dethihsg

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (245.64 KB, 25 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

49

§Ị lun HSG

Tốn 8 năm 2010

Trung vn c

Đề số 1

Bài 1: (3 điểm)

Cho biểu thức 























3
1
3

27
:
3
3
3
1

2
2

2 x x

x
x

x
A

a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A < -1.

c) Với giá trị nào của x thì A nhận giá trị nguyên.
Bài 2: (2 điểm)

Giải phơng trình:

y

1

3

2

1

9

6

3

10

3

1

2
2













2
2
1
.
3
6
1
3
2

4
3

2 






 









x
x

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Một xe đạp, một xe máy và một ô tô cùng đi từ A đến B. Khởi hành lần lợt lúc 5
giờ, 6 giờ, 7 giờ và vận tốc theo thứ tự là 15 km/h; 35 km/h và 55 km/h. Hỏi lúc mấy giờ
ô tô cách đều xe đạp và xe đạp và xe máy.

Bµi 4: (2 ®iĨm)

Cho hình chữ nhật ABCD từ điểm P thuộc đờng chéo AC ta dựng hình chữ nhật
AMPN ( M  AB và N AD). Chứng minh:

a) BD // MN.

b) BD vµ MN cắt nhau tại K nằm trên AC.
Bài 5: (1 điểm)

Cho a = 11…1 (2n ch÷ sè 1), b = 44…4 (n ch÷ sè 4).
Chøng minh r»ng: a + b + 1 là số chính phơng.

Đề số 2

Câu I: (2điểm)

1) Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x2 4x 5

b) ab(a b) ac(ac)bc(2a bc)

2) Giải phơng trình

5
4
12
7
1
6
5
1
2
3
1
1

2
2
2

x x x x x x x
x

Câu II: (2 điểm)

1) Xỏc nh a, b để da thức f(x)x32x2axb chia hết cho a thc g(x)x2 x1.

2) Tìm d trong phép chia đa thøc ( ) 161 37 13 5 2006







x x x x x

x

P cho đa thức

.
1
)

( 2

x
x
Q

Câu III: (2 điểm)

1) Cho ba số a, b, c khác 0 và a + b + c = 0. TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc:

2 2 2

2
2

b
b

b

a
c

c
a

c
c

b
a

a
P











2) Cho ba số a, b, c thoả mÃn ab,bc,ca.

CMR: 0

)

)(
(
)
)(
(
)
)(
(

2
2

b
c
a
c

ab
c
c

b
a
b

ac
b
c

a
b
a

bc
a

Câu IV: (3điểm)

1) Cho đoạn thẳng AB, M là điểm nằm giữa A và B. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB kẻ
các hình vuông ACDM và MNPB. Gọi K là giao điểm của CP và NB.

CMR:

a) KC = KP

b) A, D, K thẳng hàng.

c) Khi M di chuyn gia A và B thì khoảng cách từ K đến AB khơng đổi.

2) Cho tamg gáic ABC có ba góc nhọn, ba đờng cao AA”, BB’, CC’ đồng quy tại H.
CMR:

'
'
'

'
'

CC
HC
BB

HB
AA

HA



 b»ng mét h»ng sè.

C©u V: (1 ®iĨm):

Cho hai số a, b khơng đồng thời bằng 0. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức:
2 2

2
2

b
ab
a

b
ab
a
Q

Đề số 3

Bài 1: (2 điểm)

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a(b c)2(b c) b(c a)2(c a) c(a b)2(a b)








b) Cho a, b, c khác nhau, khác 0 và 1110

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Rút gọn biểu thức:

ab
c
ca
b
bc
a
N

2
1
2

1
2

2
2

Bài 2: (2điểm)

a) Tìm giá trị nhỏ nhất cđa biĨu thøc:

2 2 1

x y xy x y

M

b) Giải phơng trình: ( 4,5)4 ( 5,5)4 1 0

y

y
Bài 3: (2điểm)

Một ngời đi xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h. Sau khi đi đợc 15 phút, ngời đó
gặp một ơ tơ, từ B đến với vận tốc 50 km/h. ô tô đến A nghỉ 15 phút rồi trở lại B và gặp
ngời đi xe máy tại một một địa điểm cách B 20 km. Tớnh quóng ng AB.

Bài 4: (3điểm)

Cho hình vng ABCD. M là một điểm trên đờng chéo BD. Kẻ ME và MF vng góc
với AB và AD.

a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE và CF bằng nhau và vng góc với nhau.
b) Chứng minh ba đờng thẳng DE, BF và CM đồng quy.

c) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất.
Bài 5: (1điểm)

Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
345

3 2 2

y
x

Đề số 4

Bài 1: (2,5điểm)

Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x5 + x +1

b) x4 + 4

c) x x- 3x + 4 x-2 với x 0
Bài 2 : (1,5điểm)

Cho abc = 2
Rót gän biĨu thøc:

2
2
2
1

2    

c
ac

c
b

bc
b
a

ab
a
A

Bài 3: (2điểm)

Cho 4a2 + b2 = 5ab vµ 2a b  0

TÝnh: 4a2 b2
ab
P




Bµi 4 : (3®iĨm)

Cho tam giác ABC cân tại A. Trên BC lấy M bất kì sao cho BM  CM. Từ N vẽ đờng
thẳng song song với AC cắt AB tại E và song song với AB cắt AC tại F. Gọi N là điểm đối
xứng của M qua E F.

a) TÝnh chu vi tø gi¸c AEMF. BiÕt : AB =7cm
b) Chøng minh : AFEN là hình thang cân
c) Tính : ANB + ACB = ?

d) M ở vị trí nào để tứ giác AEMF là hình thoi và cần thêm điều kiện của  ABC để
cho AEMF là hình vng.

Bµi 5: (1điểm)

Chứng minh rằng với mọi số nguyên n th× :

52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hết cho 23.

Đề số 5

Bài 1: (2điểm) Cho biĨu thøc:

30
11

1
20

1
12

7
1
6

5
1

2
2














x

x
x

x
M

1) Rót gän M.

2) Tìm giá trị x để M > 0.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

chảy ra mở vòi chảy vào thì sau 1giờ rỡi đầy bể. Biết vòi chảy vào mạnh gấp 2 lần vòi
chảy ra.

1) Tớnh thi gian nớc chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc nớc ngang chỗ đặt vòi chảy ra.
2) Nếu chiều cao của bể là 2m thì khoảng cách từ chỗ đặt vịi chy ra n ỏy b l bao
nhiờu.

Bài 3: (1điểm) Tìm x, y nguyªn sao cho: 2 2 2 4 0






 xy x y y
x

Bài 4: (3điểm) Cho hình vng ABCD cố định, có độ dài cạnh là a. E là điểm di chuyển
trên đoạn CD (E khác D). Đờng thẳng AE cắt BC tại F, đờng thẳng vng góc với AE tại
A cát CD tại K.

1) Chøng minh tam giác ABF bằng tam giác ADK.

2) Gọi I là trung ®iĨm KF, J lµ trung ®iĨm cđa AF. Chøng minh r»ng:
JA = JB = JF = JI.

3) Đặt DE = x (a x > 0) tính độ dài các cạnh của tam giác AEK theo a và x.

4) Hãy chỉ ra vị trí của E sao cho độ dài EK ngắn nhất.
Bài 5: (1điểm) Cho x, y, z khác 0 thoả mãn: 1  1  1 0

zx
yz
xy
TÝnh

xy
z
zx
y
yz
x
N

2
2
2





§Ị sè 6

Câu I: (5 điểm) Rút gọn các phân thức sau:

1
4
3

x
x

x
x
x

3
)
2
(
18
)
1
(
3

30
)
1
(
11
)
1
(

2
4

a
a
a

a
a

Câu II: (4 điểm)

1) Cho a, b là các sè nguyªn, chøng minh r»ng nÕu a chia cho 13 d 2 và b chia cho 13 d 3
thì a2 b2

 chia hÕt cho 13.

2) Cho a, b, c là các số nguyên thoả mÃn abc = 1
Tính giá trị của biểu thức:

ac
c

c
bc

b
b
ac

a
a
A

1
1

3) Giải phơng trình:

6
7
3
2

2
2
2

2
1
2

2
2
2

x
x

x
x
x
x

x
x

Câu III: (4 ®iĨm)

Để thi đua lập thành tích chào mừng ngày thành lập đồn TNCS Hồ Chí Minh (26/3).
Hai tổ công nhân lắp máy đợc giao làm một khối lợng cơng việc. Nếu hai tổ làm chung
thì hoàn thành trong 15 giờ. Nếu tổ I làm trong 5 giờ, tổ 2 làm trong 3 giờ thì làm đợc
30% công việc. Nếu công việc trên đợc giao giêng cho từng tổ thì mỗi tổ cần bao nhiêu
thời gian hon thnh.

