Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Toán học: Đồ thị phẳng và bài toán tô màu bản đồ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG

ĐINH THỊ DỊU - C01055

ĐỒ THỊ PHẲNG VÀ
BÀI TỐN TƠ MÀU BẢN ĐỒ

Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp
Mã số: 8.46.01.13

TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2019


MỞ ĐẦU
Các sơ đồ giao thông, sơ đồ mạng lưới thông tin hay sơ đồ tổ
chức của một cơ quan, trường học đã khá quen thuộc với nhiều
người. Đó là những hình ảnh sinh động và cụ thể của một khái
niệm tốn học trừu tượng - khái niệm đồ thị.
Có thể hiểu đơn giản đồ thị là một cấu trúc toán học rời rạc,
bao gồm hai yếu tố đỉnh và cạnh, cùng mối quan hệ giữa chúng.
Đồ thị là một mơ hình tốn học cho nhiều vấn đề lý thuyết và
thực tiễn đa dạng.
Lý thuyết đồ thị đề cập tới nhiều bài tốn có ý nghĩa thực
tiến thiết thực, cùng nhiều phương pháp xử lý và thuật toán giải
độc đáo hiệu quả, giúp ích cho sự phát triển tư duy tốn học nói
chung và khả năng vận dụng trong cuộc sống thường ngày nói
riêng. Chủ đề về đồ thị cịn có trong các đề thi Olympic về tốn
học ở một số nước.

Đồ thị phẳng và bài tốn tơ màu bản đồ là một trong những
chủ đề quan trọng và hấp dẫn của lý thuyết đồ thị. Bài tốn tơ
màu cho đồ thị có nhiều tác dụng trong khoa học và đời sống,
được nhiều người quan tâm nghiên cứu và vận dụng. Chẳng hạn
tô màu bản đồ, xếp lịch học tập, lập kho chứa hóa chất, thiết
kế các bản mạch điện tử, bố trí các trạm truyền tin, xác lập các
tuyến xe buýt thành phố, v.v...
Đề tài luận văn cao học:
"Đồ thị phẳng và bài tốn tơ màu bản đồ"
nhằm mục đích tìm hiểu và trình bày một số kiến thức cơ bản
về đồ thị, đồ thị phẳng và các kết quả lý thuyết, các định lý liên
quan đến bài toán tô màu (tô đỉnh, tô cạnh và tô diện - tô màu
bản đồ) trên các loại đồ thị khác nhau, cách tô màu đỉnh, cạnh
và diện dựa trên các kết quả lý thuyết đã có và đề cập một số
ứng dụng thiết thực của bài tốn tơ màu trong thực tế.
Nội dung luận văn được viết trong ba chương.

1


Chương 1

Đồ thị phẳng và tính
chất
Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về đồ thị và đồ
thị phẳng. Mục 1.1 nhắc lại các khái niệm dùng trong lý thuyết
đồ thị và các phép toán trên đồ thị. Mục 1.2 nêu khái niệm về
đồ thị phẳng, tính chất đặc trưng của các đồ thị phẳng. Trong
chương dẫn ra nhiều ví dụ minh họa các khái niệm và kết quả đã
trình bày

1.1
1.1.1

Khái niệm cơ bản về đồ thị
Đồ thị vô hướng

Trong thực tế ta thường gặp các sơ đồ giao thơng (Hình 1.1)
hay sơ đồ mạch điện (Hình 1.2). Các sơ đồ này được khái quát
thành một sơ đồ vẽ ở Hình 1.34.

Hình 1.1: Sơ đồ
khu phố

Hình 1.2: Sơ đồ
mạch điện

2

Hình 1.3: Đồ thị đại
diện


Từ đó ta đi tới định nghĩa sau.
Định nghĩa 1.1. Đồ thị là một tập hợp hữu hạn và khác rỗng
các điểm, gọi là đỉnh, và một tập hợp các đoạn (thẳng hay cong)
nối liền một số cặp điểm này, gọi là cạnh của đồ thị (số cạnh
có thể bằng 0).
Mỗi đỉnh của đồ thị thường được ký hiệu bằng một chữ cái
(a, b, c . . .) hoặc một chữ số (1, 2, 3, . . .). Cạnh nối đỉnh i và đỉnh

j (i = j) được ký hiệu là (i, j) hoặc (j, i). Một đồ thị như thế
cịn có tên gọi là đồ thị vơ hướng và thường được ký hiệu bằng
một chữ cái in hoa (có thể kèm theo chỉ số), như G, G1 , G2 , H,
K, N ,. . .
Nếu đồ thị G có tập đỉnh là V và tập cạnh là E ⊆ V × V
thì ta viết G = (V, E). Ta dùng ký hiệu n = |V | là số đỉnh và
m = |E| là số cạnh của đồ thị (n > 0, m ≥ 0).
Để dễ hình dung, mỗi đồ thị thường được biểu diễn bởi một
hình vẽ trên mặt phẳng. Chẳng hạn, Hình 1.3 biểu diễn một đồ
thị có 5 đỉnh: a, b, c, d, e và 8 cạnh: (a, b), (a, d), (a, e), (b, c),
(b, d), (b, e), (c, d) và (d, e). Chú ý rằng điểm cắt nhau của hai
cạnh (a, d) và (b, e) trong hình vẽ khơng phải là một đỉnh của
đồ thị.
Đỉnh i gọi là kề đỉnh j nếu có một cạnh của đồ thị nối i với
j. Nếu ký hiệu cạnh này là e thì ta viết e = (i, j) và nói cạnh e
liên thuộc đỉnh i và đỉnh j. Ta cũng nói i và j là hai đầu mút
của e. Cạnh e và e gọi là kề nhau nếu e, e có chung đỉnh.
Định nghĩa 1.2. Bậc của một đỉnh v trong đồ thị là số cạnh
liên thuộc nó, ký hiệu là ρ(v). Đỉnh có bậc 0 gọi là đỉnh cơ lập,
đỉnh có bậc 1 gọi là đỉnh treo. Ví dụ trong đồ thị vẽ ở Hình 3
ta có ρ(a) = ρ(e) = 3, ρ(b) = ρ(d) = 4, ρ(c) = 2.
Dễ dàng chứng minh: Trong một đồ thị vô hướng, tổng số bậc
của mọi đỉnh bằng hai lần số cạnh của đồ thị và số đỉnh có bậc
lẻ bao giờ cũng là một số chẵn.
Cùng với bậc của đỉnh, ta còn dùng các khái niệm sau:
+ Bậc nhỏ nhất của G là số δ(G) := min{ρ(v)|v ∈ V }.
3


