Bồi dưỡng HSG-Chuyên đề: bất Đẳng thức

THPT Hùng Vương – Đức Linh – Bình Thuận
Page 1


BẤT ĐẲNG THỨC
Dạng 1: Tìm GTNN- GTLN
Cách 1: Ta có thể dùng BĐT trị tuyệt đối |A|. Khi sử dụng trị tuyệt đối thì ta
tìm |A|= B => - B ≤|A|≤B, lúc này GTNN= -B và GTLN= B.
Cách 2: Ta dùng phương pháp “ tìm tập giá trị của hàm số ”
Cách 3: Ta dùng “kĩ thuật chọn điểm rơi”
Cách 4: Ta dùng “ Đạo hàm”
Dạng 2: C/m BĐT có kèm điều kiện:
Khi gặp các bài cm BĐT có kèm điều kiện nhưng giả thiết không quá đơn giản
( giả thiết đơn giản như: abc=1,a+b+c=1…)
Cách 1: Sử dụng phương pháp đồng bậc cho các bài có bậc không bằng
nhau. Nhân hai vế của giả thiết vào hai vế của bdt cần chứng minh hay thế
ẩn, hằng số này bằng ẩn khác có số bậc khác nhau sao cho cuối cùng các ẩn
có bậc bằng nhau. Hoặc sử dụng “kĩ thuật chọn điểm rơi” để cân bằng bậc.
Rùi dễ dàng cm hơn, với cách này cần chú ý khi khi nhân điều kiện vào có
đồng bậc hay không????
Cách 2: Ta sử dụng hệ gồm một phương trình là giả thiết( giả thiết rắc rối) và
cùng một phương trình là một bất đẳng thức quen thuộc sao cho hai p/trình co
nét tương đồng. Sau đó ta cộng hai p.trình thành một p.trình. Và suy ra một
giả thiết mới (Sáng tạo giả thiết) để dễ chứng minh hơn. Đối với cách này rất
khó, khó ở chỗ suy nghĩ ra phương trình để sử dụng làm hệ.
Cách 3: Đặt ẩn phụ, một số cách đặt ẩn phụ thường gặp là: Đặt a+b=t hay
ab=u, 1/a=v rùi suy ra bdt mới cần cm và giả thiết mới cần tương ứng. Đối
với một số bài đối xứng thì ta có thể chia cho 

cho bdt cần cm hoặc giả
thiết, với n là số mũ cao nhất. Sau khi chia xong thì biến đổi tiếp.

THPT Hùng Vương – Đức Linh – Bình Thuận
Page 2



PHƢƠNG PHÁP TÌM TẬP GIÁ TRỊ HÀM SỐ
Như trên đã nói tới “pp tìm tập giá trị hàm số” đây là một pp tuy mới mà cũ. Mà lại
rất khó sử dụng. Các bạn cùng đọc và suy ngẫm nhé!!!!
1. Tìm gtnn & gtln của M=
22
22
644
yx
xyyx



HD: - nếu y=0 thì M=-4 (*)
- Nếu y≠0 chia tử mẫu cho y^2 ta được M=
1
644
2
2




















y
x
y
x
y
x

Đặt t= x/y thì bdt  M=
1
644
2
2


t
tt



  



       
Do p.trình có nghiệm t nên ta có:
∆’= 9-(M-4)(M+4)≥0
 

≤25
 -5<M<5(**)
Từ (*) (**) => gtnn là -5 và gtln là 5
2. Tìm gtnn và gtln của N=
22
2
43
yx
xyx



HD: xét x=0 và x≠0, với x≠0 ta chia tử mẩu cho x^2
3. Cho
22
yx 
=1. Tìm gtnn và gtln của P=
2
2

221
)6(4
yxy
xyx


(B08)
HD : Ta thấy dưới mẫu chưa đồng bậc vì có số 1, nên ta sử dụng giả thiết
22
yx 
=1 thế vào số 1 để có 1 bdt đồng bậc rùi làm bình thường
4. Cmr:  thoả mãn x(x+y+z)=3yz ta có:
333
)(5))()((3)()( xzxzzyyxzyyx 
(A09)
HD : Các bạn chiệu khó động não thữ bài này nha.^^


THPT Hùng Vương – Đức Linh – Bình Thuận
Page 3




KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BÀI TOÁN CỰC TRỊ
Mình xin mạng phép copy phần này của tác giả vì phần này tác giả
không phải mình.