Câu IV: (3 điểm)

Cho hình bình hành ABCD (AC > BD). Gọi E, F lần lợt là hình chiếu của B, D lên AC;
H, K lần lợt là hình chiếu của C trên AB và AD.

1) Tứ giác DFBE là hình gì ? vì sao ?

2) Chng minh tam giác CHK đồng dạng với tam giác BCA.

3) Chứng minh AC2 AB.AH AD.AK

Câu V: (2 điểm)

Giải phơng trình: x 20022002 x 20032003 1

Đề số 7

Câu I: (2điểm)

1. Thùc hiÖn phÐp chia 2 4 3 2 2






 x x x x

A cho 2 1


x

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

2. Phân tích đa thức thơng thành nhân tử.
Câu II: (2điểm)

1. So sánh A và B biết:

1
532

A và 6(52 1)(54 1)(58 1)(516 1)





B

2. Chøng minh r»ng: 1919 + 69 69 chia hết cho 44.

Câu III: (2điểm)

1. Cho một tam giác có ba cạnh là a, b, c tho¶ m·n: (a b c)2 3(ab bc ca)






 . Hái tam

giác đã cho là tam giác gì ?

2. Cho ®a thøc f(x) = 100 99 ... 2 1






x x x

x . Tìm d của phép chia đa thức f(x) cho ®a thøc

2 

x .

Câu IV: (3điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A, đờng cao AH. Gọi E, F lần lợt là hình
chiếu của H lên AB và AC. Gọi M là giao điểm của BF v CE.

1. Tứ giác AEHF là hình gì ? Tại sao ?
2. Chøng minh AB. CF = AC. AE

3. So sánh diện tích tứ giác AEMF và diện tích tam giác BMC.
Câu V : (1 điểm)

Chứng minh nghiệm của phơng trình sau là một số nguyên:

2003
3

2004
2

2005
2003

4
2004

3
2005

x x x x x

x

Đề số 8

Câu 1: (2®iĨm)

a) Cho 2 2 2 2 2 6 13 0







 xy y x y

x
TÝnh

xy
y
x
N

4
1
3 2




b) Nếu a, b, c là các số dơng đôi một khác nhau thì giá trị của đa thức sau là số dơng.
A a3 b3 c3 3abc

Câu 2: (2 điểm)

Chứng minh rằng nếu a + b + c = 0 th×:

a
c

b
c
b

a
b
a

c
b

a
c
a

c

b
c

b
a
A

Câu 3: (2 điểm)

Một ô tô phải đi quãng đờng AB dài 60 km trong thời gian nhất định. Nửa quãng
đ-ờng đầu đi với vận tốc lớn hơn vận tốc dự định là 10km/h. Nửa quãng đđ-ờng sau đi với
vận tốc kém hơn vận tốc dự định là 6 km/h. Tính thời gian ơ tơ đi trên qng đờng AB
biết ngời đó đến B đúng giờ.

C©u 4: (3 ®iĨm)

Cho hình vuông ABCD trên cạnh BC lấy điểm E. Từ A kẻ đờng thẳng vng góc vơi
AE cắt đờng thẳng CD tại F. Gọi I là trung điểm của EF. AI cắt CD tại M. Qua E dựng
đ-ờng thẳng song song với CD cắt AI tại N.

a) Chøng minh tø giác MENF là hình thoi.

b) Chng minh chi vi tam giác CME không đổi khi E chuyển động trên BC.
Cõu 5: (1 im)

Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
x6 3x2 1 y4

Đề số 9

Bài 1: (2 điểm)

Cho

3
3
3

6
6
6

1
1

2
1
1

x
x
x
x

x
x
x

x
M

a) Rút gọn M.

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Bài 2: (2 điểm)

a) Tìm x biÕt : (2 5)3 ( 2)3 ( 3)3






 x x

x

b) Tìm số tự nhiên n để n + 24 và n - 65 là hai số chính phơng.
Bài 3: (2 im)

a) Cho x và y thoả mÃn: 4x2 17xy9y2 5xy 4y 2

TÝnh H x3y3xy

b) Cho a, b, c tho¶ m·n: abcabc

Chøng minh: a(b2 1)(c2 1) b(a2 1)(c2 1) c(a2 1)(b2 1) 4abc

Bài 4: (4 điểm)

Cho hỡnh thang ABCD đáy nhỏ AB, Gọi I là giao điểm của AC và BD. Qua I vẽ đờng
thẳng song song với AB cắt AD và BC lần lợt tại M và N.

a) Chøng minh IM = IN.
b) Chøng minh:

MN
CD
AB

2
1
1




c) Gọi K là trung điểm của DC, vẽ đờng thẳng qua M song song với AK cắt DC, AC lần
lợt tại H và E. Chứng minh HM + HE = 2AK.

d) Cho S(AIB) = a2 (cm2) , S(DIC) = b2 (cm2). Tính S(ABCD) theo a và b.

Đề số 10

C

âu 1: (2 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) x2 x 12

b) 8 1


x

x

c) ( 2 3 2)( 2 11 30) 5

x x x

x

Câu 2: (2 điểm)

1) So sánh A và B biết: A532 và 24(52 1)(54 1)(58 1)(516 1)





B

2) Cho 3a2 2b2 7ab



 vµ 3a b0.
Tính giá trị của biểu thức:

b
a

P

2007

2006

2006
2005

Câu 3: (2 điểm)

1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 9 2 6 6 12 1974







 x y xy x y

A

2) Giải phơng trình: 2 4 2 2 1 2 0






 x y x

y

3) Chøng minh r»ng: a8 b8 c8 d8 4a2b2c2d2

Câu 4: (3 điểm)

Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm trên cạnh BC (E khác B và C). Qua A kẻ
Ax vuông góc với AE, Ax cắt CD tại F. Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K.
Đ-ờng thẳng kẻ qua E, song song với AB cắt AI ë G.

a) Chøng minh tø giác EGFK là hình thoi.
b) Chứng minh AF2 = FK. FC.

c) Khi E thay đổi trên BC, chứng minh chu vi tam giác EKC không đổi.
Câu 5: (1 điểm)

Cho đa thức f(x) có các hệ số nguyên. Biết rằng f(1) và f(2) là các số lẻ. Chứng minh
rằng đa thức f(x) không có nghiệm nguyên.

Đề số 11

Câu 1: (2 điểm)

a) Tính giá trị của biểu thức:




























































4
1
20
...
4
1
4
4
1
2

4
1
19
...
4
1
3
4
1
1

4
4

A

b) Chøng minh r»ng: TÝch cđa bèn sè tù nhiªn liên tiếp cộng với 1 là một số chính ph
-¬ng.

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

a) Cho xyz = 2006

Chøng minh r»ng: 1

1
2006

2006
2006

2006











 xz z

z
y

yz
y
x

xy

x

b) Tìm n nguyên dơng để A = n3 + 31 chia hết cho n + 3.

c) Cho a2b3c14. Chøng minh r»ng: 2 2 2 14



b c

a .

Câu 3: (2 điểm)
Cho phân thức:

5
5
2

1
1
1
1
1

3
3

2
2

3
2

x
x

x
B

a) Rút gọn B.

b) Tìm giá trị lớn nhất của B.

Câu 4: (3 điểm)

Cho M lµ mét điểm bất kì trên đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ
là AB vẽ các hình vuông AMCD vµ BMEF.

a) Chøng minh: AE  BC.

b) Gäi H là giao điểm của AE và BC, chứng minh rằng: D, H, F thẳng hàng.

c) Chng minh rng ng thng DF luôn đi qua một điểm cố định khi M di chuyn trờn
on thng AB.

Câu 5: (1 điểm)

a) Chứng minh rằng với n N và n > 3 thì:

2
1
...
5

1
4

1
3

1
2

1 3  3  3  3  3 


n
C

b) Giải phơng trình:

)
4
)(
3
)(
2
)(
1
(
)
4
)(
3
)(
2
)(
1

(x x x x x x x x

Đề số 12

Câu 1: (2 điểm)

1) Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 2 7 6

x

b) (x2)(x3)(x4)(x5) 24

c) x4 4

2) Rút gọn:

30
11

1
20

9
1
12

7
1
6

5
1

2
2

x
x
x

x
x

x
x
x
A

Câu 2: (2 điểm)

1) Tỡm a thc f(x) biết rằng f(x) chia cho x-2 thì d 2, f(x) chia cho x-3 thì d 7, f(x) chia
cho x2 - 5x + 6 thì đợc thơng là 1-x2 và cịn d.

2) Tìm giá trị ngun của x để giá trị của biểu thức sau là số nguyên.

