Các nhóm cấp pq, với p,q là hai số nguyên tố

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TỐN

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP

CÁC NHÓM CẤP pq, VỚI p, q LÀ HAI SỐ NGUYÊN TỐ

Giảng viên hướng dẫn: TS. NGUYỄN NGỌC CHÂU
Sinh viên thực hiện

: LƯU THỊ SƯƠNG

Lớp

: 16ST

Đà Nẵng- 2020
1


MỞ ĐẦU

Bài tốn tổng qt của nhóm hữu hạn là xác định tất cả các nhóm khơng đẳng
cấu với nhau có cấp là n, với n là một số nguyên dương cho trước, đã được A. Caley
đặt ra vào năm 1878 và cho đến nay vẫn chưa có lời giải đầy đủ.
Với hai nhóm P và 𝑄 cho trước, có nhiều cách xây dựng từ chúng một nhóm thứ
ba, chẳng hạn bằng cách lấy tích trực tiếp, tích nửa trực tiếp, tích tâm, tích bện của
hai nhóm đó,… Mỗi cách như vậy đều có những ứng dụng hữu ích trong lý thuyết
nhóm, đặc biệt là đối với bài tốn phân loại nhóm hữu hạn.
Mục đích của bài khóa luận này là vận dụng tích nửa trực tiếp của hai nhóm để

phân loại đẳng cấu các nhóm có cấp pq, với p, q là hai số nguyên tố.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo, nội dung của
khóa luận được chia thành 2 chương.
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ.
Chương này nhắc lại một số khái niệm, kết quả của cấu trúc nhóm, nhằm làm cơ
sở cho chương sau.
Chương 2. CÁC NHÓM CÓ CẤP 𝒑𝒒 VỚI 𝒑, 𝒒 LÀ HAI SỐ NGUYÊN TỐ
Chương này trình bày nội dung chính của luận văn, phân loại đẳng cấu các
nhóm có cấp 𝑝𝑞 với 𝑝, 𝑞 là hai số nguyên tố.

2


Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ.
Chương này nhắc lại một số khái niệm, kết quả của cấu trúc nhóm, nhằm làm cơ
sở cho chương sau. Các chi tiết liên quan có thể xem trong [1], [2], [3].
1.1 Một số khái niệm và kết quả của cấu trúc nhóm
1.1.1 Định nghĩa [1] Một nhóm 𝐺 được gọi là nhóm cyclic nếu nó chứa một phần
tử 𝑎 sao cho mọi phần tử của 𝐺 đều bằng một lũy thừa nguyên nào đó của 𝑎. Phần
tử 𝑎 có tính chất như thế được gọi là một phần tử sinh của nhóm cyclic 𝐺.
1.1.2 Mệnh đề [3]
(i)

Mọi nhóm cyclic đều là nhóm giao hốn.

(ii) Với mỗi số ngun dương 𝑛 thì có duy nhất một nhóm cyclic cấp n.
(iii) Hai nhóm cyclic có cùng bậc thì đẳng cấu với nhau.
1.1.3 Mệnh đề [3] Giả sử 𝐺 là một nhóm cyclic hữu hạn và 𝑚 là một ước nguyên
dương của |𝐺|. Khi đó tồn tại duy nhất một nhóm con 𝐻 của 𝐺 sao cho |𝐻| = 𝑚.
1.1.4 Mệnh đề [2] Cho 𝐶𝑛 và 𝐶𝑚 lần lượt là hai nhóm cyclic cấp 𝑛 và cấp 𝑚. Khi

đó
𝐶𝑛 × 𝐶𝑚 ≅ 𝐶𝑛𝑚 ⇔ (𝑛, 𝑚) = 1.
1.1.5 Định lý [2] Tập hợp gồm tất cả các tự đẳng cấu nhóm của một nhóm 𝐺 cùng
với phép tốn hợp thành hai ánh xạ xác định một nhóm. Nhóm này gọi là nhóm các
tự đẳng cấu của nhóm 𝐺 và được kí hiệu là 𝐴𝑢𝑡(𝐺).
1.1.6 Mệnh đề [5]
(i) Nếu 𝐺 là nhóm cyclic, thì nhóm 𝐴𝑢𝑡(𝐺) là nhóm aben.
(ii) Nếu 𝐺 là nhóm cyclic cấp 𝑝 nguyên tố, thì 𝐴𝑢𝑡(𝐺) là nhóm cyclic cấp
𝑝 − 1.
3


1.1.7 Định lý [1] Cho 𝐶𝑛 là nhóm cyclic cấp 𝑛 sinh bởi phần tử 𝑎. Khi đó, nhóm các
tự đẳng cấu của 𝐶𝑛 là:
𝐴𝑢𝑡(𝐶𝑛 ) = {𝜑 | 𝜑: 𝐶𝑛 → 𝐶𝑛 là đồng cấu và 𝜑(𝑎) = 𝑎𝑘 , 𝑘 ∈ ℕ, (𝑘, 𝑛) = 1}
1.1.8 Hệ quả
Giả sử 𝐶𝑝 = 〈𝑎〉 là nhóm cyclic sinh ra bởi phần tử 𝑎, có cấp 𝑝 là một số nguyên
tố. Khi đó:
𝐴𝑢𝑡(𝐶𝑝 ) = { 𝜑𝑖 : 𝐶𝑝 ⟶ 𝐶𝑝 / 𝜑𝑖 (𝑎) = 𝑎𝑖 , 𝑖 = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
1, 𝑝 − 1 }
1.1.9 Định nghĩa [1]
Giả sử p là một số nguyên tố.
(i)

Nhóm 𝐻 được gọi là một 𝑝- nhóm nếu cấp của nó là một lũy thừa của 𝑝.

(ii)

Nhóm 𝐻 được gọi là một 𝑝 - nhóm con của 𝐺 nếu 𝐻 vừa là một nhóm con
của 𝐺 vừa là một 𝑝- nhóm.

(iii)

Nhóm 𝐻 được gọi là một 𝑝 - nhóm con Sylow của nhóm hữu hạn 𝐺 nếu
𝐻 là một 𝑝 - nhóm con của 𝐺 và |𝐻| = 𝑝𝑛 là lũy thừa cao nhất của 𝑝
chia hết |𝐺|.

1.1.10 Định lý Sylow thứ nhất: Giả sử 𝐺 là một nhóm hữu hạn và 𝑝 là một số
nguyên tố chia hết |𝐺 |. Khi đó tồn tại một 𝑝 − nhóm con Sylow của 𝐺.
1.1.11 Định lý Sylow thứ hai: Giả sử 𝐺 là một nhóm hữu hạn. Khi đó, mọi
𝑝 - nhóm con của 𝐺 đều chứa trong một 𝑝 − nhóm con Sylow của 𝐺.
1.1.12 Định lý Sylow thứ ba:
(i)

Mọi 𝑝 − nhóm con Sylow của nhóm hữu hạn 𝐺 đều liên hợp với nhau.

4


(ii) Gọi 𝑠𝑝 là số các 𝑝 − nhóm con Sylow phân biệt của nhóm hữu hạn 𝐺.
Khi đó
𝑠𝑝 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑 (𝑝) hay 𝑠𝑝 = 1 + 𝑘𝑝, 𝑘 ∈ ℕ
(iii) 𝑠𝑝 chia hết cấp của 𝐺
1.1.13 Mệnh đề [3] Một 𝑝 − nhóm con Sylow 𝑃 của một nhóm 𝐺 là chuẩn tắc nếu
và chỉ nếu 𝑃 là 𝑝 − nhóm con Sylow duy nhất của 𝐺.
1.1.14 Định nghĩa [1] Xét đa giác đều 𝑛 cạnh 𝑃𝑛 với 𝑛 > 2. Gọi 𝑎 là phép quay
mặt phẳng xung quanh tâm của 𝑃𝑛 một góc (có hướng) bằng

2𝜋
𝑛

, cịn 𝑏 là phép đối

xứng qua một đường thẳng đi qua tâm của 𝑃𝑛 và một đỉnh của nó. Khi đó, tất cả các
phép đối xứng của 𝑃𝑛 (tức là các biến đổi đẳng cự của mặt phẳng biến 𝑃𝑛 thành chính
nó) được liệt kê như sau:
𝑒, 𝑎, 𝑎2 , … , 𝑎𝑛−1, 𝑏, 𝑎𝑏, … , 𝑎𝑛−1 𝑏
chúng lập thành một nhóm khơng giao hốn cấp 2𝑛, kí hiệu 𝐷𝑛 , và được gọi là nhóm
nhị diện. Nhóm 𝐷𝑛 cịn được biểu thị qua các phần tử sinh và các quan hệ như sau:
𝐷𝑛 = 〈𝑎, 𝑏 | 𝑎𝑛 = 𝑒, 𝑏2 = 𝑒, (𝑎𝑏)2 = 𝑒 〉
1.1.15 Mệnh đề [3] Cho một nhóm 𝐺, kí hiệu:
𝑍(𝐺 ) = {𝑎 𝜖 𝐺 ∶ 𝑎𝑥 = 𝑥𝑎 ∀ 𝑥 𝜖 𝐺 } ⊂ 𝐺
Khi đó 𝑍 (𝐺 ) là một nhóm con giao hốn và chuẩn tắc của 𝐺.
Nhóm 𝑍(𝐺 ) được gọi là nhóm con tâm của 𝐺.
1.1.16 Định lí [1] Giả sử 𝐺 là một 𝑝 − nhóm và 𝐺 ≠ {𝑒} thì nhóm con tâm
𝑍(𝐺) ≠ {𝑒}
5


