Tóm tắt luận văn thạc sĩ toán học cơ sở wavelet trong không gian l2 (r)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LƯƠNG DUY TIẾU

CƠ SỞ WAVELET
TRONG KHƠNG GIAN L2(R)

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Chun ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
MÃ SỐ: 60.46.36

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn

Thái Nguyên, tháng 8 năm 2011

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Cơng trình được hồn thành tại
Trường Đại học Khoa Học-Đại học Thái Nguyên

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn

Phản biện 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
....................................................................

Phản biện 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

....................................................................

Luận văn sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn tại:
Trường Đại học Khoa Học-Đại học Thái Ngun
Tháng 8 năm 2011

Có thể tìm hiểu tại Thư viện Trường Đại học Khoa Học
hoặc Trung tâm Học Liệu Đại học Thái Nguyên

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




1

Mục lục

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Chương 1. CƠ SỞ TRỰC CHUẨN TRONG KHÔNG
GIAN L2 (R)
5
1.1 Không gian L2 (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.1.1. Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.1.2. Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7
1.2 Khái niệm cơ sở wavelet trong không gian L2 (R) . . . . .
8
1.2.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2.2. Định lí Balian-Low . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.3. Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Chương 2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG CƠ
SỞ SĨNG NHỎ TRONG KHƠNG GIAN L2 (R)
2.1 Xây dựng phép chiếu trơn . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1. Phép chiếu trong I = [0, +∞) . . . . . . . . . . .
2.1.2. Phép chiếu trên đoạn I = [α, β] . . . . . . . . . .
2.2 Dùng các hàm sin và cosin . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1. Trường hợp I = [0, 1] . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2. Trường hợp I = [α, β] . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3. Cơ sở trực chuẩn trong L2 (R) . . . . . . . . . . .
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



17
17
18
20
27
27
30

31
41
42


2

Mở đầu

Trong những năm gần đây nhiều vấn đề về khoa học, công nghệ thông
tin, truyền thông và các ngành kỹ thuật khác phát triển mạnh mẽ. Lợi
ích của xử lý số trong việc truyền các tín hiệu ngày càng được khẳng
định rõ ràng. Nó cũng được ứng dụng ở nhiều dạng khác nhau với những
hiệu quả đặc biệt là trong các ngành khoa học chứ không phải chỉ là một
môn học. Với mức độ phát triển ngày càng cao về cơ bản, về phương
pháp và khả năng ứng dụng nó đã lơi cuốn được nhiều kỹ sư, các nhà
tốn học cũng như các nhà vật lý quan tâm nghiên cứu.
Khái niệm wavelet đã được đưa vào từ những năm 70 của thế kỷ
trước và ngày càng có nhiều ứng dụng trong khoa học, truyền thông,
công nghệ thông tin và các ngành kỹ thuật khác. Việc nghiên cứu khái
niệm cơ sở wavelet trên đường thẳng có ý nghĩa quan trọng trong lý
thuyết và ứng dụng thực tế.
Những hệ cổ điển của các cơ sở trực chuẩn trong không gian L2 ([0, 1))
bao gồm các hàm mũ e2πimx : m ∈ Z và tập hợp các hàm lượng giác
thích hợp (xem Định lý 2.2.1 bên dưới). Mơ hình của những cơ sở này
trong không gian L2 ([α, β)), −∞ < α < β < +∞, sẽ có được bằng phép
tịnh tiến và phép co giãn thích hợp của các hàm số trên. Để tìm ra được
cơ sở trực chuẩn trong khơng gian L2 (R) chúng ta có thể xét R là hợp
của các nửa khoảng liên tiếp sau:
[αj , αj+1 ), j ∈ Z, −∞ < ... < αj < αj+1 < ... < +∞,

và xem xét từng cơ sở trên cho mỗi một không gian L2 ([αj , αj+1 )), mở
rộng những phần tử của cơ sở bởi các hàm đặc trưng của [αj , αj+1 ) và
sau đó lấy tổng của các hàm có được. Cơ sở trực chuẩn này, tuy nhiên
tạo ra "hiệu ứng cạnh không mong muốn" tại điểm cuối αj khi chúng
ta cố gắng biểu diễn một hàm theo cơ sở đó.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




3

Để khắc phục tình trạng đó, chúng ta cần xét đến các hàm trơn,
những hàm này thay thế cho hàm đặc trưng của [αj , αj+1 ) với j ∈ Z.
Trong trường hợp có sự phân chia đơn giản
R=

[n, n + 1)
n∈N

thì chúng ta nghiên cứu hệ có dạng:
gm.n (x) = e2πimx g(x − n) : m, n ∈ Z .
Đối với mỗi hệ của loại này (thường được gọi là cơ sở Gabor), để trở
thành một cơ sở trực chuẩn trong khơng gian L2 (R) thì g khơng được
"q trơn" hoặc có giá có kích thước nhỏ (very localized).
Điều này được trình bày rõ ràng trong phần 1.2.2 bởi Định lí BalianLow. Tuy nhiên nếu các cơ sở thích hợp gồm các hàm sin và cosin được
sử dụng, thì sẽ có nhiều tập hợp của hàm g trơn một cách tuỳ ý và "very
localized", có thể được sử dụng để có được những cơ sở trực chuẩn trong
khơng gian L2 (R).