1
2

5
2

2 3 2







x
x
x
x

A

C©u 3: (2 điểm)
Giải phơng trình:
a)

94
6
96

4
98

2
95

5
97

3
99

x x x x x

x

b) ( 2 1)2 ( 2 1) 12 0








x x x

x

Câu 4: (3 điểm)

Mt ng thng d i qua đỉnh A của hình bình hành ABCD cắt BD, BC, DC lần lợt tại E,
K, G. Chứng minh rằng:

1) AE2 EK.EG

AG
AK
AE

1
1
1

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Tìm giá trị nhỏ nhất nÕu cã cđa biĨu thøc sau:

x
x
x
B

2
1
4
16 2




 (với x > 0)

Đề số 13

Câu 1: (6 điểm)

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử;
a) 2x 2y x2 2xy y2






b) 2xy2x y2  y

c) x2  2xy y2 3x 3y10
Câu 3 (4 điểm)

Cho biểu thức

1
1
3
2
1
1

2
2

x
x
x
x

x
x
x

Q (x 1)

a) Rót gän biĨu thøc Q.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của Q.
Câu 4: (6 điểm)

Vẽ ra phía ngồi tam giác nhọn ABC các tam giác đều ABD và ACE. Gọi M, N lần
lợt là trung điểm của AD và CE. H là hình chiếu của N trên AC, từ H kẻ đờng thẳng song
song với AB cắt BC tại I.

a) Chứng minh tam giác AMN đồng dạng với tam giác HIN.
b) Tính các góc của tam giác MNI.

c) Gi¶ sö gãc BAC = 900 , AB = a, AC = b. TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c MIN theo a, b.

Đề số 14

Câu 1: (2 điểm)

a) Phân tích thành thõa sè: (a b c)3 a3 b3 c3







b) Rót gän:

9
33
19

45
12
7

2
3

x
x

x

x
x

x

Câu 2: (2 điểm)

Chứng minh rằng: A n3(n2 7)2 36n

chia hÕt cho 5040 víi mäi sè tù nhiên n.

Câu 3: (2 điểm)

a) Cho ba mỏy bm A, B, C hút nớc trên giếng. Nếu làm một mình thì máy bơm A hút
hết nớc trong 12 giờ, máy bơm B hút hếtnớc trong 15 giờ và máy bơm C hút hết nớc
trong 20 giờ. Trong 3 giờ đầu hai máy bơm A và C cùng làm việc sau đó mới dùng đến
máy bơm B. Tính xem trong bao lõu thỡ ging s ht nc.

b) Giải phơng trình: 2xa  x 2a 3a (a là hằng số).

Câu 4: (3 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại C (CA > CB), một điểm I trên cạnh AB. Trên nửa mặt phẳng
bờ AB có chứa điểm C ngời ta kẻ các tia Ax, By vuông góc với AB. Đờng thẳng vuông
góc với IC kẻ qua C cắt Ax, By lần lợt tại các điểm M, N.

a) Chng minh: tam giác CAI đồng dạng với tam giác CBN.
b) So sánh hai tam giác ABC và INC.

c) Chøng minh: gãc MIN = 900.

d) Tìm vị trí điểm I sao cho diện tích tam giác IMN lớn gấp đơi diện tích tam giác ABC.
Câu 5: (1 điểm) Chứng minh rằng số:


 


 


 
 


0
sè
n

09
...
...
00

1
9
...
99

224

9
sè
2

-n lµ sè chính phơng. (n2).

Đề số 15

Câu 1: (2 điểm)

Cho

8
14
7

4
4

2
3

a
a
a

a

a
a
P

a) Rót gän P.

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

a) Chøng minh r»ng nÕu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phơng
của chúng chia hết cho 3.

b) Tìm các giá trị của x để biểu thức:

)
6
)(
3
)(
2
)(
1

(    

 x x x x

P có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất ú.

Câu 3: (2 điểm)
a) Giải phơng trình:

1
42
13

1
30

11
1
20

9
1

2
2

x x x x x

x

b) Cho a, b, c lµ ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng;

c
b
a

c
b
c
a

b
a

c
b

a
A

Câu 4: (3 ®iÓm)

Cho tam giác đều ABC, gọi M là trung điểm của BC. Một góc xMy bằng 600 quay

quanh ®iĨm M sao cho hai cạnh Mx, My luôn cắt cạnh AB và AC lần lợt tại D và E.
Chứng minh:

4
.

BC
CE
BD

b) DM, EM lần lợt là tia phân giác của các góc BDE và CED.
Câu 5: (1 điểm)

Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dơng và số đo
diện tích bằng số đo chu vi.

Đề số 16

Bài 1: (2 điểm) Giải phơng trình

a) ( 2 6 9)3 (1 2)3 (6 10)3 0










 x x x

x

b) Cho x, y tho¶ m·n: 2 2 2 2 6 2 13 0

y xy x y

x .

Tính giá trị của biểu thức:

y
x

xy
x
H

7 52

Bài 2: (2 điểm)
Cho

)
3
1
(

3
)

3
1
(

3 2

x
y

x
y
y
x

y
x








víi x,y0;

3
1
,y

x ; xy.

Chøng minh r»ng: 11 xy83
y

x .

Bài 3: Tìm x nguyên để biểu thức y có giá trị ngun.
Với

1
3
4

2




x
x
y

Bµi 4: (3 ®iÓm)

Cho tam giác ABC cân tại A (AB = AC > BC). Trên cạnh BC lấy M sao cho MB <
MC. Từ M kẻ đờng thẳng song song với AC cắt AB ở E, kẻ đờng thẳng song song với AB
cắt AC ở F. Gọi N là điểm đối xứng của M qua đờng thẳng EF.

a) Cho AB =1002,5 cm. TÝnh chu vi tứ giác AEMF.
b) Chứng minh tứ giác ANEF là hình thang cân.
c) AN cắt BC tại H. Chứng minh HB. HC = HN. HA

Bài 5: (1 điểm)

Cho đa thức f(x)x3ax2bxc

T×m a, b, c biÕt f(1)5 ; f(2)7 ; f(3)9

Đề số 17

Bài 1: (2 điểm)

1) Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) 8 7 1

x

b) (4x1)(12x 1)(3x2)(x1) 4

2) Cho abc0 vµ 2 2 2 1



b c

a . Tính giá trị của biểu thức:
4

4
4 b c

a

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Bài 2: (2 điểm) Cho biểu thức:

)
1
)(
1
(
)
1
)(
(

)
1
)(
(

2
2
2

y
x

y

x
x

y
x

y
y

y
x

x
M

a) Rót gän M.

b) Tìm cặp số ngun (x, y) để biểu thức M có giá trị bằng -7.

Bài 3: (2điểm) Ngời ta đặt một vòi nớc chảy vào bể và một vòi nớc chảy ra ở lng chừng
bể. Khi bể cạn, nếu mở cả hai vịi thì sau 2 giờ 42 phút bể đầy nớc. Cịn nếu đóng vịi

chảy ra mở vịi chảy vào thì sau 1giờ rỡi đầy bể. Biết vòi chảy vào mạnh gấp 2 lần vòi
chảy ra.

1) Tính thời gian nớc chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc nớc ngang chỗ đặt vòi chảy ra.
2) Nếu chiều cao của bể là 2m thì khoảng cách từ chỗ đặt vịi chảy ra đến đáy bể là bao
nhiêu.

Bµi 4: (3 điểm) Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm trên cạnh BC (E khác B và
C). Qua A kẻ Ax vuông góc với AE, Ax cắt CD tại F. Trung tuyến AI của tam giác AEF
cắt CD ở K. Đờng thẳng kẻ qua E, song song víi AB c¾t AI ë G.

a) Chøng minh AE = AF vµ tứ giác EGFK là hình thoi.

b) Chứng minh AKF đồng dạng với CAF và AF2 = FK. FC

c) Khi E thay đổi trên BC, chứng minh chu vi tam giác EKC khụng i.

Bài 5: (1 điểm) Cho a là một số gồm 2n chữ số 1, b là một số gồm n + 1 chữ số 1, c là
một số gồm n chữ số 6 (n là số tự nhiên, n 1).

Chứng minh rằng: abc8 là số chính phơng.

Đề số 18

Câu 1: (2 điểm) Giải các phơng trình sau:

a) x4 4x2 5

b) x 1 2x 3 5

Câu 2: (2 điểm)

Cho biểu thức:

x
x

x
x
A

2

a) Rỳt gn biểu thức A.
b) Tìm x để A > 1.
Câu 3: (2 điểm)

Hai anh em Trung và Thành cùng cuốc một mảnh vờn, và sÏ hoµn thµnh trong 5 giê
50 phót. Nhng sau 5 giờ làm chung Trung bận việc khác nên không làm nữa, một mình
anh thành phải làm tiếp trong 2 giờ nữa mới cuốc xong mảnh vờn. Hỏi nếu làm một
mình thì mỗi anh phải làm trong bao lâu?.

