Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Toán học: Vành đa thức và tuyển chọn một số bài toán về đa thức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG

NGUYỄN THỊ THU HIỀN – Mã học viên: C00838

VÀNH ĐA THỨC VÀ TUYỂN CHỌN
MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ ĐA THỨC

TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
MÃ SỐ: 8 46 01 13
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. BÙI HUY HIỀN

Hà Nội - Năm 2018


Mục lục
MỞ ĐẦU

3

Chương 1. Vành đa thức

5

1.1

Xây dựng vành đa thức một ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Bậc và định giá của đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3

Phép nhân ngoài. Cấu trúc A - đại số của A[X] . . . . . . . . .

5

1.4

Phép đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.5

Hàm đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.6

Số học trong vành A[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.7

Nghiệm của đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.8

Vành đa thức nhiều ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.9

Đa thức trên các trường số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.9.1

Định lý cơ bản của đại số học số phức . . . . . . . . . .

6

1.9.2

Đa thức trên trường số thực . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Chương 2. Tuyển chọn một số bài toán về đa thức
2.1

2.2

8

Một số bài toán về nghiệm của đa thức . . . . . . . . . . . . . .

8

2.1.1

Chứng minh đa thức khơng có nghiệm hữu tỉ . . . . . .

8

2.1.2

Chứng minh đa thức khơng có nghiệm thực . . . . . . .

8

2.1.3

Chứng minh đa thức có nghiệm thực . . . . . . . . . . .

9

2.1.4

Tìm mối liên hệ giữa các hệ số của phương trình khi biết
mối quan hệ giữa các nghiệm của nó . . . . . . . . . . .

10

Bài toán xác định đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.2.1

Xác định đa thức bởi phép biến đổi biến số . . . . . . . .

10

2.2.2

Xác định đa thức dựa vào đặc trưng hàm . . . . . . . . .

11

2.2.3

Xác định đa thức dựa vào các đặc trưng nghiệm . . . . .

12

2.2.4

Xác định đa thức theo các đặc trưng nội suy . . . . . . .

13

1


2.3

Khai triển và biểu diễn đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.4

Ứng dụng của đa thức vào giải một số bài tốn ở phổ thơng . .

14

2.4.1

Tìm điểm đặc biệt của họ đường cong

. . . . . . . . . .

14

2.4.2

Chứng minh đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.4.3

Chứng minh bất đẳng thức

. . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.4.4

Giải hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.4.5

Một số bài toán lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.4.6

Một số bài toán tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

KẾT LUẬN

20

TÀI LIỆU THAM KHẢO

21

2


MỞ ĐẦU

Đa thức là một trong những phần quan trọng của chương trình Tốn học
ở bậc phổ thơng. Cùng với số nguyên, khái niệm đa thức đã được đề cập đến
rất sớm trong Toán học và đã được giảng dạy ở các trường học. Trong chương
trình phổ thơng, học sinh đã làm quen với khái niệm đa thức từ bậc Trung học
cơ sở, với những phép cộng, trừ, nhân, chia đa thức đến phân tích đa thức ra
thừa số, dùng sơ đồ Hocner để chia đa thức, giải các phương trình đại số. . .
Các bài tốn về đa thức được xem như những dạng tốn khó ở THPT, được
đề cập nhiều ở phần đại số trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia, Olympic
Quốc tế và kì thi Olympic sinh viên giữa các trường Đại học, Cao đẳng. Chính
vì vậy, tơi chọn đề tài “ Vành đa thức và tuyển chọn một số bài toán về đa
thức”.
Để bản luận văn được trình bày một cách có hệ thống, trước hết xây dựng
lại về vành đa thức sau đó giới thiệu một số bài toán về đa thức, trong đó chú
ý nhiều đến các bài tốn trong các kì thi học sinh giỏi, thi Olympic Tốn sinh
viên tồn quốc và áp dụng giải một số bài toán về đa thức ở trường phổ thông.
Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục các tài liệu

tham khảo.
Chương 1. Vành đa thức
Trình bày xây dựng vành đa thức một ẩn và nhiều ẩn, cấu trúc của vành đa
thức và hàm đa thức, nghiệm của đa thức, đa thức trên các trường số. Qua đây
ta thấy được cấu trúc của vành đa thức một ẩn trên một trường rất giống cấu
trúc của vành số nguyên. Chương 2. Tuyển chọn một số bài tốn về đa thức
Trình bày một số bài toán về đa thức thường gặp trong các kỳ thi học sinh
giỏi, thi Olympic Toán sinh viên: nghiệm của đa thức, xác định đa thức, khai
3


