Bài toán liên quan đến sự thay đổi chiều dài, chu kỳ và tần số của Con lắc đơn

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

v t s v u u t N
f

t
 .

<i>l</i>1, <i>l</i>2, N1 v 2 t u v s v t v v t tr t
t t t





2 2 2

2 2 1

1 2

N

g g 2πN

ω = ω 2πf

t N

<i>l</i>

<i>l</i> <i>l</i> <i>l</i>

 

 

   _ _  _{ } _

   

t Δm:

2 2

1 1 2 1

2 2 1 1

ω f

ω f

<i>l</i> <i>l</i> <i>l</i>

<i>l</i> <i>l</i>

  _  _ _  

   

   

G i T1 và T2 l t là chu kì c a con lắ ơ u dài dây treo l t là <i>l1</i> và <i>l2</i>. Chu kì c a con lắc
ơ t ê ặc bớt chi u dài dây treo:

 <i>l</i> = <i>l</i>1 + <i>l</i>2 là T = T + T2 12 22  T = T + T12 22

 <i>l</i> = <i>l1</i> - <i>l2</i> là T = T - T2 ₁2 ₂2  T = T - T₁2 ₂2 (với <i>l1</i> > <i>l2</i>)

<b>BÀI TẬP VẬN DỤNG </b>

<b>Câu 1 (CĐ 2010): Tại m t ơ trê ặt ất, con lắ ơ u dài </b><i>l</i> u hịa với chu kì 2
s t u dài c a con lắ t ê t u u hịa c a nó là 2,2 s. Chi u dài <i>l</i> bằng:
A. 2 m. B. 1 m. C. 2,5 m. D. 1,5 m.

<b>Hướng dẫn: </b>
Ta có:

2 2

2

2 2

1

T 0, 21 2, 2

1 m.

T 2

<i>l</i> <i>l</i> <i>l</i>

<i>l</i>

<i>l</i> <i>l</i>

  _ _  _ _{ }

<i><b>Chọn B </b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

ng. Tính chi u dài và chu kỳ b u c a con lắc.
<b>Hướng dẫn: </b>
Ta có: t = 60.2

g
<i>l</i>

= 50.2 0, 44
g

<i>l</i> _

36<i>l</i> = 25(<i>l</i> + 0,44)  <i>l</i> = 1 m.

Chu kì: T = 2
g

<i>l</i>

= 2 s.

<b>Câu 3 (Chuyên ĐHSP Hà Nội lần 4 – 2016): Hai con lắ ơ c treo ở tr n m t p ng </b>
u hịa với chu kì 1,6 s và 1,8 s, trong hai mặt phẳng song song với nhau. Tại th ểm t = 0, hai con lắ
qua v trí cân bằng theo cùng chi u. Kho ng th i gian ngắn nhất kể từ t = 0 ến th ểm hai con lắ

qua v trí cân bằng l n kế tiếp là

A. 12,8 s. B. 7,2 s. C. 14,4 s. D. 6,4 s.
<b>Hướng dẫn: </b>

Vì lúc t = 0 hai con lắc qu V CB t t chi u nên ta có thể ch t u ơ ê
p ơ tr ng c a các con lắc là:

1 1

1

2 2

2
2

x A cos cm

T 2

2

x A cos cm

T 2

 _   _ 

  

  



  

 _ _

 

 _ _



Khi chúng qua VTCB thì: x₁x₂ 0

1 1

1 1 1

2 2

2 2

2
2

x 0 k 2

T 2 2 t 0,8 0,8k

2 t 0,9 0,9k

x 0 k 2

T 2 2

  

      

 _ _ _



_ _

   _  

 _{ } _{  } _



y á áp á á tr ồng th i cho k1 và k2 nguyên và min thì ch n.

<i><b>Chọn B </b></i>

<b>Câu 4: Con lắc lị xo có chi u dài </b><i>l₁</i> u hòa với chu kì T1 = 1,5 s, con lắc có chi u dài <i>l2</i> dao

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Con lắc chi u dài <i>l₁</i>có:

2

1 1

1 1 2

T g
T 2π
g 4π
<i>l</i>
<i>l</i>
   .