Câu 4: (3 ®iĨm)

Cho hình thang ABCD có đáy lớn CD. Qua A vẽ đờng thẳng AK song song với BC. Qua
B vẽ đờng thẳng BI song song với AD cắt AC ở F, AK cắt BD ở E. Chứng minh rằng:
a) EF song song với AB.

b) AB2 = CD. EF

C©u 5: (1 ®iĨm)

Chøng minh r»ng biĨu thøc:

1
18

10n  n chia hết cho 27 với n là số tự nhiên.

Đề số 19

Câu 1: (2 điểm)

a) Phân tích thành nhân tử: 4 3 2 4 12




 x x

x

b) TÝnh:

2005
.
2003

1
...

7
.
5

1
5
.
3

1
3
.
1







A

C©u 2: (2 điểm)

a) Cho a, b, c là hai số khác nhau và khác 0 thoả mÃn: 3a2 b2 4ab

Tính giá trị của biểu thức:

b
a

b
a
A

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

b) Giải phơng trình: x2 13

Câu 3: (2 ®iÓm)
Cho A n3 3n2 2n




 (n  N)

a) Chứng minh rằng A chia hết cho 3.
b) Tìm n với n < 10 để A chia hết cho 15.
Câu 4: (3 điểm)

Cho ABC vuông tại A và điểm H di chuyển trên BC. Gọi E, F lần lợt là điểm đối xứng
của H qua AB, AC.

a) Chứng minh E, A, F thẳng hàng.
b) Chứng minh BEFC là hình thang.

c) Tỡm v trớ ca H trờn BC để BEFC là hình thang vng, hình bình hành.
Câu 5: (1 điểm)

Cho

13
3

14
3

2
3

b
a
b

ab
a

. Tính giá trị của : P a2 b2

Đề số 20

Bài 1: (2 điểm)

a) Cho x > 0, y > 0 thoả mÃn: x2 2xy 3y2

Tính giá trÞ cđa biĨu thøc:

y
x

y
x
A






b) Víi x 1. Rót gọn biểu thức:

1
2

5
6

n n

x
x

x
x
B

Bài 2: (2 điểm) Chứng minh rằng với mọi giá trị nguyên của x thì biÓu thøc

6
.
5
2
.
1978
3

.
1985
)

(

3 x x

x
x

P    có giá trị nguyên.

Bi 3: (2 im) Mt ngi đi xe đạp, một ngời đi xe máy, một ngời đi ô tô cùng đi từ A về
B khởi hành lần lợt lúc 6 giờ, 7 giờ, 8 giờ với vận tốc thứ tự là 10 km/h, 30 km/h, 40
km/h. Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách đều ngời đi xe đạp và xe máy.

Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB AC ) có O là giao điểm của ba đờng
trung trực, vẽ ra phía ngồi tam giác hai hình vng ABDE, ACGH. Biết OE = OH. Tính
số đo góc BAC ?

Bµi 5: (1 điểm) Giải phơng trình: ( 2 6 11)( 2 2 4) 2 4 2









 x y y z z

x

§Ị sè 21

Câu 1: (2 điểm)

a) Rút gọn biểu thức:

a
a
a

a
a

A n n 2 2

2
2
1

2 3

4
4

)
2
(
.
3

b) Tính giá trị cđa biĨu thøc:

1886
5

5
...
5
5

5 18 17 16 2

19       

x x x x x x

B với x = 4.

Câu 2: (2 điểm)

a) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình 3 5 12 4

x y

x .

b) Cho a, b, c là các số tự nhiên không nhỏ hơn 1.
Chứng minh rằng:

ab
b

a

2
1

1
1

2
2

Câu 3: (2 điểm)

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Câu 4 : (3 điểm) Một đờng thẳng d đi qua đỉnh A của hình bình hành ABCD cắt BD, BC,
DC theo thứ tự ở E, K, G.

Chøng minh r»ng:
a) AE2 = EK. EG

AG
AK
AE

1
1
1




c) Khi đờng thẳng thẳng d thay đổi vị trí nhng vẫn đi qua A thì tích BK.DG = Const
Câu 5: (1 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2
2 2 2005

x
x

x

M   

§Ị số 22

Câu 1: (2 điểm)

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng ta có:

5
12
5
24
7
12
120

2
3
4

5 x x x x

x

A luôn luôn là số nguyên dơng.
b) Rút gọn:

1
....

2
22

24
26

4
16

20
24

x

x
x

x
x
B

Câu 2: (2 điểm)

Bạn A hỏi bạn B: năm nay bè mĐ cđa anh bao nhiªu ti ?” B trả lời: bố tôi hơn
mẹ tôi 4 tuổi. Trớc đây khi tổng số tuổi của bố mẹ tôi là 104 tuổi thì tuổi của ba anh em
chúng tôi lµ 14; 10 vµ 6. HiƯn nay tỉng sè ti của bố mẹ tôi gấp 2 lần tổng số tuổi cđa
ba anh em t«i”. TÝnh xem ti cđa bè mĐ bạn B là bao nhiêu ?

Câu 3: (2 điểm)

a) Chứng minh r»ng nÕu: xyzt (x, y, z, t  Z ) th× sè :

2
2
2

2 y z t

x

A là tổng các bình phơng của ba số nguyên.

b) Tỡm s t nhiờn N từ ba điều kiện sau: Trong đó có 2 điều kiện đúng, 1 điều kiện sai:
1. N + 45 là bình phơng của một số tự nhiên.

2. N cã chữ số tận cùng là 7.

3. N - 44 là bình phơng của một số tự nhiên.
Câu 4: (3 điểm)

Hai đờng chéo AC và BD của hình thoi ABCD cắt nhau tại O. Đờng trung trực của
AB cắt BD và AC tại O1 v O2 .

Đặt O2A = a ; O1B = b . TÝnh diƯn tÝch ABCD theo a, b.

C©u 5: (1 điểm) Tìm x, y, z Z thoả mÃn:

105
)
2

)(
1
5
2

( 2

y y x x

x x

Đề số 23

Câu 1: (2 ®iĨm)

a) Cho 2 3

)
(

1
3
3

k
k

k
k
ak





 víi k  N*

TÝnh tæng S = a1a2 a3....a2007

b) Chøng minh r»ng: A n3(n2 7)2 36n



 chia hÕt cho 7 với mọi n nguyên.

Câu 2: (3 điểm)

a) Cho ba s x, y, z thoả mãn đồng thời:
0

1
2



 y

x ; 2 2 1 0



 z

y ; z22x10

Tính giá trị của biểu thức: A x2005 y2006 z2007

b) Chøng minh r»ng víi x, y  Z th×
4
)
4
)(
3
)(
2
)(

(x y x y x y x y y

P   là một số chính phơng.

c) T×m sè d trong phÐp chia:

2007

)

7
)(
5
)(
3
)(
1

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Phơng và Hng có 110.000 đồng. Hai ngời cùng rủ nhau đi chợ. Phơng tiêu mất 1/5 số
tiền của mình. Hng tiêu mất 1/6 số tiền của mình. Số tiền còn lại của Hng nhiều hơn số
tiền còn lại của Phơng là 10.000 đồng. Hỏi mỗi ngời có bao nhiờu tin.

Câu 4: (3 điểm) Cho hình bình hành ABCD (AC > BD). Gọi E, F lần lợt là hình chiếu
của B, D lên AC; H, K lần lợt là hình chiếu của C trên AB và AD.

1) Tứ giác DFBE là hình gì ? vì sao ?

2) Chng minh tam giác CHK đồng dạng với tam giác BCA.
3) Chng minh AC2 AB.AH AD.AK

Đề số 24

Câu 1: (2 điểm) Giải phơng trình:

a) 2005

2004
1
....
3
2002
2

2003
1

2004

.
2005

1
...
4
1
3
1
2
1

x

b) x 1 x 3 4

Câu 2: (2 điểm)

Tỡm tỉ lệ ba đờng cao của một tam giác. Biết nếu cộng lần lợt độ dài từng cặp hai cạnh
của tam giác đó thì tỉ lệ các kết quả là 5 : 7 : 8.

Câu 3: (2 điểm)

a) Tỡm tng các hệ số của đa thức nhận đợc sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu thức:
2005

2
2004

2) .(2004 2005 )
2005

2004
(
)

(x x x x x

P     

b) Tìm số tự nhiên n để 4 2 1


n

n là số nguyên tố.
Câu 4: (3 điểm)

Cho tam giác ABC. Kẻ đờng cao AH. Gọi C’ là điểm đối xứng của H qua AB, B’ là
điểm đối xứng của H qua AC. Gọi giao điểm của B’C’ với AC và AB là I và K. Chứng
minh IB, CK là đờng cao của tam giác ABC.

