0ntapsohocscpptnghiemnguyenchiahet

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

ƠN TẬP SỐ CHÍNH PHƯƠNG, PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM

NGUYÊN,CHIA HẾT

1) Chứng minh rằng :

là số nguyên.
<b>Bài tập về nhà:</b>

( Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số sao cho :

với n l s nguyờn ln hn 2. )

<i>Bài toán 4.</i>

Chứng minh một số có tổng các chữ số là 2006 không phải là số chính phơng

LG.

- õy ta khụng gặp trờng hợp nh bài toán 3 nên ta phải nghĩ đến phơng pháp khác.

Ta thấy chắc chắn số này chia cho 3 d 2 nên ta có lời giải sau:

- Vì số chíng phơng khi chia cho 3 chỉ có thể d 0 hoặc 1 mà thơi ( đây là kết quả của bài toán mà

ta dễ dàng chứng minh đợc).

- Do tổng các chữ số của số đó là 2006 nên số đó chia cho 3 d 2. Nên số đó khơng phải là số

chính phơng.

VD: Bµi to¸n 7.

Chøng minh sè: n = 4

4

_{+ 44}

4

_{+ 444}

4

_{+ 4444}

4

_{+ 15 không là số chính phơng.}

<i>Nhận xÐt:</i>

-

Nếu chia n cho 3 số d sẽ là 1. Vậy khơng giải đợc theo cách của bài tốn 3,4,5,6.

-

Nếu xét chữ số tận cùng ta thấy chữ số tận cùng của n là 9 nên không giải c theo cỏch

của bài toán 1,2.

Vậy ở đây ta phải dựa vào nhận xét sau (ta có thể cm):

Mt số chính phơng khi chia cho 4 thì số d chỉ có thể là 0 hoặc 1. Lúc đó ta s gii c bi toỏn

ny.

Bài toán 8.

Chứng minh số 4014025 không phải là số chính phơng.
<i>Nhận xét</i>:

Số này có hai chữ số tận cùng là 25 nên chia cho 3 d 1 vµ chia cho 4 cịng d 1, nên không thể áp dụng
bằng cách trên.

LG.

Ta thấy: 20032 _{= 401209; 2004}2_{= 4016016. Nªn 2003}2_{< 4014025 < 2004}2_{. Chứng tỏ số 4014025 không}

phải là số chính phơng.
<i>Bài toán 9.</i>

Chứng minh:

A = n(n+1)(n +2)(n+3) không là số chính ph¬ng víi mäi n

_

N, n

_

0

<i>Nhận xét</i>: Nếu đã quen dạng này ta có thể thấy A+1 phải là số chính phơng ( bài tốn lớp 8) nhng lớp
6,7 có thể giải theo cách sau.

LG.

Ta cã: A+1 = n(n + 1)(n +2)(n + 3) + 1
= (n2 _{+ 3n)(n}2 _{+ 3n + 2) + 1}

= (n2 _{+ 3n)}2 _{+ 2(n}2 _{+ 3n) + 1}

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Mặt khác (n2 _{+ 3n)}2 _{< (n}2 _{+ 3n)}2 _{+ 2(n}2 _{+ 3n) = A}

Điều này hiển nhiên đúng vì: n > 1. Chứng tỏ

(n2 _{+ 3n)}2_{< A < A+1= (n}2_{+3n +1)}2_{. Suy ra A không phải là số chính phơng.}

<b>Ví dơ 3: Chøng minh r»ng nÕu </b><i>n</i>3 th× 32<i>n</i>3<i>n</i> 1 13

<b>Giải:</b>

Vì <i>n</i>3 nên n = 3k + 1 hc n = 3k + 2
1) NÕu n = 3k + 1 th×

2 6 2 3 1 2

3 <i>n</i> 3<i>n</i> 1 3<i>k</i> 3<i>k</i> 1 9.27 <i>k</i> 3.27<i>k</i> 1 9 3 1 0(mod13)

           

V×

27 1(mod13)

2) NÕu n = 3k + 2 th×

₃2<i>n</i> ₃<i>n</i> _{1 3}6<i>k</i>4 ₃3<i>k</i>2 _{1 81.27}2<i>k</i> _9.27<i>k</i> _{1 81 9 19 mod13)}

          

VËy <i>n</i>3 th× 32<i>n</i> 3<i>n</i> 1 13

  

<b>VÝ dô 4: Chøng minh r»ng</b>

a) có thể tìm đợc một số có dạng 19911991...19910...0 và chia hết cho 1992.

b) Trong 8 số tự nhiên mỗi số có 3 chữ số, bao giờ cũng chọn đợc 2 số mà khi viết liền nhau ta đợc một
số có 6 chữ số và chia hết cho 7.