I. BÀI TOÁN MỞ ĐẦU
Bài toán 1. Cho

,0
1
ab
ab





, tìm GTNN của
22
11
2
P
ab
ab



Giải
Ta có:
2 2 2 2 2
1 1 4 4
4
2
2 ( )
ab
a b a ab b a b
   
   

Dấu “=” xảy ra
1
1
2
Min 4 khi
11
2
2
a
ab
P x y
ab
b






     








Bài toán 2. Cho

,0
1
ab
ab





, tìm GTNN của
22
11
2
1
P
ab
ab



Giải
Lời giải 1. Ta có:
2 2 2 2 2
1 1 4 4 4
2
22
1 2 1 ( ) 1
P
ab
a b a ab b a b

     
      

Dấu “=” xảy ra
2 2 2
1 2 ( ) 1 0
(voâ nghieäm)
11
a b ab a b
a b a b

     



   


. Vậy không tồn tại
Min ? ?P



THPT Hùng Vương – Đức Linh – Bình Thuận
Page 4


Lời giải 2. Ta có:
2 2 2 2 2
1 1 1 4 1 4 1

6 3 3 3
1 6 1 ( ) 1 4
P
ab ab ab ab
a b a ab b a b ab
      
       

Mặt khác
2
1
24
ab
ab





. Vậy
22
4 1 8
3
26
22
P
a b a b
  

   


   
   

Dấu “=” xảy ra
22
13
1
2
1
a b ab
a b a b
ab

  

    




.
Lời bình: Bài toán 1 và bài toán 2 gần như tương tự nhau, cùng áp dụng bất đẳng thức
1 1 4
a b a b


.
Lời giải 1 tại sao sai? Lời giải 2 tại sao lại tách
1 1 1

2 6 3ab ab ab

? ? Làm sao nhận biết được điều
đó…? Đó chính là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức. Và qua chuyên đề này chúng ta sẽ
hiểu sâu hơn về kỹ thuật “chọn điểm rơi” trong việc giải các bài toán cực trị

II. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Có thể nói tằng bài toán bất đằng thức nói chung và bài toán tìm GTNN, GTLN nói riêng là một trong
nhửng bài toán được quan tâm đến nhiều ở các kỳ thi Học sinh giỏi, tuyển sinh Đại học,…và đặc biệt hơn
nữa là với xu hước ra đề chung của Bộ GD – ĐT. Trong kỳ thi tuyển sinh Đại học thì bài toán bất đẳng
thức là bài toán khó nhất trong đề thi mặc dù chỉ cần sử dụng một số bất đẳng thức cơ bản trong Sách
giáo khoa nhưng học sinh vẫn gặp nhiều khó khăn do một số sai lầm do thói quen như lời giải 1 trong bài
toán mở đầu là một ví dụ. Để giúp học sinh hiểu sâu hơn về bài toán cực trị đặc biệt là các trường hợp
dấu đẳng thức xảy ra, tôi viết chuyên đề “Chọn điểm rơi trong giải toán bất đẳng thức”.
III. NỘI DUNG
1. Bổ túc kiến thức về bất đẳng thức
a) Tính chất cơ bản của bất đẳng thức
Định nghĩa:
0a b a b   



ab
ac
bc










a b a c b c    



ab
a c b d
cd


   




THPT Hùng Vương – Đức Linh – Bình Thuận
Page 5



11
0ab
ab
   

b) Một số bất đẳng thức cơ bản


Bất đẳng thức Cauchy
Cho
n
số thực không âm
12
, , , ( 2)
n
a a a n 
ta luôn có
12
12

n
n
n
a a a
a a a
n
  

. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
12 n
a a a  
.

