Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Thị xã Xoài Nhơn

: 0905.884.951 – 0929.484.951

HSG 9 – Tuyển chọn đề thi 2020 – 2021

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THỊ XÃ HỒI NHƠN
Đề chính thức

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9

Năm học: 2020 – 2021
Mơn: TỐN – Ngày thi: 04/12/2020
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Bài 1. (4.5 điểm)
Rút gọn các biểu thức:
a) A 

5  3  29 12 5 .

b) B  3 70  4901  3 70  4901 .
1
1
1
1
c) C 


 ... 
.
2  2 3 2 2 3 4 3 3 4

100 99  99 100
Bài 2. (4.5 điểm)
a2  b2
a) Cho a , b   . Tính giá trị của biểu thức: A 
, biết A có giá trị nguyên.
ab
b) Cho ba số nguyên a , b , c và M  a  b b  c c  a   abc . Chứng minh rằng:
*

" Nếu a  b  c   4 thì M  4 ".
c) Tìm số abcd biết abcd  3 và abc  bda  650 .
Bài 3. (4.0 điểm)
a) Giải phương trình: 4 x 2  9 y  1  3 x  6 xy .
b) Cho hai số dương x , y thỏa mãn: x  y  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2

1 
1
A   x     y   .

x  
y 
2

Bài 4. (3.0 điểm)
Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB . Gọi I là một điểm trên nửa đường tròn tâm
O ( I khác A và B ). Vẽ đường tròn tâm I tiếp xúc với AB tại H . Từ A và B vẽ hai tiếp
tuyến với đường tròn tâm I , tiếp xúc với đường tròn tâm I lần lượt tại C và D .
a) Chứng minh C , I , D thẳng hàng.
CD 2

b) Chứng minh AC .BD 
.
4
Bài 5. (4.0 điểm)
a) Cho tam giác ABC có đường phân giác trong AD ( D thuộc BC ) sao cho BD  a và
CD  b (với a  b ). Tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt tia BC
tại M . Tính MA theo a và b .
b) Cho nửa đường tròn tâm O , đường kính AB  2 R và M là một điểm thuộc nửa đường
tròn (khác A và B ). Tiếp tuyến của O  tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B của O  lần
lượt tại các điểm C và D . Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích của hai tam giác ACM
và BDM .
----------  HẾT  ----------

GV: Lê Hồng Quốc

" Cần cù bù thông minh "

Trang 1


: 0905.884.951 – 0929.484.951

HSG 9 – Tuyển chọn đề thi 2020 – 2021

ĐÁP ÁN THAM KHẢO – HSG TOÁN 9 THỊ XÃ HOÀI NHƠN – 2021
Bài 1. (4.5 điểm)
Rút gọn các biểu thức:
a) A 

5  3  29 12 5 .

b) B  3 70  4901  3 70  4901 .
1
1
1
1
c) C 


 ... 
.
2  2 3 2 2 3 4 3 3 4
100 99  99 100
a) Ta có: A 


5  3  29 12 5 
5





5 1



2



2

5  3



5 3

2



5  32 5  3

5  5 1  1 .





b) Ta có: B 3  140  3 3 70  4901 70  4901 .

3

70  4901  3 70  4901



 B 3  3B 140  0  B 3 125  3 B 15  0   B  5 B 2  5B  28  0

B  5

B  5  0
2
 2
 
.
5  87
 B  5B  28  0

B

   0 v« nghiƯm 


2
4

Vậy B  5 .
1
1
n 1  n
1
1
c) Ta có:





.
n. n 1
n
n 1
n  1 n  n n  1
n. n 1 n  n 1



Áp dụng ta được: C 



1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
9





 ... 




