Không gian với cơ sở σ WHCP

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————–

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Đề tài:

KHÔNG GIAN VỚI CƠ SỞ σ-WHCP

Sinh viên thực hiện: TRẦN THỊ THU HIẾU
Giảng viên hướng dẫn: TS. LƯƠNG QUỐC TUYỂN

ĐÀ NẴNG - NĂM 2018


ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————–

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Đề tài:

KHÔNG GIAN VỚI CƠ SỞ σ-WHCP

Sinh viên thực hiện: TRẦN THỊ THU HIẾU
Giảng viên hướng dẫn: TS. LƯƠNG QUỐC TUYỂN
Chuyên ngành: Sư phạm Toán
Lớp: 14ST

ĐÀ NẴNG - NĂM 2018

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên của luận văn tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo
hướng dẫn TS. Lương Quốc Tuyển đã tận tình hướng dẫn tác giả trong
suốt quá trình thực hiện để tác giả có thể hồn thành được luận văn này.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân nhất đến tất cả các thầy cơ giáo
đã tận tình dạy bảo tơi trong suốt q trình hồn thành luận văn.
Đồng thời, tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn đến các bạn trong lớp 14ST
đã ủng hộ và giúp đỡ tơi hồn thành luận văn.
Tác giả
Trần Thị Thu Hiếu


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1. Không gian topo, tập hợp mở và lân cận của một tập hợp

................ 4

1.2. Tập hợp đóng và bao đóng của một tập hợp

........................... 8

1.3. Cơ sở và cơ sở lân cận của không gian topo

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4. Không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất
1.5. Tiên đề đếm được thứ hai
1.6. Ánh xạ liên tục

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.7. Một số định nghĩa cơ bản

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

CHƯƠNG 2. KHÔNG GIAN VỚI CƠ SỞ σ -wHCP. . . . . . . 19
2.1. HỌ HCP, wHCP

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2. Mối quan hệ giữa họ WHCP và họ HCP

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3. Một số định lý trong không gian với cơ sở σ-wHCP

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Giải tích là một chun ngành của tốn học. Lý thuyết về giải tích vơ
cùng phong phú. Phần giải tích cổ điển tiêu biểu là nghiên cứu các vấn
đề mang tính chất lý thuyết. Đã có nhiều vấn đề được nhiều người quan
tâm như : σ − HCP κ-mạng được giới thiệu đầu tiên bởi Gutherie về đặc
trưng khơng gian khả metric. Sau đó, L.Foged giới thiệu về đặc trưng của
không gian Lasnev và Zinqiu Yun đã đưa ra mối quan hệ giữa ℵ-không
gian và không gian với κ-mạng σ -HCP ; Ytanka giới thiệu về đặc trưng
không gian g -đếm được thứ nhất với κ-mạng σ -HCP.
Bên cạnh đó định lí metric hóa và các tính chất của khơng gian σ wHCP cũng là một vấn đề thu hút nhiều sự quan tâm. Đầu những năm
1950, Nagata và Smirnov đã chứng minh: Không gian topo khả metric
khi và chỉ khi có một cơ sở hữu hạn địa phương.Vào những năm 1975,
Burke;Engelking và Lutzer cho thấy rằng: Không gian topo khả metric khi
và chỉ khi nó đều có và có một cơ sở σ -wHCP.
Do đó, khi thấy được tầm quan trong của các khơng gian cơ sở yếu σ
họ bảo tồn bao đóng di truyền yếu, cùng sự góp ý và hướng dẫn tận tình
của thầy Lương Quốc Tuyển,chúng tơi quyết định chọn vấn đề nghiên cứu
là: Không gian với cơ sở σ -wHCP".
Đề tài nghiên cứu nhằm tìm hiểu và làm rõ các vấn đề sau :
(1) Họ bảo tồn bao đóng di truyền (được viết tắt là HCP, họ bảo tồn
bao đóng di truyền yếu (được viết tắt là wHCP).
(2) Mối quan hệ giữa họ HCP và wHCP.