C©u 5: (1 điểm)

Cho a, b, c 0;1 và abc2.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P a2 b2 c2

Đề số 25

Câu 1: ( 2 điểm)

a) Phân tích đa thức thành nhân tử:

2
3
4
5
6
7

9 x x x x x x 

x

b) Rót gän biĨu thøc:






























 x y

x
y
xy
y
x
x

y
xy

x
y
xy

x

2
2

2
3
3
4

2 .

3
1

Câu 2: (2 điểm)

a) Cú tn ti mt cp s tự nhiên (x, y) nào để số 4x4 y4

 là một số nguyên tố không.

b) Giải phơng trình:

4
2
6
3

2 2







x
x
y

y

Câu 3: (2 điểm) Một ngời đi từ A đến B rồi đi tử B về A mất 3 giờ 17 phút, đoạn đờng
AB dài 8 km gồm một đoạn lên dốc, tiếp đó là một đoạn đờng bằng, cuối cùng là một
đoạn xuống dốc. Hỏi đoạn đờng bằng dài bao nhiêu km. Nếu vận tốc của ngời đó lúc lên
dốc là 4km/h, lúc đi đoạn đờng bằng là 5 km/h, lúc xung dc l 6 km/h.

Câu 4: (3 điểm)

Cho hỡnh vuụng ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đờng chéo BD. Kẻ ME vng góc với
AB, MF vng góc với AD.

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

b) Chứng minh rằng 3 đờng thẳng DE, BF, CM đồng quy.

c) Xác định vị trí của điểm M trên BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.
Câu 5: (1 điểm)

Cho a, b, c lµ ba số dơng. Chứng minh rằng:

a
c

c
c
b

b
b

a

Đề số 26

Câu 1: (2 ®iĨm)

Cho ph©n thøc:

2
4
2

2
2

2
3
4













x
x
x
x

A (víi x  Z)

a) Rót gän A.

b) Xác định x để A có giá trị nhỏ nhất.
Câu 2: (2 điểm)

a) Cho x, y, z là các số nguyên khác 0.

Chứng minh r»ng nÕu: x2 yza ; y2  zxb ; z2  xyc

Th× tỉng axbycz chia hÕt cho tỉng abc.

b) Cho ®a thøc f(x) khi chia cho x-2 th× d 5, khi chia cho x-3 thì d 7, còn khi chia cho

6
5

2 x

x thì đợc thơng là 1 x2 và cịn d. Tìm đa thức f(x).
Câu 3: (2 điểm) Giải phơng trình:

3
1

2
3 x x

x

Câu 4: (3 điểm)

Cho hình chữ nhật ABCD. Trên tia đối của tia AD lấy điểm F sao cho

AF = AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AE = AD. Gọi N là giao điểm của
FC với AB và M là giao điểm của EC và AD.

a) Chøng minh MD = BN.

b) Kẻ BH AC, gọi I là trung ®iĨm cđa AH, K lµ trung ®iĨm cđa CD. Chứng minh
rằng BH IK.

Câu 5: (1 điểm)

Tìm tất cả các số có ba chữ số sao cho tổng các nghịch đảo của các chữ s ca mi s
bng 1.

Đề số 27

Câu 1: (2 điểm)

a) Cho yx0 và

3
10

2
2

xy

y
x

. Tính giá trị của biĨu thøc M xx yy




b) Rót gän biểu thức

4
1
12

....
4
1
4
4
1
2

4
1
11
....
4
1
3
4
1
1

4
4

A

Câu 2: (2 điểm)

a) Giải phơng trình: x4  4x3  19x2 106x 1200

b) Cho

b
a
b
y
a
x




 1

4
4

vµ 2 2 1


y
x

Chøng minh r»ng: 1002 102

2004
1002

2004

)
(

b
a
b

y
a

x





</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Câu 4: (3 điểm) Cho hình vng ABCD, một góc vng xAy qoay quanh đỉnh A của
hình vng, cạnh Ax cắt các đờng thẳng BC, CD lần lợt tại M, N; cạnh Ay cũng cắt các
đờng thẳng đó tại P và Q.

a) Chøng minh rằng ANP và AMQ vuông cân.

b) Biết QM cắt PN ë R; I, K theo thø tù lµ trung điểm của PN, QM. Tứ giác AKRI là

hình gì ?

c) Chứng minh 4 điểm: B, D, K, I cùng thuộc một đờng thẳng, từ đó suy ra đờng thẳng
IK cố định khi góc vng xAy quay quanh đỉnh A.

C©u 5: (1 ®iĨm)
Cho 3 3 2


q

p . Chøng minh rằng: 0pq2

Đề số 28

Câu 1: (2 điểm)

a) Giải phơng trình:

0
)
6
4
(
)
2
(
)
4
4

( 2 3 2 3 3








 x x x

x

b) Ph©n tÝch đa thức sau thành nhân tử:

2004
2003

2004 2

x x

x

Câu 2: (2 ®iĨm) Cho abc0 ; xyz0 ;   0

z
c
y
b
x
a

Chøng minh: 2 2 2 0



by cz
ax

Câu 3: (2 điểm) Tìm số nguyên dơng A; Cho biết trong ba mệnh đề P, Q, R dới đây chỉ
có duy nhất một mệnh đề sai:

P = “A+ 45 lµ bình phơng của một số tự nhiên.
Q = A tận cùng là chữ số 7.

R = A - 44 là bình phơng của một số tự nhiên.
Câu 4: (3 điểm)

Cho hình vuông ABCD; M là một điểm tuỳ ý trªn BD, ME AB; MF  AD (E  AB, F

 AD).

a) Chứng minh DE, BF, CM đồng quy.

b) Tìm M trên BD để diện tích tứ giác AEMF là lớn nhất.

Bài 5: (1 điểm)

Tìm x nguyên để y nguyờn:

1
3
2

x
x
y

Đề số 29

Câu 1: (2 điểm)

Rút gọn biểu thức:
a)

4
8
3

x
x

x
x
x

A

9
1
15
14

4
10

7
3
2

2
2

x
x

x
x
x
B

Câu 2: (2 điểm)
a) Cho 3a2 b2 4ab



 vµ b > a > 0. TÝnh

b
a

b
a
P




b) T×m x, y biÕt: 2 2 3 3 0

y xy x
x

Câu 3: (2 điểm)

a) Cho a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu a chia cho 19 d 3, b chia cho 19 d 2

th× a2b2ab chia hÕt cho 19.

b) Chøng minh r»ng tÝch cña bốn số tự nhiên liên tiếp cộng 1 là số chính phơng.
Câu 4: (3 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn. Các đờng cao AA’, BB’ , CC’ cắt nhau tại H, gọi M là trung
điểm của BC và G là trọng tâm của tam giác ABC. Trên tia HG lấy điểm O sao cho OG =

3
1

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

a) Chøng minh OM  BC.
b) Tø gi¸c BHCD là hình gì ?

c) Gi A1 , B1 , C1 là các điểm đối xứng của H qua các cạnh BC, CA, AB. Tính

'
'

1
1

CC
CC
BB

BB
AA
AA




C©u 5: (1 điểm)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biÓu thøc: 4 4
)
6
(
)
8

(   

 x x

P

Đề số 30

Câu 1: (2 điểm)

Cho đa thức A 2a2b2 2b2c2 2a2c2 a4 b4 c4

a) Phân tích đa thức A thành nhân tử.

b) Chng minh rng nu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giỏc thỡ A> 0.
Cõu 2: (2 im)

a) Giải phơng trình:



2 2



2 4 1




 y xy

x

b) Cho a, b, c đôi một khác nhau và 0






 a b

c
a
c

b
c
b

a

.
TÝnh ( )2 ( )2 (a b)2

c
a

c
b
c

b
a
P

Câu 3: (2 điểm)

a) Cho m, n là các số thoả mÃn: 3m2 n4m2n.

Chng minh (m-n) và (4m + 4n + 1) đều là s chớnh phng.

b) Cho x, y, z là các số khác 0 thoả mÃn xyzxyz và m
z
y

x

1
1
1

.
Tính giá trị của biểu thức: 2 2 2

1
1
1

z
y
x

A theo m.

Câu 4: (3 điểm)

Cho ABC , trọng tâm G, trên BC lấy điểm P, đờng thẳng qua P theo thứ tự song song

CG và BG cắt AB, AC tại E, F; EF cắt BG, CG theo tứ tự tại I, J.

a) Chøng minh: EI = IJ = JF

b) Chøng minh PG ®i qua trung ®iĨm cđa EF.

c) Một đờng thẳng P ở ngoài tam giác. Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ ba đỉnh
của tam giác ABC xuống đờng thẳng d gấp 3 lần khoảng cách từ trọng tâm đến đờng
thẳng d.

C©u 5: (1 điểm) Tìm tất cả các số có hai chữ số ab sao cho: aabb

là số nguyên tố.