triển và biểu diễn đa thức và một vài ứng dụng của đa thức vào giải một số
bài toán ở phổ thông.
Dù đã rất cố gắng nhưng chắc chắn nội dung được trình bày trong luận văn
khơng tránh khỏi thiếu sót, tơi rất mong nhận được sự góp ý của các thầy, cô
và các đồng nghiệp.
Nhân dịp này em xin gửi lời cảm ơn đến tập thể các thầy, cô giáo đã truyền
đạt lại những tri thức quý giá trong thời gian em học tập tại trường. Đặc biệt
em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS. Bùi Huy Hiền đã giúp đỡ,
hướng dẫn tận tình và đầy trách nhiệm để em hoàn thành luận văn này. Cuối
cùng tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và các đồng nghiệp đã động viên, ủng hộ
và tạo mọi điều kiện cho tôi trong xuyên suốt thời gian học tập và nghiên cứu.
Trân trọng!
Hà Nội, tháng 12 năm 2018
Tác giả

Nguyễn Thị Thu Hiền

4

Chương 1
Vành đa thức
Trong chương này trình bày những nội dung sau:
1.1 Xây dựng vành đa thức một ẩn
1.2 Bậc và định giá của đa thức
1.3 Phép nhân ngoài. Cấu trúc A - đại số của A[X]
1.4 Phép đạo hàm
1.5 Hàm đa thức
1.6 Số học trong vành A[X]
1.7 Nghiệm của đa thức
1.7.4 Công thức Viète
Định lý 1.7.1 (Định lý Viète thuận). Cho P = a0 X n + a1 X n−1 + · · · + an ∈
A [X], n ≥ 1, a0 = 0, α1 , α2 , . . . , αn là các không điểm của A[X]. Khi đó ta có
α1 + α2 + · · · + αn =

−a1
a0

α1 α2 + α1 α3 + · · · + αn−1 αn =

a2
a0

...
1≤i1
αi1 αi2 · · · αik =(−1)

...

α1 α2 · · · αn = (−1)

n an

Đặt
n

σ1 =

αi =
i=1

−a1
a0
5

a0

.

k ak

a0


σ2 =

αi αj =
i

a2
a0

...
σk =
1≤i1
αi1 αi2 · · · αik = (−1)

k ak

a0

...
σn = α1 α2 · · · αn = (−1)

n an

a0

Các σi được gọi là các hàm số đối xứng cơ bản của các αi , i = 1, 2, . . . , n.
Định lý 1.7.2 (Định lý Viète đảo). Nếu có n số α1 , α2 , · · · , αn thỏa mãn
n

σ1 =

−a1
a0
a2
αi αj =

a0

αi =
i=1

σ2 =
i
...
σk =
1≤i1
αi1 αi2 · · · αik = (−1)

k ak

a0

...
σn = α1 α2 · · · αn = (−1)

n an

a0

thì α1 , α2 , . . . , αn là nghiệm (nếu có) của phương trình
X n − σ1 X n−1 + σ2 X n−2 + · · · +(−1)

n−1

n

σn−1 X + (−1) σn = 0.

1.8 Vành đa thức nhiều ẩn
1.9 Đa thức trên các trường số
1.9.1 Định lý cơ bản của đại số học số phức
Định lý 1.9.1. Mọi đa thức bậc n (n ≥ 1) với hệ số phức đều có ít nhất một
nghiệm phức.

Bổ đề 1.9.1. Mọi đa thức với hệ số thực có bậc lẻ có ít nhất một nghiệm thực.
6


Bổ đề 1.9.2. Mọi đa thức bậc hai ax2 + bx + c, với hệ số phức, bao giờ cũng
có hai nghiệm phức.
Bổ đề 1.9.3. Mọi đa thức bậc lớn hơn 0, với hệ số thực có ít nhất một nghiệm
phức.
Hệ quả 1.9.1. Mọi đa thức bậc n với hệ số phức đều có n nghiệm phức, nếu
mỗi nghiệm bội k được tính k lần.
Hệ quả 1.9.2. Đa thức bất khả quy trên C[X] là và chỉ là đa thức bậc 1.
Hệ quả 1.9.3. Mọi đa thức bậc n (n ≥ 2) với hệ số phức đều phân tích được

thành tích n nhân tử bậc nhất.