Điều này sẽ được thực hiện trong phần 2.1, phần mà chúng ta sẽ trình
bày lí thuyết về phép chiếu trơn, được giới thiệu bởi Coifman và Meyer.
Lý thuyết này cho phép chúng ta "liên kết" những cơ sở thích hợp với
khoảng [αj , αj+1 ). Một loạt các ví dụ của việc xây dựng này đã được đưa
ra, nhưng phần lớn những ví dụ liên quan đến mục đích của chúng ta là
những ví dụ tạo ra wavelet trực chuẩn ψ ∈ L2 (R) như:
j

ψi,k (x) = 2 2 ψ(2j x − k), j, k ∈ Z
là cơ sở trực chuẩn trong không gian L2 (R).
Tương tự như vậy, trong phần 2.2 chúng ta sẽ xây dựng nên wavelet
Lemanrié và Meyer.
Ngoài phần Mở đầu, phần Kết luận, luận văn gồm 2 chương.
Chương 1 Cơ sở trực chuẩn trong khơng gian L2 (R)
Trong chương này trình bày các khái niệm cơ bản về không gian L2 (R),
biến đổi Fourier trong khơng gian L2 (R), khái niệm cơ sở sóng nhỏ trong
không gian L2 (R) bao gồm định nghĩa, Định lí Balian-Low và các ví dụ.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




4

Chương 2 Một số phương pháp xây dựng cơ sở sóng nhỏ trong
khơng gian L2 (R)
Trong chương này trình bày hai phương pháp, đó là xây dựng phép chiếu
trơn và dùng các hàm sin và cosin. Tài liệu tham khảo chính của luận
văn là tài liệu [7].

Luận văn này được hoàn thành với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình
của PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn-Viện Tốn học, Viện Khoa học và Cơng
nghệ Việt Nam. Từ đáy lịng mình, em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc đối với sự quan tâm, động viên và sự chỉ dạy, hướng dẫn tận tình
đầy tâm huyết của Thầy.
Tơi xin trân trọng cảm ơn các Thầy, các Cô giảng viên Trường Đại
học Khoa học, phòng Đào tạo Trường Đại học Khoa học, khoa Toán-Tin
Trường Đại học Khoa học-Đại học Thái Nguyên. Đồng thời tôi xin gửi
lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao Học Toán K3A Trường Đại học Khoa
học-Đại học Thái Nguyên đã động viên giúp đỡ tơi trong q trình học
tập và làm luân văn này.
Tôi xin gửi lời cảm ơn tới Sở Giáo dục & Đào tạo tỉnh Bắc Ninh, Ban
Giám hiệu trường THPT Lương Tài, các đồng nghiệp trường THPT
Lương Tài-Bắc Ninh đã tạo điều kiện cho tôi được học tập và hoàn
thành kế hoạch học tập và đặc biệt xin cảm ơn vợ chồng em Hoàng
Tuyết Mai-Cử nhân Anh ngữ đã giúp tơi trình bày luận văn này.
Do thời gian có hạn nên luận văn mới chỉ dừng lại ở vịêc tìm hiểu,
tập hợp tài liệu, sắp xếp và trình bày các kết quả nghiên cứu đã có theo
chủ đề đặt ra. Trong quá trình viết luận văn cũng như trong quá trình
xử lý văn bản chắc chắn khơng thể tránh khỏi sai sót, rất mong nhận
được những ý kiến đóng góp của Thầy cơ và bạn đọc quan tâm đến luận
văn này.
Thái Nguyên, ngày 22 tháng 05 năm 2011
Tác giả

Lương Duy Tiếu

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Chương 1
CƠ SỞ TRỰC CHUẨN TRONG
KHƠNG GIAN L2(R)
1.1

Khơng gian L2 (R)

1.1.1.

Các khái niệm cơ bản

Trước hết chúng ta giới thiệu một số kí hiệu.
R ký hiệu là "đường thẳng thực",
T là vòng tròn đơn vị trong một mặt phẳng phức, mà có thể được xác
định bởi khoảng [−π,π), mặc dù thỉnh thoảng chúng ta sử dụng khoảng
[− 1 , 1 ) hoặc [0,1); và Z sẽ biểu thị tập hợp của các số nguyên.
2 2
Tích trong của các hàm f và g được xác định là:
< f, g >=

f (x)g(x)d(x),

ở đó tích phân được lấy trên R hoặc T, chúng ta có bất đẳng thức
Schwarz’s
|< f, g >| ≤ f

2

g

2,

1

trong đó f 2 = ( |f |2 ) 2 là chuẩn của f trong L2 .
Bất đẳng thức Schwarz’s cho phép chúng ta chứng minh bất đẳng
thức Minkowski’s:
f +g

2

≤ f

2

+ g 2.

Chúng ta nói rằng hai hàm f và g là trực giao nếu < f, g >= 0, kí hiệu
f ⊥g. Một dãy các hàm số {fn }n∈Z là một dãy trực chuẩn nếu
< fm , gn >= δm,n ,
trong đó
δm,n =

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

1, khi n = m ,
0, khi n = m.