Một vài hệ quả quan trọng:

2
12
12

1 1 1
( ) vôùi 0, 1,
ni
n
a a a n a i n
a a a

         




2
1 2 1 2
1 1 1
vôùi 0, 1,
i
nn
n
a i n
a a a a a a
      
  

 Cho
2n
số dương (
,2n Z n
):
1 2 1 2

, , , , , , ,
nn
a a a b b b
ta có:

1 1 2 2 1 2 1 2
( )( ) ( )
n n n
n n n n
a b a b a b a a a bb b    


Bất đẳng thức BCS
Cho
2n
số dương (
,2n Z n
):
1 2 1 2
, , , , , , ,
nn
a a a b b b
ta có:

2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
( ) ( )( )
n n n n
a b a b a b a a a b b b         

Dấu “=’ xảy ra
12
12
(quy öôùc neáu 0 0)
n
ii
n
a
aa
ba
b b b
      


Hệ quả(Bất đẳng thức Svác-xơ)
Cho hai dãy số
1 2 1 2
, , , vaø , , , vôùi 0 1,
n n i
a a a b b b b i n  
ta luôn có:
22
22
12
12
1 2 1 2
()
nn
nn
a a a a

aa
b b b b b b
  
   
  

Dấu “=’ xảy ra
12
12
n
n
a
aa
b b b
   

2. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Cho
12
( , , , )
n
f x x x
là một hàm
n
biến thực trên
::
nn
D f D  



1 2 1 2
0 0 0 0 0 0
1 2 1 2
( , , , ) ( , , , )
Max
( , , , ) : ( , , , )
nn
D
nn
f x x x M x x x D
fM
x x x D f x x x M
  




  



THPT Hùng Vương – Đức Linh – Bình Thuận
Page 6


1 2 1 2
0 0 0 0 0 0
1 2 1 2
( , , , ) ( , , , )
Min

( , , , ) : ( , , , )
nn
D
nn
f x x x m x x x D
fm
x x x D f x x x M
  




  



3. Phương pháp chọn điểm rơi
Nhận xét: Các bất đẳng thức trong các đề thi đại học thông thường là đối xứng với các biến, và ta dự đoán
dấu bằng xảy ta khi các biến bằng nhau và xảy ra tại biên.
a) Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cauchy
Sử dụng hệ quả (1) và (2)
Bài 1. Cho
,0
1
ab
ab






, tìm GTNN của biểu thức
22
11
4P ab
ab
ab
  

.
Sai lầm thường gặp:
Sai lầm 1: Ta có :
2 2 2 2 2
1 1 1 4 1 4 1
4 4 4
2 2 2 2
2 ( )
P ab ab ab
ab ab ab ab
a b a b ab a b

         

   

.
Mặt khác
11
4 2 .4 2 2
22

ab ab
ab ab
  
. Vậy
4 2 2P 
nên
2(2 2)MinP 

Sai lầm 2:
2 2 2
1 1 1 1 4 1 1 1 1
4 2 4 . 4 2 6
4 4 2 4 4 4
()
P ab ab
ab ab ab ab ab ab ab
a b a b

           




Dấu bằng xảy ra
22
22
2
11
16 2
1

a b ab
a b a b
ab




    





. Thay
1
2
ab
vào ta được
7P 

7MinP
khi
1
2
ab
.
Nguyên nhân sai lầm:

THPT Hùng Vương – Đức Linh – Bình Thuận
Page 7

Sai lầm 1: Học sinh chưa có khái niệm “điểm rơi”, việc tách
1 1 1
22ab ab ab

là do thói quen để làm
xuất hiện
2 2 2
2 ( )a b ab a b   
.
1
4 2 2 4
2
1
ab
MinP ab VN
ab
ab




    