2

(3) Định lí: Ánh xạ đóng trên khơng gian với cơ sở σ -wHCP là ánh xạ
phủ compact.
(4) Định lí: Một không gian topo với cơ sở σ -wHCP là D-khơng gian.
Trong bài khóa luận này chúng tơi chỉ nghiên cứu và chứng minh lại một
số kết quả về họ HCP, học WHCP trên một số không gian đặc biệt như
κ-không gian, không gian Frechet, không gian dãy. Với mục đích nghiên
cứu như trên, bài khóa luận được chia làm 2 chương với các nội dung chính
sau:
Chương 1. Cơ sở lý thuyết. Trong chương này chúng tôi đưa ra một
số hệ thống lý thuyết để phục vụ cho toàn bộ khóa luận.
Chương 2.Khơng gian với cơ sở σ -wHCP.. Trước tiên chúng tôi
giới thiệu về họ HCP, họ WHCP và họ σ -HCP, σ -wHCP thông qua các
định nghĩa. Sau đó chúng tơi đưa ra một số định lý,bổ đề, hệ quả, mệnh
đề cơ bản thể hiên tính chất của họ HCP, họ WHCP và mối quan hệ giữa
chúng. Trong chương này, chúng tơi chứng minh hai định lí quan trọng.
Định lí 1 về ánh xạ đóng trên khơng gian với cơ sở σ -wHCP là ánh xạ
phủ compact.
Định lí 2 về Không gian topo với cơ sở σ -wHCP là D- khơng gian.
Trong tồn bộ bài khóa luận, khi cho các khơng gian X ,Y thì ta hiểu
rằng X ,Y là không gian topo và chúng tôi quy ước rằng tất cả các ánh xạ
đều liên tục, toàn ánh và tất cả các không gian đều là T1 , chính quy cịn
các khái niệm, thuật ngữ khác nếu khơng nói gì thêm thì được hiểu thơng
thường.
Để hồn thành đề tài này tôi đã được sự giúp đỡ của rất nhiều người.
Đầu tiên cho phép tôi được bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc nhất tới thầy Lương
Quốc Tuyển đã hướng dẫn tận tình trong suốt quá trình nghiên cứu đề
tài. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Tốn, các thầy cơ

3

giáo trong tổ Giải tích,Khoa Tốn, đã nhiệt tình giảng dạy. Cuối cùng, tôi
cảm ơn tất cả bạn bè, đặc biệt là các bạn trong lớp 14ST đã động viên
giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt q trình học tập và
nghiên cứu.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng bài viết vẫn không thể tránh khỏi
những thiếu sót về cả nội dung và hình thức. Vì vậy, tơi rất mong nhận
được những lời chỉ bảo q báu của các thầy cơ và những góp ý của bạn
đọc.
Đà Nẵng,tháng 4 năm 2018
Tác giả

Trần Thị Thu Hiếu


4

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Trong chương này, chúng tơi trình bày một số kiến thức về topo đại
cương, các khái niệm và các tính chất trong chương này được chúng tơi
trình bày và chứng minh chi tiết nhằm hiểu thấu đáo hơn các kiến thức
về topo đại cương, cũng như nhằm phục vụ cho việc chứng minh các kết
quả chính của chương sau.
Sau đây là những ký hiệu được chúng tơi sử dụng trong tồn bộ luận văn.
N = {1, 2, . . . }, ω = N ∪ {0}.
1.1. Không gian topo, tập hợp mở và lân cận của một tập hợp

Định nghĩa 1.1.1. Giả sử τ là họ gồm các tập con nào đó của tập hợp
X thỏa mãn các điều kiện sau.
(1) ∅, X ∈ τ ;
(2) Nếu {Uα }α∈Λ ⊂ τ , thì

Uα ∈ τ ;
α∈Λ

(3) Nếu U , V ∈ τ , thì U ∩ V ∈ τ .
Khi đó,
1) τ được gọi là một topo trên X .
2) Cặp (X, τ ) được gọi là một không gian topo.
3) Mỗi phần tử của τ được gọi là một tập hợp mở.
4) Mỗi phần tử của X được gọi là một điểm của nó.
Nhận xét Từ Định nghĩa ta suy ra rằng


5

1) ∅, X là các tập hợp mở;
2) Giao hữu hạn tập hợp mở là một tập hợp mở;
3) Hợp tùy ý các tập hợp mở là một tập hợp mở.
Định nghĩa 1.1.2. Giả sử τ1 , τ2 là các topo trên tập hợp X . Ta nói rằng
τ1 mạnh hơn τ2 hay τ2 yếu hơn τ1 nếu τ2 ⊂ τ1 .
Ví dụ 1.1.3. Giả sử X là một tập hợp, τ1 là họ gồm tất cả các tập con
của X và τ2 = {∅, X}. Khi đó,

• τ1 , τ2 là các topo trên X .
• τ1 mạnh hơn τ2 .
• Trong (X, τ1 ), mỗi tập con vừa đóng vừa mở.

