Mat phang

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<i>VẤN ĐỀ 2</i>

<b>MẶT PHẲNG</b>

A/ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ:

<i><b>Chủ đề VI: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHƠNG GIAN </b></i>
69

<i>I)Vectơ chỉ phương và Véctơ pháp tuyến của</i>

<i>mặt phẳng: </i>

n VTPT của ()

 

n n 0

n

_{ }


 



½

nVTPT của()kn(k0) cũng là VTPT của ()

<i>II)Phương trình tổng quát của mặt phẳng:</i>
*Tìm điểm M x ; y ;z  0 0 0 0  .

*Tìm VTPT của

 

 : n



A;B;C



.

*Phương trình tổng quát có dạng: A x x  0B y y  0C z z  00 hayAx By Cz D 0   



DAx0By0Cz0



<i>III)Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: Phương trình mặt phẳng cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các </i>
điểm (a;0;0); (0;b;0); (0;0;c) với abc0 là:   1

<i>c</i>
<i>z</i>
<i>b</i>
<i>y</i>
<i>a</i>
<i>x</i>

<i>IV)Vị trí tương đối của hai mặt phẳng: (): Ax+By+Cz+D = 0 (’): A’x+B’y+C’z+D’ = 0</i>
* () cắt (’)A B C A : B : C A ' : B' : C '

A 'B'C' 

* ()// (’)A B C D A : B : C A ' : B' : C '; D D '
A 'B 'C 'D '  
* () (’)A B C D A : B : C : D A ' : B' : C ' : D '

A 'B'C 'D ' 

<i>V)Chuøm mặt phẳng:Phương trình của mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng () và (’) là:</i>



<i>A x B y C z D</i>





<i>A x B y C z D</i>' ' ' '



0

        



22 0



<i>VII) Góc</i>

_

₀0 ___₉₀0

_

<i>_{giữa hai mặt phẳng}</i>

_{ }

_ <i>_{: Ax+By+Cz+D=0 và}</i>

_

__'

_

_{: A’x + B’y + C’z + D’ = 0}

<i>được tính bởi công thức: </i> 2 2 2 2 2 2

n.n ' AA ' BB' CC '
cos

n n ' _A _B _C _{A '} _B' _{C '}

 

  

   

 
 

<i>*Chú ý: </i>     ' nn ' n.n ' 0   AA ' BB' CC' 0  

<i>*Đặc biệt: Để tìm góc phẳng nhị diện </i>



, ,<i>a</i> 



<i> ta có thể làm như sau:</i>

+Lấy M

 

 và viết phương trình mặt phẳng

 

<i>P</i> qua M và vuông góc a. Tìm <i>I</i> 

 

<i>P</i> <i>a</i>

+Lấy N

 

 và viết phương trình mặt phẳng

 

<i>Q</i> qua N và vuông góc a. Tìm <i>J</i> 

 

<i>Q</i> <i>a</i>

+Do đó:



, ,<i>a</i> 



=



              <i>IM JN</i>;



(Chú ý điểm gốc và điểm ngọn của các véctơ)
<i>*Chú ý: </i>

 

<i>P</i> có thể trùng với

 

<i>Q</i> , khi đó I  J.

<i>VI)Ý nghóa hình học của bất phương trình bậc nhất ba ẩn: </i>

Cho mặt phẳng () f x; y; z Ax By Cz D 0    & hai điểm M₁



x₁;y₁;z₁



&M₂



x₂;y₂;z₂



1) M1 và M2<i> nằm về cùng một phía đối với()</i>f x ; y ;z f x ; y ; z 1 1 1  2 2 20

2) M1 và M2<i> nằm về hai phía đối với () </i>f x ; y ; z f x ; y ; z 1 1 1  2 2 20



 

a; b  cặp VTCP của () n a;b không cùng phương
a n; b n



 

  



  
½



 

a;b  cặp VTCP của() _a;b _ n

Hai mặt phẳng song song có cùng VTPT & cặp VTCP
Hai mặt phẳng vuông góc thì VTPT của mặt này là một
VTCP của mặt kia.

<i>VIII) Khoảng cách từ điểm M</i>0(x0;y0;z0<i>) đến mặt phẳng():Ax + By + Cz + D = 0 là: </i>

 

  0 0 0

0 ₂ ₂ ₂

Ax By Cz D
d M ,

A B C

  

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

B/ CÁC DẠNG TỐN CẦN LUYỆN TẬP:
1. Tìm véctơ pháp tuyến của mặt phẳng.

2. Viết phương trình tổng quát mặt phẳng, phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.
3. Xác định vị trí tương đối của hai mặt phẳng, chùm mặt phẳng, mặt phẳng song song,

vng góc, các vị trí tương đối của mặt phẳng.

<i>BÀI TẬP</i>

<i>Bài 1: Cho A(5;1;3); B(1;6;2); C(5;0;4); D(4;0;6) và mặt phẳng</i>

 

 : x - 2y + z -10 = 0.
1) Viết phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc BC.

2) Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến
mp(ABC).