 .
1
2
2
3
3
4
98
99
99
100 10

Bài 2. (4.5 điểm)
a2  b2
, biết A có giá trị nguyên.
ab
b) Cho ba số nguyên a , b , c và M  a  b b  c c  a   abc . Chứng minh rằng:
a) Cho a , b   * . Tính giá trị của biểu thức: A 

" Nếu a  b  c   4 thì M  4 ".
c) Tìm số abcd biết abcd  3 và abc  bda  650 .
a  d .m
a) Đặt d ­cln a , b  , suy ra: 
; với m , n   1 và m , n , d   * .
b  d .n
d 2 .m 2  d 2 .n 2 m 2  n 2


.
d 2 .m.n
m.n
Vì A có giá trị ngun nên
m 2  n 2  m  n 2  m
m  n

m  n .
m
,
n

1
,
mà

m 2  n 2  m.n 
  2



m  n 2  n  m 2  n
n  m

2
2
2
m n
2m
Vậy A 

 2 2.
m.n
m
b) Ta có: M  a  b b  c c  a   abc
Khi đó A 

 a  b  c  c ab  bc  ca  c 2   abc
GV: Lê Hồng Quốc

" Cần cù bù thông minh "

Trang 2


: 0905.884.951 – 0929.484.951

HSG 9 – Tuyển chọn đề thi 2020 – 2021

 a  b  c ab  bc  ca   a  b  c  c 2  ab  bc  ca  c 2  c  abc

 a  b  c ab  bc  ca   2abc .
Vì a  b  c   4 nên trong ba số a , b , c phải có ít nhất một số chẵn 
 2abc  4 .
Vậy M  4 .
c) Vì abc  bda  650 mà 650 là số tròn chục nên c  a .
Suy ra ab  bd  65  10a  b 10b  d  65  10a  65  9b  d  74 (do b  1 ).
Lại có 10a  90 
 a  8; 9 .
b  1
 Với a  8  9b  d  15 

 
. Khi đó abcd  8186  3 . Do đó trường hợp này loại.
d  6
b  2
 Với a  9  9b  d  15 
 
. Khi đó abcd  9 297  3 . Do đó trường hợp này thỏa.
d  7
Vậy số cần tìm là: 9 297 .
Bài 3. (4.0 điểm)
a) Giải phương trình: 4 x 2  9 y  1  3 x  6 xy .
b) Cho hai số dương x , y thỏa mãn: x  y  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2

 
1
1

A   x     y   .

x  
y 
2

a) Điều kiện xy  0 .
1
 Trường hợp 1: x  0 , ta được phương trình: 9 y  1  0  y   .
9

1

Do đó, trong trường hợp này phương trình có nghiệm là:  x ; y   0 ;  .

9


3
7
 Trường hợp 2: y  0 , ta được phương trình: 4 x 2  1  3 x  2 x     0 (vơ nghiệm).

4
4
2

Do đó, trong trường hợp này phương trình vơ nghiệm.
 Trường hợp 3: x  0 , y  0 . Khi đó



4 x 2  9 y  1  3 x  6 xy  4 x 2  4 x  1  9 y  6 xy  x  0  2 x 1  3 y  x
2



2

0

2 x 12  0

2 x 1  0

1
1
Vì 

 
 x  và y  .
2
 3 y  x  0
3 y  x  0
18
2







1 1 
Do đó, trong trường hợp này phương trình có nghiệm là:  x ; y    ;  .
 2 18 

 Trường hợp 4: x  0 , y  0 . Khi đó



4 x 2  9 y  1  3 x  6 xy  4 x 2  4 x  1  9 y  6 xy  x  0  2 x 1  3  y  x
2



2

0

2 x 12  0

2 x 1  0
Vì 
hệ này vơ nghiệm.

 
2
 3  y  x  0
3  y  x  0


Do đó, trong trường hợp này phương trình vơ nghiệm.
1 1  
1
 Vậy nghiệm của phương trình là:  x ; y    ; , 0 ;  .
 2 18  
9



GV: Lê Hồng Quốc



" Cần cù bù thông minh "