+ Bậc lớn nhất của G là số ∆(G) := max{ρ(v)|v ∈ V }.

+ Bậc trung bình của G là số
2m
d(G) := |V1 |
(trong đó n = |V |, m = |E|)
ρ(v) =
n
v∈V

Rõ ràng là δ(G) ≤ d(G) ≤ ∆(G).
Với đồ thị vẽ ở Hình 1.3 thì δ(G) = 2, ∆(G) = 4
và d(G) = 16
5 = 3, 2.

1.1.2

Các phép tốn trên đồ thị

Cho đồ thị vơ hướng G = (V, E) với tập đỉnh V , tập cạnh
E. Xét các phép tốn:
• Bỏ đỉnh. Với v ∈ V , ta ký hiệu G − v là đồ thị nhận được
từ G bằng cách bỏ đỉnh v và các cạnh liên thuộc v.
• Bỏ cạnh. Với e ∈ E, ta ký hiệu G − e là đồ thị nhận được
từ G bằng cách bỏ cạnh e (không bỏ hai đỉnh đầu mút của e).
• Co cạnh. Với e ∈ E, ta ký hiệu G \ e là đồ thị nhận được
bằng cách co cạnh e thành một điểm duy nhất. Hình 1.4 minh
họa các đồ thị G, G − e và G \ e.

Hình 1.4: Đồ thị G, cạnh e và các đồ thị G − e và G \ e tương ứng

• Đồ thị con của đồ thị G = (V, E) là đồ thị nhận được từ

G bằng cách bỏ một số đỉnh và một số cạnh của G. Lưu ý là khi
bỏ đi một đỉnh của đồ thị ta đồng thời bỏ đi tất cả các cạnh liên
thuộc đỉnh ấy, cịn khi bỏ đi một cạnh thì hai đỉnh đầu mút của
cạnh ấy vẫn được giữ nguyên.
Nói chính xác, H = (V , E ) là một đồ thị con của G = (V, E)
nếu V ⊆ V và E ⊆ E. Ta cũng nói G chứa H. Ta nói H là một
đồ thị con cảm sinh của G nếu H là một đồ thị con của G và
E = {(x, y) ∈ E : x, y ∈ V }. Ở đây H là đồ thị con của G sinh
bởi tập đỉnh V ⊆ V . Vì thế ta còn viết H = G[V ]. Đồ thị con
4


H = (V , E ) gọi là đồ thị con bao trùm của G nếu V = V ,
tức tập đỉnh của H và của G trùng nhau

1.1.3

Đồ thị đẳng cấu

Hai đồ thị G1 và G2 gọi là đẳng cấu nếu chúng có số đỉnh
và số cạnh như nhau và có phép tương ứng một - một giữa tập
đỉnh của G1 và G2 sao cho hai đỉnh được nối với nhau bởi một
cạnh trong đồ thị này khi và chỉ khi hai đỉnh tương ứng trong đồ
thị kia cũng được nối với nhau bởi một cạnh và ngược lại. Hình
1.5 vẽ các đồ thị đẳng cấu với đồ thị vẽ ở Hình 1.3. Các cạnh của
hai đồ thị ở Hình 1.5 chỉ gặp nhau ở đỉnh. Các đồ thị đẳng cấu
được xem là tương đương (là một)

Hình 1.5: Các đồ thị đẳng cấu với đồ thị ở hình 1.3

1.1.4

Phần bù của đơn đồ thị

Định nghĩa 1.3. Một đồ thị mà giữa hai đỉnh bất kỳ của nó có
khơng q một cạnh nối được gọi là một đơn đồ thị. Cho G là
một đơn đồ thị với tập đỉnh V , thì phần bù hay đồ thị bù
G của G là một đơn đồ thị, với cùng tập đỉnh V và hai đỉnh kề
nhau trong G khi và chỉ khi chúng khơng kề nhau trong G.

Hình 1.6: Phần bù G của đơn đồ thị G

Định nghĩa 1.4. Đường P từ đỉnh v tới đỉnh w là một dãy
liên tiếp các cạnh: (a0 , a1 ), (a1 , a2 ),. . . ,(ak−1 , ak ) với (ai−1 ,
5


ai ) ∈ E, a0 = v, ak = w và k ≥ 1, trong đó các đỉnh a0 , a1 ,. . . , ak
đều khác nhau. Để đơn giản, đôi khi ta viết P = {a0 , a1 , . . . , ak }
và nói đó là đường nối đỉnh v và đỉnh w. Đỉnh v gọi là đỉnh
đầu, đỉnh w gọi là đỉnh cuối của đường P . Một đường nối một
đỉnh với chính nó (đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối) gọi là một chu
trình. Độ dài của đường (chu trình) là số cạnh của đường (chu
trình) đó.
Ví dụ với đồ thị vẽ ở Hình 1.3, một đường nối đỉnh a và đỉnh
c là (a, e), (e, b), (b, c) hay viết gọn là {a, e, b, c}. Hai đường
khác từ a tới c là {a, e, d, c} và {a, b, c}. Đồ thị này có các
chu trình sau: {a, b, c, d, e, a}; {b, d, e, b},. . .