1.1.17 Định lí Lagrange [2] Cấp của một nhóm 𝑋 hữu hạn là bội của cấp của mọi
nhóm con của nó.
1.1.18 Hệ quả [2] Mọi nhóm có cấp nguyên tố đều là cyclic và được sinh ra bởi
một phần tử bất kì, khác phần tử trung lập của nhóm.
1.1.19 Mệnh đề Giả sử 𝐺 và 𝐻 là hai nhóm hữu hạn lần lượt có cấp 𝑛 và 𝑚, và
𝑓: 𝐺 ⟶ 𝐻 là một đồng cấu nhóm. Khi đó, ∀𝑥 ∈ 𝐺, 𝑜𝑟𝑑 𝑓(𝑥) là một ước chung của
𝑛 và 𝑚. Hơn nữa 𝑜𝑟𝑑 𝑓(𝑥) còn là một ước chung của 𝑜𝑟𝑑 (𝑥) và 𝑚.
Chứng minh:
Với 𝑥 ∈ 𝐺, giả sử 𝑜𝑟𝑑 (𝑥 ) = 𝑘. Theo Định lí Lagrange 𝑘|𝑛
𝑓 (𝑒𝐺 ) = 𝑓 (𝑥 𝑘 ) = [𝑓(𝑥)]𝑘 = 𝑒𝐻 ⇒ 𝑜𝑟𝑑 𝑓(𝑥)|𝑘
Cũng theo Định lí Lagrange, 𝑜𝑟𝑑 𝑓 (𝑥 ) | 𝑚. Do đó 𝑜𝑟𝑑 𝑓(𝑥) là một ước chung của

𝑜𝑟𝑑 (𝑥) và 𝑚
Vậy 𝑜𝑟𝑑 𝑓(𝑥) là một ước chung của 𝑛 và 𝑚.
1.1.20 Định nghĩa [1] Cho 𝐺 là một nhóm và x ∈ 𝐺. Khi đó, tập hợp
𝐶𝐺 (𝑥) = { 𝑔 ∈ 𝐺 | 𝑔𝑥 = 𝑥𝑔}
là một nhóm con của 𝐺, được gọi là nhóm tâm hóa của phần tử 𝑥.
1.1.21 Định lí [2] Giả sử 𝑝 là một số nguyên tố, khi đó mọi nhóm có cấp 𝑝2 đều
là nhóm Abel.
Chứng minh:
Giả sử 𝐺 là một nhóm có cấp 𝑝2, với 𝑝 là một số nguyên tố.
Ta sẽ chứng minh 𝑍 (𝐺 ) = 𝐺
6


Theo Định lí 1.1.19, ta có |𝑍(𝐺)| > 1. Do đó, theo Định lí Lagrange |𝑍(𝐺)| = 𝑝
hoặc 𝑝2.
Nếu |𝑍(𝐺)| = 𝑝 thì tồn tại 𝑥 ∈ 𝐺 sao cho 𝑥 ∉ 𝑍(𝐺 ). Khi đó
𝑍(𝐺 ) < 𝐶𝐺 (𝑥 ) ≤ 𝐺 và 𝑝 < |𝐶(𝑥)| ≤ 𝑝2 . Do đó 𝐶𝐺 (𝑥 ) = 𝐺, tức là 𝑥 ∈ 𝑍 (𝐺 ), điều
này mâu thuẫn với cách chọn 𝑥. Vậy |𝑍(𝐺)| = 𝑝2 hay 𝐺 = 𝑍(𝐺) và 𝐺 là nhóm Abel.
1.1.22 Định lí [1] Mỗi 𝑝 − nhóm abel hữu hạn đều đẳng cấu với một tích của các
𝑝 − nhóm cyclic. Hai phân tích như thế chỉ có thể khác nhau ở thứ tự của các nhân
tử.
1.2 Tích trực tiếp, tích nửa trực tiếp của hai nhóm.
1.2.1 Mệnh đề [3] Cho hai nhóm 𝑄 và 𝑃. Tập hợp tích Descartes
𝑄 × 𝑃 = { ( 𝑥 , 𝑦 ) / 𝑥 ∈ 𝑄, 𝑦 ∈ 𝑃 }
cùng với phép nhân xác định bởi
( 𝑥, 𝑦 )( 𝑥’, 𝑦’) = ( 𝑥𝑥’, 𝑦𝑦’ ), ∀( 𝑥, 𝑦) , ( 𝑥’, 𝑦’) ∈ 𝑄 × 𝑃
là một nhóm
1.2.2 Định nghĩa [3] Nhóm 𝑄 × P xác định trong mệnh đề trên được gọi là tích
trực tiếp của hai nhóm 𝑄 và P.
1.2.3 Định lí [3] Cho 𝐺 = 𝑄 × P là tích trực tiếp của hai nhóm 𝑄 và P. Đặt

𝑄̂ = { ( x , 1𝑃 ) / x ∈ 𝑄 , 1𝑃 là phần tử đơn vị của 𝑃 }
𝑃̂ = { ( 1𝑄 , y ) / y ∈ P , 1𝑄 là phần tử đơn vị của 𝑄 }
Khi đó
i)

𝑃̂ và 𝑄̂ là các nhóm con của 𝐺 và 𝑃̂ ≅ 𝑃 , 𝑄̂ ≅ 𝑄.
7


ii)

𝐺 = 𝑃̂ 𝑄̂ và 𝑃̂ ∩ 𝑄̂ = { 1𝐺 }

iii)

𝐺 = 𝑃̂𝑄̂ và 𝑃̂ ∩ 𝑄̂ = { 1𝐺 }

iv)

Mỗi phần tử g ∈ 𝐺 đều có biểu diễn duy nhất dưới dạng g = 𝑎̂𝑏̂ với
𝑎̂ ∈ 𝑄̂ , 𝑏̂ ∈ 𝑃̂

v)

𝑃̂ ⊲ 𝐺 và 𝑄̂ ⊲ 𝐺

1.2.4 Định lý [3] Cho 𝐺 là một nhóm và P và 𝑄 là hai nhóm con của 𝐺 sao cho
P ∩ 𝑄 = {1}, xy = yx, ∀x ∈ 𝑄 , y ∈ 𝑃 và 𝑄 P = 𝐺. Khi đó 𝐺 ≅ 𝑄 × 𝑃
1.2.5 Hệ quả [3] Cho 𝐺 là một nhóm và P và 𝑄 là hai nhóm con chuẩn tắc của 𝐺
thỏa mãn điều kiện 𝑄𝑃 = 𝐺 và P ∩ 𝑄 = {1}. Khi đó 𝐺 ≅ 𝑄 × P

1.2.6 Định lý [3] Cho 𝐺 là một nhóm hữu hạn và 𝑃, 𝑄 là hai nhóm con chuẩn tắc
của 𝐺 sao cho | 𝑃 | | 𝑄 | = | 𝐺 |. Nếu
i) P ∩ 𝑄 = {1}, hoặc
ii) 𝑄𝑃 = 𝐺
thì 𝐺 ≅ 𝑄 × P.
1.2.7 Định nghĩa [3] Cho 𝐺 là một nhóm với hai nhóm con P và 𝑄 thỏa mãn hai
điều kiện sau:
(i) 𝑥𝑦 = 𝑦𝑥 với mọi x ∈ 𝑄 và 𝑦 ∈ 𝑃.
(ii) Mọi 𝑔 ∈ 𝐺 , g có biểu diễn duy nhất dưới dạng 𝑔 = 𝑝𝑞 , 𝑥 ∈ 𝑄 và
𝑦 ∈𝑃
Khi đó 𝐺 được gọi là tích trực tiếp trong của hai nhóm con 𝑄 và 𝑃, và được kí
hiệu là 𝐺 ≅ 𝑄 ⊕ 𝑃.

