Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 cấp huyện năm 2020-2021 có đáp án - Phòng GD&ĐT Trực Ninh

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN TRỰC NINH
(Đề thi gồm 01 trang)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2020-2021
MƠN TỐN LỚP 7
(Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 1(4 điểm).

7.1410.2  1024.21.710
10.28.7 9.98  285.7 6
1  1   1
  1
 1

b) Tính: B    1 .  1 .   1 ...
 1 . 
 1
 4   9   16   100   121 
c) Tìm x biết: x  1  x  2  x  3  ...  x  100  605x
Câu 2 (4 điểm).
2x  1 3 y  2
a) Tìm x, y biết :

và x  y  2
5
3

b) Cho a, b, c là các số thực khác 0. Tìm các số thực x, y, z khác không
xy
yz
zx
x2  y2  z 2
thỏa mãn:


 2
ay  bx bz  cy cx  az a  b 2  c 2
Câu 3 (2 điểm)
10 2021  539
a) Chứng minh rằng
có giá trị là một số tự nhiên.
9
b) Chứng minh đa thức sau khơng có nghiệm
A  x12  x9  x8  x 7  x 6  x 3  1
Câu 4 (8,0 điểm)
a) Tính giá trị biểu thức: A 

  2C.
 Kẻ AH  BC(H  BC) . Trên tia
Cho ABC vuông tại A có B
HC lấy D sao cho HD  HB . Từ C kẻ đường thẳng CE vng góc với đường
thẳng AD (E  AD) .

a) Tam giác ABD là tam giác gì? Vì sao?
b) Chứng minh DH  DE ; HE / / AC
c) So sánh HE 2 và ( BC 2  AD 2 ) : 4
d) Gọi K giao AH và CE , lấy điểm I bất kì thuộc đoạn thẳng HE

3
 I khác H ; I khác E  . Chứng minh AC  IA  IK  IC
2
Câu 5 (2 điểm)
Tìm x nguyên biết : x  1  x  2  x  3  ...  x  90  2025
_____________Hết_____________


HÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN TRỰC NINH

Câu
Câu 1
(4
điểm)

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2020-2021
MƠN TỐN LỚP 7
(Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề)

Ý

Hướng dẫn

a

Điểm

7.14 .2  1024.21.7

7.(2.7) .2  2 .3.7.7

10.28.79.98  285.7 6 5.2.28.7 9.2.7 2  (2 2.7)5 .7 6

0,5

7.210.710.2  210.3.7.710
211.711  210.3.711


5.2.28.79.2.7 2  (22.7)5 .76 5.210.711  210.711

0,5

210.711 (2  3) 5
 10 11

2 .7 (5  1) 4

0,25

10

10

10

10

10

1  1   1
  1
 1
 3 8 15 99 120
 1 . 
 1  . .
...
.
  1 .   1 .   1 ... 
 4   9   16   100   121  4 9 16 100 121

b

c

Nhận xét: Tích trên có chẵn các thừa số âm
3.8.15...99.120
1.3.2.4.3.5...9.11.10.12


4.9.16...100.121 2.2.3.3.4.4...10.10.11.11
1.2.3...9.10 3.4.5...11.12 1 12 6

.
 . 
2.3.4...10.11 2.3.4...10.11 11 2 11

x  1  0; x





 x  2  0; x
Vì 

......................





 x  100  0; x
 x  1  x  2  x  3  ...  x  100  0 ; x
Mà x  1  x  2  x  3  ...  x  100  605x
 605x  0
 x 0
 x 1  x 1




x2 x2
Khi đó 

......................






 x  100  x  100
Ta có x  1  x  2  x  3  ...  x  100  605 x
(1  100).100
100x 
 605 x
2

0,5
0,5
0,5

0,25

0,25

0,25
0,25


(1  100).100
 605 x
2
 505x=5050

100x 

0,25

 x=10

KL:
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có
2 x  1 3 y  2 6 x  3 6 y  4 6 x  3  6 y  4 6( x  y )  7
=




5
3
15
6
15  6
21

Câu 2
(4
điểm)

6.2  7 5

(vì x + y = 2)
21
21
23
 2x  1 5


x


 5
42 x  21  25 42 x  46

21
21


 

63 y  42  15 63 y  57
3y  2  5
 y  57

 3
21
63
23

 x  21
Vậy 
 y  57

63
xy
yz
zx
Từ


ay  bx bz  cy cx  az

xyz
yzx
zxy



ayz  bxz bzx  cyx cxy  azy
(vì x, y, z là các số khác 0)
ayz  bxz  bzx  cyx

bzx  cyx  cxy  azy
ayz  bxz  cxy  azy



a

b

ayz  cyx  az  cx


 bzx  azy  bx  ay
bxz  cxy
bz  cy


x z
a  c


x y z
y x
    
a b c
b a
z y
c  b


(vì x, y, z là các số khác 0)

0,5
0,25

0,5

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25


 x  ak
x y z


Đặt    k ( k  0)   y  bk thay vào đề bài ta có
a b c
 z  ck

2
2
ak .bk
(ak )  (bk )  (ck )2

abk  bak
a 2  b2  c 2
k k 2 (a 2  b 2  c 2 )
 
 k2
2
2
2
2
a b c
1
k  2k 2  k (1  2k )  0  k 
vì k  0
2
1

x

a

2


1

 y  b
2

1

 z  2 c

10 2021  539
có giá trị là một số tự nhiên.
9
10 2021  539 100...00000  539 100...00539
Ta có


