Bài giảng Nhập môn Tin học - Chương 5: Đại số Boole

Chương 5: Đại số Boole


Đại số boole là gì?
Là phép tốn đại số liên quan đến hệ thống số nhị phân
Do nhà toán học người Anh đưa ra năm 1815-1864 nhằm
Đơn giản hóa việc trình bày
Thao tác với logic mệnh đề

1938 Claude đề xuất sử dụng đại số Boole trong thiết kế

mạch
Cung cấp cách tiếp cận tiết kiệm và đơn giản
Được sử dụng rộng rãi trong thiết kế mạch điện tử trong
máy tính


Khái niệm cơ bản về Đại số Boole
Các phép toán trong đại số Boole thực hiện trên các biến

có 2 giá trị 0 và 1, gồm
Cộng logic: ‘+’ hay OR
Nhân logic: ‘ . ‘ hay AND
Phép bù: ‘-’ hay NOT


Khái niệm cơ bản về Đại số
Boole
Bảng chân trị:

A

B

A AND B

A OR B

NOT A

0

0

0

0

1

0

1

0

1

1

1

0

0

1

0

1

1

1

1

0


Độ ưu tiên của các tốn tử
Tốn tử có độ ưu tiên cao nhất được định trị đầu tiên.
Biểu thức được tính từ trái sang phải

Độ ưu tiên
Tốn tử
1
( ) Biểu thức trong ngoặc
2

_ (NOT)

3

. (AND)

4

+ (OR)


Độ ưu tiên của các toán tử


Các tiên đề của đại số Boole
Tiên đề 1:

Tiên đề 2:
Phần tử đồng
nhất

Tiên đề 3:
Tính giao hốn

A = 0 khi và
chỉ khi A không
bằng 1

X+0=X

X+Y=Y+
X

A = 1 khi và
chỉ khi A không
bằng 0

X.1 =X

X.Y =Y.X


Các tiên đề của đại số Boole
Tiên đề 4:
Tính kết hợp

x + (y + z) = (x + y) + z

Tiên đề 5:
Tính phân
phối
Tiên đề 6:
Tính bù

x . (y +z) = x . y + x . z

x . (y . z) = (x . y) . z

x + y . z = (x + y) . (x + z)

Ngun lý đối ngẫu
Có sự đối ngẫu giữa tốn tử AND, OR và bit 0, 1


Các định lý của đại số Boole
Định lí 1
(Luật lũy
đẳng)
•X+X=X
•X.X=X

Định lí 2
(Luật nuốt)
•X+1=1
•X.0=0

Định lí 3
(Luật hấp
thu)
•X+X.Y=
X
• X .(X + Y) =
X


Các định lý của đại số Boole
Định lí 4
(Luật bù kép)
Định lí 5

Định lí 6
(De Morgan)


Hàm Boole
Một hàm Boole là một

biểu thức được thực hiện với:

Các biến nhị phân
Các toán tử AND, OR, NOT
Các dấu ngoặc và đấu =
Giá trị của hàm Boole có thể là 0 hoặc 1
Một hàm Boole có thể được biểu diễn dạng:
 Một

biểu thức đại số
 Một bảng chân trị


Hàm Boole
Hàm Boole biểu diễn dưới dạng biểu thức đại số:

Hoặc
Với: X, Y và Z được gọi là các biến của hàm.


Hàm Boole
Hàm Boole biểu diễn

dưới dạng bảng chân
trị
Số hàng của bảng là
2n, n là số các biến nhị
phân được sử dụng
trong hàm.

X

Y

Z

W

0

0

0

0

0

0

1

1

0

1

0

0

0

1

1

0

1

0

0

1

1

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1


Sự dư thừa
Khái niệm:
Literal: là các biến trong hàm Boole
Term của n biến là sự kết hợp của các biến mà mỗi

biến chỉ xuất hiện một lần duy nhất.
Ví dụ: term của 3 biến A, B, C là A.B.C
Một biểu thức là dư thừa nếu nó có chứa
Literal lặp: XX hay X+X
Biến và bù của biến: XX’ hay X+X’

Hằng: 0 hay 1


Tối thiểu hóa hàm Boole
Tối thiểu hàm Boolean:
Giảm số phần tử (Term)
Giảm số biến (Literal)

Phương pháp:
Sử dụng phương pháp đại số
Áp dụng các định lý, tiên đề, các luật nhiều lần để tối

thiểu hàm Boolean tới mức thấp nhất.


Tối thiểu hóa hàm Boole
 Ví dụ: tối thiểu hóa hàm sau:

Kết quả:
Bài tập: tối thiểu hóa các hàm sau:
a) X + .Y
b) X. ( + Y)
c) X . Y + . Z + Y . Z
d) (X + Y) . ( + Z) . ( Y + Z)


Phần bù của hàm Boole
 Phần bù của hàm F là có được bằng cách:
Chuyển tốn tử AND thành OR
Lấy phần bù của các biến

Áp dụng định lí De Morgan


Phần bù của hàm Boole
Ví dụ: tính phần bù của hàm sau:
Bước 1: Chuyển toán tử AND thành OR và ngược lại.
Bước 2: tính phần bù của các biến


Dạng chính tắc của hàm Boole
Một hàm n biến ln được biểu diễn dưới 2 dạng:
Dạng tổng các tích (sum-of-product SOP): biểu thức

được biểu diễn dưới dạng tổng (sum) các tốn hạng
(term), mỗi tốn hạng là tích (product) của các literal
Dạng tích các tổng (product-of-sum POS): biểu thức

được biểu diễn dưới dạng tích các tốn hạng, mỗi tốn
hạng là tổng của các literal


Dạng chính tắc của hàm Boole
Dạng chính tắc: biểu thức n biến dạng SOP hay POS ở

dạng chính tắc nếu mỗi tốn hạng của nó có đủ n
literal và khơng chứa các literal thừa.
Một biểu thức SOP hoặc POS không chính tắc ln được
chuyển thành dạng chính tắc
Vd:

E = xy’ + x’y + xz + yz
= xy’(z + z’) + x’y(z + z’) + xz(y + y’) + yz(x + x’)
= xy’z + xy’z’ + x’yz + x’yz’ + xyz + xy’z + xyz + x’yz
= xy’z + xy’z’ + x’yz + x’yz’ + xyz


Dạng chính tắc của hàm Boole
Minterm: Thực hiện phép tốn AND giữa các literal tạo

thành một Term
Maxterm: Thực hiện phép toán OR giữa các literal tạo
thành một Term


Dạng chính tắc của hàm Boole


Biểu diễn hàm Boole dưới dạng SOP
Các bước để biểu diễn hàm Boole dưới dạng SOP
Bước 1: Xây dựng bảng chân trị của hàm Boole
Bước 2: Xây dựng một minterm cho mỗi sự kết hợp của

các biến mà làm cho hàm có giá trị là 1
Bước 3: Biểu thức kết quả là tổng (OR) các minterm thu
được ở bước 2


Biểu diễn hàm Boole dưới
dạng SOP
Ví dụ: bảng chân trị của

hàm F1
Có 3 kết hợp của các
biến cho giá trị của hàm
là 1
001, 100, 111