Trang 3


: 0905.884.951 – 0929.484.951

HSG 9 – Tuyển chọn đề thi 2020 – 2021

b) Với x , y dương và x  y  1 , ta có: P  x 2  y 2 

x  y

2

 Ta có: x  y 
2

2

2

x  y 1

 x 2  y 2 

 Lại có: 1   x  y   4 xy , suy ra
2



1
1
1 
 2  4   x 2  y 2 .1  2 2   4 .
2

x
y
x y 

1
.
2

1
1
 4 
 2 2  16 .
xy
x y

1
25
1
Do đó P  .1  16  4 
, đẳng thức xảy ra  x  y  .
2
2
2
25

1
 Vậy Pmin 
, xảy ra khi và chỉ khi x  y  .
2
2

Bài 4. (3.0 điểm)
Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB . Gọi I là một điểm trên nửa đường tròn tâm
O ( I khác A và B ). Vẽ đường tròn tâm I tiếp xúc với AB tại H . Từ A và B vẽ hai tiếp
tuyến với đường tròn tâm I , tiếp xúc với đường tròn tâm I lần lượt tại C và D .
a) Chứng minh C , I , D thẳng hàng.
b) Chứng minh AC .BD 

CD 2
.
4

a)  Vì BH , BD là tiếp tuyến của đường tròn  I  nên IB
  I  I .
là tia phân giác của HID
1

2

 Vì AC , AH là tiếp tuyến của đường tròn  I  nên IA là
  I  I .
tia phân giác của CIH
3

4

 Vì AIB có AB là đường kính của đường tròn O  và I
  90  I  I  90 .
nằm trên đường tròn O  
 AIB
2

3

Do đó I1  I2  I3  I4  180 
 C , I , D thẳng hàng.
b)  Tam giác AIB vng tại I có IH là đường cao nên
IH 2  HA.HB .
 Vì C , I , D thẳng hàng mà I là tâm của đường trịn nên CD là đường kính  IH 

CD
.
2

 Vì BH , BD là tiếp tuyến của đường trịn  I  nên HB  BD .
 Vì AC , AH là tiếp tuyến của đường tròn  I  nên HA  AC .
CD 
CD 2

AC
.
BD

AC
.

BD

 Do đó IH  HA.HB  
.

 2 
4
2

2

Bài 5. (4.0 điểm)
a) Cho tam giác ABC có đường phân giác trong AD ( D thuộc BC ) sao cho BD  a và
CD  b (với a  b ). Tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt tia BC
tại M . Tính MA theo a và b .
b) Cho nửa đường tròn tâm O , đường kính AB  2 R và M là một điểm thuộc nửa đường
tròn (khác A và B ). Tiếp tuyến của O  tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B của O  lần
lượt tại các điểm C và D . Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích của hai tam giác ACM
và BDM .
GV: Lê Hồng Quốc

" Cần cù bù thông minh "

Trang 4


: 0905.884.951 – 0929.484.951

HSG 9 – Tuyển chọn đề thi 2020 – 2021

 là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung
a)  Ta có: MAC
 là góc nội tiếp cùng chắn một cung  MAC
  ABC
.
và ABC
AC DC b

 .
 Vì AD là đường phân giác của ABC 
AB
DB a
 Xét MAC và MBA , ta có:
  ABC
 (chứng minh trên)
MAC
 chung.
AMB
Do đó MAC  MBA (g - g)
MA MC AC b
MC MC MA b 2


 


.

MB MA AB a
MB MA MB a 2

 b 2 
b2
b2
b2
b2

 MC  MB. 2   MC  a  b . 2  MC 1  2   a  b . 2  MC 
.
 a 
a
a
a
a b
MC b
a.MC
ab
 
 MA 

Ta có:
.
MA a
b
a b
b) Ta có: CA  CM và DB  DM (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).
 CD  AC  BD .
Ta có: CD  CM  MD 
Kẻ MH  AB ( H  AB ), khi đó MH  MO  R .
Suy ra

Tứ ABDC là hình thang vng nên CD  AB  2 R .
 AC  BD .AB CD.AB AB 2
Ta có: S ABDC 


 2R2 .
2
2
2
MH .AB MO.AB
SMAB 

 R2 .
2
2
Do đó SCAM  SDBM  S ABCD  SMAB  2 R 2  R 2  R 2 .
Dấu "  " xảy ra khi H  O  M là điểm chính giữa cung AB .
Vậy SCAM  SDBM đạt giá trị nhỏ nhất bằng R 2 khi M là điểm chính giữa cung AB .
----------  CHÚC CÁC EM MAY MẮN  ----------

GV: Lê Hồng Quốc

" Cần cù bù thông minh "

Trang 5