Hệ quả 1.9.4. Trường số phức C là trường đóng đại số.
1.9.2 Đa thức trên trường số thực
Mệnh đề 1.9.1. Đa thức bất khả quy trên trường số thực là và chỉ là các đa
thức bậc nhất và đa thức bậc hai khơng có biệt thức ∆ = b2 − 4ac < 0.
Các định lý về hàm thực

Định lý 1.9.2 (Định lý Lagrange). Nếu hàm số f (x) liên tục trên [a, b] và có
f (b) − f (a)
đạo hàm trên khoảng (a, b) thì tồn tại số c ∈ (a, b) sao cho
= f ′ (c).
b−a
Định lý 1.9.3 (Định lý Rolle). Nếu hàm số f (x) ∈ R[X] liên tục trên đoạn
[a, b], (a < b) có đạo hàm trên khoảng (a, b) và f (a) = f (b) thì tồn tại c ∈ (a, b)
sao cho f ′ (c) = 0.

Định lý 1.9.4 (Định lý Be’zout). Cho f (x) ∈ R[X] và α ∈ R. Số α là nghiệm
.
của f (x) khi và chỉ khi f (x) .. (x − α). Điều này có nghĩa là tồn tại đa thức
g(x) ∈ R[X] sao cho f (x) = (x − α)g(x).

Định lý 1.9.5 (Định lý về nghiệm hữu tỷ của đa thức với hệ số nguyên). Cho
p
đa thức f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn ∈ Z[X], an = 0. Nếu x = , (p, q) =
q
1, q = 0, (p, q ∈ Z) là nghiệm của f (x) thì p | a0 , q | an . Từ đó suy ra nếu
an = 1 thì các nghiệm hữu tỷ của đa thức này phải là số nguyên.
7


Chương 2
Tuyển chọn một số bài toán về đa thức
2.1 Một số bài toán về nghiệm của đa thức
2.1.1 Chứng minh đa thức khơng có nghiệm hữu tỉ
Phương pháp giải
Để chứng minh đa thức khơng có nghiệm hữu tỉ ta thường sử dụng
phương pháp chứng minh phản chứng. Giả sử đa thức có nghiệm hữu

p
sau đó sử dụng tính chẵn lẻ, tính chia hết để suy ra điều mâu
tỉ
q
thuẫn.
Ví dụ 2.1.1 (Đề thi Olympic Toán sinh viên lần thứ XXI – 2013). Cho a là số
nguyên lẻ và b1 , b2 , . . . , bn là các số nguyên sao cho b1 + b2 + · · · + bn lẻ. Chứng
minh rằng đa thức

P (x) = axn+1 + b1 xn + · · · + bn x − a
khơng có nghiệm hữu tỉ.
Ví dụ 2.1.2. Xét đa thức P (x) ∈ Z[X] thỏa mãn P (0), P (1) đều là các số
nguyên lẻ. Chứng minh rằng đa thức này khơng có nghiệm ngun.

Ví dụ 2.1.3. Cho đa thức P (x) ∈ Z[X] thỏa mãn: tồn tại số k nguyên sao cho
P (2017k )P (2018k ) = 2019k . Chứng minh rằng đa thức này khơng có nghiệm

ngun.
2.1.2 Chứng minh đa thức khơng có nghiệm thực
Phương pháp giải
Để chứng minh đa thức khơng có nghiệm thực ta dựa vào tính chất:
Mọi đa thức khác khơng bậc n có khơng q n nghiệm. Từ đó xây
8


dựng một dãy vô hạn, đôi một khác nhau các nghiệm thực của đa
thức sau đó suy ra điều vơ lý.
Ví dụ 2.1.4 (Đề thi học sinh giỏi quốc gia 1990). Giả sử P (x) = an xn +
an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 là đa thức với các hệ số thực, có an = 0 và thỏa mãn

đẳng thức sau với

P (x)P (2x2 ) = P (2x3 + x), ∀x ∈ R.

(2.1)

Chứng minh P (x) khơng có nghiệm số thực.
Ví dụ 2.1.5. Cho 2 cấp số cộng (an ), (bn ) và số m nguyên dương, m > 2. Xét
m tam thức bậc hai Pk (x) = x2 + ak x + bk với k = 1, 2, . . . , m. Chứng minh nếu
P1 (x) và Pm (x) khơng có nghiệm số thực thì các tam thức cịn lại cũng khơng
có nghiệm số thực.
2.1.3 Chứng minh đa thức có nghiệm thực
Ví dụ 2.1.6. Chứng minh rằng nếu đa thức P (x) bậc n có n nghiệm thực
phân biệt thì đa thức P (x) + P ′ (x) cũng có n nghiệm thực phân biệt.
Ví dụ 2.1.7. Cho đa thức P (x) bậc 2018 có 2018 nghiệm dương. Chứng minh
rằng đa thức sau cũng có đúng 2018 nghiệm dương
Q(x) = (1 − 2018x).P (x) + (x2 + 2018x − 1).P ′ (x) − x2 .P (x).
Ví dụ 2.1.8 (Đề thi Olympic Tốn sinh viên lần thứ XIV – 2006). Cho đa
thức P (x) bậc n có nghiệm thực phân biệt lớn hơn 1. Chứng minh rằng đa
thức Q(x) = (x + 1).P (x).P ′ (x) + P 2 (x) + x.(P ′ (x))2 có ít nhất 2n − 1 nghiệm

thực phân biệt.