6

Một ví dụ tiêu biểu của dãy trực chuẩn trên T = [−π, π) là
1
√ en
2π

khi en (x) = einx .
n∈Z

Cho một hệ trực chuẩn {fn : n ∈ Z} và một hàm f , chúng ta xác định
hệ số Fourier của f với {fn : n ∈ Z} sẽ là
ck =< f, fk >, k ∈ Z.
Một câu hỏi cơ bản mà chúng ta sẽ nghiên cứu để xác định khi nào và
trong tình huống nào, điều này đúng với
f=

ck fk .

(1.1)

k∈Z

Khi fk (x) = eikx , k ∈ Z, f ∈ L2 (T), phép biểu diễn (1.1) là hợp lí trong
L2 định chuẩn. Nhìn chung, đây là một trường hợp mà chúng ta nói rằng
{fk : k ∈ Z} là một cơ sở trực chuẩn trong L2 (T). Đẳng thức (1.1) là một
công thức được xây dựng lại và nó là cơ sở cho nhiều ứng dụng của lí

thuyết về wavelet. Cho một hàm f (một tín hiệu hoặc một âm thanh)
chúng ta có thể lập mã cho nó bằng các hệ số {ck }k∈Z . Đẳng thức (1.1)
cho phép ta xây dựng lại tín hiệu đó từ những hệ số ck và cơ sở đã sử
dụng khi lập mã. Những cơ sở đặc biệt là cơ sở của wavelet, tái tạo lại
một cách hiệu quả hơn so với những cơ sở khác. Với mỗi hệ trực chuẩn
{fn : n ∈ Z}, chúng ta có bất đẳng thức Bessel’s
|ck |2 ≤ f 2 .
2
k∈Z

Hơn thế nữa, nếu hệ đó là một hệ cơ sở thì chúng ta có đẳng thức. Ngược
lại, nếu một hệ trực chuẩn {fn : n ∈ Z} thỏa mãn
|ck |2 = f

2
2

(1.2)

k∈Z

với mọi f ∈ L2 (T), thì hệ đó là một cở sở trong L2 (T).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




7

1.1.2.

Biến đổi Fourier

Trong R chúng ta có một lý thuyết "tương tự". Biến đổi Fourier của
một hàm f ∈ L1 (R) ∩ L2 (R) được xác định bởi
+∞

f (x)e−iξx dx

f (ξ) =
−∞

Chúng ta sẽ nói rằng x là biến thời gian có thể thay đổi được và ξ được
xem như là biến tần số của sự thay đổi.
Biến đổi ngược Fourier là
+∞

1
g (x) =
2π
∨

g(ξ)eiξx dξ
−∞

và nếu chúng ta áp dụng nó cho g = f , thì chúng ta có được f ; đó là
(f )∨ = f . Với các định nghĩa này, Định lý Plancherel khẳng định rằng
< f, g >=

1
f, g .
2π

(1.3)

Biến đổi Fourier mở rộng đến mọi hàm f ∈ L2 (R) và toán tử
1
f → √ f là unita. Khi f tồn tại trong L2 thì
2π
f (ξ) = iξ f (ξ).

(1.4)

Phép tính tích phân này có thể được chứng minh bằng những cơng thức
+∞

+∞

f (x)g(x)dx = −
−∞

f (x)g (x)dx.

(1.5)

−∞

là hợp lí khi f, g ∈ L2 (R) và f g, f g ∈ L1 (R). Trong trường hợp
f, g, f , g ∈ L2 (R), điều đó có thể chứng minh được bằng sử dụng (1.3)

và (1.4).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




8

Khái niệm mà sẽ được sử dụng trong nhiều chứng minh là điểm
Lebesgue. Giả sử f là một hàm đo được và là hàm khả tích, thì điểm x0
được gọi là điểm Lebesgue của f khi và chỉ khi
x0 +δ

1
lim
δ→0+ 2δ

|f (x) − f (x0 )|dx = 0.
x0 −δ

Theo định lí về phép tìm đạo hàm Lebesgue thì hầu hết mọi điểm x0 là
điểm Lebesgue. Chúng ta có thể tra cứu [Rud] về định lí đặc biệt này
cũng như những kết quả khác trong định lí về độ đo Lebesgue.
Ba toán tử đơn giản sau trên các hàm số được xác định trên R đóng
một vai trị quan trọng trong lý thuyết: Phép tịnh tiến bởi h, τh , được
xác định bởi
(τh f )(x) = f (x − h),
phép co giãn bởi r>0, ρr , được xác định bởi
(ρr f )(x) = f (rx)

và phép nhân bởi eimx . (Đôi khi chúng ta xét chúng như là một toán tử
biến điệu).
1.2

Khái niệm cơ sở wavelet trong không gian L2 (R)

Một trong những mục đích chính của chúng ta là xây dựng các cơ sở
trực chuẩn trong không gian L2 (R) bằng cách áp dụng những toán tử
trên vào một hàm nào đó trong khơng gian L2 (R). Điều quan tâm của
chúng ta chính là những cơ sở wavelet.
1.2.1.