Hình 1.7: Đồ thị liên

thơng

Hình 1.8: Đồ thị không liên thông

Định nghĩa 1.5. Một đồ thị gọi là liên thơng nếu có đường
nối hai đỉnh bất kỳ của đồ thị. Trái lại, đồ thị gọi là không liên
thông. Đồ thị không liên thông sẽ bị tách thành một số đồ thị con
liên thông, đôi một khơng có đỉnh chung và cạnh chung. Mỗi đồ
thị con liên thông như thế gọi là một thành phần liên thơng.
Ví dụ đồ thị vẽ ở Hình 1.7 là liên thơng, cịn đồ thị vẽ ở Hình
1.8 là khơng liên thông (gồm 3 thành phần liên thông).
Định nghĩa 1.6. Một đồ thị khơng có chu trình gọi là một rừng.
Một rừng liên thông gọi là một cây, tức cây là một đồ thị liên
thơng và khơng có chu trình. Rừng có thể gồm nhiều thành phần
liên thơng khác nhau, mỗi thành phần liên thông là một cây. Như
vậy, rừng gồm nhiều cây. Đỉnh có bậc 1 trong cây gọi là một lá.
Đồ thị hình sao là một cây có duy nhất một đỉnh khơng phải
là lá.
Ví dụ phả hệ của một họ tộc là một cây (cây phả hệ).
6


Một số tính chất đặc trưng của cây: cây n đỉnh có đúng n − 1
cạnh, trong một cây, bao giờ cũng có một đường duy nhất nối
một cặp đỉnh bất kỳ của cây.

Hình 1.9: Ví dụ về rừng, cây và đồ thị hình sao

1.2

Đồ thị phẳng và cơng thức Euler

Mục này nêu khái niệm về đồ thị phẳng, ví dụ về hai đồ thị
không phẳng, định lý đặc trưng cho các đồ thị phẳng và nêu công
thức Euler liên hệ giữa số đỉnh, số cạnh và số diện của một đồ
thị phẳng, cùng các hệ quả có liên quan.
Định nghĩa 1.7. Một đồ thị G gọi là đồ thị phẳng nếu nó có
thể biểu diễn được trên một mặt phẳng (hay tương đương, trên
mặt cầu) sao cho ứng với mỗi đỉnh là một điểm và ứng với mỗi
cạnh là một đoạn thẳng hay cong và bất kỳ hai cạnh nào cũng
khơng có điểm chung khác các đầu mút của chúng.
Rừng hay cây (Hình 1.9) và hai đồ thị vẽ ở Hình 1.5 là các
đồ thị phẳng.
K. Wagner (1936) và I. Fáry (1948) đã chứng minh (độc lập
nhau) được rằng mọi đơn đồ thị phẳng có thể vẽ trên mặt phẳng
sao cho các cạnh là các đoạn thẳng.
Khi đó, mỗi miền mặt phẳng giới hạn bởi các cạnh và không
chứa đỉnh hoặc cạnh ở bên trong của nó, gọi là một diện của đồ
thị phẳng. Biên của một diện là tập hợp các cạnh giới hạn diện
đó. Hai diện khác nhau gọi là kề nhau khi nào biên của chúng
có ít nhất một cạnh chung (hai diện chỉ có đỉnh chung thì khơng
xem là kề nhau). Diện giới hạn bởi 3 cạnh gọi là một tam giác.
Rõ ràng mỗi đồ thị phẳng liên thơng đều có một diện vơ hạn
duy nhất, còn mọi diện khác đều là diện hữu hạn.
7


Ví dụ, một bản đồ địa lý khơng có đảo và khơng có khun
(tức cạnh nối một đỉnh với chính nó) là một đồ thị phẳng: mỗi
đỉnh là điểm chung của ít nhất ba đường biên giới (mọi đỉnh đều

có bậc ≥ 3), mỗi cạnh là một đoạn đường biên giới nối hai đỉnh
và mỗi diện là một nước.

Hình 1.10: a) và b).Ví dụ về đồ thị phẳng

Sau đây là hai ví dụ điển hình về các đồ thị khơng phẳng
a) Đồ thị 5 đỉnh và mọi cặp đỉnh đều kề nhau là một đồ thị khơng
phẳng xem hình 1.14.
b) Đồ thị biểu diễn ba nhà, ba giếng và các con đường nối mỗi
nhà với mỗi giếng là một đồ thị không phẳng .
Nhận xét rằng mọi đồ thị con của một đồ thị phẳng cũng đều
là đồ thị phẳng và một đồ thị mà chứa dù chỉ một đồ thị con
không phẳng ắt phải là một đồ thị không phẳng. Từ đó suy ra
rằng một đồ thị bất kỳ mà chứa đồ thị con thuộc một trong hai
loại đồ thị không phẳng vừa kể trên đương nhiên là một đồ thị
không phẳng. Thực ra, như sau đây sẽ thấy, các đồ thị con này
là nguyên nhân sinh ra các đồ thị không phẳng theo nghĩa, mỗi
đồ thị không phẳng phải chứa một trong hai loại đồ thị không
phẳng này.
Để phát biểu chính xác hơn, ta cần tới khái niệm về đồ thị
đồng cấu như sau.
Định nghĩa 1.8. Hai đồ thị gọi là đồng cấu nếu cả hai nhận
được từ cùng một đồ thị thứ ba bằng cách thêm các đỉnh bậc hai
vào các cạnh của đồ thị đó.
Chẳng hạn, hai đồ thị vẽ ở Hình 1.13 là đồng cấu nhau.
Khái niệm đồng cấu cho phép phát biểu kết quả quan trọng
sau đây, được biết với tên gọi định lý Kuratowski, nêu điều
kiện cần và đủ để một đồ thị là phẳng.
8