9
9
9
Trong đó số 100…00539 là số có tổng các chữ số chia hết cho
9 nên số đó chia hết cho 9.
10 2021  539
Vậy
có giá trị là một số tự nhiên
9

0,25

0,5

0,5

0,25đ

Chứng minh rằng
a

A  x12  x 9  x8  x 7  x 6  x 3  1
Ta có x12; x8; x6  0 với mọi x (*)

Câu 3
(2
điểm)

x12  x9  x12  x9  0 


+) Nếu x  1 khi đó x8  x 7   x8  x 7  0  suy ra
x 6  x3  x 6  x 3  0 

b

A  x12  x 9  x8  x 7  x 6  x 3  1  1>0
+) Nếu x  0 khi đó –x9; -x7; -x3  0 kết hợp với (*) ta có
A  x12  x 9  x8  x 7  x 6  x 3  1  1>0
+) Nếu 0 < x < 1 ta có A  x12  x9  x8  x 7  x 6  x 3  1 =
12
8
6

3
x12  x8  x9  x 6  x 7  1  x3 = x  x (1  x )  x (1  x )  1  x
Vì 0 < x < 1 nên 1-x >0, 1-x3 > 0 kết hợp với (*) suy ra
A  x12  x 9  x8  x 7  x 6  x 3  1 >0

0,25

0,5

0.25

0,25

0,25

0,25


Vậy đa thức đã cho khơng có nghiệm với mọi x

Câu 4 (8,0 điểm) Hình vẽ:

0,25

K

B
H

I

E

D

A

C

M
x

Câu a) ABD là tam giác gì? Vì sao? (1,5 điểm)
Chứng minh ABD có đường vng góc AH đồng thời là đường trung
tuyến ứng với cạnh BD suy ra ABD cân tại A

0,75

  600 suy ra ABD cân có một góc bằng 600 là tam
Tính được góc B
giác đều.

0,75

Câu b) Chứng minh DH  DE , HE / / AC (2,5 điểm)

1,5

  300 (1)
Tính được C

0,25

  300 (2)
Tính được CAD

0,25

Từ (1) và (2) suy ra ADC cân tại D

0,25

Suy ra DA  DC

0,25

Chứng minh được AHD  CED (cạnh huyền - góc nhọn)

0,25

Suy ra DH  DE

0,25

Tính được 
ADC  1200
 (đối đỉnh)
Ta có 
ADC  HDE
  1200

Suy ra HDE
  300 (3)
Tính được DHE
1,0


Từ (1), (3) suy ra 
ACD  DHE

0,25
0,25
0,25


Ta có


 (cmt )
ACD  DHE


  HE / / AC
mà hai góc này ở vị trí so le trong 

0,25

(Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)
Câu c) (2,0 điểm) So sánh HE 2 và ( BC 2  AD 2 ) : 4
Chứng minh AHE cân tại H (tam giác có 2 góc bằng 300
Suy ra HA  HE

(4)

0,5

Trong góc 
AHC kẻ tia Hx cắt AC tại M sao cho 
AHM  600
0,25

Chứng minh được HMC cân tại M
Suy ra MH  MC

(5)

Chứng minh được AHM đều
Suy ra AH  HM  MA

Từ (4), (5) và (6) suy ra HE 
Ta có lại có

AC
 AC 
 HE 2  

2
 2 

BC 2  AD 2 AB 2  AC 2  AD 2


4
4



Suy ra HE 2 

0,25

(6)

2

AC
 AC 


4
 2 

2

0,25

(vì BC 2  AB 2  AC 2 )
0,5

2

(Vì AB 2  AD 2 )

BC 2  AD 2
4

0,25

Câu d) (2 điểm) Chứng minh
Chứng minh KAC đều

3
AC  IA  IK  IC
2

(tam giác có 2 góc bằng 600 )

Suy ra AK  KC  AC
Xét IKA có IK  IA  AK (bất đẳng thức  )
Xét IKC có IK  IC  KC (bất đẳng thức  )
Xét ICA có IC  IA  AC (bất đẳng thức  )
Suy ra IK  IA  IK  IC  IC  IA  AK  KC  AC



0,5

0,5

0,5

=> 2.IA  2.IK  2.IC  3. AC

(vì AC  AK  KC )

=> 2.( IA  IK  IC )  3. AC
3
2

3
2

=> IA  IK  IC  AC . Vậy . AC  IA  IK  IC

(ĐPCM)

0,5

Câu 5. Tìm x nguyên sao cho: x 1  x  2  x  3  ...  x  90  2025
Câu 5
(2,0
điểm)



x  2  x  2 ; x 

..........................


x  45  x  45 ; x 


x  46  46  x ; x

x  47  47  x ; x 


...........................

x  90  90  x ; x 
x  1  x  1 ; x

0,25

 x  1  x  2  x  3  ...  x  90 
x  1  x  2  ...  x  45  46  x  47  x  ...  90  x ; x
 x  1  x  2  x  3  ...  x  2020  

(1  45).45 (46  90).45

2
2

0,25đ

0,5đ

 x  1  x  2  x  3  ...  x  90  2025
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
x 1  x  1

x2  x2
..........................
x  45  x  45
x  46  46  x

x  47  47  x
...........................
x  90  90  x




x 1  0 






x20 







.............








x

45

0

  45  x  46




x

46

0






x

47


0








..............





x  90  0







Mà x là số nguyên suy ra x  45;;46
Chú ý: - Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.

0,5

0,5đ