Định nghĩa

Hai tốn tử đầu tiên được áp dụng cho những cơ sở wavelet được sinh
bởi một hàm thích hợp. Nói một cách chính xác hơn, một wavelet trực
chuẩn trên R là một hàm ψ ∈ L2 (R) sao cho {ψj,k : j, k ∈ Z} là cơ sở
trực chuẩn của L2 (R), trong đó
j

ψj,k (x) = 2 2 ψ(2j x − k), j, k ∈ Z.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




9

Ta thấy ψj,k đã được chuẩn hóa, vì thế

ψj,k

2

= ψ

2

= 1 với mọi j, k ∈ Z

Ví dụ 1:
Giả sử

 1, nếu 0 ≤ x < 1 ,
2
1
ψ(x) =
−1, nếu 2 ≤ x < 1,

0, trường hợp cịn lại.
Khi đó ψ là một wavelet trực chuẩn trong không gian L2 (R). Nó được
gọi là wavelet Haar. Rất đơn giản để chứng minh rằng {ψj,k : j, k ∈ Z}
là một hệ trực chuẩn trong khơng gian L2 (R).
Ví dụ 2:
Ta chọn ψ sao cho ψ(ξ) = χI (ξ), với: I = [−2π, −π] ∪ [π, 2π], trong
đó χI là hàm đặc trưng của tập hợp I, tức là
1 nếu x ∈ I
0 nếu x ∈ I.
/

χI (x) =

Chúng ta sẽ chỉ ra ψ là một wavelet trực chuẩn trong không gian L2 (R).
Một phép tính đơn giản cho chúng ta thấy
j

(ψj,k )∧ (ξ) = 2− 2 ψ(2−j ξ)e−i2

−j

kξ

.

Với j = l, đẳng thức này chỉ ra rằng phần giao của giá (ψj,k )∧ và (ψl,m )∧
có độ đo là 0; do đó
< ψj,k , ψl,m >=

1
< (ψj,k )∧ , (ψl,m )∧ >= 0, với j = l.
2π

Khi j = l ta có thể viết:
< ψj,k , ψl,m > =

1 −j
2
2π

1

=
2π

2

−j

ψ(2−j ξ) ei2

(m−k)ξ

R
−π

dξ

2π
i(m−k)η

e
−2π

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ei(m−k)η dη

dη +

= δk,m .

π




10

Để chứng minh hệ này là một cơ sở thì ta cần chứng minh (1.2). Theo
Định lý Plancherel và sự thay đổi biến số cho phép chúng ta viết

| f, ψj,k | =
j,k∈Z

j,k∈Z

=
j∈Z

Bây giờ chúng ta dùng hệ

2j
2π

2

2j
4π 2

2

−jkξ
f (ξ)ψ(2−j ξ)ei2 dξ

R
2

eikµ
f (2 µ) √ dµ .
2π
I
j

k∈Z

√1 eikµ
2π

: k ∈ Z là một cơ sở trực chuẩn của

không gian L2 (R) (thực tế là tương đương với tính trực chuẩn của hệ
tương tự trên đoạn [0, 2π]).
Ta viết:
2

| f, ψj,k | =
j∈Z

j,k∈Z

=

=

1
2π

2

2j
2π

ˆ
f (2j µ) dµ
I
2

ˆ
χI (2−j ξ) f (ξ) dξ
R

j∈Z

1 ˆ
f
2π

2

= f
2

2
2,

χI (2−j ξ) = 1, với hầu hết ξ ∈ R.

do
j∈Z

Điều này chỉ ra rằng ψ là một wavelet trực chuẩn trong khơng gian
L2 (R).
1.2.2.

Định lí Balian-Low

Ta sẽ xét việc tạo ra cơ sở trực chuẩn từ một hàm số nào đó bằng
phép tịnh tiến và phép nhân với một hàm số.
Ví dụ, một cơ sở trong khơng gian L2 (R) là như sau: Giả sử g = χ[0,1] và
gm,n (x) = e2πimx g(x − n) với m, n ∈ Z.
Khơng q khó để nhân ra rằng {gm,n : m, n ∈ Z} là một cơ sở trực
chuẩn của không gian L2 (R). Tiến sĩ D. Gabor ([Gab]) đã xem xét kiểu

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




11

hệ này vào năm 1946 và ông đề xuất việc sử dụng nó (g ∈ L2 (R)) cho
mục đích truyền thơng. Đối với một hàm g tổng qt thì định lí sau đây

sẽ đưa ra các điều kiện mà g phải thỏa mãn để hệ {gm,n : m, n ∈ Z} là
một cơ sở trực chuẩn.
Định lý 1.2.1. (Balian-Low)
Giả sử g ∈ L2 (R) và gm,n (x) = e2πimx g(x − n), m, n ∈ Z.
Nếu {gm,n : m, n ∈ Z} là một cơ sở trực chuẩn trong không gian L2 (R)
thì
+∞

+∞

x2 |g(x)|2 dx = +∞ hoặc
−∞

ξ 2 |g(ξ)|2 dξ = +∞.
−∞

Chứng minh.
Chúng ta đưa ra các toán tử Q và P , được xác định trên không gian
S gồm các hàm suy rộng tăng chậm với
(Qf )(x) = xf (x) và (P f )(x) = −if (x).
Sự liên quan của các tốn tử đối với định lí này là
+∞

+∞

|Qg(x)|2 dx =
−∞

x2 |g(x)|2 dx
−∞

+∞

+∞

1
|P g(x)|2 dx =
2π
−∞

ξ 2 |g(ξ)|2 dξ,
−∞

Các công thức cuối là hệ quả của (1.3) và (1.4). Vì thế chúng ta cần
phải thấy rằng cả (Qg) và (P g) không thể cùng thuộc L2 (R).
Giả sử cả (Qg) và (P g) đều thuộc L2 (R). Chúng ta sẽ thấy rằng điều
này dẫn đến mâu thuẫn, và từ điều này định lí được chứng minh.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




12

Ta có:
< Qg, P g >=

< Qg, gm,n >< gm,n , P g >,

(1.6)

m,n∈Z

< Qg, gm,n >=< g−m,−n , Qg > với mọi m, n ∈ Z

(1.7)

và < P g, gm,n >=< g−m,−n , P g > với mọi m, n ∈ Z.