Hình 1.13: a) và b).Ví dụ về các đồ thị đồng cấu

Định lý 1.1. (Kuratowski, 1930).Một đồ thị là phẳng khi và chỉ
khi nó khơng chứa đồ thị con đồng cấu với một trong hai kiểu đồ
thi không phẳng đã nêu ở trên
Đồ thị phẳng có các đặc điểm đáng chú ý sau:
Định lý 1.2. Trong một đồ thị phẳng liên thông, giữa số đỉnh
n, số cạnh m và số diện d của đồ thị có hệ thức: n − m + d = 2
(Công thức Euler).
Dễ dàng mở rộng công thức Euler cho các đồ thị không liên
thông.
Hệ quả 1.1. Giả sử G là một đồ thị phẳng có n đỉnh, m cạnh,
d diện và k thành phần liên thơng. Khi đó n − m + d = k + 1.
Sau đây ta hạn chế xét các đơn đồ thị (theo Định ngĩa 1.3).
Hệ quả 1.2. a) Nếu G là một đơn đồ thị phẳng liên thơng có
n ≥ 3 đỉnh và m cạnh thì m ≤ 3(n − 2). b) Hơn nữa, nếu G
không chứa tam giác (diện có 3 cạnh) thì m ≤ 2(n − 2).
Sử dụng hệ quả này ta có thể đưa ra một chứng minh khác
cho hai ví dụ đã nêu trên đây (được vẽ lại ở Hình 1.14) là các đồ
thị khơng phẳng

Hình 1.14: Minh họa về hai đồ thị không phẳng

Bằng lập luận tương tự ta có thể chứng minh định lý sau đây,
rất hữu ích khi nghiên cứu vấn đề tơ màu đồ thị.

9

Định lý 1.3. Trong một đơn đồ thị phẳng phải có ít nhất một
đỉnh với bậc ≤ 5
Cuối cùng, ta nêu một vài nhận xét về "độ dày đặc" của
một đồ thị. Trong kỹ thuật điện, các bộ phận của một mạng điện
đôi khi được gắn trên một mặt của các tấm phẳng cách điện, gọi
là các bản mạch in. Vì các dây dẫn khơng được bọc cách điện
nên chúng không được cắt nhau và đồ thị tương ứng nhận được
cần phải là một đồ thị phẳng (Hình 1.15).

Hình 1.15: Bản mạch in

Với mỗi mạng, ta muốn biết cần bao nhiêu bản mạch in để
hoàn chỉnh toàn bộ mạng. Muốn thế, ta định nghĩa độ dày đặc
t(G) của đồ thị G là số tối thiểu các đồ thị phẳng mà có thể xếp
chồng lên nhau để tạo thành đồ thị G. Giống như số giao cắt của
các cạnh, độ dày đặc là số đo mức độ không phẳng của một đồ
thị. Chẳng hạn, độ dày đặc của đồ thị phẳng là 1, của các đồ thị
không phẳng đã xét là 2.
Như sẽ thấy sử dụng công thức Euler dễ dàng có thể tính
được một cận dưới cho độ dày đặc của một đồ thị. Điều đáng
ngạc nhiên là cận dưới tầm thường này đôi khi lại là giá trị đúng
của độ dày đặc. Có thể kiểm tra điều này bằng cách xây dựng
trực tiếp. Để đưa ra cận dưới này, ta dùng các ký hiệu x và
x để lần lượt chỉ số nguyên lớn nhất không vượt quá x và số
nguyên nhỏ nhất không bé hơn x. Chẳng hạn, 3 = 3 = 3;
π =3; π = 4.
Định lý 1.4. Định lý 1.4.Cho G là một đơn đồ thị phẳng với
n ≥ 3 đỉnh và m cạnh. Khi đó, độ dày đặc t(G) của G thỏa mãn
các bất đẳng thức

10


t(G) ≥

m
3n−6

và t(G) ≥

m+3n−7
3n−6

.

Đồ thị Platon
Trong các đồ thị phẳng, đáng chú ý là các đồ thị Platon.
Đồ thị Platon được hình thành từ các đỉnh và các cạnh của 5
khối đa diện đều: hình tứ diện, hình tám mặt, hình lập phương,
khối hai mươi mặt và khối mười hai mặt (Hình 1.16).

Hình 1.6: Đồ thị Planton

Dễ dàng kiểm tra lại rằng công thức Euler đúng cho các đồ
thị phẳng đặc biệt này. Vì lý do đó cơng thức Euler đơi khi cịn
được gọi là "Cơng thức đa diện Euler".

11

Chương 2

Bài tốn tơ màu đồ thị
Chương này đề cập đến bài tốn tơ màu đồ thị và trình bày
một số kết quả cơ bản về tô màu các đỉnh và các cạnh của đồ
thị. Mục 2.1 xét bài toán tô màu các đỉnh của đồ thị, nêu kết
quả về tô màu đỉnh cho một số đồ thị đặc biệt. Mục 2.2 xét bài
tốn tơ màu các cạnh của đồ thị, đặc biệt là đồ thị đầy đủ và đồ
thị hai phần.

