

b) Nhận xét : 2012 = 2011+1= 2010 +2 = 2009 +3 = 2008 +4

Từ 1 2 3 4

2011 2010 2009 2008
<i>x</i>− <i>x</i>− <i>x</i>− <i>x</i>−

+ − =

( 2012) 2011 ( 2012) 2010 ( 2012) 2009 ( 2012) 2008

2011 2010 2009 2008

<i>x</i>− + <i>x</i>− + <i>x</i>− + <i>x</i>− +

 + + =

2012 2012 2012 2012

2

2011 2010 2009 2008

1 1 1 1

( 2012)( ) 2

2011 2010 2009 2008

1 1 1 1

2 : ( ) 2012

2011 2010 2009 2008

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

− − − −

 + + − = −

 − + + − = −

 = − + + − +

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 2

a) 1 1 1 .... 1 49

1.3+3.5+5.7+ +(2<i>x</i>−1)(2<i>x</i>+1)=99
b) 1- 3 + 32 – 33 + ….+ (-3)x =

1006

9 1

4
−

<b>2.2. Dạng 2 : Tìm x có chứa giá trị tuyệt đối </b>
Dạng : <i>x a</i>+ = +<i>x b</i> và <i>x a</i>+  + = +<i>x b</i> <i>x c</i>

Khi giải cần tìm giá trị của x để các GTTĐ bằng không, rồi so sánh các giá trị đó để chia ra các khoảng
giá trị của x ( so sánh –a và –b)

<b>Bài 1 : Tìm x biết : </b>

a) <i>x</i>−2011 = −<i>x</i> 2012
b) <i>x</i>−2010+ −<i>x</i> 2011=2012
<b>HD : </b>

a) <i>x</i>−2011 = −<i>x</i> 2012 (1) do VT = <i>x</i>−2011 0, <i>x</i>
nên VP = x – 2012   0 <i>x</i> 2012(*)

Từ (1) 2011 2012 2011 2012( ô )
2011 2012 (2011 2012) : 2

<i>x</i> <i>x</i> <i>v ly</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

− = − =

 

_ _

− = − = +

 

Kết hợp (*)  x = 4023:2

b) <i>x</i>−2010+ −<i>x</i> 2011=2012<b> (1) </b>

Nếu x  2010 từ (1) suy ra : 2010 – x + 2011 – x = 2012 x = 2009 :2 (lấy)

Nếu 2010 < x < 2011 từ (1) suy ra : x – 2010 + 2011 – x = 2012 hay 1 = 2012 (loại)
Nếu x 2011 từ (1) suy ra : x – 2010 + x – 2011 = 2012  x = 6033:2(lấy)

Vậy giá trị x là : 2009 :2 hoặc 6033:2
Một số bài tương tự:

<b>Bài 2 : </b>

a)Tìm x, biết <i>x</i>−1+ <i>x</i>+3 =4
b) Tìm x, biết: <i>x</i>2+ 6<i>x</i>−2 = <i>x</i>2+4
c) Tìm x, biết: 2<i>x</i>+3 −24−<i>x</i> =5

<b>Bài 3 : </b>a)Tìm giá trị của x, biết: <i>x</i>+3 + <i>x</i>+1 =3<i>x</i>
b) Tìm x biết: 2<i>x</i>− − =3 <i>x</i> 2−<i>x</i>

<b>Bài 4 : tìm x biết : </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 3
<b>2.3. Dạng : Sử dụng BĐT giá trị tuyệt đối </b>

<b>Bài 1 : </b>

a) Tìm x ngyên biết : <i>x</i>− + − + − + − =1 <i>x</i> 3 <i>x</i> 5 <i>x</i> 7 8
b) Tìm x biết : <i>x</i>−2010 + −<i>x</i> 2012+ −<i>x</i> 2014 =2

<b>Hướng dẫn </b>

a) ta có <i>x</i>− + − + − + −  − + − + − + − =1 <i>x</i> 3 <i>x</i> 5 <i>x</i> 7 <i>x</i> 1 7 <i>x</i> <i>x</i> 3 5 <i>x</i> 8(1)
Mà <i>x</i>− + − + − + − =1 <i>x</i> 3 <i>x</i> 5 <i>x</i> 7 8 suy ra ( 1) xẩy ra dấu “=”

Hay 1 7 3 5

3 5

<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

 


  
  

 do x nguyên nên x {3;4;5}

b) ta có <i>x</i>−2010+ −<i>x</i> 2012 + −<i>x</i> 2014  −<i>x</i> 2010 2014+ − + −<i>x</i> <i>x</i> 2012 2(*)
Mà <i>x</i>−2010 + −<i>x</i> 2012 + −<i>x</i> 2014 =2 nên (*) xẩy ra dấu “=”

Suy ra: 2012 0 2012

2010 2014
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

− =



 =

 _{ }



Các bài tương tự

<b> Bài 2 : </b>Tìm x nguyên biết : <i>x</i>− + − +1 <i>x</i> 2 ...+ −<i>x</i> 100 =2500
<b> Bài 3 : </b>Tìm x biết <i>x</i>+ + + +1 <i>x</i> 2 ...+ +<i>x</i> 100 =605<i>x</i>