Ví dụ 2.1.9. Cho đa thức f (x) ∈ R[X] có bậc 2014 và có 2014 nghiệm thực.

Giả sử F (x) là ngun hàm của f (x) và F (x) có ít nhất 2014 nghiệm thực.

Chứng minh rằng với mọi α ∈ R, đa thức F (x) + αf (x) có 2015 nghiệm thực.
9

Ví dụ 2.1.10 (Đề thi Olympic Tốn sinh viên lần thứ IX – 2001). Cho
a, b, c, d, e là các số thực. Chứng minh rằng nếu phương trình ax2 +(b+c)x+d+
e = 0 có nghiệm thực trong [1, +∞) thì phương trình ax4 +bx3 +cx2 +dx+e = 0
cũng có nghiệm thực.
Ví dụ 2.1.11 (Đề thi Olympic Tốn sinh viên lần thứ XXII – 2014). Cho P
là một đa thức bậc n với hệ số hữu tỉ. Giả sử số thực a là một nghiệm của P
n
với bội > . Chứng minh a là một số hữu tỉ.
2
Ví dụ 2.1.12. Cho P (x) ∈ Z[X] và P (x) = 1, P (x) = 2, P (x) = 3 có ít nhất

một nghiệm nguyên lần lượt là x1 , x2 , x3 . Chứng minh P (x) = 5 khơng có hơn
một nghiệm ngun.
Ví dụ 2.1.13. Xét phương trình x2 − an−1 xn−1 − an−2 xn−2 − · · · − a1 x − a0 = 0

với ai là các số thực dương. Chứng minh phương trình này có khơng q 1
nghiệm dương.

Ví dụ 2.1.14. Cho ab = 0. Chứng minh phương trình x3 − 3(a2 + b2 )x + 2(a3 +
b3 ) = 0 có 3 nghiệm phân biệt.

Ví dụ 2.1.15. Cho các đa thức Pk (x), k = 1, 2, 3 xác định bởi
P1 (x) = x2 − 2, Pi+1 = P1 (Pi (x)), i = 1, 2, 3, ...
Chứng minh rằng Pn (x) = x có 2n nghiệm thực phân biệt nhau.
Ví dụ 2.1.16. Cho đa thức P (x) = x3 + ax2 + bx + c có 3 nghiệm phân biệt.
Chứng minh rằng Q (x) = x3 + ax2 + (4b − a2 ) x + (4ab − a3 − 8c) cũng có 3
nghiệm phân biệt.

2.1.4 Tìm mối liên hệ giữa các hệ số của phương trình khi biết mối

quan hệ giữa các nghiệm của nó
Ví dụ 2.1.17. Tìm a để phương trình 16x4 − ax3 + (2a + 17)x2 − ax + 16 = 0

có 4 nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân.
10


Ví dụ 2.1.18. Tìm a, b ngun sao cho phương trình x4 + x3 + bx2 + ax + 1 = 0
có 2 trong số các nghiệm có tích bằng −1.
Ví dụ 2.1.19. Cho phương trình bậc 3: x3 + px2 + qx + r = 0 có 3 nghiệm
phân biệt. Chứng minh điều kiện cần và đủ để 3 nghiệm x1 , x2 , x3
a) Lập thành cấp số cộng là 2p2 − 9pq + 27r = 0.

b) Lập thành cấp số nhân là q 3 − rp3 = 0.

Ví dụ 2.1.20. Với giá trị nào của a, b thì đa thức f (x) = axn+1 + bxn + 1 có
x = 1 là nghiệm bội ít nhất là bậc 2.
2.2 Bài toán xác định đa thức
2.2.1 Xác định đa thức bởi phép biến đổi biến số
Ví dụ 2.2.1 (Olympic Moldova - 2004). Tìm đa thức P (x) ∈ R[X], thỏa mãn
(x3 + 3x2 + 3x + 2) .P (x − 1) = (x3 − 3x2 + 3x − 2) .P (x) , ∀x ∈ R.

Ví dụ 2.2.2 (Đề thi Olympic Toán sinh viên lần thứ VIII - 2000). Cho a, b > 0.
Tìm tất cả đa thức P (x) ∈ R[X] thỏa mãn
xP (x − a) = (x − b)P (x), ∀x ∈ R.