2.1

Tô màu các đỉnh của đồ thị

Định nghĩa 2.1. Cho một đồ thị G, ta cần tô màu các đỉnh của
G, mỗi đỉnh một màu sao cho hai đỉnh kề nhau có hai màu khác
nhau. Ta nói cách tơ màu như thế là một cách tô đúng.
Đương nhiên nếu G có n đỉnh thì chỉ việc dùng n màu khác
nhau là có thể tơ đúng được rồi. Nhưng nhiều khi không cần tới
n màu mà chỉ cần một số màu ít hơn cũng tơ đúng được. Chẳng
hạn, nếu G là một cây thì chỉ cần 2 màu là đủ (Hình 2.1).
Định nghĩa 2.2. Số màu tối thiểu cần thiết để tô đúng được các
đỉnh của một đồ thị G, gọi là số sắc tính hay sắc số của G và ký
hiệu là χ(G) (đọc "khi của G”).

12


Hình 2.1: G khơng có chu trình
χ(G) = 2

Hình 2.2: Sắc số của đồ
thị χ(G) = 4

Sau đây là một số dạng đồ thị đặc biệt và sắc số của chúng
(1 ≤ χ(G) ≤ n).
• Đồ thị rỗng. Một đồ thị có đỉnh, nhưng khơng có cạnh
gọi là một đồ thị rỗng. Đồ thị rỗng n đỉnh được ký hiệu là Nn .
Có thể dùng một màu duy nhất để tô cho mọi đỉnh của một đồ
thị rỗng: χ(Nn ) = 1 với mọi n ≥ 1 (Hình 2.3).
• Đồ thị đầy đủ. Một đồ thị trong đó mọi cặp đỉnh (khác
nhau) đều kề nhau, gọi là đồ thị đầy đủ. Đồ thị đầy đủ n đỉnh
ký hiệu là Kn . Số cạnh của Kn bằng n(n − 1)/2. Để tô mọi đỉnh
của Kn cần dùng n màu: χ(Kn ) = n với mọi n ≥ 1 (Hình 2.4).

Hình 2.3: Đồ thị
rỗng N4

Hình 24: Đồ thị đầy đủ K3 , K4 và K5

• Đồ thị vịng, đồ thị đường và đồ thị bánh xe. Một
đồ thị liên thông và mọi đỉnh có bậc 2 gọi là một đồ thị vịng.
Ký hiệu đồ thị vòng n đỉnh là Cn (n ≥ 3). Đồ thị nhận được từ
Cn bằng cách bỏ di một cạnh bất kỳ gọi là một đồ thị đường n
đỉnh, ký hiệu là Pn . Đồ thị nhận được từ Cn−1 bằng cách thêm
vào một đỉnh v và nối mỗi đỉnh của Cn−1 với v bởi một cạnh,
gọi là đồ thị bánh xe n đỉnh, ký hiệu là Wn .
Có thể thấy χ(Cn ) = 2 ∀n chẵn và χ(Cn ) = 3 ∀n lẻ (Hình
2.5), χ(Pn ) = 2 với mọi n ≥ 3 (Hình 2.6), χ(Wn ) = 3 ∀n lẻ ≥ 5
và χ(Wn ) = 4 ∀n chẵn ≥ 4 (Hình 2.7).

13


Hình 2.5: Đồ thị vịng C5 và C6

Hình 2.6: Đồ thị đường P5 và P6

Hình 2.7: Đồ thị bánh xe W5 và W6

• Đồ thị hai phần. Nếu tập đỉnh của đồ thị G có thể chia
tách ra thành hai tập rời nhau A và B sao cho mỗi cạnh của G
nối một đỉnh thuộc A với một đỉnh thuộc B, thì G được gọi là
một đồ thị hai phần (Hình 2.8). Nói một cách khác, đồ thị hai
phần là đồ thị mà có thể tơ các đỉnh của nó bằng hai màu đen
và trắng sao cho mỗi cạnh nối một đỉnh đen (trong A) và một
đỉnh trắng (trong B).
• Đồ thị hai phần đầy đủ là một đồ thị hai phần mà mỗi
đỉnh trong A được nối với mỗi đỉnh trong B bằng đúng một cạnh.
Ta ký hiệu đồ thị hai phần đầy đủ có r đỉnh đen và s đỉnh trắng
là Kr,s . Các đồ thị K1,3 , K2,3 , K3,3 và K4,3 được vẽ ở Hình 2.9.
Dễ dàng kiểm tra lại rằng Kr,s có (r + s) đỉnh và r × s cạnh.

Hình 2.8: Đồ thị
hai phần

Hình 2.9: Đồ thị hai phần đầy đủ: K1,3 ,
K2,3 , K3,3 , K4,3

• Đồ thị chính qui. Một đồ thị mà mọi đỉnh có bậc bằng
nhau gọi là một đồ thị chính qui hay đồ thị đều. Một ví dụ

điển hình về đồ thị chính qui bậc 3 là đồ thị Petersen (Hình
2.10). Chú ý rằng đồ thị rỗng Nn là đồ thị chính qui bậc 0, đồ
thị vịng Cn là đồ thị chính qui bậc 2 và đồ thị đầy đủ Kn là đồ
14


thị chính qui bậc n − 1.
Đồ thị Petersen và các đồ thị phẳng chính qui bậc 3 với n ≥ 6
đỉnh có sắc số bằng 3 (Hình 2.11).

