Bài giảng Dao động kỹ thuật - ĐH Sư Phạm Kỹ Thuật Nam Định

LỜI NÓI ĐẦU
Dao động là một hiện tƣợng phổ biến trong tự nhiên và trong kỹ thuật. Các máy
móc, các phƣơng tiện giao thơng vận tải, các tồ nhà cao tầng, những chiếc cầu bắc
qua các dịng sơng, chiếc đồng hồ đeo tay mà chúng ta thƣờng hay sử dụng… đó là các
hệ dao động trong kỹ thuật. Bản thân mỗi ngƣời chúng ta cũng là một hệ dao động mà
có lẽ ít ngƣời đã biết.
Vậy dao động là gì? Một cách sơ lƣợc, dao động là một quá trình trong đó một
đại lƣợng vật lý (hố học, sinh học,…) thay đổi theo thời gian mà có một đặc điểm nào
đó lặp lại ít nhất một lần. Dao động kỹ thuật là dao động của các hệ kỹ thuật (các máy
móc, các phƣơng tiện giao thơng vận tải,…).
Các kiến thức về lý thuyết dao động ngày nay trở thành một bộ phận không thể
thiếu đƣợc trong tổng thể các kiến thức cần phải trang bị cho ngƣời kỹ sƣ cơ khí, xây
dựng, tự động hố, …Nhằm đáp ứng u cầu cần thiết đó mơn học Dao động kỹ thuật
đã đƣợc đƣa vào chƣơng trình giảng dạy cho sinh viên trƣờng Đại học Sƣ phạm Kỹ
thuật Nam Định, nội dung môn học gồm hai phần: Dao động tuyến tính của hệ hữu
hạn bậc tự do và Dao động tuyến tính của hệ vô hạn bậc tự do trong tổng số 4 chƣơng
của chƣơng trình mơn học.
Tập bài giảng đƣợc viết trên cơ sở chƣơng trình mơn học Dao động kỹ thuật.
Ngƣời biên soạn đã cố gắng trình bày những vấn đề cơ bản của Dao động kỹ thuật
theo quan điểm hiện đại, đảm bảo tính sƣ phạm và yêu cầu chất lƣợng của một bài
giảng giảng dạy đại học. Những kiến thức trình bày trong bài giảng này là những kiến
thức tối thiểu, cần thiết để sinh viên có thể học các môn học tiếp theo của các ngành
Công nghệ hàn, Cơng nghệ Ơ tơ, Cơng nghệ chế tạo máy… Các Ví dụ trong bài giảng
gồm hai loại: Các Ví dụ củng cố kiến thức và các Ví dụ áp dụng giải một số mơ hình
dao động trong kỹ thuật.
Tập bài giảng đƣợc biên soạn lần đầu nên chắc chắn còn nhiều thiếu sót. Chúng
tơi rất mong nhận đƣợc sự góp ý của các đồng nghiệp và các em sinh viên để có điều
kiện sửa chữa, hồn thiện hơn tập bài giảng nhằm phục vụ tốt hơn cho công tác giảng
dạy và học tập. Các ý kiến đóng góp xin gửi về địa chỉ: Bộ môn Kỹ thuật cơ sở, Khoa
cơ khí, Trƣờng Đại học Sƣ phạm kỹ thuật Nam Định.
Nhóm tác giả biên soạn

1


MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU ................................................................................................................. 1
MỤC LỤC ....................................................................................................................... 2
Chƣơng 1 ......................................................................................................................... 4
MƠ TẢ ĐỘNG HỌC CÁC Q TRÌNH DAO ĐỘNG ................................................ 4
1.1 DAO ĐỘNG ĐIỀU HOÀ ...................................................................................... 4
1.1.1 Biểu diễn thực dao động điều hoà .................................................................. 4
1.1.2 Biểu diễn phức dao động điều hoà ................................................................. 5
1.1.3 Tổng hợp hai dao động điều hoà cùng phƣơng và cùng tần số ...................... 6
1.2 DAO ĐỘNG TUẦN HOÀN ................................................................................. 7
1.2.1 Các tham số động học của dao động tuần hoàn ............................................. 7
1.2.2 Tổng hợp hai dao động điều hồ có cùng phƣơng khác tần số với tỷ lệ giữa
hai tần số là số hữu tỷ .............................................................................................. 9
1.2.3 Phân tích Fourier các hàm tuần hoàn ........................................................... 11
1.2.4 Biểu diễn các hàm tuần hoàn trong miền tần số ........................................... 14
1.2.5 Biểu diễn đồng thời hai đại lƣợng dao động điều hồ theo hai phƣơng vng
góc với nhau .......................................................................................................... 14
1.2.6 Biểu diễn dao động tuần hoàn trên mặt phẳng pha ...................................... 18
1.3 DAO ĐỘNG KHÔNG TUẦN HỒN ................................................................ 20
1.3.1 Tổng hợp hai dao động điều hồ cùng phƣơng khác tần số với tỷ lệ giữa hai
tần số là số vơ tỷ .................................................................................................... 20
1.3.2 Biểu diễn tích phân Fourier các hàm khơng tuần hồn ................................ 22
1.3.3 Dao động họ hình sin .................................................................................... 25
CÂU HỎI ƠN TẬP ....................................................................................................... 29
Chƣơng 2 ....................................................................................................................... 30
DAO ĐỘNG TUYẾN TÍNH CỦA HỆ MỘT BẬC TỰ DO ........................................ 30

2.1 DAO ĐỘNG TỰ DO KHÔNG CẢN .................................................................. 30
2.1.1 Các thí dụ về thiết lập phƣơng trình vi phân dao động ................................ 30
2.1.2 Tính tốn dao động tự do không cản ............................................................ 32
2.1.3 Xác định các tham số độ cứng của hệ dao động .......................................... 37
2.2 DAO ĐỘNG TỰ DO CĨ CẢN........................................................................... 44
2.2.1 Tính tốn dao động tự do có ma sát nhớt ..................................................... 44
2.2.2 Tính tốn dao động tự do có ma sát khơ ...................................................... 49
CÂU HỎI ÔN TẬP ....................................................................................................... 80
Chƣơng 3 ....................................................................................................................... 81
DAO ĐỘNG TUYẾN TÍNH CỦA HỆ NHIỀU BẬC TỰ DO ..................................... 81
3.1 THÀNH LẬP CÁC PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN DAO ĐỘNG ....................... 81