Con lắc chi u dài <i>l₂</i>có:

2

2 2

2 2 2

T g
T 2π
g 4π
<i>l</i>
<i>l</i>
   .

Con lắc có chi u dài <i>l</i> có:

2
2
T g
T 2π
g 4π
<i>l</i>
<i>l</i>
   .

Mà <i>l</i> <i>l</i>₁ <i>l</i>₂. Suy ra:

2 2

2

2 2 2 2

1 2

1 2

2 2 2

T g T g
T g

T T T 1,5 0,9 1,2 s.

4π  4π 4π      

<b>Câu 5 (CĐ 2012): Tại m t v trí trê rá Đất, con lắ ơ u dài </b><i>l</i>₁ u hịa với chu kì T1;
con lắ ơ u dài <i>l</i>₂ (<i>l</i>₂ < <i>l</i>₁) u hịa với chu kì T2 Cũ tại v trí ắ ơ u
dài <i>l</i>1 – <i>l</i>2 u hịa với chu kì là

A. 1 2

1 2

T T

T T . B.

2 2

1 2

T T . C. 1 2

1 2

T T

T T D.

2 2

1 2

T T .

<b>Hướng dẫn: </b>
<b> Áp dụng công thức: </b>

2
2
gT
T 2π
g 4π
<i>l</i>
<i>l</i>
   <b> </b>

Suy ra:





2
1

2 2

1 2

1 2 2 2

1 2 2 1 2

2
2

1 2

gT

g T T
4π

' T' T T

4π
gT

4π

<i>l</i>

<i>l</i> <i>l</i> <i>l</i>

<i>l</i>


 _
 _ _{  } _ _ _

 

<b> </b>
<i><b>Chọn B </b></i>

<b>Câu 6: Khi con lắ ơ u dài </b><i>l1</i>, <i>l2</i> (<i>l1</i> > <i>l2</i>) có chu kỳ t ơ ứng là T1, T2 tạ ơ t c

tr tr ng g = 10 m/s2. Biết tạ ơ ắ ơ u dài <i>l</i>1 + <i>l</i>2 có chu kỳ ng là 2,7; con lắc
ơ u dài <i>l1 </i><b>– </b><i>l2</i> có chu kỳ ng là 0,9 s. Tính T1, T2 và <i>l1</i>, <i>l2</i>.

<b>Hướng dẫn: </b>
Ta có: T2_ = 42 1 2

g
<i>l</i> <i>l</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

T2_ = 42 1 2
g
<i>l</i> <i>l</i>

= T₁2<b>– T</b>2₂ (2)

Từ (1) và (2)  T1 =

2 2

T T

2

   _{= 2 s; T}
2 =

2 2

T T

2

   _{= 1,8 s;}

<i>l1</i> = ₂
2
1
4
<i>gT</i>

= 1 m; <i>l2</i> = ₂
2
2
4
<i>gT</i>

= 0,81 m.

<b>Câu 7: Tại m t ơ trê ặt ất, m t con lắ ơ u hòa. Trong kho ng th i gian t, con lắc thực </b>
hiệ 60 ng toàn ph t y ổi chi u dài con lắc m t ạn 44 t ũ tr ng th i gian
t, nó thực hiệ 50 ng tồn ph n. Tìm chi u b u c a con lắc.

<b>Hướng dẫn: </b>

Chu kì con lắ ơ b u: 1
1

1
Δt
T 2π

g N

<i>l</i>

  (1)

Chu kì con lắ t y ổi: 2
2

2

Δt
T 2π

g N

<i>l</i>

  (2)

Lấy (1) chia (2) theo từng vế

2 2

1 2

2 1

N

(1) 50 25

(2) N 60 36

<i>l</i>
<i>l</i>

  _ _

 _ _ _ _ 
 

  (3)

Từ (3)  <i>l</i>₂<i>l</i>₁  <i>l</i>₂  <i>l</i>₁ 44 (4)

Gi i hệ (3) v (4) t c <i>l</i>₁100 cm và <i>l</i>₂144 cm.