(1.8)

Từ đẳng thức (1.6),(1.7) và (1.8) suy ra
< Qg, P g >=< P g, Qg >

(1.9)

Nhưng (1.9) là không đúng nếu P g và Qg thuộc L2 (R). Thật vậy, chúng
ta có thể áp dụng tích phân từng phần cơng thức (1.5) để có được
+∞

xg(x) −ig (x) dx

< Qg, P g > =
−∞

+∞

= −i

{g(x) + xg (x)}g(x)dx
−∞

= −i < g, g > + < P g, Qg > .

Từ g, g = g

2
2

= g0,0

2
2

= 1, chúng ta có được

< Qg, P g >= −i+ < P g, Qg >,
điều này trái ngược với (1.9).
Vì thế định lí được chứng minh nếu chúng ta thiết lập (1.6), (1.7) và
(1.8). Từ Qg, P g ∈ L2 (R) và {gm,n : m, n ∈ Z} là một cơ sở trực chuẩn
chúng ta có:

< Qg, P g > =<

< Qg, gm,n > gm,n , P g >
m,n∈Z

=

< Qg, gm,n >< gm,n , P g >,
m,n∈Z

điều này chứng minh (1.6).
Để chứng minh (1.7) thì hãy quan sát n < g, gm,n >= 0 với mọi
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




13

m, n ∈ Z. Điều này rõ ràng đúng với n = 0, cịn nếu n = 0, thì g = g0,0
là trực giao với gm,n . Do đó,

< Qg, gm,n > =< Qg, gm,n > −n < gm,n , P g >
+∞

g(x)(x − n)g(x − n)e−2πimx dx

=
−∞
+∞

g(y + n)(y)g(y)e−2πim(y+n) dy =< g−m,−n , Qg >,

=
−∞

chúng ta đã có (1.7).

Để chứng minh (1.8) chúng ta sử dụng tích phân từng phần cơng thức
(1.5) để có được
+∞

g (x)g(x − n)e−2πimx dx

< P g, gm,n > = −i
−∞
+∞

g(x){ − 2πimg(x − n) + g (x − n)}e−2πimx dx

=i
−∞

+∞

g(y + n){−ig (y)}e−2πimy dy

= 2πmδm,0 δ0,n +
−∞

=< g−m,−n , P g > .

1.2.3.

Các ví dụ

Ví dụ 1.2.1. Cho g = χ[0,1) khi đó {gm,n : m, n ∈ Z} là một cơ sở trực
chuẩn trong khơng gian L2 (R); trong trường hợp này tích phân đầu tiên

theo định lí Balian-Low là hữu hạn, nhưng tích phân thứ hai là vơ hạn,
vì
ξ
ξ (χ[0,1) ) (ξ) = 2 sin( )
2
2

∧

2

2

Ví dụ 1.2.2. Cho g(x) = sin(πx) ≡ sinc(x), khi đó {gm,n : m, n ∈ Z} là
πx
một cơ sở trực chuẩn trong không gian L2 (R), ta thấy

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




14

∧

(χ[0,1) ) (ξ) =

ξ
ξ

−i 2 sin( 2 )
e
ξ
2
ξ

= e− 2 sin c(

ξ
).
2π

Trong trường hợp này, tích phân đầu tiên theo định lí Balian-Low sẽ
là vơ hạn.
Ví dụ 1.2.3. Nếu g ∈ L2 (R) và
gm,n (x) = eimw0 x g(x − nt0 )

(1.10)

với w0 t0 = 2π, thì định lí Balian-Low vẫn đúng. Để thấy được thì tốn
−1 1
−1
tử U được xác định bởi U g(x) = (2πw0 ) 2 .g(2πw0 x) là unita trong
L2 (R) và
U gm,n (x) = e2πimx U g(x − n)
−1
khi 2πw0 = t0 . Định lí này cho chúng ta biết nếu w0 t0 = 2π, thì cơ sở
được đưa ra bởi (1.10) khơng đồng thời có giá compact và định vị tốt về
thời gian và tần số.

Ví dụ 1.2.4. Nếu b(x) là đủ trơn và có giá compact thì Định lí BalianLow chỉ ra cho ta thấy rằng hệ
{bm (x)}m∈Z = e2πimx b(x)

m∈Z

sẽ không tạo ra một cơ sở trực chuẩn bằng cách tịnh tiến các phần tử
của hệ bởi các số nguyên. Điều này dễ dàng nhận thấy do sự giảm ở vô
cực của biến đổi Fourier của b, đó là một hệ quả của độ trơn của b. Nếu
chúng ta xét một trường hợp cục bộ hơn, chúng ta có thể tìm thấy một
"hàm hình chng" b(x) trơn và có giá compact mà
{bm (x)}m∈Z = e2πimx b(x)

m∈Z

là một hệ trực chuẩn, chẳng hạn trong L2 (0, 1)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