2


3.1.1 Phƣơng pháp sử dụng phƣơng trình Lagrange loại II. ................................. 81
3.1.2 Phƣơng pháp lực ........................................................................................... 86
3.2 DAO ĐỘNG TỰ DO KHÔNG CẢN .................................................................. 91
3.2.1 Các tần số riêng và các dạng dao động riêng ............................................... 91
3.2.2 Tính chất trực giao của các véc tơ riêng ....................................................... 93
3.2.3 Các tọa độ chính ........................................................................................... 94
3.2.4 Các tọa độ chuẩn .......................................................................................... 98
3.3 DAO ĐỘNG TỰ DO CÓ CẢN.........................................................................104
3.3.1 Phƣơng pháp giải trực tiếp (ma trận cản tùy ý) ..........................................104
3.3.2 Phƣơng pháp ma trận dạng riêng (ma trận cản đặc biệt) ............................ 106
3.4 Dao động cƣỡng bức ......................................................................................... 109
3.4.1 Phƣơng pháp giải trực tiếp .........................................................................109
3.4.2 Phƣơng pháp ma trận dạng riêng ................................................................ 111
CÂU HỎI ƠN TẬP .....................................................................................................124
Chƣơng 4 .....................................................................................................................126

DAO ĐỘNG TUYẾN TÍNH CỦA HỆ VÔ HẠN BẬC TỰ DO ................................ 126
4.1 DAO ĐỘNG DỌC VÀ DAO ĐỘNG XOẮN CỦA THANH THẲNG ...........126
4.1.1 Dao động dọc tự do của thanh đồng chất tiết diện không đổi ....................126
4.1.2 Dao động dọc cƣỡng bức của thanh thẳng đồng chất tiết diện không đổi .132
4.1.3 Dao động dọc tự do của thanh có tiết diện thay đổi ...................................135
4.2 DAO ĐỘNG XOẮN CỦA THANH THẲNG ..................................................139
4.3 DAO ĐỘNG UỐN CỦA DẦM ........................................................................141
4.3.1 Thiết lập phƣơng trình vi phân dao động uốn của dầm .............................. 141
4.3.2 Dao động uốn tự do của dầm Euler- Bernoulli đồng chất tiết diện không đổi
............................................................................................................................. 145
4.3.3 Dao động uốn cƣỡng bức của dầm Euler-Bernoulli đồng chất tiết diện không đổi
............................................................................................................................. 153
4.3.4 Dao động uốn tự do của dầm Timoshenko.................................................159
CÂU HỎI ÔN TẬP .....................................................................................................171
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................... 174

3


Chƣơng 1
MƠ TẢ ĐỘNG HỌC CÁC Q TRÌNH DAO ĐỘNG
Các quá trình dao động thƣờng là các quá trình thay đổi đa dạng theo thời gian.
Trong tính tốn hoặc trong đo đạc các quá trình dao động ngƣời ta thƣờng phân thành
dao động tuần hồn và dao động khơng tuần hoàn. Một dạng đặc biệt của các dao động
tuần hoàn là dao động điều hoà. Trong chƣơng này ta sẽ trình bày một số tính chất
động học và cách biểu diễn các dao động tuần hồn và khơng tuần hồn. Phần động
học các quá trình dao động ngẫu nhiên sẽ đƣợc trình bày ở giáo trình khác.
1.1 DAO ĐỘNG ĐIỀU HỒ
1.1.1 Biểu diễn thực dao động điều hồ
Dao động điều hồ đƣợc mơ tả về phƣơng diện động học bởi hệ thức

y t = Asin ωt + α = Asinψ(t)
(1.1)
Dao động điều hồ cịn đƣợc gọi là dao động hình sin. Đại lƣợng A khơng giảm
tổng qt ln có thể giả thiết là số dƣơng và đƣợc gọi là biên độ dao động. Nhƣ thế
biên độ dao động là giá trị tuyệt đối của độ lệch lớn nhất của đại lƣợng dao động y(t)
so với giá trị trung bình của nó (hình 1.1). Đại lƣợng ψ t = ωt + α đƣợc gọi là góc
pha, hay một cách vắn tắt là pha dao động. Góc 𝛼 đƣợc gọi là pha ban đầu.
2
T=

A

y (t)

O

t




t

Hình 1.1 Dao động điều hồ
Đại lƣợng 𝜔 đƣợc gọi là tần số vòng của dao động điều hồ, đơn vị của 𝜔 là
rad/s hoặc s-1. Vì hàm sin có chu kỳ 2𝜋 nên dao động điều hồ có chu kỳ

2π
ω
Điều đó đƣợc xác định bởi biến đổi sau:

T

y t + T = Asin ω t +

2π
ω

(1.2)

+ α = Asin ωt + α + 2π

= Asin ωt + α = y(t)
Nhƣ thế chu kỳ dao động là khoảng thời gian nhỏ nhất cần thiết để đại lƣợng
dao động trở lại vị trí ban đầu.

4


1
(1.3)
T
đƣợc gọi là tần số dao động. Đơn vị của tần số f là s-1 hoặc Hz (Hertz). Nhƣ thế,
tần số là số lần dao động thực hiện trong một giây. Giữa tần số dao động f và tần số
Đại lƣợng

f

vịng 𝜔 có mối quan hệ sau
𝜔 = 2𝜋f

(1.4)

Từ cơng thức (1.1) ta thấy: một dao động điều hoà đƣợc xác định khi biết ba đại
lƣợng A, 𝜔 và 𝛼. Mặt khác, một dao động điều hoà cũng đƣợc xác định duy nhất khi
biết tần số vòng 𝜔 và các điều kiện đầu. Giả sử các điều kiện đầu có dạng
t=0 ;

y 0 = y0

y(0) = y0 ;

Khi đó từ phƣơng trình (1.1) ta có
y0 = Asinα ;

y0 = ωAcosα

Từ đó suy ra

y&02
A y  2
ω

(1.5)

ωy0
y&0

(1.6)

2

0

α  arctg

Việc biểu diễn pha ban đầu 𝛼 dƣới dạng (1.6) có nhƣợc điểm là trong khoảng từ
0 đến 2𝜋 pha ban đầu 𝛼 khơng đƣợc xác định một cách duy nhất. Vì vậy để xác định
𝛼, ta cần chú ý đến cả hệ thức
α = arcsin

y0

(1.7)

A

Ngƣời ta cũng hay biểu diễn dao động điều hoà (1.1) dƣới dạng sau
y t = C1 cosωt + C2 sinωt
So sánh biểu thức (1.8) với biểu thức (1.1) ta có các hệ thức
C1 = Asinα;

C2 = Acosα

(1.8)
(1.9)

Từ đó suy ra
A=

C12 + C22

α = arctg

C1
C2

= arcsin

C1
A

(1.10)

Các hằng số C1 và C2 cũng có thể xác định đƣợc từ các điều kiện đầu
C1 = y0

;

C2 

y&0
ω

1.1.2 Biểu diễn phức dao động điều hồ
Một cách biểu diễn có hình ảnh dao động điều hoà là biểu diễn bằng véc tơ
phức. Hàm điều hồ y(t) có thể xem nhƣ là phần ảo của véc tơ phức z quay với vận tốc
góc 𝜔 trong mặt phẳng số (hình 1.2)

z  Aei(ωt α)  Aeiαeiωt  Aeiωt

(1.11)

5


y t = Im(z t )

(1.12)

Đại lƣợng A = Aeiα đƣợc gọi là biên độ phức. Nhƣ thế biên độ phức A biểu
diễn vị trí của véc tơ phức z tại thời điểm t = 0. Véc tơ phức z cịn đƣợc gọi là véc tơ
quay.
iy

iy
z
A=|z|
A=Ae

z

y=Im(z)

i

t

t+



x

x
A

Hình 1.2 Biểu diễn phức dao động điều hồ
Nhờ cơng thức Euler
eiφ = cosφ + isinφ
Ta có
y t = Im z t

= A Im(ei

ωt+α

) = Asin(ωt + α)

Trị tuyệt đối của véc tơ phức z bằng biên độ của dao động điều hoà. Việc biễu
diễn dao động điều hoà bằng véc tơ phức quay trong mặt phẳng số gọi là ảnh véc tơ
phức của dao động điều hoà.
1.1.3 Tổng hợp hai dao động điều hoà cùng phƣơng và cùng tần số
Cho 2 dao động điều hoà cùng phƣơng và cùng tần số
y1 t = A1 sin 𝜔𝑡 + 𝛼1 ;
y2 t = A2 sin⁡
(ωt + α2 )
Tổng của hai dao động điều hoà trên đƣợc xác định bởi hệ thức
y t = A1 sin ωt + α1 + A2 sin⁡
(ωt + α2 )
Sử dụng định lý cộng đối với hàm sin ta có
y t = A1 sin ωt cosα1 + A1 cosωtsinα1 + A2 sinωtcosα2 + A2 cosωtsinα2

= A1 cosα1 + A2 cosα2 sinωt + A1 sinα1 + A2 sinα2 cosωt
Nếu ta đƣa vào các ký hiệu
Acosα = A1 cosα1 + A2 cosα2
Asinα = A1 sinα1 + A2 sinα2
thì biểu thức trên có dạng
y t = Asinωtcosα + Acosωtsinα = Asin(ωt + α)
(1.13)
Nhƣ thế tổng hợp hai dao động điều hoà cùng phƣơng và cùng tần số là dao
động điều hoà với tần số là tần số của các dao động điều hoà thành phần, biên độ A và
góc pha ban đầu 𝛼 đƣợc xác định bởi các hệ thức sau

6


A=

A1 cosα1 + A2 cosα2
=

α  arctg

2

+ A1 sinα1 + A2 sinα2

2

(1.14)

A21 + A22 + 2A1 A2 cos⁡

(α1 − α1 )

A1 sin α1  A 2 sin α 2
A1 cos α1  A 2 cos α 2

(1.15)

hoặc

A1 sin α1  A 2 sin α 2
(1.16)
A
Nếu sử dụng cách biểu diễn phức dao động điều hồ, thì hai dao động điều hồ
thành phần có dạng
α  arcsin

z1 = A1 ei(ωt+α 1 ) ;
z2 = A2 ei(ωt+α 2 )
Từ đó dao động tổng hợp có dạng
z = z1 + z2 = A1 eiα 1 + A2 eiα 2 eiωt = (A1 + A2 )eiωt = Aeiωt

(1.17)

Trong đó
A = A1 + A 2
(1.18)
Cơng thức (1.18) đƣợc biểu diễn trên mặt phẳng số nhƣ hình 1.3. Sử dụng cơng
thức Euler, từ (1.17) ta sẽ tìm đƣợc các cơng thức xác định biên độ và pha ban đầu của
dao động tổng hợp nhƣ các công thức (1.14) và (1.15)
Khi các pha ban đầu 𝛼1 = 𝛼2 = 0 thì ta có

A = A1 + A 2
Hai dao động điều hồ y1(t) và y2(t) có cùng
phƣơng, cùng tần số và cùng biên độ đƣợc gọi là các
dao động đồng bộ. Mặc dù rằng các biên độ A1 và A2
của chúng có thể biểu diễn các đại lƣợng vật lý khác
nhau. Thí dụ nhƣ y1(t) biểu diễn lực thay đổi điều hoà,
y2(t) biểu diễn biến dạng đàn hồi do lực đó gây ra.
Chúng tạo nên một quá trình diễn biến đồng bộ.

A
A1

1



2

A2

Hình 1.3 Tổng hợp hai dao
động điều hồ

1.2 DAO ĐỘNG TUẦN HỒN
1.2.1 Các tham số động học của dao động tuần hoàn
Một hàm số y(t) đƣợc gọi là hàm tuần hoàn, nếu tồn tại một hằng số T > 0, sao
cho với mọi t ta có hệ thức
y(t + T) = y(t)
(2.1)
Một quá trình dao động đƣợc mô tả về mặt động học bởi một hàm tuần hoàn

y(t) đƣợc gọi là dao động tuần hoàn. Hằng số T nhỏ nhất để cho hệ thức (2.1) đƣợc
thoả mãn gọi là chu kỳ dao động. Hình vẽ 1.5 biểu diễn một quá trình diễn biến theo
thời gian của một dao động tuần hoàn.
Chú ý rằng nếu hàm số y(t) có chu kỳ T thì hàm số u(t) = y(at) có chu kỳ là T/a.

7


Thực vậy
u t+

T
T
=y a t+
a
a

= y at + T = y at = u(t)

Hình 1.4 Dao động tuần hồn
Đại lƣợng nghịch đảo của chu kỳ dao động

1
(2.2)
T
đƣợc gọi là tần số dao động. Nhƣ thế tần số dao động f là số dao động thực hiện
trong một đơn vị thời gian. Nếu chu kỳ dao động T tính bằng giây (s) thì tần số dao
động f tính bằng s-1 hoặc Hz (Hertz). Trong kỹ thuật ngƣời ta hay sử dụng khái niệm
tần số vòng ω
ω = 2πf

(2.3)
Khái niệm tần số vịng ω đƣợc dung nhiều nên đơi khi ngƣời ta hay gọi tắt nó là
tần số dao động. Cần chú ý đến cách gọi tắt này để khỏi nhầm lẫn với khái niệm tần số
dao động f. Thứ nguyên của ω là rad/s hoặc 1/s.
Biên độ A của dao động tuần hoàn y(t) đƣợc định nghĩa bởi hệ thức sau
f

A=

1
2

max y t − min y(t)

(2.4)

Đối với dao động tuần hoàn, ngoài các tham số động học đặc trƣng nhƣ chu kỳ,
tần số, biên độ ngƣời ta còn sử dụng các tham số giá trị trung bình theo thời gian của
hàm y(t) trong một chu kỳ. Ba loại giá trị trung bình hay đƣợc sử dụng là giá trị trung
bình tuyến tính

y tt 

1
T

T
2

T y  t  dt



(2.5)

2

giá trị trung bình hiệu dụng

8


1
T

y hd 

T
2

2
T y  t  dt



(2.6)

2

và giá trị trung bình hiệu chỉnh

y hc 

1
T

T
2

T y(t) dt



(2.7)

2

Trong các cơng thức (2.5), (2.6) và (2.7) khoảng lấy tích phân – T/2, T/2 có
thể thay bằng khoảng t 0 , t 0 + T .
1.2.2 Tổng hợp hai dao động điều hồ có cùng phƣơng khác tần số với tỷ lệ giữa
hai tần số là số hữu tỷ
Cho hai dao động điều hoà thành phần
y1 t = A1 sin 𝜔1 𝑡 + 𝛼1

;

y2 t = A2 sin⁡
(ω2 t + α2 )

với

ω1 T2 p

 1
ω2 T1 q

 p,q  1, 2,3

(2.8)

Tổng của hai dao động điều hoà trên đƣợc xác định bởi hàm
y t = y1 t + y2 t = A1 sin ω1 t + α1 + A2 sin ω2 t + α2

(2.9)

Chu kỳ của dao động thành phần y1(t) là T1 = 2π/ω1 , của dao động thành phần
y2(t) là T2 = 2π/ω2 . Từ công thức (2.8) ta suy ra chu kỳ của dao động tổng hợp y(t) là
T = pT1 = qT2
(2.10)
Vậy tổng hợp hai dao động điều hoà cùng phƣơng khác tần số với tỷ lệ giữa hai
tần số là số hữu tỷ ω1 : ω2 = p: q là một dao động tuần hoàn chu kỳ T = pT1 = qT2.
Nếu p/q là phân số tối giản thì T là bội số chung nhỏ nhất của T1 và T2.
Hình 1.5 là đồ thị dao động tổng hợp của hai dao động điều hoà với A1:A2 =
2:1, ω1 : ω2 = 2: 3, α1 = 0, α2 = π 3

Hình 1.5 Đồ thị dao động tổng hợp của hai dao động điều hoà

9

Nếu sử dụng các véc tơ phức ta có thể viết một cách hình thức nhƣ sau
z = z1 + z2 = z1 eiψ 1 + z2 eiψ 2 = z eiψ
Trong đó

(2.11)

z1 = A1 ; z2 = A2 ; ψ1 = ω1 t + α1 ; ψ2 = ω2 t + α2
Từ hình vẽ 1.6 ta có thể xác định đƣợc mođun z và argument ψ của số phức z
z =

z1

2

+ z2

=

ψ  t   arcsin

2

− 2 z1 z2 cos π − ψ2 − ψ1

(2.12)

A21 + A22 + 2A1 A2 cos ω2 − ω1

z1 sin ψ1  z2 sin ψ2

= arcsin

(2.13)

z
A1 sin ω1 t + α1 + A2 sin ω2 t + α2
z

Bây giờ ta xét một trƣờng hợp riêng quan trọng. Đó là trƣờng hợp 1 - 2 nhỏ
và biên độ các dao động điều hoà thành phần bằng nhau A1 = A2 = A. Chú ý đến hệ
thức lƣợng giác 2𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 = 1 + 𝑐𝑜𝑠2𝛼, từ công thức (2.12) ta suy ra
z = A 2 1 + cos ω2 − ω1 t + α2 − α1
= 2A cos ω2 − ω1 t + α2 − α1 /2

2.14

Hình 1.6 Tổng hợp hai dao động điều hoà
Chú ý đến hệ thức lƣợng giác sinα  sinβ  2sin

α β
α β
cos
ta có thể biến
2
2

đổi biểu thức (2.13) về dạng đơn giản hơn
ω2 + ω1 t + α2 + α1
ω2 − ω1 t + α2 − α1
2sin

. cos
2
2
ψ t = arcsin
ω2 − ω1 t + α2 − α1
2cos
2

10


=

1
2

ω1 + ω2 t + α2 + α1

(2.15)

Để viết cho gọn ta đƣa vào ký hiệu
 ω2  ω1  t  α 2  α1 
a  t   2Acos 
2
Chú ý đến (2.14), (2.15), (2.16) từ công thức (2.11) ta suy ra

(2.16)

y t = Im(z)

 ω2  ω1  t  α 2  α1 
 ω2  ω1  t  α 2  α1 
 2Acos 
sin 
2
2
 ω2  ω1  t  α 2  α1 
 a  t  sin 
2

(2.17)

Vậy khi ω1 khá gần ω2 và biên độ A1 = A2, dao động tổng hợp (2.17) là dao
động hình sin với tần số vòng ω = ω1 + ω2

2 và biên độ dao động a(t) là hàm thay

đổi chậm theo thời gian. Tần số vòng của biên độ a(t) là ω1 − ω2 2. Quá trình dao
động nhƣ thế đƣợc gọi là hiện tƣợng phách. Hình 1.7 là một thí dụ minh hoạ về dao
động tổng hợp của hai dao động điều hồ tần số khá gần nhau.

Hình 1.7 Dao động tổng hợp của hai dao động điều hoà tần số khá gần nhau
1.2.3 Phân tích Fourier các hàm tuần hồn
Trong thực tế ta ít gặp các dao động điều hoà thuần tuý mà thƣờng hay gặp các
dao động phức tạp biểu diễn bằng hàm tuần hoàn. Một hàm tuần hoàn chu kỳ 𝑇 =

2𝜋
𝜔

với một số giả thiết mà trong thực tế ln chấp nhận đƣợc có thể phân tích thành chuỗi

Fourier


y  t   a0    ak coskt  bk sinkt 

(2.18)

k 1

Trong đó a0 , ak , bk đƣợc gọi là các hệ số Fourier và đƣợc xác định bởi các công
thức

11


a0 

1T
y  t  dt
T 0

bk 

2T
y  t  sin kt dt
T 0

k  1,2,.

2T

ak   y  t  cos kt dt
T0

k  1,2,

(2.19)

Chuỗi Fourier (2.18) có thể viết dƣới dạng chuẩn của dao động


y  t   a0  Ak sin  kt  ak 

(2.20)

k 1

với

 k  arctg

Ak  ak2  bk2 ,

ak
bk

(2.21)

Việc phân tích một hàm tuần hồn thành chuỗi Fourier đƣợc gọi là phân tích
điều hồ. Hằng số a0 đƣợc gọi là giá trị trung bình của dao động, số hạng A1 sin⁡
(ωt +

α1 ) đƣợc gọi là dao động cơ bản, số hạng Ak sin⁡
(kωt + αk ) đƣợc gọi là dao động bậc
k-1 (với k > 1) hay gọi là các điều hoà.
Nếu một chuỗi Fourier hội tụ đều thì nó sẽ hội tụ đến giá trị của hàm y(t). Đối
với chuỗi Fourier hội tụ đều thì ta có thể tích phân, vi phân từng số hạng của chuỗi.
Chú ý rằng một chuỗi Fourier nào đó hội tụ, nhƣng chuỗi các đạo hàm các thành phần
của nó có thể khơng hội tụ.
Thí dụ 1.1: Phân tích Fourier hàm răng cƣa nhƣ hình 1.8. Biết rằng giá trị của
hàm ở các vị trí nhảy bằng khơng.

h

y

O

t
T

Hình 1.8 Hàm răng cưa
Lời giải: Trong khoảng 0 < t < T hàm răng cƣa tuân theo quy luật
2t
y t = h −1 +
T
Vậy y(t) là hàm lẻ, y(-t) = -y(t). Do đó các hệ số Fourier ak = 0. Theo công thức
(2.19) ta có

12

2h
bk =
T

T

−1 +
0

2t
2kπt
2h
sin
dt = −
T
T
kπ

Từ đó suy ra chuỗi Fourier của hàm răng cƣa có dạng
2h
y t =−
π

∞

k=1

1
2kπt
sin

k
T

Theo tiêu chuẩn hội tụ Abel chuỗi trên hội tụ.
Ta xét các tổng bộ phận của chuỗi trên
2h
yn t = −
π

n

k=1

1
2kπt
sin
k
T

Trên hình 1.9b là đồ thị của đƣờng cong yn(t) (n = 1, 2, 3) của chuỗi trong nửa
chu kỳ. Khi n càng tăng thì yn(t) càng gần giống y(t).
Trong khi nhiều bài toán thực tế hàm y(t) thƣờng cho dƣới dạng đồ thị hoặc
bảng số. Khi đó để xác định các hệ số Fourier a0, ak, bk ta không thể sử dụng các cơng
thức tích phân (2.19). Để phân tích điều hồ gần đúng, ngƣời tat hay chuỗi Fourier
(2.18) của hàm y(t) bằng một đa thức lƣợng giác
n

yn t = a0 +

ak cos

k=1

2kπt
2kπt
+ bk sin
T
T

(2.22)

Hình 1.9 Đồ thị đường cong yn(t)
Để xác định các hệ số Fourier a0, ak, bk ngƣời ta chia khoảng tích phân (0, T)
thành m phần bằng nhau (m ≥ 2n+1) và xác định giá trị của hàm y(t) tại các điểm ti

iT
 i=1,2,…,m 
m
Các công thức (2.19) đƣợc thay bởi công thức sau
ti =

a0 

1 m
y  t i 
m i1

(2.23)

(2.24)

13


2
ak =
m
bk =

2
m

m

y t i cos

2kiπ
m

y t i sin

2kiπ
m

i=1
m

i=1

, (k = 1,2, … , n)

1.2.4 Biểu diễn các hàm tuần hồn trong miền tần số
Ta chọn hệ toạ độ vng góc, trục hồnh biểu diễn tần số ω (hoặc tần số f), trục
tung biểu diễn độ lớn các biên độ A của các điều hoà. Việc biểu diễn các biên độ Ak
ứng với tần số ωk = kω của điều hoà thứ k trong chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn y(t)
trong mặt phẳng 𝜔, 𝐴 gọi là biểu diễn hàm tuần hoàn y(t) trong miền tần số. Tập hợp
các biên độ Ak trong khai triển Fourier (2.20) của hàm tuần hoàn y(t) đƣợc gọi là phổ
của hàm tuần hoàn y(t). Trên hình 1.10 biểu diễn phổ của hàm răng cƣa trong thí dụ 1.1.
Việc cho biết các biên độ Ak của các điều hoà chƣa đủ các thong tin về hàm
y(t), bởi vì ta chƣa biết đƣợc các pha ban đầu của các điều hồ đó. Tuy nhiên từ biểu
đồ biên độ - tần số ta cũng có thể giải quyết đƣợc khá nhiều vấn đề của bài toán dao
động cần nghiên cứu. Từ kết quả đo dao động, các máy phân tích tần số đơn giản cũng
có thể xác định đƣợc biên độ của dao động cơ bản và các dao động bậc cao. Việc xác
định các pha ban đầu đòi hỏi các thiết bị đo tƣơng đối phức tạp.
Dao độ
ng cơ bả
n

Ak

1. 2. 3. 4. 5. Dao độ
ng bậ
c cao
2. 3. 4. 5. 6. Bậ
c điề
u hoà


     
1

1

1

1

1

1

Hình 1.10 Phổ của hàm răng cưa
Nếu muốn biểu diễn đầy đủ các thông tin về một hàm tuần hoàn trong miều tần
số, ta sử dụng hai biểu đồ, một để vẽ các hệ số Fourier ak, một để vẽ các hệ số bk. Khi
đó biên độ và pha ban đầu của các điều hoà sẽ đƣợc xác định bởi công thức (2.21)
1.2.5 Biểu diễn đồng thời hai đại lƣợng dao động điều hoà theo hai phƣơng vng
góc với nhau
a. Hai dao động điều hồ có cùng tần số
Giả sử cho hai dao động điều hoà cùng tần số thực hiện chuyển động đồng thời
theo hai phƣơng vng góc với nhau
x t = Asin ωt + α1

;

y t = Bsin ωt + α1

14

(2.25)

Từ hai phƣơng trình (2.25) khử biến thời gian t đi ta sẽ có phƣơng trình quỹ
đạo. Trƣớc hết ta viết lại phƣơng trình (2.25) dƣới dạng sau

x
 sinωtcosα1  sin α1cosωt
A
y
 sinωtcosα2  sin α2cosωt
B

(2.26)
(2.27)

Nhân hai phƣơng trình (2.26) với −cosα2 , phƣơng trình (2.27) với cosα1 rồi
cộng lại ta đƣợc



x
y
cosα2  cosα1  cosωtsin  α 2  α1 
A
B

(2.28)

Nhân phƣơng trình (2.26) với sinα2 , phƣơng trình (2.27) với −sinα1 rồi cộng vế
với vế

x

y
sin α2  sin α1  sinωtsin  α 2  α1 
A
B

(2.29)

Bình phƣơng hai vế của các phƣơng trình (2.28), (2.29) rồi cộng lại ta đƣợc
phƣơng trình

x 2 y2
x y
cos  α2  α1   sin 2  α 2  α1 
2  2 2
AB
A B

(2.30)

Phƣơng trình (2.30) là phƣơng trình đƣờng cong bậc hai với x, y theo (2.27) có
giá trị giới nội. Vậy (2.30) là phƣơng trình của đƣờng elip. Dạng của elip này phụ
thuộc vào các biên độ dao động điều hoà A, B và vào hiệu các góc pha ∆α = α2 − α1 .
Ta xét một số trƣờng hợp đặc biệt sau đây
1. Trƣờng hợp ∆α = α2 − α1 = 0. Phƣơng trình (2.30) có dạng
2

 x y
 A  B  0





y

B
x
A

(2.31)

Phƣơng trình elip suy biến thành phƣơng trình đƣờng thẳng. Quỹ đạo là một
đoạn thẳng −A ≤ x ≤ A, −B ≤ y ≤ B .
2. Trƣờng hợp ∆α = α2 − α1 = π. Phƣơng trình (2.30) có dạng
2

 x y
 A  B  0





y

B
x
A

(2.32)

Phƣơng trình elíp suy biến thành phƣơng trình đƣờng thẳng. Quỹ đạo là một
đoạn thẳng −A ≤ x ≤ A, −B ≤ y ≤ B .
3. Trƣờng hợp ∆α = α2 − α1 = π/2 hoặc 3𝜋/2. Phƣơng trình (2.30) có dạng

x 2 y2

1
A 2 B2

(2.33)

15


Phƣơng trình này chứng tỏ quĩ đạo chuyển động là một elip lấy Ox, Oy làm trục
và có hai bán trục là A và B.
y

y

y

y

x

x



x



x





Hình 1.11 Chiều chuyển động của điểm ảnh P(x,y) trên quỹ đạo
Chú ý đến phƣơng trình (2.25) ta xác định đƣợc chiều chuyển động của điểm
ảnh P(x,y) trên quĩ đạo (hình 1.11). Chẳng hạn khi ∆α = α2 − α1 = π/2 điểm ảnh P
chuyển động trên quỹ đạo theo chiều kim đồng hồ, khi ∆α = α2 − α1 = 3π/2 điểm
ảnh P chuyển động trên quỹ đạo theo chiều ngƣợc chiều kim đồng hồ.
Bây giờ chuyển sang xét trƣờng hợp biên độ của các đại lƣợng dao động có độ
lớn nhƣ nhau A = B. Bằng phép biến đổi các trục chính của elip, ta sẽ đƣợc kết quả là
các trục chính sẽ nghiêng một góc β = 450 đối với các trục toạ độ. Dạng của elip bây
giờ chỉ phụ thuộc vào hiệu hai góc pha ∆α = α2 − α1 . Từ phƣơng trình (2.30) ta suy ra

x 2  y2  2xycos(α2  α1)  A2 sin 2 (α2  α1)
Ký hiệu a, b là các bán trục của elip. Ngƣời ta chứng minh đƣợc

α  2arctg

b
a

(2.34)

Trên hình 1.12 là một vài đƣờng cong quĩ đạo của điểm ảnh với các ∆α =
α2 − α1 khác nhau.
y

y


b

A

y


b/a

A
a

a

b

A

x

b

A

a)

A

x

b)

y

c)

y


b/a

A
b


b=a

A

A



a=0

a

A

x

A

d)

x

e)

Hình 1.12 Một số đường cong quỹ đạo của điểm ảnh

16

x


b. Hai dao động điều hoà khác tần số với tỷ lệ giữa hai tần số là số hữu tỷ
Cho hai dao động điều hoà thực hiện chuyển động dọc theo hai trục toạ độ
vng góc với nhau có dạng
x t = Asin ω1 t + α1 ;
y t = Bsin ω2 t + α2
(2.35)
với

ω1 T2 p
=
= ≠1
(p, q = 1,2,3, … . )
ω2 T1 q
Trong trƣờng hợp này quĩ đạo là những đƣờng cong phức tạp nội tiếp trong một
hình chữ nhật cạnh là 2A và 2B và đƣợc gọi là các đƣờng cong Lissajou. Hình dạng
của chúng phụ thuộc vào tỷ số ω1 /ω2 và hiệu số của các pha ∆α = α2 − α1 . Trên hình
1.13 là đƣờng cong Lissajou khi ω1 : ω2 = 2: 3 và ∆α = α2 − α1 = 0.

Hình 1.13 Đường cong Lissajou khi 𝜔1 : 𝜔2 = 2: 3 và ∆𝛼 = 𝛼2 − 𝛼1 = 0
Ngƣời ta chứng minh đƣợc rằng tỷ số ω1 /ω2 bằng tỷ số cực đại các múi của
đƣờng Lissajou dọc theo các trục Ox và Oy. Trên hình 1.14 là đồ thị các đƣờng
Lissajou với ∆α = 0, T1 /T2 lần lƣợt là 1/2, 2/3 và 3/4.
Dựa vào hình dạng các đƣờng Lissajou ta có thể xác định đƣợc chu kỳ của một
dao động thành phần khi biết chu kỳ dao động của thành phần kia. Các đƣờng cong
Lissajou đƣợc sử dụng nhiều trong kỹ thuật do dao động.

𝑇1 1
=
𝑇2 2

𝑇1 2
=
𝑇2 3
17

𝑇1 3
=
𝑇2 4

Hình 1.14 đồ thị các đường Lissajou
1.2.6 Biểu diễn dao động tuần hoàn trên mặt phẳng pha
Giả sử y(t) là một đại lƣợng dao
.
y

động. Khi đó đạo hàm của y(t) theo thời

t0

gian, ký hiệu là y(t), cũng là một đại lƣợng

t1

dao động. Ta có thể xem y(t), y(t) là cách

t2
t3

biểu diễn dạng tham số của hàm y(y). Ta
chọn hệ trục toạ độ vng góc với trục

y

O

hồnh là y, trục tung là y. Đồ thị của hàm
y(y) trong hệ toạ độ vng góc đó đƣợc

gọi là quỹ đạo pha hay đƣờng cong pha.

