dethiHSGmontoan9 THCS Yen Lac

Tr ờng thcs yên lạc
đề thi học sinh giỏi môn toán 9
Thời gian: 120 phút
Câu 1:
a. Xác định x

R để biểu thức :A =
xx
xx
+
+
1
1
1
2
2
Là một số tự nhiên
b. Cho biểu thức:
P =
22
2
12
++
+
++
+
++
zzx
z
yyz
y

xxy
x
Biết x.y.z = 4 , tính
P
.
Câu 2:
Cho các điểm A(-2;0) ; B(0;4) ; C(1;1) ; D(-3;2)
a. Chứng minh 3 điểm A, B ,D thẳng hàng; 3 điểm A, B, C không thẳng
hàng.
b. Tính diện tích tam giác ABC.
Câu3:
Giải phơng trình:
521
3
=
xx
Câu 4:
Cho đờng tròn (O;R) và một điểm A sao cho OA = R
2
. Vẽ các tiếp tuyến
AB, AC với đờng tròn. Một góc xOy = 45
0
cắt đoạn thẳng AB và AC lần lợt tại
D và E.
Chứng minh rằng:
a.DE là tiếp tuyến của đờng tròn ( O ).
b.
RDER
<<
3

2

đáp án toán 9
Câu 1: (2.5đ) a.
A =
xxxxx
xxxx
xx
xx 2)1(1
)1).(1(
1
1
22
22
2
2
=+++=
+++
++
+
(0.5đ)
A là số tự nhiên

-2x là số tự nhiên

x =
2
k
(trong đó k

Z và k

0 ) (0.5đ)
b.Điều kiện xác định: x,y,z

0, kết hpọ với x.y.z = 4 ta đợc x, y, z > 0 và
2
=
xyz
(0.25đ)
Nhân cả tử và mẫu của hạng tử thứ 2 với
x
; thay 2 ở mẫu của hạng tử thứ 3
bởi
xyz
ta đợc:
P =
1
2
2
2(
2
22
=
++
++
=
++
+
++

+
++
xxy
xyx
xyxz
z
xxy
xy
xxy
x
(1đ)


1
=
P
vì P > 0 (0.25đ)
Câu 2: (2đ)
a.Đờng thẳng đi qua 2 điểm A và B có dạng y = ax + b
Điểm A(-2;0) và B(0;4) thuộc đờng thẳng AB nên

b = 4; a = 2
Vậy đờng thẳng AB là y = 2x + 4. (0.5đ)
Điểm C(1;1) có toạ độ không thoả mãn y = 2x + 4 nên C không thuộc đờng
thẳng AB

A, B, C không thẳng hàng. (0.25đ)
Điểm D(-3;2) có toạ độ thoả mãn y = 2x + 4 nên điểm D thuộc đờng thẳng AB

A,B,D thẳng hàng (0.25đ)

b.Ta có :
AB
2
= (-2 0)
2
+ (0 4)
2
=20
AC
2
= (-2 1)
2
+ (0 1)
2
=10
BC
2
= (0 1)
2
+ (4 1)
2
= 10


AB
2
= AC
2
+ BC
2

ABC vuông tại C (0.75đ)
Vậy S

ABC
= 1/2AC.BC =
510.10
2
1
=
( đơn vị diện tích ) (0.25đ)
Câu 3: (1.5đ)
Đkxđ x

1, đặt
vxux
==
3
2;1
ta có hệ phơng trình:



=+
=
1
5
32
vu

vu
(0.75đ)
Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thế ta đợc: v = 2 (0.5đ)

x = 10. (0.25đ)
Câu 4: (4đ)
a.áp dụng định lí Pitago tính đợc
AB = AC = R

ABOC là hình
vuông (0.5đ)
Kẻ bán kính OM sao cho
BOD = MOD

MOE = EOC (0.5đ)
Chứng minh BOD = MOD

OMD = OBD = 90
0
Tơng tự: OME = 90
0

D, M, E thẳng hàng. Do đó DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O). (1đ)
b.Xét ADE có DE < AD +AE mà DE = DB + EC

2ED < AD +AE +DB + EC hay 2DE < AB + AC = 2R

DE < R (1đ)
Ta có DE > AD; DE > AE ; DE = DB + EC
Cộng từng vế ta đợc: 3DE > 2R

DE >
3
2
R
Vậy R > DE >
3
2
R (1đ)
B
M
A
O
C
D
E