<b>Gi¶i:</b>

a) LÊy 1992 sè 1991; 19911991 ;...;

1992 1991

1991...1991
<i>so</i>

     chia cho 1992. Vì đây là dãy các số lẻ nên
khơng có số nào chia hết cho 1992, do đó d trong phép chia các số này cho 1992 chỉ thể là 1; 2; ...;
1991. Vậy phải có 2 số có cùng d khi chia cho 1992, hiệu 2 số đó có dạng 19911991...19910...0 và chia

hết cho 1992.

b) Lấy 8 số đã cho chia cho 7 thì có 2 số có cùng số d, giả sử là <i>_abc</i> và <i>def</i> chia cho 7 có số d là r.
Khi đó : <i>abcdef</i> 1000<i>abc def</i>

=1000(7<i>k r</i> ) 7 <i>l r</i>

=7(1000<i>k</i> 1 143 ) 7<i>r</i>  (®pcm)
a) <i><b>DÊu hiƯu chia hÕt cho 11</b></i>:

Cho <i>A</i>...<i>a a a a a a</i>_{5 4 3 2 1 0}

<i>A</i>11 _



<i>a</i>0<i>a</i>2<i>a</i>4...

 

 <i>a</i>1<i>a</i>3<i>a</i>5...



_11
<b>Ví dụ 8 Tìm các chữ số x, y để </b><i>N</i> 7 36 5 1375<i>x</i> <i>y</i> 

Gi¶i:
Ta cã: 1375 = 11.125.



 



125 6 5 125 2

7 3625 11 5 6 2 3 7 12 11 1

<i>N</i> <i>y</i> <i>y</i>

<i>N</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

  

          

 

 

<b>B i 4à</b> : <i>Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889; …</i>

<i> Dãy số trên </i>đ<i>ược xây dựng bằng cách thêm số 48 v o già</i> <i>ữa số</i>đ<i>ứng trước nó. Chứng minh rằng </i>
<i>tất cả các số của dãy trên </i>đ<i>ều l sà</i> <i>ố chính phương.</i>

Ta có 44…488…89 = 44…488..8 + 1 = 44…4 . 10n_{+ 8 . 11}…_{1 + 1}

n chữ số 4 n-1 chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số 1

= 4.

9
1
10<i>n</i> 

. 10n _{+ 8.}

9
1
10<i>n</i> 

+ 1

=

9

9
8
10
.
8
10
.
4
10
.

4 2





 <i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i>

=

9

1

10
.
4
10
.

4 2



 <i>n</i>

<i>n</i>

= _







 

3
1
10
.

2 <i>n</i>

Ta thấy 2.10n₊₁₌₂₀₀…_{01 có t}ổ_{ng các ch}ữ_số_{chia h}ế_{t cho 3 nên nó chia h}ế_{t cho 3}

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

n-1 chữ số 0

 _







 

3
1
10
.

2 <i>n</i>



Z hay các số có dạng 44…488…89 l sà ố chính phương.

<b>Bài1: Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương:</b>
<i>a. n2_{+ 2n + 12 b. n ( n+3 )}</i>

<i>c. 13n + 3 d. n2 _{+ n + 1589}</i>

Giải

a. Vì n2_{+ 2n + 12}_{là số chính phương nên đặt n}2_{+ 2n + 12 = k}2 _(k

_

_N)

 _(n2_{+ 2n + 1) + 11 = k}2 _ _k2 _{– (n+1)}2_{= 11}_ _{(k+n+1)(k-n-1) = 11}

Nhận xét thấy k+n+1 > k-n-1 và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết (k+n+1)(k-n-1)
= 11.1  _{k+n+1 = 11} _{k = 6}

k – n - 1 = 1 n = 4

b. Đặt n(n+3) = a2 _(n

_

_N)_ _n2_{+ 3n = a}2 _ _4n2_{+ 12n = 4a}2
_ _(4n2_{+ 12n + 9) – 9 = 4a}2
_ _{(2n + 3)}2 _{- 4a}2_{= 9}

 _{(2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9}

Nhận xét thấy 2n + 3 + 2a > 2n + 3 – 2a và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết (2n
+ 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9.1  _{2n + 3 + 2a = 9} _{n = 1}

2n + 3 – 2a = 1 a = 2
c. Đặt 13n + 3 = y2_{( y}

_

_N)_ _{13(n – 1) = y}2_{– 16}

 _{13(n – 1) = (y + 4)(y – 4)}

 _{(y + 4)(y – 4)} 13 mà 13 là số nguyên tố nên y + 4  13 hoặc y – 4  13
 _{y = 13k}_{4 (Với k}



_N)

 _{13(n – 1) = (13k}_{4 )}2_{– 16 = 13k.(13k}_₈₎

 _{n = 13k}2 __{8k + 1}

Vậy n = 13k2 __{8k + 1 (Với k}

_

_{N) thì 13n + 3 là số chính phương.}

a. Đặt n2 _{+ n + 1589 = m}2 _(m

_

_N)_ _(4n2 _{+ 1)}2_{+ 6355 = 4m}2

 _{(2m + 2n +1)(2m – 2n -1) = 6355}

Nhận xét thấy 2m + 2n +1> 2m – 2n -1 > 0 và chúng là những số lẻ, nên ta có thể viết (2m + 2n +1)
(2m – 2n -1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.41

Suy ra n có thể có các giá trị sau: 1588; 316; 43; 28.

<b>Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình: </b>2(<i>x y</i> ) 16 3 <i>xy</i>
<b>Giải:</b>

Ta có: 2(<i>x y</i> ) 16 3  <i>xy</i> 3<i>xy</i> 2<i>x</i> 2<i>y</i>16

2 4

(3 2) (3 2) 16 (3 2)(3 2) 52

3 3

<i>y x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>y</i>

         

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Giả sử:<i>x y</i> khi đó 1 3 <i>x</i> 2 3 <i>y</i> 2 và 52 = 1.52 = 2.26 = 4.13 ta có các hệ sau:
3 2 1

;
3 2 52

<i>x</i>
<i>y</i>

 




 


3 2 2

;
3 2 26

<i>x</i>
<i>y</i>

 




 


3 2 4

;
3 2 13

<i>x</i>
<i>y</i>

 




 


Giải các hệ trên ta đợc các nghiệm nguyên dơng của phơng trình là: ( 1, 18);
( 18, 1); ( 2, 5); ( 5, 2);

<b>Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: </b><i>x y z xyz</i> (1).

<b>Giải:</b>

Vì x, y ,z có vai trò nh nhau nên ta giả sử 1  x  y  z . Tõ (1) suy ra:

2

1 1 1 3

1 <i>x</i> 1.

<i>xy</i> <i>yz</i> <i>zx</i> <i>x</i>

     

Víi x = 1 ta cã 1 ( 1)( 1) 2 1 1 2

1 2 3

<i>y</i> <i>y</i>

<i>y z</i> <i>yz</i> <i>y</i> <i>z</i>

<i>z</i> <i>z</i>

  

 

        _  _


.

Vậy (1) có nghiệm nguyên dơng ( x, y, z ) = ( 1, 2, 3 ) vµ các hoán vị của nó.

<b>Vớ d 2:</b> Tỡm nghim nguyờn của phương trình: x2_{– (y + 5)x + 5y + 2 = 0} ₍₂₎
Giải: Giả sử phương trình ẩn x có nghiệm ngun x1, x2 thì theo định lý Viet ta có:












2
5
.

5

2
1

2
1

<i>y</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>y</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

=>












2
5
.

25
5
5
5

2
1

2
1

<i>y</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>y</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

=> (x1 – 5)(x2 – 5) = 2 = 1.2 = (-1).(-2)

</div>

<!--links-->