Hình 1.15 Điểm ảnh trên quỹ đạo pha

Mặt phẳng (y, y) đƣợc gọi là mặt phẳng
pha. Trong mặt phẳng pha, dao động đƣợc mô tả bởi sự di chuyển của điểm ảnh P(y,
y). Biểu diễn trên mặt phẳng pha ta khơng thấy đƣợc q trình tiến triển của dao động
theo thời gian. Để khắc phục nhƣợc điểm này, ngƣời ta gắn vào vị trí của các điểm ảnh
trên quỹ đạo pha một thơng tin phụ về thời gian (hình 1.15).
Điểm ảnh P(y, y) cho biết giá trị tức thời của đại lƣợng dao động y và đạo hàm
của nó theo thời gian ý ở thời điểm t. Ƣu điểm của sự biểu diễn dao động trên mặt
phẳng pha là từ dạng hình học của quỹ đạo pha ta có thể rút ra những kết luận quan
trọng về tính chất của đại lƣợng dao động. Nếu đại lƣợng dao động là tuần hồn thì
quỹ đạo pha là đƣờng cong kín.
Trƣờng hợp đơn giản của dao động tuần hoàn là dao động điều hồ. Từ phƣơng
trình dao động điều hồ
y = Asin ωt + α
y = ωAcos(ωt + α)
.
y



.
y

A

+A
y

-A

y

+A

A

-A

-A
a)

b)

-A

Hình 1.16 Các quỹ đạo pha của dao động điều hoà
Khử t ta đƣợc phƣơng trình quỹ đạo pha dao động điều hồ

18


y 2
y 2
+
=1
(2.36)
A

ωA
Phƣơng trình (2.36) biểu diễn trên mặt phẳng pha một elip với các bán trục là A
và ωA (hình 1.16a). Nếu chọn tỷ xích trên các trục hồnh và trục tung một cách thích
hợp thì quỹ đạo pha của dao động điều hồ là đƣờng trịn (hình 1.16b).
Đối với một số q trình dao động tuần hồn ta rất khó biểu diễn phƣơng trình
quỹ đạo pha y = f(y) dƣới dạng giải tích. Trong trƣờng hợp đó ta phải vẽ quỹ đạo pha
bằng cách tính các trị số y(tk) và y(tk) với k = 0, 1, 2,…,n. Ngày nay với sự phát triển
của tin học việc vẽ các quỹ đạo pha khá thuận tiện và đơn giản.
Để làm thí dụ ta vẽ quỹ đạo pha dao động răng cƣa trong thí dụ 1.1 với các gần
đúng n = 1, 2, 3. Từ thí dụ 1.1 ta có
2h
yn t = −
π

n

k=1

1
2kπt
sin
;
k
T

4h
yn t = −
T

n

cos
k=1

2kπt
T

Từ đó ta vẽ đƣợc các quỹ đạo pha với n = 1, 2, 3 nhƣ trên hình 1.17. Với n = 1
ta có quỹ đạo pha dao động điều hoà. Với n = 2 và n = 3 ta có quỹ đạo pha dao động
tuần hoàn.
Chú ý rằng ở nửa trên của mặt phẳng pha do y > 0 nên hàm y tăng. Các điểm
ảnh chuyển động trên quỹ đạo pha từ trái sang phải. Ở nửa dƣới mặt phẳng pha do
y < 0 nên các điểm ảnh chuyển động từ phải qua trái.
Nếu biết đƣợc phƣơng trình quỹ đạo pha y = f(y) thì ta tính đƣợc hàm ngƣợc
giữa t và y
y

dt =

dy
→ t = t0 +
f(y)

y0

dy
f(y)

(2.37)

Đối với các dao động tuần hoàn, ta có thể tìm đƣợc chu kỳ dao động T bằng
cách tích phân theo hệ thức (2.37) trên tồn bộ quỹ đạo pha kín. Đối với dao động điều
hồ thì từ phƣơng trình (2.36) ta có
y = ω A2 − y 2
Do đó ta tính đƣợc chu kỳ dao động theo hình 1.16
A

T=2
−A

A

dy
ω A2 − y 2

=

2
y
arcsin
ω
A

=
−A

19

2π
ω

Hình 1.17 Các quỹ đạo pha của dao động mơ tả bởi hàm răng cưa
1.3 DAO ĐỘNG KHƠNG TUẦN HỒN
1.3.1 Tổng hợp hai dao động điều hoà cùng phƣơng khác tần số với tỷ lệ giữa hai
tần số là số vô tỷ
Trong phần trên ta đã thấy tổng hợp hai dao động điều hoà cùng phƣơng khác
tần số với tỷ lệ giữa hai tần số là số hữu tỷ ω1 : ω2 = p: q là dao động tuần hoàn chu kỳ
T = pT1 = qT2 . Bây giờ ta xét bài toán
y t = y1 t + y2 t = A1 sin ω1 t + α1 + A2 sin ω2 t + α2

(3.1)

Trong đó tỷ số ω1 : ω2 là một số vô tỷ. Dao động tổng hợp y(t) khơng phải là
dao động tuần hồn vì bội số chung nhỏ nhất của T1 = 2π/ω1 , và T2 = 2π/ω2 khơng
tồn tại. Tuy nhiên ta có thể biểu diễn
20


ω1 p
= +ε
ω2 q

(3.2)

với ε bé tuỳ ý. Khi đó ta chọn T ≈ pT1 ≈ qT2 , dao động tổng hợp là hàm hầu
tuần hoàn. Chú ý rằng hàm y(t) gọi là hàm hầu tuần hoàn nếu với 𝜂 > 0 cho trƣớc bé
tuỳ ý tồn tại một hằng số T* mà y t + T ∗ − y(t) < 𝜂. Vậy tổng hợp hai dao động
điều hoà cùng phƣơng khác tần số với tỷ lệ giữa hai tần số là số vô tỷ ta đƣợc dao
động hầu tuần hồn.

Thí dụ 1.2: Tổng hợp hai dao động điều hồ cùng phƣơng với tỷ lệ hai tần số là
ω1 : ω2 = 2 2 , A1 = A2 , α1 = α2 = 0.
Lời giải: Dao động tổng hợp là
y t = A sin ω1 t + A sin 2ω1 t
Chú ý đến hệ thức lƣợng giác sinα + sinβ = 2sin
có dạng y t = 2Asin

1+ 2
2

ω1 t cos

1− 2
2

(3.3)
α+β
2

cos

α−β
2

, biểu thức (3.3)

ω1 t

(3.4)

Trên hình 1.18a là quá trình diễn biến dao động theo thời gian với A = 1 và
ω1 = 2πs −1 . Chu kỳ của các dao động thành phần là T1 = 1 s, T2 = 2 2 s .
Trên hình 1.18b biểu diễn tiến trình dao động trên biểu đồ véc tơ phức, cịn trên
hình 1.18c là tiến trình dao động biểu diễn trên mặt phẳng pha. Trên các hình này, các
đƣờng cong biểu diễn dao động khơng tuần hồn là các đƣờng cong khơng kín. Quỹ
đạo pha cho ta thấy tính khơng tuần hoàn của dao động rõ hơn trên đồ thị diễn biến
dao động theo thời gian.

Hình 1.18a Quá trình diễn biến dao động theo thời gian

21


Hình 1.18b Tiến trình dao động trên biểu đồ véc tơ phức

Hình 1.18c Tiến trình dao động biểu diễn trên mặt phẳng pha
1.3.2 Biểu diễn tích phân Fourier các hàm khơng tuần hồn
Nhƣ chúng ta đã biết một hàm tuần hồn có thể biểu diễn qua các hàm điều hồ
bằng chuỗi Fourier. Vấn đề đặt ra ở đây là có thể biểu diễn hàm khơng tuần hồn y(t)
qua các hàm điều hoà với một số khái niệm suy rộng nào đó về chuỗi Fourier đƣợc hay
khơng?