<b> Bài 4 : </b>Tìm x, y thoả mãn:

x

− +

1

x

− +

2

y

− +

3

x

−

4

= 3
<b> Bài 5 : </b>Tìm x, y biết : <i>x</i>−2006<i>y</i> + −<i>x</i> 2012 0

HD : ta có <i>x</i>−2006<i>y</i> 0với mọi x,y và <i>x</i>−2012 0 với mọi x

Suy ra : <i>x</i>−2006<i>y</i> + −<i>x</i> 2012 0 với mọi x,y mà <i>x</i>−2006<i>y</i> + −<i>x</i> 2012 0

 2006 2012 0 0 2012, 2

2012 0
<i>x</i> <i>y</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>y</i>

<i>x</i>
− =


− + − = _{ −}  = =

=


<b>Bài 6 : </b>Tìm c, thoả mãn

2004= − + −<i>x</i> 4 <i>x</i> 10 + +<i>x</i> 101+ +<i>x</i> 990+ +<i>x</i> 1000
<b>2.4. Dạng chứa lũy thừa của một số hữu tỉ </b>

<b>Bài 1: </b>Tìm số tự nhiên x, biết :
a) 5x + 5x+2 = 650
b) 3x-1 + 5.3x-1 = 162

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 4
a) 2x + 1 . 3y = 12x

b) 10x : 5y = 20y

HD : a) 2x + 1 . 3y = 12x 
2
1
1
2 3

2 3
2 3
<i>x</i> <i>y</i>

<i>x</i> <i>y x</i>
<i>x</i> <i>x</i>

− −

+ =  =

Nhận thấy : ( 2, 3) = 1  x – 1 = y-x = 0  x = y = 1
b) 10x : 5y = 20y  10x = 102y  x = 2y

<b>Bài 3 : </b>Tìm m , n nguyên dương thỏa mãn :

a) 2m + 2n = 2m+n b) 2m – 2n = 256

HD: a) 2m + 2n = 2m+n  2m + n – 2m – 2n = 0  2m ( 2n – 1) –( 2n – 1) = 1
 (2m_-1)(2n_{– 1) = 1} 2 1 1 ₁

2 1 1

<i>n</i>

<i>m</i> <i>m</i> <i>n</i>

 − =

 _{ = =}



− =


b) 2m – 2n = 256  2n ( 2m – n - 1) = 28
Dễ thấy m n, ta xét 2 trường hợp :
+ Nếu m – n = 1  n = 8 , m = 9

+ Nếu m – n  2 thì 2m – n – 1 là 1 số lẻ lớn hơn 1, khi đó VT chứa TSNT khác 2, mà VT chỉ chứa TSNT 2
suy ra TH này không xẩy ra : vậy n = 8 , m = 9

<b>Bài 4 : </b>Tìm x , biết <b>: </b>

(

)

(

)

1 11

7

<i>x</i>

7

<i>x</i>

0

<i>x</i>

−

+

−

<i>x</i>

−

+

=

HD :

(

)

(

)

(

)

(

)

1 11

1 10

7

7

0

7

1

7

0

<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

+ +
+

−

−

−

=







−

_

−

−

_

=

(

)

( 1)

₍

₎

10

8
6
1

10

7

0

_{7 0}

₇

(

7)

1

1 (

7)

10

0

7

<i>x</i>

1

7

0

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

<i>_x</i>

<i>_x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

+

<i>x</i>

 
 
 



=
=
+


−

=

_{− =  =}

−

=

− −

=











−

_

− −

_

=

















<b>Bài 5 : </b>Tìm x, y biết : <i>x</i>−2011<i>y</i> + −(<i>y</i> 1)2012 =0

HD : ta có <i>x</i>−2011<i>y</i> 0 với mọi x,y và (y – 1)2012  0 với mọi y

Suy ra : <i>x</i>−2011<i>y</i> + −(<i>y</i> 1)20120 với mọi x,y . Mà <i>x</i>−2011<i>y</i> + −(<i>y</i> 1)2012 =0

 2011 0 2011, 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 5
Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội

dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi
về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh
tiếng.

I.Luyện Thi Online

-Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây

dựng các khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học.

-Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường

PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên

khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn.

II.Khoá Học Nâng Cao và HSG

-Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho các em HS

THCS lớp 6, 7, 8, 9 u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG.

-Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành

cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh Trình, TS.
Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng
đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia.

III.Kênh học tập miễn phí

-HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các

môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu
tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

-HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng
Anh.

<i><b>V</b></i>

<i><b>ữ</b></i>

<i><b>ng vàng n</b></i>

<i><b>ề</b></i>

<i><b>n t</b></i>

<i><b>ảng, Khai sáng tương lai</b></i>

<i><b> H</b><b>ọ</b><b>c m</b><b>ọ</b><b>i lúc, m</b><b>ọi nơi, mọ</b><b>i thi</b><b>ế</b><b>t bi </b><b>–</b><b> Ti</b><b>ế</b><b>t ki</b><b>ệ</b><b>m 90% </b></i>

<i><b>H</b><b>ọ</b><b>c Toán Online cùng Chuyên Gia </b></i>

</div>

<!--links-->