(2.2)

Ví dụ 2.2.3 (Đề thi Olympic Tốn sinh viên lần thứ XV - 2007). Tìm tất cả
các đa thức P (x) ∈ R[X] thỏa mãn

1 + P (x) =

1
[P (x − 1) + P (x + 1)] .
2

(2.3)

Ví dụ 2.2.4. Tìm tất cả các đa thức P (x) ∈ R[X] thỏa mãn
P (x)P (2x2 − 1) = P (x2 )P (2x − 1).

(2.4)

Ví dụ 2.2.5 (Đề dự tuyển Olympic Toán sinh viên năm 2012–Đại học Sư phạm
Hà Nội 2). Xác định P (x) ∈ R[X] thỏa mãn
P (x)2 − 2 = 2P (2x2 − 1)
11

(2.5)


Ví dụ 2.2.6. Tìm đa thức P (x) ∈ R[X] sao cho
P (x2 + 1) = P (x) − P (x + 1).

(2.6)

Ví dụ 2.2.7. Tìm đa thức P (x) ∈ R[X] sao cho
P 2 (2x) = 4 P x2 − xP (2x) .
Ví dụ 2.2.8. Tìm tất cả đa thức P (x) ∈ R[X] bậc n sao cho
P (x + 1)

2

= P x2 + 2x + 1.

2.2.2 Xác định đa thức dựa vào đặc trưng hàm
Ví dụ 2.2.9 (Đề dự tuyển Olympic Tốn sinh viên tồn quốc 2014 – Đại học
Hùng Vương). Tìm tất cả đa thức P (x) ∈ R[X] thỏa mãn
P 2 (x) − P 2 (y) = P (x + y)P (x − y), ∀x, y ∈ R.

(2.7)

Ví dụ 2.2.10. Tìm tất cả các đa thức f : R → R thỏa mãn điều kiện
(x − y) f (x + y) − (x + y) f (x − y) = 4xy x2 + y 2 , ∀x, y ∈ R.

(2.8)

Ví dụ 2.2.11. Tìm tất cả các đa thức f : R → R thỏa mãn
f (x) .f (y) = f (x + y) + sin x. sin y, ∀x, y ∈ R.

(2.9)

2.2.3 Xác định đa thức dựa vào các đặc trưng nghiệm
Ví dụ 2.2.12 (Đề nghị thi Olympic 30/04/2002). Tìm đa thức khơng đồng
√
√
nhất khơng, bậc nhỏ nhất có hệ số nguyên nhận 1 − 3 2 − 3 4 làm nghiệm.
Ví dụ 2.2.13 (Đề thi HSG Quốc gia năm 1997- bảng A). Thực hiện các yêu
cầu sau:

√
√
a) Tìm tất cả các đa thức f (x) với hệ số hữu tỉ có bậc nhỏ nhất mà f 3 3 + 3 9 =
√
3 + 3 3.
√
√
√
b) Tồn tại hay không đa thức f (x) với hệ số nguyên mà f 3 3 + 3 9 = 3+ 3 3.
12


Ví dụ 2.2.14. Tìm đa thức hệ số ngun có bậc nhỏ nhất nhận x20 + x0 + 1
làm nghiệm trong đó x0 là nghiệm của đa thức P (x) = x3 + 7x − 7.
Ví dụ 2.2.15. Tồn tại hay không đa thức
ax2012 − ax2011 + b1 x2010 + b2 x2009 + . . . + b2009 x2 − 20122 cx + c,
( a, b1 , . . . , b2009 , c ∈ R) có đúng 2012 nghiệm thực dương phân biệt.
Ví dụ 2.2.16 (Đề thi Olympic Tốn sinh viên lần thứ XII – 2004). Xác định
đa thức f (x) dạng f (x) = x5 − 3x4 + 2x3 + ax2 + bx + c. Biết rằng nó chia hết
cho đa thức (x − 1)(x + 1)(x − 2).

Ví dụ 2.2.17. Tìm tất cả các đa thức f (x) ∈ R[X] bậc n có nghiệm thực và

thỏa mãn điều kiện

f (x) f 2x2 = f 2x3 + x .

(2.10)

Ví dụ 2.2.18. Xác định đa thức bậc 4 dạng P (x) = x4 + bx2 + c (b, c > 0)

sao cho phương trình P (x) = x2 khơng có nghiệm thực, cịn phương trình
P (P (x)) = x4 có nghiệm thực.
Ví dụ 2.2.19. Tìm tất cả các đa thức f (x) = x2 − px + q, biết f (x) có 2
nghiệm nguyên dương phân biệt và p, q là số nguyên tố.