Đề số 31

Câu 1: (2 điểm) Cho biểu thức:

)
1
)(
1
(
)
1
)(
(

)
1
)(

(

2
2
2

y
x

y
x
x

y
x

y
y

y
x

x
M











a) Rót gän M.

b) Tìm cặp số ngun (x, y) để biểu thức M có giá trị bằng -7.
Câu 2: (3 điểm)

a) Chøng minh r»ng víi n lµ sè tù nhiên chẵn thì biểu thức:

1
3
16

n n n

A chia hÕt cho 323

b) Cho x, y, z khác 0 và xyz0. Chứng minh rằng:
Nếu x y z x y z






1 1 1

th× 2007 2007 2007 2007 2007 2007
1

1
1

z
y
x
z

y

x   

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Câu 4: (2 điểm)

Cho hình vuông ABCD, gọi K, O, E, N lần lợt là trung điểm của AB, BC, CD và DA. Các
đoạn thẳng AO, BE, Cn và DK cắt nhau tại L, M, R, P. TÝnh tØ sè diƯn tÝch S(MNPR) :
S(ABCD).

C©u 5: (1 điểm)

Tính tổng .... ( 11)( 2)

5
.
4
.
3

1
34
.
2

1
3
.
2
.
1

n
n
n
S

Đề số 32

Câu 1: (2 điểm)

a) Phân tích 4 4

a thành nhân tử.
b) Tính :

4
20

4
18
.
4
16

4
14
.
4
12

4
10
.
4
8

4
6
.
4
4

4
2

4
4
4

4
4

A

Câu 2: (2 điểm)

a) Tính giá trị cđa biĨu thøc:

Ax15  7x14 7x13 7x2 ... 7x2 7x 5 víi x = 6

b) Tìm n nguyên để n - 1 chia hết cho 2 1

n

Câu 3: ( 2 điểm)

a) Cho đa thøc ( ) 100 99 ... 2 1







x x x x

x
f

T×m d cđa phÐp chia f(x) cho 2 1

x

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
2004
18

3
24
12

)
6
)(
2

( 2 2









xy x y x x y y

B

C©u 4: (3 ®iĨm)

Cho tam giác ABC vng ở A, đờng cao AH. Gọi E, F lần lợt là hình chiếu của H lên AB
và AC. Gọi M là giao điểm ca BF v CE.

a) Tứ giác AEHF là hình gì ? T¹i sao ?
b) Chøng minh AB. AE = AC. AF.

c) So sánh diện tích tứ giác AEMF và diện tích tam giác BMC.
Câu 5: (1 điểm)

Cho x2y2 xyxy

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x3 y3

Đề số 33

Câu 1: (2 điểm)

1. Phân tích thành nhân tử:
a) 10 2 1


x

x

b) ( 2 3 2)( 2 7 12) 15

x x x

x

2. Cho a, b là các sè tho¶ m·n 2 2 2005



b ab

a . TÝnh giá trị của biểu thức:
2 2 2

4
4

)
(

b
a
b
a

b
a
b
a
P

Câu 2: ( 2 điểm)

a) Cho p và p2 + 2 là các số nguyên tố. Chứng minh rằng p3 + 2 là số nguyên tố.

b) Tìm các số dơng x, y, z thoả mÃn: x yxyz và xyz4

Câu 3: (2 điểm) Trên quãng đờng AB của một thành phố, cứ 6 phút lại có một xe buýt đi
theo chiều từ A đến B và cũng cứ 6 phút lại có một xe buýt đi theo chiều ngợc lại. Các xe
này chuyển động đều với cùng vận tốc nh nhau. Một khách du lịch đi bộ từ A đến B nhận
thấy cứ 5 phút lại gặp một xe bt đi từ B vể phía mình. Hỏi cứ bao nhiêu phút lại có một
xe đi từ A vợt qua ngi ú.

Câu 4: (3 điểm)

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

b) Cho đoạn thẳng AB song song với đờng thẳng d. Tìm điểm M (d và M nằm khác phía
với AB) sao cho các tia MA, MB tạo với đờng thẳng d một tam giác có diện tích nhỏ
nhất.

C©u 5: (1 điểm) Giải phơng trình: 2 2
2
2

2
2
2

b
x

x
a
x
b

b
x
a
x

Đề số 34

Câu 1: (2 ®iĨm)

a) Cho 2 4 1 0




 x

x

Tính giá trị của biểu thức: 2
2

4 1

x
x
x

A 

b) Tìm số tự nhiên x để

8
8

2




x
x

lµ số chính phơng.

Câu 2: (2 điểm)

a) Giải phơng trình:

2 1

2 4 1

x

b) Giải bất phơng trình: 1
2

x
x

Câu 3: ( 2 điểm)

Việt (hỏi): Bạn ở số nhà bao nhiêu ?

Nam (trả lời): Mình ở số nhà là một số có ba chữ số, mà hai chữ số đầu cũng nh hai chữ
số cuối lập thành một số chính phơng và số này gấp bốn lần số kia ?

Việt: Sau một lúc suy nghĩ đã tìm ra số nhà của Nam.
Hỏi số nhà của Nam là bao nhiờu ?

Câu 4: ( 3 điểm)

1) Cho hai im A và B nằm cùng phía đối với đờng thẳng a. Hãy tìm trên đờng thẳng a
một điểm P sao cho tổng độ dài AP + PB là bé nhất.

2) Cho góc nhọn xOy và 1 điểm A ở miền trong góc đó. Hãy tìm trên hai cạnh Ox, Oy
các điểm tơng ứng B và C sao cho chu vi tam giỏc ABC bộ nht.

Câu 5: (1 điểm)

Tìm các số x, y, z, t tháa m·n: 2 2 2 2 ( )

t
z
y
x
t
z
y

x      

§Ị sè 35

Câu 1: ( 2 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) (a b c)3 (a b c)3 (b c a)3 (c a b)3













b) (x2 y2)3 (z2 x2)3 (y2 z2)3

Câu 2: (2 điểm)

a) Cho f(x) = ax2bxc

Chứng minh r»ng: f(x) + 3f(x + 2) = 3f(x + 1) + f(x + 3)
b) Tìm các số x, y nguyên dơng thoả mÃn: 2 2 2 13

y y

x

Câu 3: ( 2 điểm)

a) Chứng minh rằng n5  5n3 4n chia hÕt cho 120 víi mäi n nguyªn.

b) Cho tam giác có độ dài hai đờng cao là 3 cm và 7 cm. Hãy tìm độ dài đờng cao thứ ba,
biết rằng độ dài đờng cao đó l mt s nguyờn.

Câu 4: (3 điểm)

a) Chng minh tng độ dài các cạnh của một ngũ giác lồi bé hơn tổng độ dài các đờng
chéo của ngũ giác đó.

b) Cho tam giác ABC . Trong các hình chữ nhật có hai đỉnh nằm trên cạnh BC và hai
đỉnh cịn lại lần lợt nằm trên hai cạnh AB và AC, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn
nhất.

Tìm tất cả các số thực dơng x, y tho¶ m·n:

27
1

3
3




y xy

x

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

a) Chøng minh r»ng:n5  n chia hÕt cho 30 víi mäi sè nguyªn n.

b) Phân tích thành nhân tử: 3 3 6 8

y xy
x

Câu 2: (2 điểm)

a) Tìm x, y, z tho¶ m·n:



















4

1

2

1 z

xy

z

y

x

b) Cho a, b, c là các số hữu tỉ đôi một khác nhau. Chứng minh rng:
2

2 ( )

1
)

(
1

)

(
1

a
c
c
b
b
a
A

là một số hữu tỉ.

Câu 3: ( 2 điểm)

a) Cho x, y > 0 tho¶ m·n x + y =1. Chøng minh r»ng:

2
25
1
1 2 2




















y
y
x
x

b) Chøng minh r»ng:

2
1
)
1

(

1
....

13
1
5
1

2
2   





n
n

Cho ®a thøc P(x) x4ax3bx2cxd víi a, b, c , d lµ h»ng sè.

BiÕt P(1) = 10; P(2) = 20 ; P(3) = 30 . TÝnh P(12) + P(-8).
Câu 5: ( 2 điểm)

Tìm các số x, y nguyên thoả mÃn: x2y2 x2 8y2 2xy

Đề số 37

Bài 1: (4 điểm)


x

A

b) Tìm số ngun a để biu thc

1
3

a
a
a

P nhận giá trị nguyên.

Bài 2: (4 điểm)

Đa thức P(x) khi chia cho x -3 d 7, khi chia cho x + 5 d -9 còn khi chi cho x2 - 5x + 6 thì

c thơng là x2 + 1 và cịn d. Tìm đa thc P(x).

Bài 3: (6 điểm)

a) Biết x là nghiệm của phơng trình:

c
b
a
c
b

bc
x
c
a

ac
x
b
a

ab
x

Tìm x ở dạng thu gọn.
b) Rút gọn biểu thức:

)
1
50
)....(
1
4
)(
1
3
)(
1
2
(

)
1

50
)....(
1
4
)(
1
3
)(
1
2
(

3
3

M

Bài 4: (6 điểm)

a) Trờn tia Ox ca gúc xOy cho trớc một điểm A. Hãy tìm trên tia Oy của góc đó một
điểm B sao cho OB + BA = d (với d là độ dài cho trớc.

b) Cho tam giác ABC có 2 trung tuyến kẻ từ B vµ C lµ BE vµ CF. Chøng minh r»ng BE
vuông góc với CF khi và chỉ khi: AC2 + AB2 = 5BC2 .

Đề số 38

Bài 1: (2 điểm)

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x43x2 2x3

b) Giải phơng trình: 3 3 2 3 1 0

x x

x

Bài 2: (2 điểm) Cho biểu thøc:

a
a
a
a
a

a

P . 1

1
2
1

2 









</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

b) Tỡm a P nguyờn.

Bi 3: (3 im)

a) Tìm các sè nguyªn x, y, z biÕt r»ng:

yxz1xyz2xzy 3x1yz

b) Cho ®a thøc f(x) = ax2bxc với a, b, c là các số hữu tỉ. Biết rằng f(0), f(1), f(2) có

giá trị nguyên. Chứng minh rằng 2a, 2b có giá trị nguyên.
Bài 4: (2 ®iĨm)

Cho tam giác ABC nhọn với ba đờng cao AA’, BB’, CC’. Gọi H là trực tâm của tam
giác ABC.

Chøng minh r»ng: 1

'
'
'

'
'






CC
HC
BB

HB
AA

HA

Bµi 5: (1 điểm)

Tìm các hằng số a và b sao chob đa thức x2axb chia cho (x + 1) thì d 7, chia cho

(x-3) thì d -5.

Đề số 39

Bài 1: (2 điểm) Rút gọn biểu thức:

a) P (a b c)2 (a b c)2 (a b c)2 (b c a)2

b) 2 2

1
1

y
x
y
x
y
x
Q

Bài 2: ( 2 điểm)

a) Phân tích đa thức thành nhân tử: (abc)(abbcca) abc

b) Tìm x, y biÕt: 0

2
5
3

2
2





y x y

x

c) Cho ( 1)( 2 3 1)





 n n n

A . Tìm số tự nhiên n để giá trị của A là một số nguyên tố.
Bài 3: ( 2 điểm)

Giải phơng trình:

125
7

123
9

121
11

119
13

117
125

5
123

7
121

9
119

11
117

x x x x x x x x x

x

Bài 4: (2 điểm)

Một ô tô khởi hành đi từ A đến C, hai giờ sau một ô tô khác đi từ B đến C. Sau

5
2
3

giờ tính từ khi ơ tơ thứ nhất lhởi hành thì hai ơ tơ gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi ơ tơ.

Biết rằng B nằm trên đờng từ A đến C và quãng đờng AB bằng 78 km, vận tốc của ô tô
đi từ A lớn hơn vận tốc của ô tô đi t B l 5 km/h.

Bài 5: (2 điểm)

Cho tam giác ABC có ba phân giác trong là AD, BE và CF. Gọi M, N, P theo thứ tự
là các điểm đối xứng của B, A và C qua AD, BE , AD. Q là điểm đối xứng của A qua CF.
Chứng minh MN // PQ.

Đề số 40

Bài 1: ( 2 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) x4 1 2x3 x2






b) ( 3 3) ( 3 3) ( 3 3)

b
a
c
a
c
b
c
b

a     

Bµi 2: (4 ®iĨm)

a) Rót gän biĨu thøc sau: (a b 1)3 (a b 1)3 6(a b)2









b) Xác định a, b để đa thức x3ax22xb chia hết cho đa thức x2 1
c) Tìm d của phép chia đa thức ( ) 2004 2005 2005 2004 2002 1





 x x x

x

f cho đa thức 2 1

x

d) Tìm x nguyên thoả mÃn: 2x 1 5

Bài 3: (2,5 điểm)

Cho tứ giác ABCD cã AD = BC. Gäi M, N, P vµ Q lần lợt là trung điểm của AB, CD, BD
và AC.

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

b) Tìm điều kiên của tứ giác ABCD để MN = PQ.

c) Xác định vị trí của điểm I trên CD để AIB có chu vi nhỏ nht.
Bi 4: (1,5 im)

a) Tính nhanh: 998299921001210022
b) Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc:

2004
3

2
2







x xy y x y

A

§Ị số 41

Bài 1: (2 điểm)

x x x

x

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thøc: 2 2 9 2 6 6 12 2006







 x y xy x y

A
Bài 2: (2 điểm)

a) Tìm thơng và phần d trong phép chia đa thức:

1997

3
2 ...
1

)

(x x x x x

f       cho x21

b) Đa thức f(x) khi chia cho x-3 thì d 10, khi chia cho x+5 thì d 2 cịn khi chia cho (x-3)
(x+5) thì đợc thơng là 2 1

x và còn d. Tìm đa thức f(x).
Bài 3: (2 điểm)

Tìm số tự nhiên x sao cho 1999 1997 1

x x

M có giá trị là một số nguyên tố.
Bài 4: (3 điểm)

Cho hỡnh vuụng ABCD và một điểm M trên đờng chéo AC. Từ M hạ MH, MK thứ tự
vng góc với AB và BC.

a) Chứng minh rằng: AK, CH và DM đồng quy.

b) Tính các góc của tam giác DHK nếu biết diện tích của tam giác đó bằng



2 2



4
1

KD
HK 
.

Bµi 5: (1 ®iĨm)

Tìm a để phơng trình sau có nghiệm duy nht: 2x a 1x3

Đề số 42

Bài 1: (2 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) 5 2 4 2 3 4 2 3 6






 x x x x

x

b) 3 2 4

x

Bài 2: (2 điểm) Cho biĨu thøc:

1
2

1
2
:
1

1
.

1
1

2
2

3  




















m
m

m
m
m

m
m

P

a) Rót gän P.
b) TÝnh P khi

1999
2001

m

Bài 3: (2 điểm)

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n thì phân số:

13
21
30

6
8
15

2
2




n
n

tối giản.
b) Tìm số nguyên n để n 7 chia hết cho 2 64



n

Bµi 4: (3 ®iĨm)

Cho hình vuông ABCD, trên cạnh BC lấy điểm E. Từ A kẻ đờng thẳng vng góc với
AE, cắt đờng thẳng CD tại F. Gọi I là trung điểm của EF, AI cắt CD tại M. Qua E dựng
đ-ờng thẳng song song với CD cắt AI tại N.

a) Chøng minh tø giác MENF là hình thoi.

b) Chng minh rng chi vi tam giác CEM không đổi khi E chuyển động trên BC.
Bài 5: (1 điểm)

Tìm a để P = a4 + 4 là một số nguyên tố.

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>





y x y

x

b) (x2 x 1)(x2 3x 1) x2








Bµi 2: (2 điểm)

Cho đa thức P(x)x5ax4bx3cx2dxe và cho biết

P(1) = 3 ; P(2) = 9; P(3) = 19; P(4) = 33 ; P(5) = 51.
TÝnh P(6) ; P(7) ; P(8).

Bµi 3: (2 điểm) Giải phơng trình:

a) 5

4
4
4

2
2
2

x
x

b) 5 4 3 2 2

x x x

x

Bài 4: (2 điểm)

Dựng hai can 4 lít và 2,5 lít làm thế nào để đong đợc 3 lít rợu từ một can 6 lít đựng đầy
r-ợu (các can khơng có vạch chia độ).

Bài 5: (2 điểm)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biĨu thøc: P = 100 10 10 10


 x

x

§Ị số 44

Bài 1: (2 điểm)

a) Phân tích thành nhân tử: 5 4 1


 x

x

b) Tìm các cặp số (x, y) để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất:
P x2 y2 xy 2x 2y

Bài 2: ( 2điểm) Giải phơng trình:
a)  22  33  44 2







 x x

x

b) 2 1 2 4 2 2 4







 x x x

x

Bài 3: ( 2 điểm)

Tìm hệ số của x8 trong khai triển nhị thức Newtơn của đa thức:

2

)
1
(

1x x

Bài 4: (2 điểm)

Tìm số tự nhiên có bốn chữ số biết rằng số đó bằng luỹ thừa bậc bốn tổng các ch s
ca nú.