. Dấu “=” bất đẳng
thức không xảy ra


không kết luận được
4 2 2MinP 

Sai lầm 2: Học sinh đã có khái niệm điểm rơi, dự đoán được dấu bằng khi
1
2
ab
nên đã tách các số
hạng và
7MinP 
khi
1
2
ab
là đúng, nhưng bước cuối học sinh làm sai ví dụ như
2
(1 )x x x  
, dấu bằng xảy ra khi
1x 
2
( 1) 1??Min x x

   

.
Lời giải đúng: Do P là biểu thức đối xứng với
,ab
, ta dự đoán
MinP

đạt tại
1
2
ab
, ta có:
2 2 2 2
1 1 1 1 4 1 1
4 2 4 . 7
2 4 4 2
()
4
2
P ab ab
ab ab ab ab
a b a b
ab

        









Dấu bằng xảy ra
22
22

2
11
16 2
1
a b ab
a b a b
ab




    





.
Bài 2. Cho
,0
1
ab
ab





, tìm GTNN của biểu thức
3 3 2 2

1 1 1
S
a b a b ab
  

.
Sai lầm thường gặp:
Ta có:
3 3 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2
1 1 1 2 2 9 2 1 1
3
3 3 3 3 3 3
S
a b a b ab a b ab a b a b ab a b ab

       

   


32
9 2 1 1 1 2 4 59
. 9 .
33
()
3.
2
ab a b a b
ab
ab


     









THPT Hùng Vương – Đức Linh – Bình Thuận
Page 8

59
3
MinS 

Nguyên nhân sai lầm:
3 3 2
3
59
()
3
1
a b a b
MinS a b vn
ab




  





Lời giải đúng
Ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi
1
2
ab
, và ta thấy
3 3 2 2 3
3 3 ( )a b a b ab a b    
vì thế ta
muốn xuất hiện
3
()ab
; ta áp dụng bất đẳng thức
3 3 2 2
1 1 1
22a b a b ab


và nếu vậy:
3 3 2 2 3
1 1 1 9
2 2 ( ) ( )a b a b ab a b ab a b
  

   
, ta không đánh giá tiếp được cho nên ta phải áp
dụng bất đẳng thức cho 5 số:
3 3 2 2 2 2 3 3
3
1 1 1 1 1 25 25
20
2 2 2 2 ( ) ( ) ( )
()
4
S
a b a b ab a b ab a b ab a b a b
ab
       
    


Dấu bằng xảy ra khi
1
2
ab
.
Bài 3. Cho
, , 0
1 1 1
4
x y z
x y z





  


. Tìm GTLN của
111
2 2 2
P
x y z x y z x y z
  
     
.
Sai lầm thường gặp:
Sai lầm 1: Ta có
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 1 1 1 10
9 2 9 2 9 2 18 9
P
x y z x y z x y z x y z
       
            
       
       

10
9
MaxP

Sai lầm 2:
THPT Hùng Vương – Đức Linh – Bình Thuận

Page 9

3 3 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10
3 3 2 3 3 2 3 3 2 9
3 2 3 .2 3 2
P
x y z x y z x y z
xyz x yz xy z
     
            
     
     
Nguyên nhân sai lầm: Cả hai lời giải trên đều đã biết hướng “đích” song chưa biết chọn điểm rơi.
2
2
10
()
2
9
1 1 1
4
x y z
y x z
MaxP vn
z x y
x y z












  


, tức là không tồn tại
10
( , , ) :
9
x y z D P

Lời giải đúng: Từ hai lời giải trên với dự đoán
MaxP
đạt được tại
4
3
x y z  
nên tách các số
2x x x
ra cho dấu bằng xẩy ra.
Cách 1: Ta có
1 1 1 1 1 1 1
2 16x y z x x y z x x y z


    

    

, tương tự và ta có:
1 2 1 1 1 2 1 1 1 2
1
16
P
x y z x y z x y z

     
         

     
     

, vậy
1MaxP 
khi
4
3
x y z  
.
Cách 2: Ta có
4
2
4
11
2 4 . . .