Hình 2.11:Đồ thị phẳng chính
qui bậc 3

Hình 2.10: Đồ thị
Petersen

Vấn đề tìm sắc số của một đồ thị thường rất phức tạp và cho
tới nay nó vẫn chưa có một lời giải thỏa đáng (trừ một số trường
hợp kể trên). Dưới đây sẽ trình bày một số kết quả đáng chú ý
về các đồ thị có thể tơ đúng bằng k màu, gọi tắt là đồ thị k sắc tính. Sau đây ta giả thiết G là một đơn đồ thị liên thông.
Định lý 2.1. Nếu đơn đồ thị liên thông G có bậc lớn nhất của
đỉnh bằng ∆ thì G là (∆ + 1) - sắc tính.
Bằng xử lý tinh tế hơn, có thể làm mạnh thêm Định lý 2.1
và đi tới kết quả sau đây, với tên gọi Định lý Brooks.
Định lý 2.2. (Brooks, 1941) Nếu G là một đơn đồ thị liên thông
mà không phải là một đồ thị đầy đủ và nếu bậc lớn nhất của đỉnh
là ∆ ≥ 3 thì G là ∆ - sắc tính.
Với đồ thị phẳng ta có định lý 5 màu đáng chú ý của Heawood
(1890)
Định lý 2.3. Mọi đơn đồ thị phẳng là 5 - sắc tính (dùng 5 màu

có thể tơ đúng).
Một câu hỏi đặt ra là liệu có thể làm mạnh hơn định lý này
được không? Điều này dẫn đến một trong những bài toán nổi
tiếng nhất trong toán học, tồn tại hơn một thế kỷ, đó là giả
thuyết bốn màu. Theo một cách diễn đạt khác, giả thuyết này
đã được Guthrie nêu ra lần đầu tiên năm 1852, và cuối cùng đã
được K. Appel và W. Haken giải quyết năm 1976.
15


Định lý 2.4. (Appel và Haken, 1976) Mọi đơn đồ thị phẳng là
4 - sắc tính.
Chứng minh định lý này được thực hiện trong một số năm
và tiêu tốn nhiều thời gian chạy máy tính, suy cho cùng nó dựa
trên việc mở rộng phức tạp các ý tưởng dùng trong chứng minh
định lý 5 - màu (Định lý 2.3).
Sau đây là hai ví dụ về ứng dụng tơ màu đỉnh của đồ thị.
• Xếp lịch giảng chuyên đề. Giả sử cần tổ chức giảng 7
chuyên đề tự chọn cho học viên. Các chuyên đề này ký hiệu là
a, b, c, d, e, f và g. Mỗi chuyên đề cần giảng trong 1 tuần (thường
bố trí vào các ngày cuối tuần). Do có học viên muốn tham gia
học nhiều chuyên đề khác nhau, nên một số chun đề khơng
được bố trí học đồng thời. Các dấu * trong bảng dưới đây chỉ
rõ các cặp chuyên đề không được xếp lịch học đồng thời. Với qui
định như vậy, cần bao nhiêu tuần để hoàn thành lịch giảng tất
cả 7 chuyên đề này?

Lời giải trình bày trong luận văn
• Kho chứa hóa chất. Cần cất giữ 5 loại hóa chất a, b, c, d
và e trong kho. Một số hóa chất có tương tác mạnh khi tiếp xúc,

vì thể chúng cần được để cách xa nhau trong kho. Dấu * trong
bảng sau cho biết những cặp hóa chất khơng được để gần nhau.
Cần bao nhiêu nơi trong kho để cất giữ hóa chất? Lời giải chi
tiết nêu trong luận văn

16


2.2

Tô màu các cạnh của đồ thị

Mục này đề cập tới bài tốn tơ màu cho các cạnh của một đồ
thị.
Định nghĩa 2.3. Một đồ thị G gọi là k - sắc tính cạnh nếu các
cạnh của G có thể tô được bằng k màu sao cho hai cạnh kề nhau
có hai màu khác nhau. Nếu G là k - sắc tính cạnh nhưng khơng
là (k − 1) - sắc tính cạnh, thì ta nói rằng chỉ số màu của G là k
và viết χ (G) = k.
Chẳng hạn, đồ thị G vẽ ở Hình 2.16 có chỉ số màu χ (G) = 4
(các số 1, 2, 3 và 4).

Hình 2.16: Chỉ số
màu

Hình 2.17: Tơ cạnh
Kn , n lẻ

Hình 2.18: Tô cạnh
Kn , n chẵn

Chú ý rằng nếu ∆ là bậc lớn nhất của các đỉnh trong G thì
χ (G) ≥ ∆. Kết quả sau đây, được biết với tên gọi Định lý Vizing,
cho một cận khá sát đối với chỉ số màu của một đơn đồ thị G.
(Có thể tìm chứng minh trong [4], các trang 455 - 457).
Định lý 2.5. (Vizing, 1964) Nếu G là một đơn đồ thị với bậc
lớn nhất của đỉnh bằng ∆ thì ∆ ≤ χ (G) ≤ ∆ + 1.
Không biết đồ thị nào có chỉ số màu ∆ và đồ thị nào có chỉ
số màu ∆ + 1. Tuy nhiên, dễ dàng tìm được chỉ số màu của một
17


số loại đồ thị đặc biệt. Chẳng hạn, χ (Cn ) = 2 hoặc 3 phụ thuộc
số đỉnh n chẵn hay lẻ, và χ (Wn ) = n − 1 nếu n ≥ 4
Bây giờ ta xác định chỉ số màu của các đồ thị đầy đủ.
Định lý 2.6. χ (Kn ) = n nếu n lẻ ≥ 3 và χ (Kn ) = n − 1 nếu
n chẵn ≥ 2
Ta kt thỳc mc ny bng nh lý D. Kăonig về chỉ số màu
của đồ thị hai phần.
Định lý 2.7. (Kă
onig, 1916) Nu G l mt th hai phn với bậc
lớn nhất của đỉnh bằng ∆ thì χ (G) = ∆. Nói riêng, χ (Kr,s ) =
max(r, s).
Sau đây là một ví dụ về ứng dụng tơ màu cạnh của đồ thị
hai phần
• Hỏi thi vấn đáp. Cần xếp lịch hỏi thi vấn đáp, mỗi ca
thi diễn ra trong 1 giờ, cho 4 sinh viên: a, b, c, d. Co 3 giáo viên
tham gia hỏi thi: A, B, C. Đồ thị vẽ ở Hình 2.20 (bên trái) cho
biết lịch thi của sinh viên với giáo viên.