Bài 5: (2 điểm)

Chứng minh rằng: 3

1
1
3

2
2

x
x

Đề số 45

Câu 1: ( 2 điểm)

Phân tích thành nhân tử:
a) 4 4 64


y
x

b) 2 4 9 3 14 2 9 2

x x x

x

Câu 2: ( 2 điểm)

Tỡm m phơng trình sau có hai nghiệm: x  x 2 x1m

Câu 3: ( 2 điểm)
Cho 2 2006 1 0

x

x . Tính giá trị của biểu thức:
4 22 1

x
x
x

P 

Câu 4: (2 điểm)
Cho x, y, z > 0 vµ xyz =1 . Chøng minh r»ng:

1
1

3
3
3

3
3

3 









y y z z x

x

Tìm GTNN của biểu thøc: 


















c
b

a

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

đề 46:

Bài 1: a)(2đ) Giải phương trình ẩn x : |x2 -1| + |a(x-1)|=0

b)(1đ) Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2

3
1

 với a+b+c=1

c) (1đ) Tìm giá trị nhỏ nhất của B=(3x-1)2 - 4|3x-1| + 5

Bài 2: a)(2đ) Cho A(x) = 8x2 - 26x + m

B(x) = 2x - 3

Tìm m để A(x) chia hết cho B(x)

b)(2đ) Cho x,y,z là ba số thực và thỏa mãn























1

3
3
3

2
2
2

z

y

x

z

y

x

z

y

x

Tính P= (x-1)17 + (y-1)9 +(z-1)2008

Bài 3:(4đ) a) Tìm ước chung lớn nhất của 263 - 1 và 277 - 1

b) Chứng minh răng với mọi n là số nguyên chẵn thì n3 + 20n chia hết cho 48

Bài 4: (4) Cho hình vng ABCD. TRên BC lấy M sao cho BM = 13BC. TRên tia đối của
tia CD lấy N sao cho CN =

2
1

BC. AM cắt BN ở I. CI cắt AB ở K. Gọi H là hình chiếu của M
trên AC. Chứng minh rằng K, M, H thẳng hàng.

Bài 5: (4) Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có AC = 6Cm, góc BDC = 450 . Gọi O là

giao điểm hai đường chéo. Tính diện tích hình thang ABCD bằng 2 cách.

đề 47:

Bài 1: (4đ)

a) Cho x, y, z là ba số thực dương và thỏa mãn x + y + z =1

Chứng minh rằng : xyyz3 zx + 2 2 2

z
y

x   14

b) Cho x, y thỏa mãn 8x2 +y2+
2

4
1

x = 4. Xác định x, y để xy đạt giá trị nhỏ nhất

c) Phân tích ra thừa số a4 - 5a3+10a + 4 Áp dụng để giải phương trình

2
1

2
4



x

x

= 5x

Bài 2: (3đ) Một tàu thủy chạy trên một khúc sông dài 120 Km cả đi và về mất 6h45’. Tính
vận tốc khi nước yên lặng biết vận tốc dòng nước là 4km/h

Bài 3:(4đ) a) Chứng minh (
1
1

2


a + 1

2


b )  1ab

với a1, b1

b) Tìm số nguyên tố p để 4p2+1 và 6p2 +1 cũng là số nguyên tố

Bài 4: (4) Cho tam giác ABC, M trên BC (M khác B và M khác C) vẽ MD vng góc với AB,
ME vng góc với AC ( D trên AB, E trên AC) Xác định M để diện tích tam gisc MDE lớn

nhất

Bài 5: (5) Cho hình vng ABCD, M trong hình vng.

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

b) Xét M thuốc AC. Gọi N là chân đường vng góc hạ từ M xuống AB. O là trung điểm
AM. Chứng minh rằng CNOB có giá trị khơng đổi khi M di chuyển trên AC

đề 48:

Bài 1: (4đ)

a) Cho x2 +y2 =1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của x6 + y6

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của M = 2 2 2 2004

x
x

x  

với x0

Bài 2: (4đ) a) Chứng minh rằng với a,b,c là các số lẻ thì (a2b,b2c,c2a ) = (a,b,c)
b) Tìm ước của 1896

Bài 3:(3đ) a) Giải phương trình x4 - 30 x2 +31x –30 =0

b) Giải bất phương trình

1999



x

1997
7



x



1995
9



x

1993
11



x

Bài 4: (5) Cho tam giác ABC có góc Bbằng góc C = 700 . Đường cao AH. Các điểm E, F

theo thứ tự thuộc các đoạn thẳng AH, AC sao cho góc ABE = góc CBF bằng 300. Gọi M là

trung điểm AB

a) Chứng minh rằng tam giác AMF đồng dạng với BHE
b) Chứng minh AB.BE = BC.AE

Bài 5: (4) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AB < AC. Gọi BD là đường phân giác trong của
tam giác ABC. Đường trung trực của BD cắt AC ở M.

a) Chứng minh tam giác MAB đồng dạng với tam giác MBC
b) Cho AD = 4, DC = 6. Tìm MD.

đề 49:

Bài 1: (4đ)

a) Cho a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca thì a = b =c

b) Tìm k lớn nhất để có a3 + b3 + c3 + kabc 

3
1

+ 27k

Với a,b,c  0 và a + b + c =1

c) Chứng minh rằng Với a,b,c > 0 thì 1 < aab

 + b c

b

 +c a

c

 < 2

Bài 2: (3đ) Chứng minh rằng 32n + 3n +1  13

Bài 3:(3đ) Giải phương trình |x-2006|2006 + |x-2007|2007 = 0

Bài 4: (3) Cho tam giác ABC . Dựng ra phía ngồi có tam giác ABC các tam giác vng cân
tại A là ABD và ACE. Chứng minh rằng đường cao AH của tam giác ABC đi qua trung điểm I
của đoạn DE

Bài 5: (3) Cho tam giác ABC có AB=c, AB= b và phân giác trong AD=d. Chng minh rằng

c
b
d

1
1
2




Bài 6 (4) Chứng minh rằng nếu các đoạn thẳng nối 2 trung điểm của cặp cạnh đối diện 1 tứ
giác bằng nửa tổng 2 cạnh kia thì tứ giác đó là hình thang.

đề 50:

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

a) 18 x3 - x

25
8

b) 4 x2 + 2 x + 30

c) x6 + x4 + x2 y2 + y4 - y6 d) 6x3 + 13 x2 + 4x –3

Bài 2: (4đ) Giải phương trình
a)

1
1



x + 1

5
2

3
2



x

x

1
4

2

x

x b) | x2 -3x + 3 | = 3x - x2 -1

c) Tìm m để phương trình (ẩn x) sau 2x2 -(2m + 7) x + 10m – 15 =0 có 2 nghiệm phân

biệt dương.

Bài 3: (2đ) a)Cho a3 - 3a b2 = 5 và b3 - 3a2 b = 10 Tính a2 + b2

b)Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x2 +y2 + xy + x + y

Bài 4:(4đ) cho ba phân thức a abb




1 , bc

c
b




1 , ac

a
c




Chứng minh rằng tổng ba phân thức này bằng tích của chúng.

Bài 5: (4đ) Cho đoạn thẳng AB và điểm I nằm giữa hai điểm A và B trong cùng một mặt phẳng

bờ AB. Kẻ Ax, By và vng góc với AB. Trên Ax Lấy C, tia vng góc với IC tại I cắt By ở
D.

a) CMR : AC . DB = IA.. IB

b) Ba điểm A, B, C cố định. Xác định I để diện tích tứ giác ABCD đạt giá trị lớn nhất.

Bài 6: (2đ) Gọi M, N trung điểm của AD và BC của hình chữ nhật ABCD. Trên tia đối DC lấy
P bất kỳ. Giao điểm của AC với PM là Q.

</div>

dethihsg

49

<i><b>§Ị lun HSG</b></i>

<b>Tốn 8 năm 2010</b>

<b>Trung vn c</b>

<b>Đề số 1</b>

<i>y</i>

<i>y</i>

<i>y</i>

<i>y</i>

<i>y</i>

1

3

2

1

9

6

3

10

3

1













<b>Đề số 2</b>

<b>Đề số 3</b>

<b>Đề số 4</b>

<b>Đề số 5</b>

<b>§Ị sè 6</b>

<b>Đề số 7</b>

<b>Đề số 8</b>

<b>Đề số 9</b>

<b>Đề số 10</b>

<b>Đề số 11</b>

<b>Đề số 12</b>

<b>Đề số 13</b>

<b>Đề số 14</b>

<b>Đề số 15</b>

<b>Đề số 16</b>

<b>Đề số 17</b>

<b>Đề số 18</b>

<b>Đề số 19</b>

<b>Đề số 20</b>

<b>§Ị sè 21</b>

<b>§Ị số 22</b>

<b>Đề số 23</b>

<b>Đề số 24</b>

<b>Đề số 25</b>

<b>Đề số 26</b>

<b>Đề số 27</b>

<b>Đề số 28</b>

<b>Đề số 29</b>

<b>Đề số 30</b>

<sub></sub>

<sub></sub>

<b>Đề số 31</b>

<b>Đề số 32</b>

<b>Đề số 33</b>

<b>Đề số 34</b>

<b>§Ị sè 35</b>

























4

1

2

2

1