8


1.2.8 Định lý [3] Nếu 𝐺 là tích trực tiếp trong của hai nhóm con 𝑄 và P thì
𝐺 ≅ 𝑄 × 𝑃.
1.2.9 Mệnh đề [6] Cho hai nhóm P, 𝑄 và 𝜃 ∶ 𝑃 → 𝐴𝑢𝑡 (𝑄) là một đồng cấu
nhóm. Khi đó, tập hợp {(𝑥, 𝑦) / 𝑥 ∈ 𝑄, 𝑦 ∈ 𝑃 )} với phép toán xác định bởi:
(𝑥, 𝑦)(𝑥’, 𝑦’) = (𝑥𝜃(𝑦)(𝑥’), 𝑦𝑦’)
là một nhóm, kí hiệu 𝑄 ⋊𝜃 P.
Chứng minh:
∀(x, y) ∈ 𝑄 ⋊𝜃 P, (𝑥1 , 𝑦1 ) ∈ 𝑄 ⋊𝜃 P, (𝑥2 , 𝑦2 ) ∈ 𝑄 ⋊𝜃 P, ta có:
((x, y)(𝑥1 , 𝑦1 ))(𝑥2 , 𝑦2 ) = (x𝜃(y)𝑥1 , y𝑦1 ) (𝑥2 , 𝑦2 )
= (x𝜃(y)𝑥1 𝜃(y𝑦1 )𝑥2 , y𝑦1 𝑦2)
(x, y)((𝑥1 , 𝑦1 )(𝑥2 , 𝑦2 )) = (x, y) (𝑥1 𝜃(𝑦1 )𝑥2 , 𝑦1 𝑦2 )
= (x𝜃(y) 𝑥1 𝜃(𝑦1 )𝑥2 , y𝑦1 𝑦2 )
= (x𝜃(y) 𝑥1 𝜃 (𝑦)𝜃(𝑥1 )𝑥2 , y𝑦1 𝑦2 )
= (x𝜃(y) 𝑥1 𝜃 (𝑦𝑦1 )𝑥2 , y𝑦1 𝑦2 )

Do đó: ((x, y)(𝑥1 , 𝑦1 ))(𝑥2 , 𝑦2 ) = (x, y)((𝑥1 , 𝑦1 )(𝑥, 𝑦2 ))
Vì 𝜃(1) = 1 và θ(y)(1) = 1 nên (1, 1)(𝑥, 𝑦) = (1𝜃(1)x, y = (x, y) và
(x, y)(1, 1) = (x𝜃(y)1, y) = (x, y)
Suy ra (x, y)(1, 1) = (1, 1)(x, y) = (x, y) ∈ 𝑄 ⋊𝜃 𝑄, vậy (1, 1) là phần tử đơn vị của
nhóm 𝑄 ⋊𝜃 P.
Ta có: (x, y)(𝜃(𝑦 −1)𝑥 −1, 𝑦 −1) = (x𝜃 (𝑦)𝜃(𝑦 −1) 𝑥 −1, 𝑦𝑦 −1)
= (𝑥𝜃 (1)𝑥 −1, 𝑦𝑦 −1) = (1, 1)
Tương tự (𝜃 (𝑦 −1)( 𝑥 −1), 𝑦 −1 )(𝑥, 𝑦) = (1, 1)
9


do đó (𝜃 (𝑦 −1)( 𝑥 −1 ), 𝑦 −1) là phần tử nghịch đảo của phần tử (𝑥, 𝑦) . Mệnh đề đã
được chứng minh.
1.2.10 Định nghĩa [6] Cho 𝑃 và 𝑄 là hai nhóm và 𝜃 ∶ 𝑃 → 𝐴𝑢𝑡 (𝑄 ) là một đồng
cấu nhóm. Nhóm 𝑄 ⋊𝜃 P xác định ở mệnh đề trên được gọi là tích nửa trực tiếp của
nhóm 𝑄 với nhóm P
1.2.11 Mệnh đề [6] Cho 𝑃 và 𝑄 là hai nhóm và 𝑄 ⋊𝜃 P là một tích nửa trực tiếp
của 𝑄 với P. Khi đó hai ánh xạ sau:
𝑄 → 𝑄 ⋊𝜃 𝑃
q ↦ ( 𝑞, 1)

,

𝑃 → 𝑄 ⋊𝜃 𝑃
p ↦ ( 1, 𝑝)

là hai đơn cấu nhóm.
Hai đơn cấu trên cho phép đồng nhất 𝑞 với ( 𝑞, 1) , đồng nhất 𝑝 với ( 1, 𝑝) , và
xem 𝑃, 𝑄 là hai nhóm con của 𝑄 ⋊𝜃 𝑃.
1.2.12 Nhận xét:

a) Nếu 𝜃 là đồng cấu tầm thường thì tích nửa trực tiếp 𝑄 ⋊𝜃 P
chính là tích trực tiếp 𝑄 × P
b) Nếu P và 𝑄 là hai nhóm hữu hạn thì | 𝑄 ⋊𝜃 P| = | 𝑄 | × |𝑃|
Thí dụ: Xét 𝑄 = 𝐶4 = 〈𝑥 ⁄𝑥 4 = 1〉 = {1, 𝑥, 𝑥 2 , 𝑥 3 }
𝑃 = 𝐶2 = 〈𝑦⁄𝑦 2 = 1〉 = {1, 𝑦}
Theo Định lí 1.1.7, 𝐴𝑢𝑡(𝑄) = {1𝑄 , 𝛼} với 𝛼 được xác định 𝛼 (𝑥 ) = 𝑥 3 .
Rõ ràng ánh xạ 𝜃: 𝑃 ⟶ 𝐴𝑢𝑡(𝑄 ), với 𝜃(𝑦) = 𝛼, là một đồng cấu nhóm.
Xét nhóm 𝐺 = 𝑄 ⋊𝜃 𝑃, (𝑥, 1𝑃 ) ∈ 𝑄 ⋊𝜃 𝑃
(𝑥, 1𝑃 )2 = ( 𝑥, 1𝑃 )(𝑥, 1𝑃 ) = (𝑥 𝜃(1)(𝑥 ), 1𝑃 )
10


= (𝑥. 1𝑄 (𝑥 ), 1𝑃 ) = ( 𝑥 2 , 1𝑃 )
(𝑥, 1𝑃 )4 = (𝑥, 1𝑃 )2(𝑥, 1𝑃 )2
= ( 𝑥 2 , 1𝑃 )( 𝑥 2 , 1𝑃 ) = ( 𝑥 2 𝜃 (1) 𝑥 2 , 1𝑃 )
= ( 𝑥 2 . 1𝑄 ( 𝑥 2), 1𝑃 ) = ( 𝑥 4, 1𝑃 ) = ( 1𝑄 , 1𝑃 ) = 1𝐺
2

( 1𝑄 , 𝑦) = (1𝑄 , 𝑦)(1𝑄 , 𝑦) = (1𝑄 𝜃(𝑦)(1𝑄 ), 𝑦 2)
= (𝛼( 1𝑄 ), 1𝑃 ) = ( 1𝑄 , 1𝑃 ) = 1𝐺
( 𝑥, 1𝑃 )(1𝑄 , 𝑦) = (𝑥 𝜃(1𝑃 )( 1𝑄 ), 𝑦) = (𝑥. 1𝑄 (1), 𝑦) = (𝑥. 1𝑄 , 𝑦) = (𝑥, 𝑦)
2

[( 𝑥, 1𝑃 )(1𝑄 , 𝑦)] = (𝑥, 𝑦)(𝑥, 𝑦) = (𝑥 𝜃(𝑦0(𝑥 ), 𝑦 2 ) = (𝑥. 𝛼 (𝑥 ), 1𝑃 )
= (𝑥. 𝑥 3 , 1𝑃 ) = ( 𝑥 4, 1𝑃 ) = ( 1𝑄 , 1𝑃 ) = 1𝐺
Đồng nhất 𝑥 ≡ ( 𝑥, 1𝑃 ) và 𝑦 ≡ (1𝑄 , 𝑦), ta có thể biểu diễn của nhóm 𝑄 ⋊𝜃 𝑃
như sau:
𝑄 ⋊𝜃 𝑃 = 〈 𝑥, 𝑦/ 𝑥 4 = 𝑒, 𝑦 2 = 𝑒, (𝑥𝑦)2 = 𝑒 〉
𝑄 ⋊𝜃 𝑃 ≅ 𝐷4 là một nhóm khơng giao hốn cấp 8.
1.2.13 Định lý [6] Cho 𝐺 = 𝑄 ⋊𝜃 𝑃 khi đó:

(i) 𝑄 là nhóm con chuẩn tắc của 𝐺
(ii) 𝑄𝑃 = 𝐺
(iii) 𝑃 ∩ 𝑄 = { 1𝐺 }
1.2.14 Định nghĩa [ 6 ] Cho 𝐺 là một nhóm và 𝑄, 𝑃 là các nhóm con của 𝐺. Nhóm
𝐺 được gọi là tích nửa trực tiếp trong của 𝑄 và 𝑃 nếu:
(i) 𝑄 chuẩn tắc trong 𝐺.
(ii) 𝑄𝑃 = 𝐺
(iii) 𝑃 ∩ 𝑄 = { 1𝐺 }
1.2.15 Định lý [ 6 ] Giả sử 𝐺 là tích nửa trực tiếp trong của hai nhóm con 𝑄 và 𝑃.
Khi đó 𝐺 = 𝑄 ⋊𝜃 𝑃, trong đó 𝜃 ∶ 𝑃 → 𝐴𝑢𝑡 (𝑄 ), được cho bởi
𝜃(𝑦)(𝑥 ) = 𝑦𝑥𝑦 −1 , x ∈ 𝑄, y ∈ P.
1.2.16 Nhận xét:
11


Từ Định lý 1.2.15, ta có: nếu 𝐺 là một nhóm có hai nhóm con 𝑄 và 𝑃, 𝑄 ⊲ 𝐺,
𝑄𝑃 = 𝐺 và 𝑃 ∩ 𝑄 = { 1𝐺 }, thì tồn tại một đồng cấu 𝜃 ∶ 𝑃 → 𝐴𝑢𝑡 (𝑄 ) sao cho
𝐺 = 𝑄 ⋊𝜃 𝑃 . Dựa vào Định lý 1.2.15, ta có thể xác định được nhóm 𝐺 nếu biết
nhóm con 𝑃 và nhóm con chuẩn tắc 𝑄 của 𝐺 thỏa mãn 𝑄𝑃 = 𝐺 và 𝑃 ∩ 𝑄 = { 1𝐺 }.