Hình 2.20: Xếp lịch hỏi thi

Ví dụ sinh viên a cần thi hai mơn với thầy A và C,. . . Vấn đề
là cần bố trí các ca thi sao cho hồn thành việc hỏi thi sớm nhất
có thể?
Giải. Có thể giải bài tốn này nhờ dùng lý thuyết tô màu
cạnh của đồ thị: Tô cho mỗi cạnh một màu sao cho hai cạnh có
đỉnh chung phải có màu khác nhau. Khi đó, số màu tối thiểu cần
dùng để tô cạnh sẽ xác định số ca cần xếp lịch hỏi thi
18


Theo Định lý 2.7 (Kơnig, 1916) thì trong một đồ thị hai
phần, số màu tối thiểu cần để tô cạnh bằng bậc lớn nhất của các
đỉnh trong đồ thị đó. Với ví dụ này, đó là số 3. Cách tơ màu cạnh
được chỉ ra ở Hình 2.20 (bên phải): cạnh đậm: tô màu xanh, cạnh
kép: tô màu đỏ và cạnh nét đứt: tô màu đen. Lịch hỏi thi như
sau:
+ Ca 1 (các cạnh màu xanh): 3 cặp sinh viên - giáo viên
a − A, b − B và d − C.
+ Ca 2 (các cạnh màu đỏ): 3 cặp sinh viên - giáo viên a −
C, b − A và c − B.
+ Ca 3 (các cạnh màu đen): 3 cặp sinh viên - giáo viên b −
C, c − A và d − B.

19


Chương 3

Bài tốn tơ màu bản đồ
Chương này giới thiệu bài tốn tơ màu bản đồ và định lý
bốn màu nổi tiếng trong lý thuyết đồ thị. Mục 3.1 xét bài tốn
tơ màu các diện của đồ thị phẳng, quan hệ giữa tơ diện và tơ
đỉnh. Mục 3.2 trình bày điều kiện để có thể tơ các diện của đồ
thị phẳng bằng hai hay ba màu. Mục 3.3 đề cập tới định lý bốn
màu dạng bản đồ và quan hệ giữa định lý bốn màu dạng bản đồ
với việc tô cạnh của đồ thị phẳng chính qui bậc 3.

3.1

Tơ màu các diện của đồ thị phẳng

Về lịch sử, bài toán bốn màu trong lý thuyết đồ thị liên quan
tới vấn đề tô màu các bản đồ địa lý, mỗi bản đồ gồm một số
nước. Câu hỏi đặt ra là: cần dùng ít nhất bao nhiêu màu để có
thể tơ cho mỗi nước một màu, sao cho hai nước có đường biên
giới chung phải có màu khác nhau. Dạng đơn giản của định lý
bốn màu (dạng bản đồ) là mệnh đề nói rằng có thể tơ mọi bản
đồ địa lý chỉ bằng bốn màu. Chẳng hạn, Hình 3.1 vẽ minh họa
một bản đồ tô được bằng 4 màu (đen, trắng, xám đậm, nhạt).
Để chính xác hóa mệnh đề trên, ta cần giải thích rõ thế nào là
một đồ thị bản đồ. Do hai màu ở mỗi phía của một cạnh phải
khác nhau, nên ta cần loại trừ những đồ thị bản đồ có chứa cầu
nối (Hình 3.2). Ta cũng cần loại trừ các đỉnh bậc 2, vì chúng có
thể dễ dàng bị loại bỏ (Hình 3.3). Để bao quát được các trường
hợp này và các trường hợp tương tự, ta quan niệm bản đồ là một
20

Hình 3.1: Bản đồ
tơ bằng bốn màu

Hình 3.2: Cầu trong
bản đồ

Hình 3.3:
Đỉnh bậc hai

đồ thị phẳng 3 - liên thơng, nghĩa là phải bỏ đi ít nhất 3 đỉnh
mới có thể làm đồ thị mất liên thông. Như vậy bản đồ khơng có
"tập cắt" (tập cạnh mà bỏ đi thì đồ thị sẽ mất liên thông) gồm
1 hoặc 2 cạnh, và nói riêng khơng có đỉnh bậc 1 hoặc bậc 2.
Định nghĩa 3.1. Ta nói một bản đồ là k - sắc tính diện nếu có
thể tơ các nước (diện) bằng k màu khác nhau sao cho hai nước có
đường biên giới (cạnh) chung không được tô bằng hai màu giống
nhau.
Để tránh nhầm lẫn, ta dùng k - sắc tính đỉnh để chỉ k - sắc
tính theo nghĩa tơ các đỉnh của đồ thị. Chẳng hạn, bản đồ vẽ ở
Hình 3.4 là 3 - sắc tính diện (các màu số 1, 2, 3) và 4 - sắc tính
đỉnh (các màu α, β, γ, δ).

Hình 3.5: Đồ thi đối ngẫu G∗

Hình 3.4: Tô đỉnh và tô diện

Việc tô màu các diện của một đồ thị phẳng có thể chuyển về
việc tơ màu các đỉnh của một đồ thị phẳng khác nhờ dựa vào
khái niệm đồ thị đối ngẫu nêu sau đây.
Định nghĩa 3.2. Cho đồ thị phẳng G, đồ thị đối ngẫu G∗ của G

được xây dựng như sau: trong mỗi diện f của G, chọn một điểm
v ∗ , các điểm này là các đỉnh của G∗ , đồng thời với mỗi cạnh e
của G, ta vẽ một cạnh e∗ , sao cho e∗ cắt e nhưng không cắt các
cạnh khác của G và e∗ nối hai đỉnh thuộc hai diện có chung cạnh
21


Hình 3.6:Tơ diện của G tương đương tơ đỉnh của G∗

e, các cạnh e∗ như thế tạo nên tập cạnh của đồ thị đối ngẫu G∗
(Hình 3.5 và 3.6).
Định lý 3.1. Cho G là một đồ thị phẳng, khơng có khuyên và
G∗ là đồ thị đối ngẫu của G. Khi đó, G là k - sắc tính diện khi
và chỉ khi G∗ là k - sắc tính đỉnh.
Ta cũng có mệnh đề ngược lại.
Định lý 3.1∗ . Cho G là một đồ thị phẳng, khơng có khun và
G∗ là đồ thị đối ngẫu của G. Khi đó, G là k - sắc tính đỉnh khi
và chỉ khi G∗ là k - sắc tính diện.
Sử dụng các định lý này ta có thể chứng minh rằng hai dạng
của định lý bốn màu (dạng đỉnh và dạng bản đồ )là tương đương
nhau.
Hệ quả 3.1. Định lý bốn màu dạng bản đồ tương đương với định
lý bốn màu (tô đỉnh) đối với các đơn đồ thị phẳng liên thông
(Định lý 2.4).

3.2

Tô diện của đồ thị bằng hai hay ba màu

Mục này trình bày điều kiện cần và đủ để tô bản đồ bằng hai

hoặc ba màu. Các điều kiện này khá đơn giản.
Định lý 3.2. Đồ thị bản đồ G là 2 - sắc tính diện khi và chỉ khi
mọi đỉnh của G có bậc chẵn.
Định lý 3.3. Giả sử G là một đồ thị bản đồ chính qui bậc 3.
Khi đó, G là 3 - sắc tính diện khi và chỉ khi mỗi diện của G được
giới hạn bởi một số chẵn cạnh.
22


Hình 3.7: Minh họa định lý 3.2

Trong định lý trên, ta đã giả thiết rằng đồ thị bản đồ là chính
qui bậc 3.

3.3

Liên hện giữa tơ màu diện và tơ màu
cạnh của đồ thị

Định lý sau đây cho thấy tầm quan trọng của các đồ thị bản
đồ chính qui bậc 3.
Định lý 3.4. Nếu mọi đồ thị bản đồ chính qui bậc 3 là 4 - sắc
tính diện thì một đồ thị bản đồ bất kỳ cũng là 4 - sắc tính diện.
Nói cách khác, để chứng minh định lý bốn màu (dạng bản đồ) chỉ
cần chứng minh rằng mọi đồ thị bản đồ chính qui bậc 3 là 4 - sắc
tính diện.
Bây giờ ta sẽ chỉ ra mối liên hệ giữa định lý bốn màu và việc
tô màu các cạnh của một đồ thị. Mối liên hệ này giải thích vì sao
ta quan tâm nhiều tới tơ màu cạnh.
Định lý 3.5. Định lý bốn màu (dạng bản đồ) tương đương với

mệnh đề nói rằng χ (G) = 3 đối với mọi đồ thị bản đồ chính qui
bậc 3 G.

Hình 3.11: Tô diện 4 màu,tô cạnh 3 màu

23


KẾT LUẬN
Luận văn đã đề cập tới bài tốn tơ màu trên đồ thị (tô đỉnh,
tô cạnh và tô diện - tô màu bản đồ). Đây là một chủ đề quan
trọng và hấp dẫn trong lý thuyết đồ thị,được nhiều người quan
tâm tìm hiểu, học tập và vận dụng. Luận văn đã trình bày các
nội dung chính sau đây.
1. Các khái niệm và kiến thức cơ bản về đồ thị và đồ thị
phẳng: đỉnh và cạnh của đồ thị, đơn đồ thị vơ hướng, bậc của
đỉnh, các phép tốn trên đồ thị, đường và chu trình, đồ thị liên
thơng. Các tính chất đặc trưng của đồ thị phẳng: cơng thức Euler,
đơn đồ thị phẳng có ít nhất một đỉnh bậc ≤ 5, hai ví dụ điển
hình về đồ thị khơng phẳng.
2. Các kết quả về tô màu đỉnh đối với các đồ thị đặc biệt
(rừng và cây, đồ thị vòng, đồ thị đường, đồ thị bánh xe, đồ thị
đầy đủ, đồ thị hai phần, đồ thị chính qui, đồ thị Petersen), định
lý Brooks về số màu cần tô, các định lý tô màu đồ thị phẳng,
đặc biệt định lý 4 màu Appel-Haken. Về tô màu cạnh: định lý
Vizing về số màu cần tô, định lý tô cạnh đồ thị đầy , nh lý
Kăonig tụ cnh th hai phn.
3. Tụ màu các diện của đồ thị phẳng, quan hệ giữa tô diện
và tô đỉnh, các định lý về bản đồ 2 màu, bản đồ 3 màu, định lý
bốn màu dạng bản đồ và mối liên hệ của định lý với việc tô màu

cạnh của đồ thị.
Luận văn là tài liệu giới thiệu ngắn gọn, đầy đủ về đồ thị
phẳng và bài tốn tơ màu đồ thị và tơ màu bản đồ. Tác giả luận
văn hy vọng trong tương lai sẽ có dịp được tìm hiểu sâu thêm về
nhiều bài tốn hay và hấp dẫn khác của lý thuyết đồ thị.

24