15

Ví dụ giả sử b là một hàm số xác định trên R với supp(b) ⊆ [−ε, 1 + ε ],
khi ε + ε ≤ 1, ε, ε > 0 và b(x) ≥ 0. Thật dễ để tìm thấy các điều về b
để {bm : m ∈ Z} là một hệ trực chuẩn. Ý tưởng này là sử dụng một "đối
số gập" để thu được các mối quan hệ trực giao
< e2πim(.) b, e2πiπn(.) b >= δm,n
trên đoạn [0, 1] :
δm,n =< e2πim(.) b, e2πin(.) b >

1+ε

b2 (x)e2πi(m−n)x dx

=
−ε
0

=(

ε

+

1−ε

+

−ε

1

+

0

ε

1+ε

){b2 (x)e2πi(m−n)x }dx.

+
1−ε

1

Trong tích phân đầu tiên chúng ta thực hiện thay đổi các biến số
y = 1 + x; Trong tích phân cuối cùng, chúng ta sử dụng sự thay đổi của
các biến y = x − 1. Do đó chúng ta có được
ε

b2 (x) + b2 (1 + x) e2πi(m−n)x dx

δm,n =
0

1−ε

b2 (x)e2πi(m−n)x dx

+
ε
1

b2 (x) + b2 (x − 1) e2πi(m−n)x dx.

+
1−ε

Đó là hàm f có giá trị b2 (x) + b2 (1 + x) trên đoạn [0, ε ], b2 (x) trên
[ε , 1 − ε] và b2 (x) + b2 (x − 1) trên [1 − ε, 1] có hệ số Fourier là f (k) = 0
nếu k = 0 và f (0) = 1. Bây giờ thì đã trở nên dễ dàng hơn, nếu các mối
quan hệ trực giao được thiết lập, thì b phải thỏa mãn:

b2 (x) + b2 (1 + x) = 1 nếu x ∈ [0, ε ]

2
b (x) = 1 nếu x ∈ [ε , 1 − ε]

b2 (x) + b2 (x − 1) = 1 nếu x ∈ [1 − ε, 1]

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

(1.11)




16

Điều này có nghĩa là (1.11) là điều kiện cần và đủ để
e2πimx b(x)

m∈Z

trở thành một hệ trực chuẩn trong khơng gian L2 (0, 1). Định lí BalianLow cho chúng ta thấy rằng nếu chúng ta chọn hàm g(x) như "hàm hình
chng trơn" thì phép tịnh tiến bởi số ngun sẽ không tạo ra được một
cơ sở trực chuẩn trong không gian L2 (R). Trong chương tiếp theo chúng
ta sẽ thấy rằng nếu thay thế các hàm mũ e2πimx bằng các hàm sin và

cosin thích hợp thì chúng ta có thể có được những cơ sở như vậy.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




17

Chương 2
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY
DỰNG CƠ SỞ SÓNG NHỎ
TRONG KHÔNG GIAN L2(R)
2.1

Xây dựng phép chiếu trơn

Chúng ta sẽ thấy rằng chúng ta có thể xây dựng một hàm số trơn
liên kết với đoạn [0, 1], theo cách mà hệ
√

2b(x − k) sin(

2j + 1
π(x − k)),
2

k, j ∈ Z

là một cơ sở trực chuẩn trong không gian L2 (R). Trong thực tế, chúng

ta sẽ thấy rằng đối với mỗi số k cố định (k ∈ Z), thì tập hợp
√
2j + 1
π(x − k)) : j ∈ Z}
{ 2b(x − k) sin(
2
là một cơ sở trong một không gian con đóng Hk của khơng gian L2 (R),
và L2 (R) sẽ là tổng trực giao của Hk . Nói chung, chúng ta có thể xây
dựng được "hàm hình chng" trơn thích hợp, phù hợp với khoảng hữu
hạn I = [α, β), nó có thể nhân lên bởi các hàm sin và cosin thích hợp
để có được một cơ sở trực chuẩn của một không gian con Hk của không
gian L2 (R). Theo cách này nếu chúng ta có:
−∞ < · · · < αk−1 < αk < αk+1 < · · · < +∞,
thì cơ sở của các khơng gian HIk (Ik = [αk , βk )) tạo ra một hệ đầy đủ các
không gian con trực giao của L2 (R).
Hệ được xây dựng như vậy không phải là một hệ wavelet, nhưng nó
có thể được dùng để phân tích một hàm tổng quát trong không gian L2
và hơn thế nữa chúng ta sẽ thấy nó có thể được sử dụng để xây dựng
nên wavelet như thế nào?

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




18

Phép chiếu trong I = [0, +∞)

2.1.1.