2.2.4 Xác định đa thức theo các đặc trưng nội suy
Phần này tập trung vào bài tốn xác định đa thức theo cơng thức
nội suy Lagrange.
Ví dụ 2.2.20. Tìm tất cả các đa thức P (x) thỏa mãn điều kiện P (1) =
1.P (2) = 2, P (3) = 4.
Ví dụ 2.2.21. Tìm đa thức P (x) có bậc nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện P (−2) =
0, P (−1) = 1, P (0) = 1, P (1) = 2, P (2) = 3.
Ví dụ 2.2.22. Xác định đa thức P (x) bậc 4 thỏa mãn điều kiện P (−1) = 0
và
P (x) − P (x − 1) = x (x + 1) (2x + 1) .
13

(2.11)


Ví dụ 2.2.23. Cho đa thức P (x) bậc n thỏa mãn điều kiện P (k) =

1
,k
k
Cn+1

=

0, 1, 2, . . . , n. Tìm P (n + 1).

2.3 Khai triển và biểu diễn đa thức
Ví dụ 2.3.1. Tìm (λ, µ) ∈ R2 để x4 + λx3 + µx2 + 12x + 4 là bình phương của
một đa thức thuộc R[X].

Ví dụ 2.3.2. Biểu diễn đa thức f (x) = x4 + x3 + x2 + x + 1 dưới dạng hiệu
bình phương của hai đa thức [P (x)] − [Q (x)] bậc khác nhau và với các hệ
2

2

số thực. Chứng minh rằng, không tồn tại đa thức g(x) với các hệ số thực để
f (x) = (g(x))2 .

Ví dụ 2.3.3. Cho các số nguyên a1 , a2 , . . . , an đôi một khác nhau. Chứng
minh rằng đa thức P (x) = (x − a1 ) (x − a2 ) ...(x − an ) + 1 không thể phân
2

2

2

tích được dưới dạng tích của hai đa thức có hệ số nguyên có bậc lớn hơn hoặc
bằng 1.
2.4 Ứng dụng của đa thức vào giải một số bài tốn ở phổ thơng
2.4.1 Tìm điểm đặc biệt của họ đường cong
2.4.1.1 Tìm điểm cố định

a. Bài tốn: Xét họ đường cong (Cm ) có phương trình y = f (x, m),
trong đó f là hàm đa thức theo biến x với m là tham số. Hãy tìm
những điểm cố định thuộc họ đường cong khi m thay đổi.

b. Phương pháp giải
Bước 1: Giả sử M (x0 , y0 ) là điểm cố định của họ (Cm ). Khi đó
y = f (x0 , m), ∀m.

(2.12)

Bước 2: Nhóm (2.12) theo bậc của m rồi cho các hệ số bằng 0, được
hệ phương trình ẩn x0 , y0 .
Bước 3: Kết luận
14


• Nếu hệ vơ nghiệm thì họ đường cong (Cm ) khơng có điểm cố
định.
• Nếu hệ có nghiệm thì nghiệm đó là điểm cố định của (Cm ).
Ví dụ 2.4.1. Tìm điểm cố định của họ đường cong (Cm )
y = x3 − (m + 1) x2 − 2m2 − 3m + 2 x + 2m (2m − 1) .
Ví dụ 2.4.2. Tìm điểm cố định của họ đường cong (Cm )
y=

(m − 1) x + m + 2
x+m+2

Ví dụ 2.4.3. Tìm điểm cố định của họ đường cong (Cm )
y = x4 + mx2 − m − 1, m là tham số.
Ví dụ 2.4.4. Tìm điểm cố định của họ đường cong (Cm )
y=

x2 − 2 (m + 1) x − m + 2
, m là tham số.

x+1

2.4.1.2 Tìm điểm có tọa độ ngun

a. Bài tốn: Cho đường cong (C) có phương trình y = f (x) (f (x) là
hàm phân thức). Hãy tìm những điểm có tọa độ nguyên của (C).
b. Phương pháp giải
Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức, chia tử cho mẫu trong f (x).
Bước 2: Lý luận để giải bài tốn.
Ví dụ 2.4.5. Trên đồ thị (C) của hàm số y =
độ nguyên.
Ví dụ 2.4.6. Trên đồ thị (C) của hàm số y =
tọa độ ngun?

2
, tìm những điểm có tọa
x+2
x + 10
có bao nhiêu điểm có
x+1

x2 + x − 1
.
Ví dụ 2.4.7. Tìm những điểm có tọa độ ngun của đồ thị (C): y =
x−2
x2 − 2x + 5
Ví dụ 2.4.8. Cho hàm số y =
, tìm những điểm thuộc đồ thị hàm
x−1
số sao cho tọa độ là những số nguyên.