<b>Câu 8: S i dây chi u dài </b><i>l</i> c cắt r ạn <i>l1</i> = <i>l2</i> = 20 cm dùng làm hai con lắ ơ Biết con
lắ ơ u dài <i>l</i>1 bằng thế bằ c a con lắc có chi u dài <i>l</i>2 bằng
hai l n thế V n t c cự ại c a con lắc <i>l</i>1 bằng hai l n v n t c cự ại c a con lắc <i>l</i>2. Tìm chi u dài <i>l</i>
b u.

<b>Hướng dẫn: </b>

Gi sử p ơ tr ng c a con lắ ơ ạng:  = 0cost.
Cơ a con lắc tại th iể :

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Với Wt = mg<i>l</i>(1– cos) = mg<i>l</i>.2sin2α

2  mg<i>l.</i>2

2

α

4 = mg<i>l</i>

2

α

2 ; W = W0 = mg<i>l</i>

2

α
2 .

Khi W = Wt  α = 12

2
01

α

2 . Khi W = 2Wt



2
2
α = α202

3 .
Ta có: 1 = 2  α01

2
= α02

3

(*)

V n t c cự ại c a con lắ ơ vmax = <i>l</i>0 = 0 g<i>l</i>.
Suy ra: v1max = 2v2max  g<i>l1</i>α201 = 4g<i>l2</i>

2
02

α  <i>l1</i>α2₀₁ = 4<i>l2</i>α2₀₂ (**)
Từ (*) và (**) suy ra:

<i>l1</i> = 4<i>l2</i>
2

3 _<i>_l1</i>_{= 2} ₆<i>_l2</i>_<i>_l</i>_{= (1 + 2}

6) <i>l2</i> = 20.(1 + 2 6) cm.

<b>Câu 9 (CĐ 2012): Hai con lắ ơ u hòa tại cùng m t v trí trê rá Đất. Chi u dài và chu kì </b>
ng c a con lắ ơ t là <i>l1</i>, <i>l2</i> và T1, T2. Biết

2

1

T 1

T 2. Hệ thức đúng là:

A. 1
2

2
<i>l</i>

<i>l</i>  <b>B. </b>

1
2

4
<i>l</i>

<i>l</i>  <b>C. </b>

1
2

1
4
<i>l</i>

<i>l</i>  <b>D. </b>

1
2

1
2
<i>l</i>
<i>l</i> 

<b>Hướng dẫn: </b>

<b> Ta có: T</b>1 = 2 1
g

<i>l</i>

và T2 = 2 2
g

<i>l</i>

. Suy ra:
2
1
<i>l</i>

<i>l</i>

<b>= </b>
2
1

2
2
T
T <b> = </b>4

1
<b> </b>

<i><b>Chọn C </b></i>

<b>Câu 10: Hai con lắ ơ ng trên cùng mặt phẳng có hiệu chi u dài là 14 cm. Trong cùng m t kho ng </b>
th i gian: khi con lắc I thực hiệ 5 ng thì con lắc II thực hiệ 0 ng.

a. Tính chi u dài và chu kì c a hai con lắc. Lấy 2

g9,86 m/s .

b. Gi sử tại th ểm t hai con lắc cùng qua v trí cân bằng theo cùng chi u t s u b âu hai con
lắc cùng qua v trí cân bằng theo cùng chi u trê

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

a. Ta có: 1 2

1 2 1 2 1 2

16
t 15T 20T 3.2π 4.2π 9 16

g g 9

<i>l</i> <i>l</i>

<i>l</i> <i>l</i> <i>l</i> <i>l</i>

        

Mặt khác ta có: <i>l</i>₁ <i>l</i>₂ 14  <i>l</i>₁ 32 cm. Suy ra: <i>l</i>₂ 18 cm.

Suy ra: 1

1

0,32

T 2π 2π 1,13 s

g 9,86

<i>l</i>

   và 2

2

0,18

T 2π 2π 0,85 s

g 9,86

<i>l</i>

   .

b. G i th i gian c hai con lắc cùng qua v trí cân bằng theo cùng chi u (còn g i là kho ng th i gian giữa
hai l n trùng phùng liên tiếp), ta có:  t N T_{1 1}N T₂ ₂ (với N1 và N2 s ng con lắc I và II thực hiện
trong th i gian t). Mà ₁ 4 ₂ ₂ 4 ₁

T T N N

3 3

   . Ta thấy khi con lắc I thực hiệ 4 ng thì con lắc 2
thực hiệ 3 ng. Suy ra:  t 4T₁4.1,134,52 s.

<b>Câu 11 (ĐH 2013): Hai con lắ ơ u dài l t 8 v 64 c treo ở tr n m t p </b>
Khi các v t nhỏ c a hai con lắ ở v trí cân bằ ồng th i truy n cho chúng các v n t ớng
sao cho hai con lắ u hòa vớ b ê góc, trong hai mặt phẳng song song với nhau. G i t
là kho ng th i gian ngắn nhất kể từ lúc truy n v n t ến lúc hai dây treo song song nhau. Giá tr t gần giá
<b>trị nào nhất s u ây? </b>

A. 8,12s. B. 2,36s. C.7,20s. D. 0,45s.
<b>Hướng dẫn: </b>

<i><b>Cách giải 1: </b></i>

P ơ tr ng c a 2 con lắc so vớ u kiệ u:

1 0

2 0

π π

α α cos t cm
0,9 2

π π

α α cos t cm
0,8 2

 _  _ 

  

  



 

  _  _

 _ _



Khi hai dây song song nhau khi x1 = x2 : cos π t π cos π t π

0,8 2 0,9 2

 _ _  _ 

   

   

min

π π π π

t k2π t 1, 27 s

0,8 2 0,9 2

π π π π

t t k2π t 0, 42 s

 _{  } _ _ _ _

  

  

 

 

 _{  } _ _ _ _

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<b> </b><i><b>Chọn D </b></i>

<i><b>Cách giải 2: </b></i>

Chu kì dao ng c a 2 con lắc: 1
1

T 2π 1,8 s
g

<i>l</i>

  và 2

2

T 2π 1, 2 s
g

<i>l</i>

  .

Con lắc 1 chuyể ng từ v trí cân bằ ến v trí biên l u mất th i gian t₁ T 0, 45 s
4

   , còn con lắc
thứ 2 mất th i gian t₂ T 0,3 s

4

   v y, con lắ ến v trí biên tr ớc và quay lại gặp con lắc 1 (hai
s i dây song song) khí con lắ ến v trí biên l n thứ nhất. V y, th i gian c n tìm  t 0, 45 s.

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Website <b>HOC247</b> cung cấp một môi trường <b>học trực tuyến</b> sinh động, nhiều <b>tiện ích thơng minh</b>, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những <b>giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, </b>

<b>giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm</b> đến từ các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng.

<b>I.</b>

<b>Luyện Thi Online</b>

- <b>Luyên thi ĐH, THPT QG:</b> Đội ngũ <b>GV Giỏi, Kinh nghiệm</b> từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng
các khóa <b>luyện thi THPTQG </b>các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học.

- <b>Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: </b>Ơn thi <b>HSG lớp 9</b> và <b>luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán</b> các trường

<i>PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An</i> và các trường Chuyên khác cùng

<i>TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn.</i>

<b>II.</b>

<b>Khoá Học Nâng Cao và HSG </b>

- <b>Tốn Nâng Cao THCS:</b> Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6,
7, 8, 9 u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ
thi HSG.

- <b>Bồi dưỡng HSG Toán:</b> Bồi dưỡng 5 phân mơn <b>Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học </b>và <b>Tổ Hợp</b> dành cho
học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: <i>TS. Lê Bá Khánh Trình, TS. Trần Nam </i>
<i>Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn</i> cùng đôi HLV đạt thành
tích cao HSG Quốc Gia.

<b>III.</b>

<b>Kênh học tập miễn phí</b>

- <b>HOC247 NET:</b> Website hoc miễn phí các bài học theo <b>chương trình SGK</b> từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn
học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo
phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

- <b>HOC247 TV:</b> Kênh <b>Youtube</b> cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi miễn phí
từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh.

<i><b>Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai </b></i>

<i><b> Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90% </b></i>

<i><b>Học Toán Online cùng Chuyên Gia </b></i>

</div>

<!--links-->