Chúng ta bắt đầu với trường hợp đặc biệt I = [0, +∞) và mục đích
của chúng ta là xây dựng nên một "hàm hình chng" trơn mà "xấp xỉ"
χ[0,+∞) . Vì phép chiếu bất kì là lũy đẳng (khơng thay đổi sau khi nó được
lũy thừa lên) thì phép nhân bởi một số sẽ đưa ra một phép chiếu chỉ khi
hàm số đó có các giá trị 0 hoặc 1 hầu như ở khắp mọi nơi trên R; Điều
này chỉ ra rằng phép chiếu mà chúng ta đang tìm kiếm khơng thể được
đưa ra một cách đơn giản bằng phép nhân bởi một hàm trơn. Ta sẽ tìm
một hàm cộng tính khơng âm ρ ∈ C +∞ , như vậy sup p(ρ) ⊆ [ − ε, +∞)
với ε > 0 và giống như χ[0,+∞) thỏa mãn ρ(x) + ρ(−x) = 1, x = 0 và
một hàm lấy giá trị thực t(x) sao cho:
(P f )(x) = ρ(x)f (x) + t(x)f (−x)
là một phép chiếu. Một phép tính đơn giản, dựa theo tính chất P là lũy
đẳng và tự liên hợp, cho chúng ta đẳng thức
t(x) = ±
Viết s =

√

ρ(x)ρ(−x).

ρ, ta có cơng thức
(P f )(x) = s(x)[s(x)f (x) ± s(−x)f (−x)].

Thực tế, s sẽ khơng cịn là giá trị thực nữa, nếu chúng ta đưa ra toán tử
P =P0,ε , được xác định bởi:
(P f )(x) ≡ (P0,ε f )(x) = s(x)[s(x)f (x) ± s(−x)f (−x)]

(2.1)

với
|s(x)|2 + |s(−x)|2 = 1.

(2.2)

Rất dễ dàng để nhận thấy rằng đó là một phép chiếu trực giao. Để thấy
được điều này chúng ta cần chỉ ra rằng P là lũy đẳng (P 2 = P ) và tự
liên hợp (P ∗ = P ).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




19

Trên thực tế,
(P 2 f )(x) = s(x)[s(x)(P f )(x) ± s(−x)(P f )(−x)]
= s(x)[|s(x)|2 s(x)f (x) ± |s(x)|2 s(−x)f (−x)
± |s(−x)|2 s(−x)f (−x) + |s(−x)|2 s(x)f (x)]
= s(x)[s(x)f (x) ± s(−x)f (−x)] = (Pf)(x),
và
< P ∗ f, g > =< f, P g >
+∞

f (x)s(x)[s(x)g(x) ± s(−x)g(−x)]dx

=
−∞
+∞

(f (x)s(x)s(x)g(x) ± f (−x)s(−x)s(x)g(x))dx

=
−∞
+∞

s(x)[s(x)f (x) ± s(−x)f (−x)]g(x)dx =< P f, g >.

=
−∞

Chúng ta sẽ giả sử s là hàm lấy giá trị thực. Chúng ta hãy xây dựng
một hàm trơn s(x) thỏa mãn (2.2). Chọn ψ là một hàm chẵn C +∞ trên
R và có giá trên [−ε, ε], ε > 0, sao cho
ε

ψ(x)dx =
−ε

Giả sử θ(x) =

x
−∞ ψ(t)dt

π
.
2

và hãy chú ý:

−x

x

θ(x) + θ(−x) =

ψ(t)dt +
−∞
x

=

ψ(t)dt
−∞
+∞

ψ(t)dt +
−∞
x

=

ψ(−t)dt
x
+∞

ψ(t)dt +
−∞

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ψ(t)dt =
x

π
.
2




20

Đặt s(x) ≡ sε (x) = sin(θ(x)) và c(x) ≡ cε (x) = cos(θ(x)), chúng ta có:
π
s(−x) = sin(θ(−x)) = sin( − θ(x))
2
= cos(θ(x)) = c(x).

Do đó s2 (x) + s2 (−x) = sin2 (θ(x)) + cos2 (θ(x)) = 1, và (2.2) thỏa mãn

Hình 2.1 : Đồ thị hàm số sε và cε
+
−
Như vậy chúng ta đã có được phép chiếu, P0,ε và P0,ε , phù hợp với
khoảng [0, +∞) và tương ứng với sự lựa chọn + hoặc − trong (2.1).
Chúng ta đồng thời cũng có những phép chiếu tương tự
0,ε
(P+,− f )(x) = cε (x)[f(x) ± cε (−x)f(−x)]

phù hợp với khoảng (−∞, 0], khi ε > 0.

2.1.2.

Phép chiếu trên đoạn I = [α, β]

Bây giờ chúng ta muốn xây dựng những hình chiếu trơn trên một
đoạn tổng quát
I = [α, β], −∞<α < β < +∞
Chúng ta làm điều này bằng phép tịnh tiến τh f (x) = f (x − h) đã được
giới thiệu ở phần đầu và đặt
Pα = τα P0 τ−α và P β = τβ P 0 τ−β ,
trong đó chúng ta tam bỏ các chỉ số phụ và chỉ số mũ ε, ε , +, −. Mỗi
một toán tử này sẽ là lũy đẳng và tự liên hợp khi P0 và P 0 là những hình

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




21

chiếu trực giao. Do đó Pα và P β cũng là những hình chiếu trực giao. Sử
dụng (2.1), chúng ta có cơng thức:
(Pα f )(x) = (τα P0 τ−α f )(x)
= (P0 τ−α f )(x − α)
= sε (x − α)[sε (x − α)f (x) ± sε (α − x)f (2α − x)].

(2.3)

Tương tự như vậy ta có:
(P β f )(x) = (τβ P 0 τ−β f )(x)
= (P 0 τ−β f )(x − β)
= cε (x − β)[cε (x − α)f (x) ± cε (β − x)f (2β − x)].

