Tài liệu đề và ĐA thi HSG Toán 8 - 2011

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN CAO LỘC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
CẤP HUYỆN
NĂM HỌC: 2010 - 2011

MÔN TOÁN - LỚP 8
Ngày thi: 15/01/2010
Thời gian : 150 phút
( không kể thời gian giao đề )
Câu 1 (4 điểm): Phân tích thành nhân tử:
a) a
8
+ a
4
+ 1
b) (x - y)
3
+(y - z)
3
+ (z - x)
3
Câu 2 (4 điểm): Cho biểu thức:
3 2
3 2 3 2
x 1 1 2 x 2x
Q 1 :
x 1 x x 1 x 1 x x x
+ −
 
= + − −

 ÷
+ − − + − +
 

a) Rút gọn Q.
b) Tính giá trị của Q biết:
3 5
x
4 4
− =

c) Tìm giá trị nguyên của x để Q có giá trị nguyên.
Câu 3 (3 điểm):
a) Cho
∆
ABC; AB = 3AC. Tính tỷ số đường cao xuất phát từ B và C.
b) Giải phương trình:
x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6
2010 2009 2008 2007 2006 2005
+ + + + + +
+ + = + +
Câu 4 (6 điểm): Gọi H là trực tâm của tam giác đều ABC, đường cao AD. Lấy điểm M
bất kì thuộc cạnh BC. Gọi E, F theo thứ tự là hình chiếu của M trên AB, AC. Gọi I là
trung điểm của AM.
a) Xác định dạng của tứ giác DEIF.
b) Chứng minh rằng các đường thẳng MH, ID, EF đồng quy.
Câu 5 (3 điểm): Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì
A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y
4
là số chính phương.

-----HẾT-----

Họ và tên thí sinh................................................... Số báo danh..................................
Lưu ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
ĐỀ CHÍNH THỨC
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN CAO LỘC
------------------------------------
HƯỚNG DẪN CHẤM
BÀI THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2010-2011
Môn thi: Toán 8
(Đáp án - thang điểm gồm có 02 trang)
Đáp án Điểm
Câu 1
(4 đ)
a) a
8
+ 2a
4
+ 1 - a
4
= (a
4
+ 1)
2
- (a
2
)
2

= (a
4
- a
2
+ 1)(a
4
+ a
2
+ 1)
=[(a
2
+ 1)
2
- 3a
2
].[(a
2
+ 1) - a
2
]
=
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2
a 3a 1 a 3a 1 a a 1 a a 1− + + + − + + +
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ

b) (x - y)
3
+(y - z)
3
+ (z - x)
3
= 3x
2
z - 3x
2
y + 3xy
2
- 3xz
2
+ 3yz
2
- 3y
2
z
= 3x
2
(z - y) - 3x(z
2
- y
2
) + 3yz(z - y)
= 3(x - y)(y - z)(z - x)
0,5 đ
0,5 đ
1 đ

Câu 2
(4 đ)
a) ĐKXĐ: x ≠-1; x ≠ 0; x ≠ 2
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
3 2
2
2 2
2
x x 2
x 1 1 2
Q 1 :
x 1 x x 1 x 1
x x x 1
x 1 x 1 2x 2x 2 x x 1
1 .
x x 2
x 1 x x 1
2x x 2
1 x 1
1 .
x 1 x x 2 x 1
−
+

 
= + + −
 ÷
+ − + +
− +
 
+ + + − + − − +
= +
−
+ − +
−
−
= − =
+ − +
Vậy
x 1
Q
x 1
−
=
+
0,5 đ
0,5 đ

1 đ
b) Ta có:
3 5
x 2 (KTM)
x
3 5

4 4
x
1
3 5
4 4
x (TM)
x
2
4 4

=
− =



− = ⇒ ⇒


= −

− = −



Với
1
1
1
2
x Q 3

1
2
1
2
− −
= − ⇒ = = −
− +
. Vậy Q = -3
0,5 đ
0,5 đ
c) Ta có
x 1 2
Q 1
x 1 x 1
−
= = −
+ +
Để Q có giá trị nguyên thì
2
x 1+
nguyên
nên
x 1 2 x 3 (TM)
x 1 1 x 2 (TM)
x 1 1 x 0 (KTM)
x 1 2 x 1(TM)
+ = − = −
 
 
+ = − = −

 
⇒
 
+ = =
 
+ = =
 
Vậy x = -3; x =-2; x = 1
0,5 đ
0,5 đ
Câu 3
(3 đ)
a) Gọi BD, CE lần lượt là các đường cao xuất phát từ đỉnh B và C.
Ta có:
ABC
1
S BD.AC
2
∆
=
;
ABC
1
S CE.AB
2
∆
=
0,5 đ
ABC
ABC

2S
BD AB 3AC
AC
3
2S
CE AC AC
AB
∆
∆
⇒ = = = =
Vậy
BD
3
CE
=
b)
x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6
2010 2009 2008 2007 2006 2005
+ + + + + +
+ + = + +
( )
x 2011 x 2011 x 2011 x 2011 x 2011 x 2011
1 1 1 1 1 1
2010 2009 2008 2007 2006 2005
1 1 1 1 1 1
x 2011 0
2010 2009 2008 2007 2006 2005
x 2011 0
x 2011
+ + + + + +

⇔ − + − + − = − + − + −
 
⇔ + + + − − − =
 ÷
 
⇔ + =
⇔ = −
1 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
Câu 4
(6 đ)
- Vẽ hình đúng.
a) Ta có:
AM
IE ID
2
= =
(trung tuyến ứng với cạnh
huyền).
Áp dụng t/c góc ngoài của tam giác tính được:

·
·
0
EID 2BAD 60= =
Xét ∆IED có IE=ID,
·
0

EID 60=
(cmt)
⇒ ∆IED là tam giác đều. (1)
C/m tương tự, ∆IDF đều (2)
Từ (1) và (2) ⇒ Tứ giác DEIF là hình thoi.
b) Gọi O là giao điểm của ID và EF, K là trung điểm của AH.
Ta có: IK//MH (t/c đường trung bình)
OH//IK (t/c đường trung bình)
⇒ M, O, H thẳng hàng (theo tiên đề Ơclid)
Vậy MH, ID, EF đồng qui tại O.
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
1 đ
0,5 đ
0,5 đ
1 đ
0,5 đ
Câu 5
(3 đ)
Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y
4

= (x
2
+ 5xy + 4y
2
)( x

2
+ 5xy + 6y
2
) + y
4

Đặt x
2
+ 5xy + 5y
2
= t ( t
∈
Z) thì
A = (t - y
2
)( t + y
2
) + y
4
= t
2
–y
4
+ y
4
= t
2
= (x
2
+ 5xy + 5y

2
)
2

V ì x, y, z
∈
Z nên x
2

∈
Z, 5xy
∈
Z, 5y
2

∈
Z
⇒
x
2
+ 5xy + 5y
2

∈
Z
Vậy A là số chính phương.
1. Trong từng câu:
+ Học sinh giải cách khác hợp lý, kết quả đúng cho điểm tương ứng.
+ Các bước tính, hoặc chứng minh độc lập cho điểm độc lập, các bước liên quan
với nhau đúng đến đâu cho điểm đến đó, từ chỗ sai trở đi không chấm tiếp.

2. Điểm toàn bài là tổng điểm các phần đạt được không làm tròn.
O
K
H
I
F
E
D
A
B
C
M