15


2.4.2 Chứng minh đẳng thức
Phương pháp chung
Để chứng minh đẳng thức ta sử dụng:
∗ Nguyên lý so sánh hệ số của hai đa thức: Chứng minh A = B, trong
đó A, B là các biểu thức.

Bước 1: Coi A, B là biểu thức của biến x nào đó.
Bước 2: Biến đổi đẳng thức A = B về đẳng thức P (x) = Q(x), trong
đó P (x), Q(x) là hai đa thức của biến x.
Bước 3: Xác định max{deg P (x), deg Q(x)} = m. Khi đó ta sẽ chỉ ra có
nhiều hơn m số βi sao cho P (βi ) = Q(βi ), ∀i = 1, 2, . . . , n, n ≥ m + 1.
Theo nguyên lý so sánh hệ số ta có P (x) = Q(x) hay A = B.
∗ Đa thức đối xứng cơ sở: Các vế của đẳng thức là các đa thức đối
xứng nên đưa được về đa thức của các đa thức đối xứng cơ sở.

Bước 1: Biểu diễn các đa thức đối xứng ở vế trái và vế phải của đẳng
thức theo các đa thức đối xứng cơ sở.
Bước 2: Ở dạng đa thức đối xứng cơ sở ta có đẳng thức cần chứng
minh.
∗ Nghiệm của đa thức: Sử dụng tính chất nghiệm của đa thức, đặc

biệt là tính chất: Mọi đa thức bậc n đều có khơng q n nghiệm.
Nếu đa thức có số nghiệm lớn hơn số bậc của nó thì đa thức đó đồng
nhất 0.
Ví dụ 2.4.9. Với a, b, c là những số thực bất kì, chứng minh
2

2

2

a(b + c) + b(c + a) + c(a + b) − 4abc = (b + c) (c + a) (a + b) .
Ví dụ 2.4.10. Giả sử an − bn = (a + b)n , n ∈ N, n > 1. Chứng minh rằng
ab(a + b) = 0.
16


Ví dụ 2.4.11. Cho x + y = 1, x3 + y 3 = a, x5 + y 5 = b. Chứng minh rằng
5a(a + 1) = 9b + 1.
Ví dụ 2.4.12. Chứng minh rằng với mọi số thực x, y ta có
2

4

(x + y) + x4 + y 4 = 2 x2 + xy + y 2 .
2.4.3 Chứng minh bất đẳng thức
Phương pháp giải
Sử dụng đa thức đối xứng cơ sở.
Ví dụ 2.4.13. Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c, ta có
2

(ab + bc + ca) ≥ 3abc (a + b + c)
Ví dụ 2.4.14. Chứng minh rằng
(x + y + z)

1 1 1
+ +

x y z

≥ 9, ∀x, y, z > 0.

Ví dụ 2.4.15. Gọi a, b, c là ba cạnh của một tam giác có diện tích S. Chứng
√
minh 2 (ab + bc + ca) − a2 − b2 − c2 ≥ 4S 3.
2.4.4 Giải hệ phương trình
Phương pháp giải
- Sử dụng tính chất nghiệm của đa thức: Đa thức bậc n có không
quá n nghiệm.
- Sử dụng đa thức đối xứng cơ sở.
Ví dụ 2.4.16. Giải hệ phương trình



a2 z + ay + x = 0


b2 z + by + x = 0



 c2 z + cy + x = 0

với a, b, c khác nhau đôi một.

17

Ví dụ 2.4.17. Giải hệ phương trình



a2 x + ay + z = a2


b2 z + by + z = b2



 c2 z + cy + z = c2
với a, b, c khác nhau đơi một.

Ví dụ 2.4.18 (Đề thi học sinh giỏi lớp 12, tỉnh Phú Thọ năm học 2010 –
2011). Giải hệ phương trình



x2 (x + 2) = 3 (y 3 − x) + 3


y 2 (y + 2) = 3 (z 3 − y) + 3



 z 2 (z + 2) = 3 (x3 − z) + 3

Ví dụ 2.4.19. Giải hệ phương trình




a2 x + ay + z + a3 = 0


b2 x + by + z + b3 = 0



 c2 x + cy + z + c3 = 0
với a, b, c đôi một khác nhau.