(2.4)

Ta thấy 2α − x và x là đối xứng đối với α (tức là, chúng nằm ở phía đối
diện và cách đều α).
Chúng ta nói rằng một hàm số g là chẵn, đối với γ ∈ R nếu
g(x) = g(2γ − x) với mọi x ∈ R.
Nếu g là một hàm chẵn đối với α, thật dễ dàng để nhận thấy rằng
Pα (gf ) = g(Pα f ) khi g ∈ L+∞ (R) và f ∈ L2 (R);
đó chính là phép nhân bởi g giao hoán với Pα . Tương tự như vậy, nếu g
là chẵn đối với β, từ (2.4) ta suy ra
P β (gf ) = g(P β f ).
Đối với một đoạn tổng quát I = [α, β] ta chọn ε, ε > 0 sao cho α + ε ≤
β − ε và ta nhận thấy
Pα P β f = χ[α−ε,α+ε] Pα f + χ[α+ε,β−ε ] f + χ[β−ε ,β+ε ] P β f.
= P β Pα f.

(2.5)

Để có được nó, ta có
Pα f = Pα χ[α−ε,α+ε] f + Pα χ[α+ε,+∞] f.
= χ[α−ε,α+ε] Pα f + χ[α+ε,+∞] f.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

(2.6)

22

Chúng ta sử dụng χ[α−ε,α+ε] là chẵn đối với α và giao hốn với Pα . Tương
tự, ta có
P β f = P β χ[−∞,β−ε ] f + P β χ[β−ε,β+ε ] f.
= χ[−∞,β−ε ] f + χ[β−ε ,β+ε ] P β f.

(2.7)

Bây giờ áp dụng P β vào đẳng thức đầu tiên và Pα vào đẳng thức thứ
hai để có được kết quả mong muốn. Khi Pα giao hốn với P β thì tốn
tử
PI f ≡ P[α,β] f = Pα P β f = P β Pα f.

(2.8)

là một phép chiếu trực giao bị chặn trên L2 (R).
Ta nhận thấy PI ≡ P[α,β] phụ thuộc vào α, β, ε, ε và các dấu mà ta
chọn tại α, β. Vì vậy, nếu α, β, ε và ε là cố định thì việc chọn các dấu
cho ta 4 phép chiếu.
Cho biểu thức PI ≡ P[α,β] , cái mà khác với cái đã nêu trong (2.8) đã thu
được bằng cách đưa ra hàm số b(x) = sε (x − α)cε (x − β).
Chúng ta coi b = bI như là một "hàm hình chng" và phù hợp với
đoạn [α, β]. Quan sát thấy b phụ thuộc vào α, β, ε và ε . Bằng cách tịnh
tiến đồ thị của bε và bε ở Hình vẽ 2.1 chúng ta thu được đồ thị của hàm
"hàm hình chng" và phù hợp với đoạn [α, β]:

Hình 2.2 : Đồ thị của "hàm hình chng" b trên đoạn [α, β]

Thật dễ dàng để chứng minh những tính chất cơ bản sau đây của

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




23

b(x)
i)supp(b) ⊆ [α − ε, β + ε ] ;
Trên [α − ε, α + ε]
ii) b(x) = sε (x − α),
iii) b(2α − x) = sε (α − x) = cε (x − α),
iv) b2 (x) + b2 (2α − x) = 1;
v) supp(b(.)b(2α − .)) ⊆ [α − ε, α + ε] ;
vi) Trên [α + ε, β − ε ] , b(x) = 1;
Trên [β − ε , β + ε ]
vii) b(x) = cε (x − β),
viii) b(2β − x) = cε (β − x) = sε (x − β),
ix) b2 (x) + b2 (2β − x) = 1;
x) supp(b(.)b(2β − .) ⊆ [α − ε, α + ε] ;
xi) b2 (x) + b2 (2α − x) + b2 (2β − x) = 1 trên supp(b).


























(2.9)

























Không phải tất cả những tính chất trên là độc lập. Ví dụ như iv)
được suy ra từ ii) và iii). Có thể so sánh những điều kiện này với (1.11).
Dựa vào (2.5), định nghĩa Pα và P β đã nêu ra trong (2.3) và (2.4),
những tính chất này chúng ta dễ dàng có được cơng thức mới sau đây
cho PI đối với "hàm hình chng" b
(PI f )(x) = b(x){b(x)f (x) ± b(2α − x)f (2α − x)
±b(2β − x)f (2β − x)}

(2.10)

Quan sát công thức này ta thấy chúng ta có 4 cách chọn cho mỗi phép
chiếu. Cách chọn I phù hợp với α được gọi là sự phân cực của P[α,β] tại
α, và sự lựa chọn ± phù hợp với β được gọi là phân cực của P[α,β] tại
β. Vì vậy nếu chúng ta chọn + trước số hạng thứ hai trong phần ngoặc

đơn của (2.10), chúng ta nói rằng phép chiếu có tính phân cực dương tại
α.
Định nghĩa 2.1.1. Giả sử I = [α, β] và J = [β, γ] là kề nhau; chúng ta
nói rằng chúng có "hàm hình chng" tương thích bI và bJ nếu:
α−ε<α<α+ε≤β−ε <β <β+ε ≤γ−ε <γ <γ+ε
và bI = sε (x − α)cε (x − β);
bJ = sε (x − β)cε (x − γ).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên