TS247 BG ung dung tinh don dieu de chung minh bat dang thuc 18744 1561431050

BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
MƠN TỐN LỚP 12
THẦY GIÁO: NGUYỄN QUỐC CHÍ
I. CÁCH CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Yêu cầu chứng minh: f(x) > g(x)
+) Chuyển hết các số hạng về một vế ( sao cho có dạng f(x) > 0)
+) Chứng minh f(x) luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên TXĐ
+) Sử dụng tính chất của đồng biến hay nghịch biến để chứng minh.
Bài tập ví dụ
VD1: Chứng minh rằng sin x  x x  0.
Hƣớng dẫn giải
sin x  x  x  sin x  0
+) Gọi f(x) = x – sinx  x  0;      f '  x   1  cos x.
Vì 1  cos x  1  1  cos x  0  f '  x   0 x
 Hàm số f(x) đồng biến.
+) Ta có: x > 0  f(x) > f(0)  x – sinx > 0  x > sinx. (đpcm)
VD2: Chứng minh rằng cos x  1 

x2
x  0.
2

Hƣớng dẫn giải

x2
x2

 cos x  1  0
2
2

x2
)f  x  
 cos x  1
2
)f '  x   x  sin x

cos x  1 

)g  x   x  sin x
Làm tương tự như VD1 ta có: x – sinx > 0
 f’(x) > 0  Hàm số luôn đồng biến  x  0

x2
+) x > 0  f(x) > f(0)   cos x  1  0 (đpcm)
2
II. CÁCH CHỨNG MINH PHƢƠNG TRÌNH CĨ NGHIỆM.
+) Bước 1: Đưa phương trình về dạng f(x) = 0
 nhẩm ra một nghiệm của phương trình
+) Bước 2: Nhận xét f(x) luôn đồng biến hoặc nghịch biến
 Phương trình có nghiệm duy nhất
Bài tập ví dụ
VD1: Chứng minh rằng

1

x  1  x3  3x2  4x  5 có nghiệm duy nhất

Truy cập trang để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!

Hƣớng dẫn giải
ĐK: x  1

x  1   x3  3x 2  4x  5
 x  1  x3  3x 2  4x  5  0.
+) Gọi f  x   x  1  x3  3x2  4x  5
Dễ thấy f(2) = 0  Phương trình có một nghiệm là x = 2.
1
 3x 2  6x  4
2 x 1
1
 f ' x  
 3x 2  6x  3  1
2 x 1
1
 f ' x  
 3  x 2  2x  1  1
2 x 1
1
2
 f ' x  
 3 x  1  1  0
2 x 1

f ' x  

 f(x) đồng biến với mọi x  1.
 x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình.
VD2: Chứng minh rằng: x5  x2  2x  1  0 có nghiệm duy nhất

Hƣớng dẫn giải

x 5  x 2  2x  1  0
 x5  x 2  2x  1
 x5   x  1

2

)  x  1  0  x 5  0  x  0   x  1  1  x 5  1  x  1
2

2

+) Đặt f  x   x5  x2  2x  1
Xét f(x) trên (1; 2)


f 1  3
 f 1 .f  2  69  0
Ta có 

f  2  23
Vì hàm số liên tục trên (1; 2)  Phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (1;2)
)f '  x   5x 4  2x  2
 x 4  4x 4  4x  2x  2
 x 4  4x  x 3  1   2  x  1   0

 f(x) ln đồng biến trên tập xác định
 Vậy phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) sin x  x với mọi x  0 .

x2
với mọi x  0 .
2
Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!

b) cos x  1 

2


 
c) 2sin x  tan x  3x với x   0;  .
 2

d) tan x  x 

x3
 
với x   0;  .
3
 2

Câu 2: Chứng minh các phƣơng trình sau có nghiệm duy nhất.
a) 3  cos x  1  2sin x  6 x  0
b)  x3  x2  3x  2  0

HƢỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
THỰC HIỆN: BAN CHUYÊN MÔN TUYENSINH247.COM
Câu 1:
a) sin x  x với mọi x  0 .
Xét hàm số f  x   sin x  x trên  0;   ta có: f '  x    cos x  1 .
Do 1  cos x  1  1   cos x  1  2   cos x  1  0  f '  x   0 x và bằng 0 tại hữu hạn điểm.

 Hàm số f  x   sin x  x nghịch biến trên R.
Do đó hàm số f  x   sin x  x nghịch biến trên  0;  
Mà x  0  f  x   f  0  sin 0  0  0 x   0;  
Vậy f  x   sin x  x  0  sin x  x với mọi x  0 .
b) cos x  1 

x2
với mọi x  0 .
2

Xét hàm số f  x   cos x  1 

x2
trên R \ 0 .
2

Ta có : f '  x    sin x  x  g  x 
Ở ý a) ta đã chứng minh được hàm số h  x   sin x  x nghịch biến trên R  g  x    sin x  x luôn đồng
biến trên R.
Với x  0  g  x   g  0  0  f '  x   0
Với x  0  g  x   g  0  0  f '  x   0

3

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!


 Hàm số đồng biến trên  0;   và nghịch biến trên  ;0  .

 x  0  f  x   f  0   cos 0  1  0  0


 x  0  f  x   f  0  0
Vậy với x  0 thì f  x   0  cos x  1 

x2
x2
 0  cos x  1  .
2
2

 
c) 2sin x  tan x  3x với x   0;  .
 2

1
2cos3 x  3cos 2 x  1
 

3

Xét hàm số f  x   2sin x  tan x  3x trên  0;  ta có f '  x   2cos x 

cos 2 x
cos 2 x
 2
Đặt t  cos x  t   0;1 , xét hàm số f  t   2t 3  3t 2  1 trên  0;1 ta có :

t  0
; f '  t   0 t   0;1  Hàm số nghịch biến trên  0;1
f '  t   6t 2  6t  0  
t  1
 f  0   f  t   f 1 t   0;1
 1  f  t   0 t   0;1
 
 
 2 cos3 x  3cos 2 x  1  0 x   0;   f '  x   0 x   0; 
 2
 2

 
Vậy hàm số y  f  x  đồng biến trên  0; 
 2
 
 
 f  0   f  x   f   x   0; 
2
 2
 
 f  x   0 x   0; 
 2
 
 

 2sin x  tan x  3x  0 x   0;   2sin x  tan x  3 x x   0; 
 2
 2

x3
 
d) tan x  x 
với x   0;  .
3
 2
x3
 
Xét hàm số f  x   tan x  x 
trên  0;  ta có :
3
 2
f ' x 

1
 1  x 2  1  tan 2 x  1  x 2  tan 2 x  x 2   tan x  x  tan x  x 
2
cos x

 
Với x   0;  thì tan x  x  0 .
 2

4

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử

- Địa – GDCD tốt nhất!


1
 
1
Xét hàm số g  x   tan x  x trên  0;  ta có : g '  x  
cos 2 x
 2
1
1
 
Với x   0;   cos x   0;1  cos 2 x   0;1 
1
1  0
2
cos x
cos 2 x
 2
 
 Hàm số đồng biến trên  0;  .
 2

 
 
 g  0   g  x   g   x   0;   g  x   g  0   0
2
 2
 
 

 tan x  x  0 x   0;   f '  x   0 x   0; 
 2
 2

 Hàm số f  x   tan x  x 

x3
đồng biến trên
3

 
 0; 
 2

x
 
 
 f  x   f  0   0 x   0;   tan x  x 
x   0;  .
3
 2
 2
3

Câu 2 :
a) 3  cos x  1  2sin x  6 x  0
Xét hàm số f  x   3  cos x  1  2sin x  6 x ta có f  0   0  x  0 là nghiệm của phương trình.
Ta có

f '  x   3sin x  2 cos x  3  2  1  3 1  sin x   2  cos x  1  1

sin x  1  1  sin x  0
cos x  1  cos x  1  0
 f '  x   0 x  R

 Hàm số đồng biến trên R  Phương trình có nghiệm duy nhất x  0 .
b)  x3  x2  3x  2  0
Xét hàm số f  x    x3  x 2  3x  2 ta có
2

2
1 8
1 8


f '  x   3x  2 x  3  3  x 2  x     3  x     0 x  R
3
9 3
3 3


2

 Hàm số luôn nghịch biến trên R.
Ta có f  0  2; f 1  1  f  0  . f 1  0  Phương trình có nghiệm duy nhất x0   0;1 .
c) x5  x3  7  0

5

Truy cập trang để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!

Xét hàm số f  x   x5  x3  7 ta có : f '  x   5x4  3x2  x2  5x2  3  0  Hàm số y  f  x  đồng biến
trên R.
Ta có f 1  5; f  2   33  f 1 . f  2   0  Phương trình có nghiệm duy nhất x0  1; 2  .

6

Truy cập trang để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!