3) Vieát phương trình mặt phẳng qua A và song song

 

 .
4) Viết phương trình mặt phẳng qua A, B và song song CD.
5) Viết phương trình mặt phẳng qua C, D và vuông góc

 

 .

6) Viết phương trình mặt phẳng qua D, vuông góc hai mặt phẳng (ABC) và

 

 .
7) Viết phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC),

 

 và:

a) Qua D.

b) Vuông góc mặt phẳng

 

 : 3x - y + 2z –1 = 0.
c) Song song mặt phẳng

 

 : x + y - z + 1 = 0.

8) Gọi G là trọng tâm tứ diện, I là điểm cách đều bốn đỉnh của tứ diện. Viết phương
trình mặt phẳng (BGI).

<i>Bài 2: Cho A(1;1;3); B(-1;3;2); C(-1;2;3).</i>

1) Kiểm chứng ba điểm A, B, C khơng thẳng hàng và viết phương trình mặt phẳng (P)
chứa ba điểm này. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến (P).

2) Tính diện tích tam giác ABC và thể tích tứ diện OABC.

<i>Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng qua I(1;0;2), song song a</i>



2;3;1



và vuông góc maët

phẳng

 

 : 2x – y - 5z = 0. Tìm góc của mặt phẳng vừa tìm được và mặt phẳng (Oxy).
<i>Bài 4: Cho hai điểm A(-3;2;1); B(9;4;3). Tìm phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn </i>

thẳng AB.

<i>Bài 5 : Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) với phương trình tổng quát là: </i>

2x + y – z – 6 = 0.

1) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua gốc tọa độ và vng góc với mặt
phẳng (P).

2) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P).

3) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm M(1;2;-2), N(2;0;-2)
và vng góc với mặt phẳng (P). (Đề thi TN THPT 1992-1993)

<i>Bài 6 : Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng () và () lần lượt có phương trình là: 3x </i>

-2y + 2z – 5 = 0 vaø 4x + 5y – z + 1 = 0.

1) Chứng minh rằng hai mặt phẳng trên vng góc với nhau.

2) Viết phương trình chùm mặt phẳng đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng( ) và ().
(Đề thi TN THPT 1993-1994)

<i>Bài 7: Trong không gian Oxyz cho bốn ñieåm: A(-2; 0; 1), B(0; 10; 3) , C(2; 0 ;-1) vaø D(5; 3 ;-1).</i>

Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A, B, C. (Đề thi TN THPT 1994-1995)
<i><b>Chủ đề VI: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHƠNG GIAN </b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<i>Bài 8 : Trong không gian Oxyz cho ba điểm: A(1; 0; 0), B(0; -2; 0), C(0; 0; 3).</i>

1) Xác định toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành .

2) Viết phương trình mặt phẳng (  ) đi qua A, B, C. (Đề thi TN THPT 1995-1996)

<i>Bài 9 : Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng </i>

 

 và

 

 với phương trình:

 

 : 3x – y +2z – 2 = 0 ;

 

 : 2x + 4y – z + 4 = 0
1) Chứng minh

 

 và

 

 vng góc.

2) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua gốc tọa độ và qua giao tuyến của

 

 và

 

 . (Đề thi Thử mơn Tốn của BGD 1996-1997)

<i>Bài 10 : Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(0;2;3), B(2;0;0), C(0;1;2). Viết phương trình </i>

mặt phẳng

 

 đi qua điểm A và vng góc với đường thẳng BC.

<i>Bài 11 : Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(3;-2 ;-2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1) và D(-1; 1; 2) </i>

Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện.
(Đề thi TN THPT Kì I 1996-1997)

<i>Bài 12 : Trong không gian tọa độ cho 3 điểm A(1;4;0) , B(0;2;1) và C(1;0;-4).</i>

1) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng () đi qua điểm C và vng góc với
đường thẳng AB.

2) Xác định tọa độ giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng ().
3) Tính khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AB.

(Đề thi TN THPT Kì II 1996-1997)

<i>Bài 13 :Trong không gian Oxyz cho 2 điểm A(1;0;-2) , B(0;-4;-4) và mặt phẳng () có phương </i>

trình 3x – 2y + 6z + 2 = 0. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng AB và
vng góc với mặt phẳng ().(Đề thi TN THPT Kì II 1997-1998)

<i>Bài 14: Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng () đi qua 3 điểm: A(1;0;11), B(0;1;10), </i>

C(1;1; 8). (Đề thi TN THPT Kì I 1998-1999)

<i>Bài 15: Trong khơng gian với hệ tọa độ Đề các vng góc Oxyz, cho hình hộp chữ nhật có các </i>

đỉnh là A (3;0;0), B (0;4;0), C (0;0;5), O (0;0;0) và D là đỉnh đối diện với O.
1) Xác định tọa độ của đỉnh D.

2) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (A,B,D).
3) Tính khoảng cách từ điểm C tới mặt phẳng (A,B,D).
(Đề thi TN THPT Kì II 1998-1999)

<i>Bài 16 :Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho 3 điểm A(1;0;0), B(1;1;1), C(1/3;1/3;1/3). </i>

Viết phương trình tổng qt của mặt phẳng () vng góc với đường thẳng OC tại C.
Chứng minh 3 điểm O,B,C thẳng hàng. (Đề thi TN THPT 2000-2001)

<i>Baøi 17: Trong không gian Oxyz cho ba điểm M(2;0;0), N(0;3;0), (0;0;6)</i>

1) Tính thể tích tứ diện OMNP.

2) Viết phương trình mặt phẳng (MNP).

<i>Bài 18: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, đường cao hạ từ S bằng h. Gọi</i>

O là chân đường cao hạ từ S, I là trung điểm của cạnh SC. Chọn hệ trục toạ độ Oxyz
sao cho Ox là tia OA, Oy là tia OB, Oz là tia OS.

1) Tính toạ độ các điểm A, B, S, C, I.
2) Viết phương trình mặt phẳng (ABI).

3) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABI).

<i>Bài 19: Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vng góc Oxyz cho ba điểm A(a;0;0 ); </i>

B(0; b ; 0); C( 0;0; c ) với a, b, c > 0.

1) Tìm toạ độ hình chiếu vng góc H của gốc O lên mặt phẳng (ABC ). Tính độ dài
OH.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

2) Chứng minh  ABC có ba góc nhọn .

3) Gọi ,,_{lần lượt là góc hợp bởi các mặt phẳng ( OBC ); (OCA ); (OAB) với}

mặt phẳng (ABC ) . Chứng minh rằng cos2

_

_{+ cos}2__{+ cos}2__=1.

<i>Bài 20: Giải bài toán sau bằng phương pháp toạ độ:</i>

Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các
cạnh A’B’, BC, DD’.

1) Chứng minh hai mặt phẳng (AB’D’) và (BC’D) song song và tính khoảng cách

giữa chúng.

2) Tính góc tạo bởi hai đường thẳng AC’ và A’B và hai mặt phẳng (A’CD ) và
(ABB’A‘).

<i>Bài 21: Lập phương trình tổng quát của các mặt phẳng tọa độ và các mặt phẳng đi qua điểm </i>

I(2;6;-3) và song song với các mặt phẳng tọa độ.

<i>Bài 22: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cùng đi qua I(2;1;-3) và mặt phẳng (P) chứa trục Oy, còn</i>

mặt phẳng (Q) chứa trục Oz.

1) Viết phương trình các mặt phẳng (P) và (Q).
2) Tính góc của hai mặt phẳng (P) và (Q).

3) Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q).

<i>Bài 23: Tìm tập hợp các điểm trong không gian:</i>

1) Cách đều hai điểm A(1;2;-3); B(4;5;0).

2) Cách đều hai mặt phẳng song song: x - 2y – z = 0; 2x – 4y -2z + 10 = 0.

<i>Bài 24: Lập phương trình mặt phẳng đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng: 3x-4y+z+6=0; </i>

2x-3y+z+2 = 0 và cách đều hai điểm A(3;-4;-6); B(1;2;2).

<i>Bài 25: Cho bốn điểm A(5;1;3); B(1;6;2); C(5;0;4); D(4;0;6).</i>

1) Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Từ đó suy ra ABCD là một tứ diện.
2) Viết phương trình của mặt phẳng qua AB và song song với CD.

<i>Baøi 26: Gọi I, J, K là các hình chiếu vuông góc của điểm M(2;3;-5) trên các mặt phẳng Oxy, </i>

Oyz, Oxz. Tìm phương trình của mặt phẳng (IJK).

<i>Bài 27: Cho tứ diện ABCD với A(2;1;3); B(3;-2;1); C(-4;1;1); D(1;1;-3). Gọi I là điểm cách </i>

đều bốn đỉnh của tứ diện; U, V, R lần lượt là những hình chiếu vng góc của I trên
các trục Ox, Oy, Oz. Tìm phương trình của mặt phẳng (UVR).

<i>Bài 28: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oz và lập với với mặt phẳng</i>

 

 : 2x + y - 5z = 0 một góc 600.

<i>Bài 29: Cho hai mặt phẳng </i>

 

 : (4 -m)x - (m+5)y + mz + m = 0;

 

 : 2x + 3y + nz + 5 = 0
Tìm m, n sao cho:

1)

 

 //

 

 2)

 

 caét

 

 3)

 





 



<i>Bài 30: Hãy xác định giá trị của m để cặp mặt phẳng sau vng góc nhau:</i>

 

 : 3x - 5y + mz – 3 = 0 vaø

 

 : x + 3y + 2z + 5 = 0.

<i>Bài 31: Tính khoảng cách từ điểm A(-2;-4;3) đến mặt phẳng </i>

 

 :2<i>x</i> <i>y</i>2<i>z</i> 30

<i>Bài 32: Viết phương trình mặt phẳng phân giác của góc chứa điểm M</i>0(1;2;1) tạo bởi hai mặt

phẳng

 

 :3x+5y-z-2 = 0 và



'



: 4x+3y+z-9 = 0.

</div>

<!--links-->