12


Chương 2. CÁC NHÓM CÓ CẤP 𝒑𝒒 VỚI 𝒑, 𝒒 LÀ HAI SỐ NGUYÊN TỐ
Chương này trình bày nội dung chính của luận văn, phân loại đẳng cấu các
nhóm có cấp pq với p, q là hai số nguyên tố.

Định lí sau là một kết quả cổ điển của lý thuyết p – nhóm hữu hạn.
2.1 Định lí [3] Nếu 𝐺 là một nhóm cấp 𝑝2, với 𝑝 là một số ngun tố, thì 𝐺 là nhóm
giao hốn, và đẳng cấu với nhóm 𝐶𝑝2 hoặc nhóm 𝐶𝑝 × 𝐶𝑝 .

Chứng minh :
Giả sử 𝐺 là một nhóm có cấp 𝑝2. Khi đó, theo Định lí 1.1.21 , 𝐺 là nhóm Abel
và theo Định lí 1.1.22 , ta có 𝐺 đẳng cấu với nhóm 𝐶𝑝 × 𝐶𝑝 hoặc đẳng cấu với nhóm
𝐶𝑝 2 .
Hai nhóm này khơng đẳng cấu vì nhóm 𝐶𝑝2 có phần tử cấp 𝑝2 cịn nhóm
𝐶𝑝 × 𝐶𝑝 khơng có phần tử có cấp 𝑝2.
2.2 Mệnh đề: Nếu 𝐺 là một nhóm cấp 𝑝𝑞, với 𝑝, 𝑞 là hai số nguyên tố và 𝑝 < 𝑞,
thì 𝐺 = 𝐶𝑞 ⋊𝜃 𝐶𝑝 , với 𝜃: 𝐶𝑝 → 𝐴𝑢𝑡(𝐶𝑞 ) là một đồng cấu nhóm.
Chứng minh
Giả sử 𝐺 là một nhóm có cấp pq, với p, q là hai số nguyên tố và p < q.
Theo Định lí Sylow thứ nhất, tồn tại một 𝑝 − nhóm con Sylow 𝑃 cấp 𝑝 của 𝐺, và
tồn tại một 𝑞 − nhóm con Sylow 𝑄 cấp 𝑞 của 𝐺.
Theo Định lí Sylow thứ ba, 𝑆𝑞 = 1 + 𝑘𝑞, 𝑘 ∈ ℕ và 𝑆𝑞 | 𝑝.

13


Suy ra 𝑆𝑞 = 1 vì ( 𝑝 < 𝑞 ). Theo Mệnh đề 1.1.13, 𝑠𝑞 = 1 suy ra 𝑄 ⊴ 𝐺, đồng
thời 𝑝 ≠ 𝑞 nên 𝑄 ∩ 𝑃 = {𝑒𝐺 } và 𝐺 = 𝑄𝑃. Theo Nhận xét 1.2.16, ta có
𝐺 = 𝑄 ⋊𝜃 𝑃 = 𝐶𝑞 ⋊𝜃 𝐶𝑝 , với 𝜃 ∶ 𝑃 → 𝐴𝑢𝑡(𝑄) là một đồng cấu nhóm nào đó.
Mệnh đề đã được chứng minh.
2.3 Định lí [4] Nếu 𝐺 là một nhóm cấp 𝑝𝑞, với 𝑝, 𝑞 là hai số nguyên tố, 𝑝 < 𝑞 và
𝑝 không phải là ước của 𝑞 − 1, thì 𝐺 là nhóm cyclic cấp 𝑝𝑞.
Chứng minh
Giả sử 𝐺 là một nhóm cấp 𝑝𝑞, với 𝑝, 𝑞 là hai số nguyên tố, 𝑝 < 𝑞 và 𝑝 không
phải là ước của 𝑞 − 1.
Theo Mệnh đề 2.2, 𝐺 = 𝑄 ⋊𝜃 𝑃 , với 𝜃 ∶ 𝑃 → 𝐴𝑢𝑡 (𝑄 ) là một đồng cấu nhóm, và
𝑄 = 𝐶𝑞 , 𝑃 = 𝐶𝑝 .
𝑄 = 𝐶𝑞 nên theo Mệnh đề 1.1.6, 𝐴𝑢𝑡 (𝑄 ) ≅ 𝐶𝑞−1.
𝑉ì 𝑝 < 𝑞 và 𝑝 không phải là ước của 𝑞 − 1 , nên theo Mệnh đề 1.1.19,

∀𝑥 ∈ 𝑃, 𝜃(𝑥 ) = 1𝑄 . Do đó 𝜃 là đồng cấu tầm thường. Theo Nhận xét 1.2.12 ta có:
𝐺 = 𝑄 × 𝑃 = 𝐶𝑞 × 𝐶𝑝 ≅ 𝐶𝑝𝑞 (theo Mệnh đề 1.1.4). Vậy 𝐺 là nhóm cyclic
cấp 𝑝𝑞.
Định lí đã được chứng minh xong.
2.4 Định lí: [ 3 ] Giả sử 𝐺 là một nhóm có cấp 2𝑞, với 𝑞 là một số nguyên tố lẻ.
Khi đó 𝐺 đẳng cấu với nhóm cyclic cấp 2𝑞 hoặc nhóm nhị diện 𝐷𝑞 .
Chứng minh

14


Theo Mệnh đề 2.2, 𝐺 = 𝑄 ⋊𝜃 𝑃 , với 𝜃 ∶ 𝑃 → 𝐴𝑢𝑡 (𝑄 ) là một đồng cấu
nhóm, và 𝑄 = 𝐶𝑞 , 𝑃 = 𝐶2 .
Gọi

𝑃 ≅ 𝐶2 = ⟨𝑏/𝑏2 = 1⟩ = {1, 𝑏}.
𝑄 ≅ 𝐶𝑞 = ⟨𝑎/𝑎𝑞 = 1⟩ = { 1, 𝑎, 𝑎2 , 𝑎3 , … , 𝑎𝑞−1 }.

Theo Mệnh đề 1.1.6, 𝐴𝑢𝑡 (𝑄 ) ≅ 𝐶𝑞−1. Vì 𝑞 là số nguyên tố lẻ nên 𝑞 − 1 là số
chẵn, theo Mệnh đề 1.1.3, trong nhóm 𝐴𝑢𝑡 (𝑄 ) chỉ có duy nhất một phần tử cấp 2.
Dễ dàng kiểm tra được ánh xạ 𝛼 ∶ 𝑄 → 𝑄, với 𝛼(𝑎) = 𝑎𝑞−1 là một đồng cấu nhóm.
Hơn nữa
2

𝛼 2(𝑎) = 𝛼(𝛼 (𝑎)) = 𝛼(𝑎𝑞−1) = 𝑎(𝑞−1) = 𝑎𝑝(𝑝−2)+1 = 𝑎 = 𝑖𝑑𝑄 (𝑎).
Suy ra 𝑜𝑟𝑑 (𝛼 ) = 2. Vậy 𝛼 là phần tử cấp 2 duy nhất trong 𝐴𝑢𝑡(𝑄 ).
Vì 𝑃 ≅ 〈𝑏〉 là nhóm cyclic cấp 2 nên theo Định lí 1.1.19 chỉ có hai đồng cấu
nhóm từ P đến 𝐴𝑢𝑡 (𝑄 ) là đồng cấu tầm thường 𝜃0 và đồng cấu 𝜃 ∶ 𝑃 → 𝐴𝑢𝑡(𝑄 ),
với 𝜃(𝑏) = 𝛼.
Xét nhóm 𝑄 ⋊𝜃 𝑃, ta có:

(𝑎, 1𝑃 )2 = (𝑎, 1𝑃 )(𝑎, 1𝑃 ) = (𝑎𝜃(1𝑃 )𝑎, 1𝑃 ) = (𝑎. 1𝐶𝑞 (𝑎), 1𝑃 ) = (𝑎2 ; 1𝑃 )
(𝑎, 1𝑃 )3 = (𝑎, 1𝑃 )(𝑎, 1𝑃 )2 = (𝑎, 1𝑃 )(𝑎2 ; 1𝑃 ) = (𝑎𝜃(1𝑃 )(𝑎2 ), 1𝑃 )
= (𝑎. 1𝐶𝑞 (𝑎2 ), 1𝑃 ) = (𝑎3 ; 1𝑃 )
Bằng quy nạp theo n ta có
(𝑎, 1𝑃 )𝑛 = (𝑎, 1𝑃 )(𝑎, 1𝑃 )𝑛−1 = (𝑎, 1𝑃 )(𝑎𝑛−1; 1𝑃 )
= (𝑎𝜃(1𝑃 )𝑎𝑛−1 , 1𝑃 ) = (𝑎. 1𝐶𝑞 (𝑎𝑛−1 ), 1𝑃 ) = (𝑎𝑛 ; 1𝑃 ).
Khi 𝑛 = 𝑞 thì (𝑎, 1𝑃 )𝑞 = (1𝑄 , 1𝑃 ) = 1𝐺 . Suy ra (𝑎, 1𝑃 ) có cấp 𝑞.
15


(1𝑄 , 𝑏)2 = (1𝑄 , 𝑏)(1𝑄 , 𝑏) = (1𝑄 𝜃(𝑏)( 1𝑄 ),𝑏2) = (1𝑄 𝛼(1𝑄 ), 1𝑃 ) = 1𝐺.
Suy ra phần tử (1𝑄 , 𝑏) có cấp 2.
(𝑎, 1𝑃 )(1𝑄 , 𝑏) = (𝑎𝜃(1𝑃 )( 1𝑄 ), 𝑏) = (𝑎𝛼(1𝑄 ), 𝑏) = (𝑎, 𝑏)
2

[(𝑎, 1𝑃 )(1𝑄 , 𝑏)] = (𝑎, 𝑏)(𝑎, 𝑏) = (𝑎𝜃 (𝑏)(𝑎), 𝑏2 ) = (𝑎𝛼 (𝑎), 𝑏2)
= (𝑎𝑞 , 1𝑃 ) = (1𝑄 , 1𝑃 ) = 1𝐺 .
Theo Mệnh đề 1.2.11, đồng nhất 𝑎 ≡ (𝑎, 1𝑃 ) và 𝑏 ≡ (1𝑄 , 𝑏) thì nhóm 𝑄 ⋊𝜃 𝑃
có biểu diễn như sau
𝑄 ⋊𝜃 𝑃 = 〈 𝑎, 𝑏 / 𝑎𝑞 = 1𝐺 , 𝑏2 = 1𝐺 , (𝑎𝑏)2 = 1𝐺 〉. Nhóm này là nhóm
khơng giao hốn cấp 2𝑞 và đẳng cấu với nhóm 𝐷𝑞 .
Với 𝜃0: 𝑃 → 𝐴𝑢𝑡(𝑄) là đồng cấu tầm thường thì theo Nhận xét 1.2.12 và Mệnh
đề 1.1.4, ta có
𝑄 ⋊𝜃0 𝑃 = 𝑄 × 𝑃 ≅ 𝐶𝑞 × 𝐶2 ≅ 𝐶2𝑞 .
Vì 𝐶2𝑞 là nhóm cyclic, cịn 𝐷𝑞 là nhóm khơng giao hốn nên hai nhóm này
khơng đẳng cấu với nhau. Vậy chỉ có hai nhóm có cấp 2𝑞 khơng đẳng cấu với nhau
là 𝐶2𝑞 và 𝐷𝑞 .
Định lí đã được chứng minh.

Tiếp theo ta sẽ phân loại đẳng cấu các nhóm có cấp 𝑝𝑞, với 2 < 𝑝 < 𝑞, và 𝑝

chia hết 𝑞 − 1. Ta sẽ bắt đầu với 𝑝 = 3, 𝑞 = 7.
2.5 Định lí: Mọi nhóm có cấp 21 đều đẳng cấu với nhóm cyclic cấp 21, hoặc nhóm
𝐻 được biểu diễn như sau
16


𝐻 = 〈 𝑎, 𝑏 / 𝑎7 = 1, 𝑏3 = 1, 𝑏𝑎𝑏 −1 = 𝑎2 〉
Chứng minh
Giả sử 𝐺 là một nhóm có cấp 21 = 3.7
Theo Mệnh đề 2.2, 𝐺 = 𝑄 ⋊𝜃 𝑃 , với 𝜃 ∶ 𝑃 → 𝐴𝑢𝑡 (𝑄 ) là một đồng cấu
nhóm, và 𝑄 = 𝐶7 , 𝑃 = 𝐶3.
Gọi 𝑃 = 𝐶3 = 〈𝑏/ 𝑏3 = 1〉 = {1, 𝑏, 𝑏2 }
𝑄 = 𝐶7 = 〈𝑎/ 𝑎7 = 1〉 = {1, 𝑎, 𝑎2 , … , 𝑎6 }
vì 𝑄 = 𝐶7 nên theo Mệnh đề 1.1.6, 𝐴𝑢𝑡 (𝑄 ) ≅ 𝐶6
Theo Hệ quả 1.1.8, các ánh xạ 𝛼𝑖 : 𝑄 → 𝑄, với 𝛼𝑖 (𝑎) = 𝑎𝑖 , 1≤ 𝑖 ≤ 6, là các tự
đẳng cấu của 𝑄.
Vì 𝐴𝑢𝑡 (𝑄 ) ≅ 𝐶6, theo Mệnh đề 1.1.3, trong 𝐴𝑢𝑡 (𝑄 ) có duy nhất một nhóm
con 𝑃′ có cấp 3.
Ta có: 𝛼22(𝑎) = 𝛼2(𝛼2 (𝑎)) = 𝛼2 (𝑎2 ) = 𝑎4
𝛼23 (𝑎) = 𝛼2 (𝛼22(𝑎)) = 𝛼2(𝑎4 ) = 𝑎8 = 𝑎 = 𝑖𝑑𝑄 (𝑎), suy ra 𝛼2 có
cấp 3.
Vậy 𝑃′ = { 𝑖𝑑𝑄 , 𝛼2 , 𝛼22 } ≤ 𝐴𝑢𝑡 (𝑄 )
Vì 𝑃 có cấp 3, nên có ba đồng cấu từ 𝑃 đến 𝐴𝑢𝑡(𝑄 ) là đồng cấu tầm thường 𝜃0 và
𝑗

hai đồng cấu 𝜃𝑗 : 𝑃 → 𝐴𝑢𝑡(𝑄 ), với 𝜃𝑗 (𝑏) = 𝛼2 , 𝑗 = 1, 2.
Theo Nhận xét 1.2.12, 𝑄 ⋊𝜃0 𝑃 = 𝑄 × 𝑃 ≅ 𝐶7 × 𝐶3 ≅ 𝐶21.
Xét nhóm 𝑄 ⋊𝜃1 𝑃, ta có
17

(𝑎, 1𝑃 )2 = (𝑎, 1𝑃 )(𝑎, 1𝑃 ) = (𝑎𝜃1(1𝑃 )𝑎, 1𝑃 ) = (𝑎. 1𝐶𝑞 (𝑎), 1𝑃 ) = (𝑎2 , 1𝑃 )
Bằng quy nạp ta có với 𝑛 ∈ ℕ∗, (𝑎, 1𝑃 )𝑛 = (𝑎𝑛 , 1𝑃 )
Suy ra (𝑎, 1𝑃 )7 = (𝑎7 , 1𝑃 ) = (1𝑄 , 1𝑃 ) = 1𝐺 . Vậy phần tử (𝑎, 1𝑃 ) có cấp 7.
(1𝑄 , 𝑏)2 = (1𝑄 , 𝑏)(1𝑄 , 𝑏) = (1𝑄 𝜃1 (𝑏)( 1𝑄 ),𝑏 2 ) = (1𝑄 , 𝑏2 )
3

2

(1𝑄 , 𝑏) = (1𝑄 , 𝑏)(1𝑄 , 𝑏) = (1𝑄 , 𝑏)(1𝑄 , 𝑏 2 )
= (1𝑄 𝜃1(𝑏) (1𝑄 ), 𝑏3) = (1𝑄 , 1𝑃 ) = 1𝑄⋊𝜃1 𝑃.
Vậy phần tử (1𝑄 , 𝑏) có cấp 3.
(1𝑄 , 𝑏)(𝑎, 1𝑃 )(1𝑄 , 𝑏)

−1

2

= (1𝑄 , 𝑏)(𝑎, 1𝑃 )(1𝑄 , 𝑏) = (1𝑄 𝜃1(𝑏)(𝑎), 𝑏)( 1𝑄 , 𝑏2 )
= (1𝑄 𝛼2(𝑎) , 𝑏)(1𝑄 , 𝑏2 )
= (𝑎2 , 𝑏)(1𝑄 , 𝑏 2) = (𝑎2 𝜃1(𝑏)(1𝑄 ), 𝑏3 )
= (𝑎2 , 𝑏3 ) = (𝑎2 , 1𝑃 ) = (𝑎, 1𝑃 )2

Đồng nhất 𝑎 ≡ (𝑎, 1𝑃 ) và 𝑏 ≡ (1𝑄 , 𝑏) thì nhóm 𝑄 ⋊𝜃1 𝑃 có biểu diễn là
𝑄 ⋊𝜃1 𝑃 = 〈 𝑎, 𝑏 / 𝑎7 = 1, 𝑏3 = 1, 𝑏𝑎𝑏−1 = 𝑎2 〉
Xét nhóm 𝑄 ⋊𝜃2 𝑃, ta có
(𝑎, 1𝑃 )2 = (𝑎, 1𝑃 )(𝑎, 1𝑃 ) = (𝑎𝜃2(1𝑃 )(𝑎), 1𝑃 ) = (𝑎. 1𝐶𝑞 (𝑎) , 1𝑃 ) = (𝑎2 , 1𝑃 )
Bằng quy nạp ta có với 𝑛 ∈ ℕ∗, (𝑎, 1𝑃 )𝑛 = (𝑎𝑛 , 1𝑃 )
Suy ra (𝑎, 1𝑃 )7 = (𝑎7 , 1𝑃 ) = (1𝑄 , 1𝑃 ) = 1𝐺 . Vậy phần tử (𝑎, 1𝑃 ) có cấp 7.
(1𝑄 , 𝑏)2 = (1𝑄 , 𝑏)(1𝑄 , 𝑏) = (1𝑄 𝜃2 (𝑏)( 1𝑄 ), 𝑏2 ) = (1𝑄 , 𝑏2 )

18


2

(1𝑄 , 𝑏)3 = (1𝑄 , 𝑏)(1𝑄 , 𝑏) = (1𝑄 , 𝑏)(1𝑄 , 𝑏 2 )
= (1𝑄 𝜃2(𝑏) (1𝑄 ), 𝑏3) = (1𝑄 , 1𝑃 ) = 1𝑄⋊𝜃2 𝑃.
Vậy phần tử (1𝑄 , 𝑏) có cấp 3.
(1𝑄 , 𝑏)(𝑎, 1𝑃 )(1𝑄 , 𝑏)

−1

2

= (1𝑄 , 𝑏)(𝑎, 1𝑃 )(1𝑄 , 𝑏) = (1𝑄 𝜃2 (𝑏)(𝑎), 𝑏)( 1𝑄 , 𝑏2 )
= (1𝑄 𝛼22(𝑎) , 𝑏)(1𝑄 , 𝑏2 )
= (𝑎4 , 𝑏)(1𝑄 , 𝑏 2) = (𝑎4 𝜃2 (𝑏)(1𝑄 ), 𝑏3 )
= (𝑎4 , 𝑏3 ) = (𝑎4 , 1𝑃 ) = (𝑎, 1𝑃 )4 .

Đồng nhất 𝑎 ≡ (𝑎, 1𝑃 ) và 𝑏 ≡ (1𝑄 , 𝑏), thì nhóm 𝑄 ⋊𝜃2 𝑃 có biểu diễn như sau
𝑄 ⋊𝜃2 𝑃 = 〈 𝑎, 𝑏 / 𝑎7 = 1, 𝑏3 = 1, 𝑏𝑎𝑏−1 = 𝑎4 〉
trong nhóm 𝑄 ⋊𝜃2 𝑃 , ta có
𝑏𝑎𝑏 −1 = 𝑎4 ⇔ 𝑏2 𝑎𝑏 −2 = 𝑏𝑎4 𝑏−1 = (𝑏𝑎𝑏−1 )4 = 𝑎16 = 𝑎2
Trong nhóm 𝑃 = 𝐶3 = 〈 𝑏 〉 , đặt 𝑐 = 𝑏 2 , ta có
𝑃 = 𝐶3 = 〈 𝑐 〉 và 𝑐𝑎𝑐 −1 = 𝑎2 .
Do đó nhóm 𝑄 ⋊𝜃2 𝑃 còn được biểu diễn như sau
𝑄 ⋊𝜃2 𝑃 = 〈 𝑎, 𝑐 / 𝑎7 = 1, 𝑐 3 = 1, 𝑐𝑎𝑐 −1 = 𝑎2 〉
Vậy 𝑄 ⋊𝜃1 𝑃 ≅ 𝑄 ⋊𝜃2 𝑃 ≅ 𝐻 .
Nhóm H khơng giao hốn nên khơng đẳng cấu với nhóm 𝐶21 .
Định lí đã được chứng minh.

19


Với 𝑞 là một số nguyên tố lớn hơn 3 và 𝑞 − 1 chia hết cho 3, ta có kết quả sau:
2.6 Định lí: Mọi nhóm có cấp 3q, với q là một số nguyên tố lớn hơn 3, và 𝑞 − 1
chia hết cho 3, đều đẳng cấu với nhóm cyclic cấp 3q, hoặc nhóm 𝐻 có biểu diễn như
sau:
𝐻 = 〈 𝑎, 𝑏 / 𝑎𝑞 = 1, 𝑏3 = 1 , 𝑏𝑎𝑏 −1 = 𝑎𝑖0 〉, trong đó
1 < 𝑖0 ≤ 𝑞 − 1 và 𝑖03 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 𝑞)
Chứng minh
Giả sử 𝐺 là một nhóm cấp 3𝑞, với 𝑞 là một số nguyên tố lớn hơn 3, và 𝑞 − 1
chia hết cho 3.
Theo Mệnh đề 2.2, 𝐺 = 𝑄 ⋊𝜃 𝑃 , với 𝜃 ∶ 𝑃 → 𝐴𝑢𝑡 (𝑄 ) là một đồng cấu
nhóm và 𝑄 = 𝐶𝑞 , 𝑃 = 𝐶3.
Gọi 𝑃 = 𝐶3 = 〈𝑏/ 𝑏3 = 1〉 = {1, 𝑏, 𝑏2 }
𝑄 = 𝐶𝑞 = 〈𝑎/ 𝑎𝑞 = 1〉 = {1, 𝑎, 𝑎2 , … , 𝑎𝑞−1}
Vì 𝑄 = 𝐶𝑞 nên theo Mệnh đề 1.1.6, 𝐴𝑢𝑡 (𝑄 ) = 𝐶𝑞−1
Theo Hệ quả 1.1.8, các ánh xạ 𝛼𝑖 : 𝑄 → 𝑄, với 𝛼𝑖 (𝑎) = 𝑎𝑖 , 1≤ 𝑖 ≤ 𝑞 − 1, là
các tự đẳng cấu của nhóm 𝑄.
Vì 𝐴𝑢𝑡 (𝑄 ) = 𝐶𝑞−1, theo Mệnh đề 1.1.3, trong 𝐴𝑢𝑡 (𝑄 ) có duy nhất một nhóm
con 𝑃′ có cấp 3. Gọi 𝛼𝑖0 ∈ 𝐴𝑢𝑡(𝑄 ), là phần tử có 𝑜𝑟𝑑(𝛼𝑖0 ) = 3
2

Ta có: 𝛼𝑖20 (𝑎) = 𝛼𝑖0 (𝛼𝑖0 (𝑎) = 𝛼𝑖0 (𝑎𝑖0 ) = (𝑎 𝑖0 )𝑖0 = 𝑎𝑖0 .
20


2

2

2

3

𝛼𝑖30 (𝑎) = 𝛼𝑖0 ( 𝛼𝑖20 (𝑎)) = 𝛼𝑖0 (𝑎𝑖0 ) = (𝑎 𝑖0 )𝑖0 = 𝑎𝑖0.𝑖0 = 𝑎𝑖0
𝑜𝑟𝑑(𝛼𝑖0 ) = 3 ⇔ 𝛼𝑖30 = 𝑒𝐴𝑢𝑡(𝑄) = 1𝑄
⇔ 𝛼𝑖30 (𝑎) = 1𝑄 (𝑎) ⇔ 𝑎𝑖30 = 𝑎
3

⇔ 𝑎 𝑖0 −1 = 𝑒𝑄 ⇔ 𝑖03 − 1 ⋮ 𝑞
⇔ 𝑖03 = 1 ( 𝑚𝑜𝑑 𝑞 ), 1 < 𝑖0 ≤ 𝑞 − 1.
Vậy 𝑃′ = { 𝑖𝑑𝑄 , 𝛼𝑖0 , 𝛼𝑖20 } ≤ 𝐴𝑢𝑡 (𝑄 ), với 𝑖03 ≡ 1 ( 𝑚𝑜𝑑 𝑞 ), 1 < 𝑖0 ≤ 𝑞 − 1.
Vì 𝑃 có cấp 3, nên có ba đồng cấu từ 𝑃 đến 𝐴𝑢𝑡 (𝑄 ) là đồng cấu tầm thường 𝜃0 và
𝑗

hai đồng cấu 𝜃𝑗 : 𝑃 → 𝐴𝑢𝑡 (𝑄 ), với 𝜃𝑗 (𝑏) = 𝛼𝑖0 , 𝑗 = 1; 2
Theo Nhận xét 1.2.12, 𝑄 ⋊𝜃0 𝑃 = 𝑄 × 𝑃 ≅ 𝐶𝑞 × 𝐶3 ≅ 𝐶3𝑞 .
Xét nhóm 𝑄 ⋊𝜃1 𝑃, ta có
(𝑎, 𝑒𝑃 )2 = (𝑎, 𝑒𝑃 )(𝑎, 𝑒𝑃 ) = (𝑎𝜃1(𝑒𝑃 )𝑎, 𝑒𝑃 ) = (𝑎. 𝑖𝑑𝑄 (𝑎 ), 𝑒𝑃 ) = (𝑎2 , 𝑒𝑃 )
Bằng quy nạp theo 𝑛 ∈ ℕ∗ , ta có (𝑎, 𝑒𝑃 )𝑛 = (𝑎𝑛 , 𝑒𝑃 ).
Suy ra (𝑎, 𝑒𝑃 )𝑞 = (𝑎𝑞 , 𝑒𝑃 ) = (𝑒𝑄 , 𝑒𝑃 ) = 𝑒𝐺 . Vậy phần tử (𝑎, 𝑒𝑃 ) có cấp q.
(𝑒𝑄 , 𝑏)2 = (𝑒𝑄 , 𝑏)(𝑒𝑄 , 𝑏) = (𝑒𝑄 𝜃1(𝑏)(𝑒𝑄 ), 𝑏2 ) = (𝑒𝑄 , 𝑏2 )
(𝑒𝑄 , 𝑏)3 = (𝑒𝑄 , 𝑏2 )(𝑒𝑄 , 𝑏) = (𝑒𝑄 , 𝑏2 )(𝑒𝑄 , 𝑏) = (𝑒𝑄 𝜃1(𝑏)(𝑒𝑄 ), 𝑏3 )
= (𝑒𝑄 , 𝑏3 ) = (𝑒𝑄 , 𝑒𝑃 ) = 𝑒𝑄⋊𝜃1 𝑃 . Vậy phần tử (𝑒𝑄 , 𝑏) có cấp 3.
(𝑒𝑄 , 𝑏)(𝑎, 𝑒𝑃 )(𝑒𝑄 , 𝑏)−1 = (𝑒𝑄 , 𝑏)(𝑎, 𝑒𝑃 )(𝑒𝑄 , 𝑏2 )(𝑒𝑄 , 𝑏2)
= (𝑒𝑄 𝜃1 (𝑏)(𝑎), 𝑏)(𝑒𝑄 , 𝑏2 )
= (𝑒𝑄 𝛼𝑖0 (𝑎), 𝑏)(𝑒𝑄 , 𝑏2 )
21

= (𝑎𝑖0 , 𝑏)(𝑒𝑄 , 𝑏2 ) = (𝑎𝑖0 𝜃𝑖0 (𝑏)(𝑒𝑄 ), 𝑏3 )
= (𝑎𝑖0 , 𝑏 3) = (𝑎𝑖0 , 𝑒𝑃 ) = (𝑎, 𝑒𝑃 )𝑖0
Đồng nhất 𝑎 ≡ (𝑎, 1𝑃 ) và 𝑏 ≡ (1𝑄 , 𝑏) thì nhóm 𝑄 ⋊𝜃1 𝑃 có biểu diễn là
𝑄 ⋊𝜃1 𝑃 = 〈 𝑎, 𝑏/ 𝑎𝑞 = 1𝐺 , 𝑏3 = 1𝐺 , 𝑏𝑎𝑏−1 = 𝑎𝑖0 〉, với 𝑖0 3 ≡ 1 ( 𝑚𝑜𝑑 𝑞 )
và 1 < 𝑖0 ≤ 𝑞 − 1.
Xét nhóm 𝑄 ⋊𝜃2 𝑃, ta có
(𝑎, 𝑒𝑃 )2 = (𝑎, 𝑒𝑃 )(𝑎, 𝑒𝑃 ) = (𝑎𝜃2(𝑒𝑃 )𝑎, 𝑒𝑃 ) = (𝑎. 𝑖𝑑𝑄 (𝑎), 𝑒𝑃 ) = (𝑎2 , 𝑒𝑃 )
Bằng quy nạp theo 𝑛 ∈ ℕ∗ , ta có (𝑎, 𝑒𝑃 )𝑛 = (𝑎𝑛 , 𝑒𝑃 ).
Suy ra (𝑎, 𝑒𝑃 )𝑞 = (𝑎𝑞 , 𝑒𝑃 ) = (𝑒𝑄 , 𝑒𝑃 ) = 𝑒𝐺 . Vậy phần tử (𝑎, 𝑒𝑃 ) có cấp q.
(𝑒𝑄 , 𝑏)2 = (𝑒𝑄 , 𝑒𝑃 )(𝑒𝑄 , 𝑒𝑃 ) = (𝑒𝑄 𝜃2(𝑏)(𝑒𝑄 ), 𝑏2 ) = (𝑒𝑄 , 𝑏2 )
(𝑒𝑄 , 𝑏)3 = (𝑒𝑄 , 𝑏)2(𝑒𝑄 , 𝑏) = (𝑒𝑄 , 𝑏2 )(𝑒𝑄 , 𝑏) = (𝑒𝑄 𝜃2 (𝑏)(𝑒𝑄 ), 𝑏 3 )
= (𝑒𝑄 , 𝑏3) = (𝑒𝑄 , 𝑒𝑃 ) = 𝑒𝑄⋊𝜃2 𝑃 . Vậy phần tử (𝑒𝑄 , 𝑏) có cấp 3.
(𝑒𝑄 , 𝑏)(𝑎, 𝑒𝑃 )(𝑒𝑄 , 𝑏)−1 = (𝑒𝑄 , 𝑏)(𝑎, 𝑒𝑃 )(𝑒𝑄 , 𝑏)2 = (𝑒𝑄 𝜃2(𝑏)(𝑎), 𝑏)(𝑒𝑄 , 𝑏2 )
= (𝑒𝑄 𝛼𝑖20 (𝑎), 𝑏)(𝑒𝑄 , 𝑏2)
2

2

= (𝑎𝑖0 , 𝑏)(1𝑄 , 𝑏2) = (𝑎𝑖0 𝜃2(𝑏)(1𝑄 ), 𝑏3 )
2

2

2

= (𝑎𝑖0 , 𝑏3 ) = (𝑎𝑖0 , 1𝑃 ) = (𝑎, 1𝑃 )𝑖0 .
Đồng nhất 𝑎 ≡ (𝑎, 1𝑃 ) và 𝑏 ≡ (1𝑄 , 𝑏) thì nhóm 𝑄 ⋊𝜃2 𝑃 có biểu diễn như sau
2

𝑄 ⋊𝜃2 𝑃 = 〈 𝑎, 𝑏/ 𝑎𝑞 = 1𝐺 , 𝑏3 = 1𝐺 , 𝑏𝑎𝑏−1 = 𝑎𝑖0 〉, với 𝑖0 3 ≡ 1 ( 𝑚𝑜𝑑 𝑞 ),
và 1 < 𝑖0 ≤ 𝑞 − 1.
22


Trong nhóm 𝑄 ⋊𝜃2 𝑃 ta có
2

2

2

4

𝑏𝑎𝑏−1 = 𝑎𝑖0 ⇔ 𝑏2 𝑎𝑏−2 = 𝑏𝑎𝑖0 𝑏−1 = (𝑏𝑎𝑏 −1)𝑖0 = 𝑎𝑖0 = 𝑎𝑖0
Trong nhóm 𝑃 = 𝐶3 = 〈 𝑏 〉 , đặt 𝑐 = 𝑏2 , ta có 𝑃 = 𝐶3 = 〈 𝑐 〉 và 𝑐𝑎𝑐 −1 = 𝑎𝑖0
Do đó nhóm 𝑄 ⋊𝜃2 𝑃 cịn được biểu diễn như sau:
𝑄 ⋊𝜃2 𝑃 = 〈 𝑎, 𝑐/ 𝑎𝑞 = 1, 𝑐 3 = 1, 𝑐𝑎𝑐 −1 = 𝑎 𝑖0 〉, với 𝑖0 3 ≡ 1 ( 𝑚𝑜𝑑 𝑞 ),
và 1 < 𝑖0 ≤ 𝑞 − 1.
Vậy 𝑄 ⋊𝜃1 𝑃 ≅ 𝑄 ⋊𝜃2 𝑃 ≅ 𝐻
Nhóm 𝐻 khơng giao hốn , nên khơng đẳng cấu với nhóm cyclic cấp 3𝑞.
Định lí đã được chứng minh.

2.7 Định lí: Mọi nhóm có cấp 55 đều đẳng cấu với nhóm cyclic cấp 55, hoặc nhóm
𝐻 được biểu diễn như sau:
𝐻 = 〈 𝑎, 𝑏/ 𝑎11 = 1, 𝑏5 = 1 , 𝑏𝑎𝑏−1 = 𝑎3 〉
Chứng minh
Giả sử 𝐺 là một nhóm cấp 55 = 5.11
Theo Mệnh đề 2.2, 𝐺 = 𝑄 ⋊𝜃 𝑃 , với 𝜃 ∶ 𝑃 → 𝐴𝑢𝑡 (𝑄 ) là một đồng cấu
nhóm, và 𝑄 = 𝐶11 , 𝑃 = 𝐶5.

Gọi 𝑃 = 𝐶5 = 〈𝑏/ 𝑏5 = 1〉 = {1, 𝑏, 𝑏2 , 𝑏3, 𝑏4 }
𝑄 = 𝐶11 = 〈𝑎/ 𝑎11 = 1〉 = {1, 𝑎, 𝑎2 , … , 𝑎10 }
Vì 𝑄 = 𝐶11 nên theo Mệnh đề 1.1.6, 𝐴𝑢𝑡 (𝑄 ) ≅ 𝐶10
23


Theo Hệ quả 1.1.8, các ánh xạ 𝛼𝑖 : 𝑄 → 𝑄, với 𝛼𝑖 (𝑎) = 𝑎𝑖 , 1≤ 𝑖 ≤ 10, là các
tự đẳng cấu của 𝑄.
Vì 𝐴𝑢𝑡 (𝑄 ) ≅ 10, theo Mệnh đề 1.1.3, trong 𝐴𝑢𝑡 (𝑄 ) có duy nhất một nhóm
con 𝑃′ có cấp 5.
Ta có: 𝛼32(𝑎) = 𝛼3(𝛼3 (𝑎)) = 𝛼3 (𝑎3 ) = (𝑎3 )3 = 𝑎9
2

2

3

2 .3

𝛼33 (𝑎) = 𝛼3 (𝛼32(𝑎)) = 𝛼3(𝑎 3 ) = (𝑎3 ) = 𝑎3
3

3

3

3 .3

𝛼34(𝑎) = 𝛼3 (𝛼33 (𝑎)) = 𝛼3 (𝑎 3 ) = (𝑎3 ) = 𝑎3
4

4

3

4 .3

𝛼35(𝑎) = 𝛼3 (𝛼34(𝑎)) = 𝛼3(𝑎3 ) = (𝑎3 ) = 𝑎3
Suy ra 𝛼35 = 𝑖𝑑𝑄 = 𝑒𝐴𝑢𝑡(𝑄) ⇒
Vậy

3

= 𝑎 3 = 𝑎5
4

= 𝑎3 = 𝑎4
5

= 𝑎3 = 𝑎 = 𝑖𝑑𝑄 (𝑎)

𝑜𝑟𝑑(𝛼3) = 5

𝑃′ = { 𝑖𝑑𝑄 , 𝛼3 , 𝛼32 , 𝛼33 , 𝛼34 } ≤ 𝐴𝑢𝑡 (𝑄 )

Vì 𝑃 có cấp 5, nên có năm đồng cấu từ 𝑃 đến 𝐴𝑢𝑡 (𝑄 ) là đồng cấu tầm thường 𝜃0 và
𝑗
bốn đồng cấu 𝜃𝑗 : 𝑃 → 𝐴𝑢𝑡 (𝑄 ), với 𝜃𝑗 (𝑏) = 𝛼3 , 𝑗 = ̅̅̅̅̅
1; 4

Theo Nhận xét 1.2.12, 𝑄 ⋊𝜃0 𝑃 = 𝑄 × 𝑃 ≅ 𝐶11 × 𝐶5 ≅ 𝐶55.
Xét nhóm 𝐺𝑗 = 𝑄 ⋊𝜃𝑗 𝑃, 𝑗 = ̅̅̅̅̅
1; 4 , ta có
(𝑎, 1𝑃 )2 = (𝑎, 1𝑃 )(𝑎, 1𝑃 ) = (𝑎𝜃𝑗 (1𝑃 )𝑎, 1𝑃 ) = (𝑎. 𝑖𝑑𝑄 (𝑎), 1𝑃 ) = (𝑎2 , 1𝑃 )
Bằng quy nạp ta có : Với 𝑛 ∈ ℕ∗ , (𝑎, 1𝑃 )𝑛 = (𝑎𝑛 , 1𝑃 )
Suy ra (𝑎, 1𝑃 )11 = (𝑎11 , 1𝑃 ) = (1𝑄 , 1𝑃 ) = 1𝐺 . Vậy phần tử (𝑎, 1𝑃 ) có cấp 11 trong
nhóm 𝐺𝑗 .
(1𝑄 , 𝑏)2 = (1𝑄 , 𝑏)(1𝑄 , 𝑏) = (1𝑄 𝜃𝑗 (𝑏)(1𝑄 ), 𝑏2 ) = (1𝑄 , 𝑏2 )
24


Bằng quy nạp ta có : Với 𝑛 ∈ ℕ∗ , (1𝑄 , 𝑏)

𝑛

= (1𝑄 , 𝑏𝑛 )

Suy ra (1𝑄 , 𝑏5) = (1𝑄 , 𝑏5 ) = (1𝑄 , 1𝑃 ) = 1𝐺 . Vậy phần tử (1𝑄 , 𝑏) có cấp 5 trong
nhóm 𝐺𝑗 .
(1𝑄 , 𝑏)(𝑎, 1𝑃 )(1𝑄 , 𝑏)

−1

4

= (1𝑄 , 𝑏)(𝑎, 1𝑃 )(1𝑄 , 𝑏) = (1𝑄 𝜃𝑗 (𝑏)(𝑎), 𝑏)( 1𝑄 , 𝑏4 )
𝑗

= (1𝑄 𝛼3 (𝑎), 𝑏)(1𝑄 , 𝑏4 )
𝑗

𝑗

= (𝑎 3 , 𝑏)(1𝑄 , 𝑏4 ) = (𝑎3 𝜃𝑗 (𝑏)(1𝑄 ), 𝑏5 )
𝑗

𝑗

𝑗

= (𝑎 3 , 𝑏5 ) = (𝑎3 , 1𝑃 ) = (𝑎, 1𝑃 )3

Đồng nhất 𝑎 ≡ (𝑎, 1𝑃 ) và 𝑏 ≡ (1𝑄 , 𝑏) thì các nhóm 𝐺𝑗 = 𝑄 ⋊𝜃𝑗 𝑃 có biểu diễn
là
𝑗
𝐺𝑗 = 𝑄 ⋊𝜃𝑗 𝑃 = 〈 𝑎, 𝑏 /𝑎11 = 1𝐺 , 𝑏 5 = 1𝐺 , 𝑏𝑎𝑏−1 = 𝑎3 〉, 𝑗 = ̅̅̅̅̅
1, 4

Rõ ràng 𝐺1 = 𝑄 ⋊𝜃1 𝑃 ≅ 𝐻
Xét nhóm 𝐺2 = 𝑄 ⋊𝜃2 𝑃 ta có
2

2

2

4

𝑏𝑎𝑏 −1 = 𝑎3 ⇔ 𝑏2 𝑎𝑏−2 = 𝑏𝑎3 𝑏 −1 = (𝑏𝑎𝑏−1)3 = 𝑎3 = 𝑎81 = 𝑎4
4

𝑏3 𝑎𝑏 −3 = 𝑏𝑎4 𝑏 −1 = (𝑏𝑎𝑏−1)4 = 𝑎 9 = 𝑎36 = 𝑎3 .
Trong nhóm 𝑃 = 𝐶5 = 〈 𝑏 〉 , đặt 𝑐 = 𝑏 3 , ta có 𝑃 = 𝐶5 = 〈 𝑐 〉 và 𝑐𝑎𝑐 −1 = 𝑎3
Do đó nhóm 𝐺2 = 𝑄 ⋊𝜃2 𝑃 cịn được biểu diễn như sau:
𝐺2 = 𝑄 ⋊𝜃2 𝑃 = 〈 𝑎, 𝑐/ 𝑎11 = 1𝐺 , 𝑐 5 = 1𝐺 , 𝑐𝑎𝑐 −1 = 𝑎3 〉
Vậy 𝐺2 ≅ 𝐻.
25