2
4
x y z x x y z x x y z
x y z
x yz
        

, mặt khác:
4
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1
. . .
4 2 16x x y z x x y z x y z x y z
   
       
   

   
, tương tự ta có:
1 1 1 1
.4 1
16
P
x y z

   


. Dấu “=” xảy ra khi
1
4

x y z  
, suy ra:
1MaxP 
khi
1
4
x y z  
.
Nhận xét: Ta có thể mở rộng bài 3:
Cho
, , 0
1 1 1
4
x y z
x y z




  


. Tìm GTLN của
111
P
x y z x y z x y z
        
  
     
.

THPT Hùng Vương – Đức Linh – Bình Thuận
Page 10

Với
,, N
  


: Cách làm tương tự như bài 3, ta tách
soá
, x x x x


   
. Nếu
,, R
  


,
thì bài toán có còn giải quyết được không? Câu trả lời dành cho độc giả trong phần sau” Kỹ thuật chọn
điểm rơi trong BCS”
Bài 4. Cho
, , 0
3
abc
abc




  

. Chứng minh rằng:
3 3 3 3
2 2 2 3 3a b b c c a     
.
Sai lầm thương gặp:
Ta có:
3
1 1 ( 2 ) 2 2
1.1( 2 )
33
a b a b
ab
    
  
, tương tự ta có:
3 3 3
2 2 2 2 2 2
2 2 2 5
3 3 3
a b b c c a
a b b c c a
     
        
,
mà
3
5 3 3 ñeà ra sai ? ?

Nguyên nhân sai lầm:
21
21
5, vaäy =5 ( )
21
3
ab
bc
P VT MaxP vn
ca
abc





  




  

, vậy
5P 

Lời giải đúng: Ta dự đoán dấu “=” trong bất đẳng thức xảy ra khi
1abc  
. Vậy ta áp dụng
Cauchy cho ba số

2 ,3,3ab
ta có:
3
3
3 3 3
1 1 3 3 ( 2 ) 6 2
2 3.3( 2 ) .
3
9 9 3 9
a b a b
a b a b
    
    
, tương tự ta có:
3
3 3 3
6 2 6 2 6 2
33
3 9 3 9 3 9
a b b c c a
P
     
   
, dấu bằng xảy ra khi
1abc  

Bài 5. Cho
, , 0
1
x y z

xyz





, chứng minh rằng:
2 2 2
3
1 1 1 2
x y z
y z x
  
  

Sai lầm thường gặp:
Sai lầm 1:
P 
2 2 2 2
3
()
3
1 1 1 (1 )(1 )(1 )
x y z xyz
y z x y z x
  
     
, mặt khác
12
12

12
yy
zz
xx










, suy ra:
THPT Hùng Vương – Đức Linh – Bình Thuận
Page 11

(1 )(1 )(1 ) 8 8y z x xyz    
. Vậy
3
2
P 
, dấu “=” xảy ra khi
1x y z  

Sai lầm 2: ta có:
2
2
2

(1 ) 2
1
(1 ) 2 2( ) ( ) 3 3
1
(1 ) 2
1
x
yx
y
y
z y P x y z x y z x y z
z
z
xz
x

  





              




  





,
mặt khác
3
3 3 0x y z xyz P     

Nguyên nhân sai lầm:
Ở sai lầm 1: Học sinh quên tính chất cơ bản của bất đẳng thức:
11
0ab
ab
   

Ở sai lầm 2: Dấu “=” xảy ra
2 2 2
1 , 1 , 1 ( )
1 1 1
1
x y z
x y z
y z x vn
y z x
xyz




      


  





Lời giải đúng: Ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi
1x y z  
. Vì vậy khi áp dụng Cauchy cho
2
1
x
y
và
1 y


:
2
1 1 2
4
12
xy
y



    


Ta có:
2
2
2
1
14
1 1 3 3 3 3
( ) ( ) ( )
1 4 4 4 4 4 2
1
14
xy
x
y
yz
y P x y z x y z x y z
z
zx
z
x









              












Dấu “=” xảy ra khi
1x y z  
.