22


Giả sử y(t) là một hàm xác định trên toàn bộ trục số, trong một đoạn hữu hạn
hàm y(t) liên tục hoặc có thể có một số hữu hạn điểm gián đoạn và hàm y(t) tuyệt đối
khả tích. Điều đó có nghĩa là tích phân suy rộng
∞

I=

y(t) dt

(3.5)

−∞

tồn tại và có giá trị hữu hạn. Khi đó trong tốn học đã chứng minh đƣợc rằng
hàm y(t) có thể biểu diễn dƣới dạng tích phân Fourier nhƣ sau
∞

y t =

a ω cosωt + b ω sinωt dω

(3.6)

−∞

Trong đó các hàm a(ω) và b(ω) đƣợc xác định bởi các hệ thức

1 
a  ω 
y  τ  cosωτdτ
2π 
1
b ω =
2π

(3.7)

∞

y τ sinωτdτ
−∞

So sánh cách biểu diễn bằng chuỗi Fourier các hàm tuần hồn với cách biểu
diễn bằng tích phân Fourier các hàm khơng tuần hồn ta thấy có sự tƣơng tự giữa công
thức (2.18) với (3.6), giữa công thức (2.19) với (3.7). Trong đó chu kỳ T → ∞, mật độ
phổ rời rạc xác định bởi hệ thức (2.19) thay bằng mật độ phổ liên tục xác định bởi
(3.7). Tuy nhiên trong (2.19) các đại lƣợng ak và bk là các biên độ của các thành phần
cosin và sin ứng với tần số ωk = kω của điều hoà thứ k. Đơn vị của chúng trùng với
đơn vị của đại lƣợng dao động y(t). Trong (3.7) các hàm a(ω) và b(ω) đƣợc gọi là
mật độ phổ, hay gọi tắt là mật độ. Đơn vị của chúng bằng đơn vị của đại lƣợng dao
động y(t) nhân với đơn vị thời gian.
Biểu thức
A ω =

a2 ω + b 2 (ω)

(3.8)

đƣợc gọi là phổ mật độ biên độ hay gọi tắt là mật độ biên độ. Bình phƣơng của
mật độ biên độ
A2 ω = a2 ω + b2 ω
(3.9)
đƣợc gọi là phổ mật độ công suất hay gọi tắt là mật độ công suất. Chú ý rằng
cách gọi này trong một số tài liệu khơng đƣợc thống nhất. Có tài liệu gọi A(ω) và
A2 (ω) là phổ biên độ và phổ công suất. Cách gọi ấy thật ra khơng đƣợc chính xác.

Nếu y(t) là hàm chẵn hoặc hàm lẻ, thì biểu diễn tích phân Fourier của y(t) sẽ
đơn giản hơn nhiều. Nếu y(t) là hàm chẵn, do y(-t) =y(t) nên b(ω)=0 và

23


1
a ω =
π

∞

y τ cosωτdτ

(3.10)

0

Biểu thức (3.8) có dạng
A ω = a(ω)

(3.11)

Nếu y(t) là hàm lẻ, y(-t) = -y(t), ta có a ω = 0 và
1
b ω =
π

∞

y τ sinωτdt

(3.12)

0

Từ đó suy ra
A ω = b(ω)
(3.13)
Trong nhiều bài tốn ứng dụng ngƣời ta cũng hay sử dụng cách biểu diễn tích
phân Fourier dạng phức. Từ hệ thức
1
y t =
2π

∞

∞

dω
−∞

−∞

1
y τ eiω(t−τ) dτ =
2π

∞

∞

eiωt dω
−∞

y τ e−iωτ dτ (3.14)
−∞

ta suy ra
∞

A ω eiωt dω

y t =

(3.15)

−∞

Trong đó
1
A ω =
2π

∞

y τ e−iωτ dτ
−∞

= a ω − ib ω = A(ω) e−iφ(ω) = A ω e−iφ

ω

(3.16)

Đại lƣợng A ω gọi là phổ mật độ biên độ phức, A(ω) nhƣ trên đã gọi là mật
độ biên độ thực, φ ω = arctg b(ω)/a(ω) là phổ pha.
Thí dụ 1.3: Cho y(t) là hàm va chạm lý
tƣởng, đƣợc biểu diễn bởi phƣơng trình sau
(hình 1.19a)
c khi t < t 0
y t =
0 khi t ≥ t 0
Hãy xác định mật độ biên độ phức

y(t)
C

t
t0
O
t0
A ω , mật độ cơng suất A2 (ω) và cách biểu
Hình 1.19a Đồ thị hàm y(t)
diễn tích phân của hàm y(t).
Lời giải: Hàm y(t) là hàm thoả mãn các điều kiện về hàm khả tích tuyệt đối. Vì vậy ta
có thể biểu diễn hàm này dƣới dạng tích phân Fourier.

Do y(t) là hàm chẵn nên b ω = 0, ta có
Do tgφ ω = 0 nên có thể lấy φ ω = 0. Từ đó suy ra

24


A ω =a ω
A2 ω = a2 ω =

c 2 t 20 sinωt 0
π2
ωt 0

2

Hình 1.19b Đồ thị hàm 𝐴 𝜔

Hình 1.19c Đồ thị hàm 𝐴2 (𝜔)
Trên hình (1.19b) và (1.19c) là đồ thị các hàm A(ω) và A2 (ω).
Biểu diễn tích phân Fourier của hàm y(t) theo cơng thức (3.6) có dạng
∞

y t =
−∞

c
a ω cosωtdω =
π

∞

−∞

sinωt 0 cosωt
dω
ω

1.3.3 Dao động họ hình sin
Dao động họ hình sin đƣợc mô tả về phƣơng diện động học bởi hệ thức
y t = A t sin ω t t + α(t)

(3.17)

Trong đó A(t), ω(t) và α(t) là các đại lƣợng dao động thay đổi chậm theo thời
gian. Nếu chỉ có A(t) thay đổi thì dao động đƣợc gọi là dao động với biên độ biến đổi.
Tƣơng tự ta có dao động với tần số biến đổi khi chỉ có 𝜔(𝑡) thay đổi, dao động với
pha biến đổi khi chỉ có 𝛼(𝑡) biến đổi. Dao động với pha biến đổi thì tần số của nó
cũng biến đổi, bởi vì tần số của dao động họ hình sin đƣợc xác định bởi hệ thức
d
ωa =
ω t t + α(t)
(3.18)
dt

25