Ví dụ 2.4.20. Giải hệ phương trình

 x3 + y 3 + 2xy = 12
 x+y =2

Ví dụ 2.4.21. Giải hệ phương trình



x+y+z =1


1
+ y1 + z1 = 1
x




 x2 + y 2 + z 2 = −1

Ví dụ 2.4.22. Cho sin a, sin b, sin c = 0 và sin a, sin b, sin c đôi một khác nhau.
Giải hệ phương trình



x sin a + y sin 2a + z sin 3a = sin 4a


x sin b + y sin 2b + z sin 3b = sin 4b



 x sin c + y sin 2c + z sin 3c = sin 4c
18


2.4.5 Một số bài tốn lượng giác
Ví dụ 2.4.23. Chứng minh đẳng thức sau:
3

2π
cos
+
7

3

4π

cos
+
7

3

6π
cos
=
7

3

√
5−337
.
2

Ví dụ 2.4.24. Cho đa thức f (x) có hệ số hữu tỉ. Chứng minh rằng nếu f (x)
làm nghiệm.
nhận cos π5 làm nghiệm thì cũng nhận cos 3π
5
Ví dụ 2.4.25. Tính tổng
T =

1
1
1
+
+

.
sin2 2π
sin2 3π
sin2 6π
7
7
7

Ví dụ 2.4.26. Tìm các số hữu tỉ p, q, r thỏa mãn
p cos

2π
3π
π
+ q cos
+ r cos
= 1.
7
7
7

Ví dụ 2.4.27. Tính tổng A = tan6 200 + tan6 400 + tan6 800 .
2.4.6 Một số bài toán tổ hợp
a. Phương pháp
Sử dụng công thức nhị thức Newton và đồng nhất hai đa thức để
chứng minh đẳng thức (phương pháp cân bằng hệ số).
b. Chú ý
Đẳng thức mà ta cần chứng minh sẽ gợi ý cho ta xét đa thức cần
khai triển
• Khai triển mũ bao nhiêu ?

• Tích của khai triển nào ?
• Hệ số của số mũ cân bằng ?
n
Ví dụ 2.4.28. Chứng minh C2n
= (Cn0 ) + (Cn1 ) + (Cn2 ) + ... + (Cnn ) .
2

2

2

Ví dụ 2.4.29. Chứng minh đẳng thức Vandermonde
k
k
k−1
0
Cm+n
= Cn0 Cm
+ Cn1 Cm
+ ... + Cnk Cm
, với k ≤ n ≤ m.

19

2


Ví dụ 2.4.30. Chứng minh
k
Cn+4

= Cnk + 4Cnk−1 + 6Cnk−2 + 4Cnk−3 + Cnk−4 , 4 ≤ k ≤ n.

20


KẾT LUẬN

Luận văn trình bày cấu trúc của vành đa thức một ẩn và nhiều
ẩn. Tuyển chọn một số bài tốn về đa thức trong đó chú ý nhiều đến
các bài tốn trong các kì thi Olympic Tốn sinh viên tồn quốc và
áp dụng giải một số bài tốn về đa thức ở trường phổ thơng.
Nội dung chính của luận văn gồm:
- Trình bày xây dựng vành đa thức một ẩn và nhiều ẩn.
- Phép nhân ngoài, phép đạo hàm, hàm đa thức.
- Số học trong vành A[X].
- Nghiệm của đa thức.
- Đa thức trên các trường số.
- Tuyển chọn một số bài toán về đa thức: các bài toán về nghiệm
của đa thức, bài toán xác định đa thức, khai triển và biểu diễn đa
thưc, ứng dụng của đa thức vào giải một số bài tốn ở phổ thơng.

21


TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt
[1] Bùi Văn Tuyên (2009), Bài tập nâng cao và một số chuyên đề
toán 9. NXB Giáo Dục Việt Nam.
[2] Hà Huy Hưng, Nguyễn Sơn Hà, Nguyễn Ngọc Giang, Lê Minh

Cường (2016), Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi THPT mơn
Tốn (Tập 1). NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.
[3] Nguyễn Hữu Điển (2003), Đa thức và ứng dụng. NXB Giáo dục.
[4] Nguyễn Văn Mậu (2006), Đa thức đại số và phân thức hữu tỉ.
NXB Giáo dục.
[5] Lê Hồnh Phị, Nguyễn Văn Nho, Nguyễn Tài Chung (2016),
Chuyên khảo đa thức. NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội.
[6] Vũ Hữu Bình (2013), Nâng cao và phát triển tốn 9 (tập 2).
NXB Giáo Dục Việt Nam.
[7] Tạp chí toán học và tuổi trẻ (2007), Tuyển chọn theo chuyên đề
toán học và tuổi trẻ (quyển 1). NXB Giáo Dục.
Tiếng Anh
[8] V.V. Prasolov (2009), Polynomial, Springer.
[9] Ronald S. Irving (2008), Interger, polynomials, anh rings,
Springer.

22