Lúc này, ta nói rằng τ1 là topo rời rạc và τ2 là topo thơ trên X .
Ví dụ 1.1.4. Giả sử (X, d) là một không gian metric và

τ = {A ⊂ X : A là tập con mở trong (X, d)}.
Khi đó, τ là một topo trên X và ta nói rằng τ là topo được sinh bởi
metric d. Đặc biệt, nếu X = R và metric d là khoảng cách thông thường
trên R, nghĩa là

d(x, y) = |x − y| với mọi x, y ∈ R,
thì ta nói rằng τ là topo thơng thường trên R.
Định nghĩa 1.1.5. Giả sử A là một tập con của khơng gian topo (X, τ ).
Khi đó, tập con U của X được gọi là một lân cận của A nếu tồn tại V ∈ τ
sao cho

A ⊂ V ⊂ U.
Ngồi ra, nếu U ∈ τ , thì ta nói rằng U là lân cận mở của A. Đặc biệt,
nếu A = {x}, thì ta nói rằng U là lân cận của x.


6

Nhận xét 1.1.6. Lân cận của một điểm không nhất thiết là một tập hợp
mở, nhưng mỗi tập hợp mở là lân cận của mọi điểm thuộc nó.
Chứng minh. (1) Giả sử X = {a, b, c} và

τ = ∅, X, {a}, {b, c} .
Khi đó, τ là một topo trên X và {a, b} là lân cận của a nhưng {a, b} ∈
/ τ.
(2) Giả sử U là một tập hợp mở và x ∈ U . Khi đó, nếu ta lấy V = U ,
thì V ∈ τ và

x ∈ V ⊂ U.
Điều này chứng tỏ rằng U là một lân cận của x.
Bổ đề 1.1.7. Giả sử A là tập con của không gian topo (X, τ ). Khi đó,
giao hữu hạn lân cận của A là lân cận của A.
n

Ui .

Chứng minh. Giả sử U1 , U2 , . . . , Un là các lân cận của A và U =
i=1

Khi đó, với mọi i = 1, 2, . . . , n, tồn tại Vi ∈ τ sao cho

A ⊂ Vi ⊂ Ui .
n

Vi , thì V ∈ τ và

Như vậy, nếu ta đặt V =
i=1

A ⊂ V ⊂ U.
Điều này chứng tỏ rằng U là một lân cận của A.
Nhận xét 1.1.8. Giao của một họ tùy ý gồm các lân cận của A có thể
khơng là một lân cận của A.
Chứng minh. Giả sử R là tập hợp gồm các số thực với topo thông thường τ ,

1 1
An = − ,

n n

với mọi n ∈ N.


7

Khi đó,

• An là lân cận mở của điểm 0 trong R với mọi n ∈ N.
•

An = {0}.
n∈N

Thật vậy, vì {0} ⊂ An với mọi n ∈ N nên {0} ⊂

An . Bây giờ, giả
n∈N

sử x ∈

An , kéo theo
n∈N

0 ≤ |x| <

1
với mọi n ∈ N.
n

Qua giới hạn khi n → ∞ ta suy ra x = 0. Như vậy,

An ⊂ {0}.
n∈N

• {0} khơng là lân cận của điểm 0 trong R.
Từ chứng minh trên ta suy ra rằng tồn tại dãy gồm các lân cận mở của

0 trong R nhưng giao chúng lại không là lân cận của 0 trong R.
Bổ đề 1.1.9. Đối với không gian topo (X, τ ), các khẳng định sau là tương
đương.
1) U là tập hợp mở;
2) U là lân cận của mọi điểm thuộc nó;
3) Với mọi x ∈ U , tồn tại lân cận Vx của x sao cho x ∈ Vx ⊂ U .
Chứng minh. (1)=⇒(2). Giả sử U mở và x ∈ U . Khi đó, nếu ta chọn
V = U ∈ τ , thì x ∈ V ⊂ U . Như vậy, U là lân cận của x.
(2)=⇒(3). Giả sử U là lân cận của mọi điểm thuộc nó và x ∈ U . Khi đó,

U là một lân cận của x. Như vậy, nếu ta chọn Vx = U , thì Vx là lân cận
của x và
x ∈ Vx ⊂ U .
(3)=⇒(1). Giả sử với mọi x ∈ U , tồn tại lân cận Vx của x sao cho


8

x ∈ Vx ⊂ U .
Khi đó, vì Vx là lân cận của x nên tồn tại Wx ∈ τ sao cho

x ∈ W x ⊂ Vx .
Hơn nữa, ta có

{x} ⊂

U=
x∈U

Wx ⊂
x∈U

Vx ⊂ U .
x∈U

Điều này kéo theo rằng

U=

Wx .
x∈U

Như vậy, theo Định nghĩa 1.1.1 ta suy ra rằng U ∈ τ .

1.2. Tập hợp đóng và bao đóng của một tập hợp
Định nghĩa 1.2.1. Tập con X của một không gian topo (X, τ ) được gọi
là tập hợp đóng trong X nếu X\A ∈ τ .
Định lí 1.2.2. Đối với không gian topo (X, τ ), các khẳng định sau là đúng.
1) ∅, X là các tập hợp đóng;
2) Hợp hữu hạn tập hợp đóng là một tập hợp đóng;
3) Giao tùy ý các tập hợp đóng là một tập hợp đóng.

Chứng minh. (1) Bởi vì ∅, X ∈ τ nên

X \ ∅ = X ∈ τ ; X \ X = ∅ ∈ τ.
Như vậy, ∅ và X là các tập hợp đóng.
(2) Giả sử F1 , F2 , . . . , Fn là các tập hợp đóng. Khi đó,

X \ Fi ∈ τ với mọi i = 1, 2, . . . , n.


9

Hơn nữa, theo Định nghĩa 1.2.1 ta suy ra
n

n

X\

(X \ Fi ) ∈ τ.

Fi =

i=1

i=1
n

Fi là một tập hợp đóng.

Như vậy,

i=1

(3) Giả sử {Fα }α∈Λ là họ gồm các tập hợp đóng. Khi đó,

X \ Fα ∈ τ với mọi α ∈ Λ.
Do đó, theo Định nghĩa 1.2.1 ta suy ra

X\

(X \ Fα ) ∈ τ.

Fα =
α∈Λ

α∈Λ

Fα là một tập hợp đóng.

Như vậy,
α∈Λ

Nhận xét 1.2.3. Hợp tùy ý các tập hợp đóng trong khơng gian topo có
thể khơng đóng. Do đó, giao tùy ý các tập hợp mở có thể không mở.
Chứng minh. Giả sử R là tập hợp số thực với topo τ thông thường và

An = 0, 1 −

1
với mọi n ∈ N.
n

Khi đó,

• An là tập hợp đóng trong R với mọi n ∈ N.
•

An = [0, 1).
n∈N

Thật vậy, giả sử x ∈

An . Suy ra tồn tại n ∈ N sao cho
n∈N

x ∈ An = 0, 1 −

1
⊂ [0, 1).
n

Ngược lại, giả sử x ∈ [0, 1), kéo theo

0 ≤ x < 1.


10

Do đó, tồn tại n ∈ N sao cho

1

0≤x≤1− .
n
Điều này suy ra rằng

x ∈ 0, 1 −

1
= An ⊂
An .
n
n∈N

• [0, 1) khơng là tập hợp đóng trong (R, τ ).
Từ chứng minh trên ta suy ra rằng hợp tùy ý các tập hợp đóng có thể
khơng đóng. Do đó, giao tùy ý các tập hợp mở có thể không mở.
Định nghĩa 1.2.4. Giả sử A là một tập con của khơng gian topo (X, τ ).
Khi đó, giao của tất cả các tập con đóng trong X chứa A được gọi là bao
đóng của A và ký hiệu là A.
Định lí 1.2.5. Giả sử A, B là các tập con của khơng gian topo (X, τ ).
Khi đó, các khẳng định sau là đúng.
1) A luôn tồn tại và A ⊂ A;
2) A là tập hợp đóng nhỏ nhất chứa A;
3) A đóng khi và chỉ khi A = A;
4) A = A;
5) Nếu A ⊂ B , thì A ⊂ B ;
6) A ∪ B = A ∪ B ;
7) A ∩ B ⊂ A ∩ B , và đẳng thức không xẩy ra.
Chứng minh. Giả sử rằng

F = {F ⊂ X : F đóng và A ⊂ F };

G = {F ⊂ X : F đóng và B ⊂ F }.


11

Khi đó,
(1) Bởi vì X là tập hợp đóng chứa A nên X ∈ F , kéo theo F = ∅.
Do đó, A ln tồn tại. Hơn nữa, vì A ⊂ F với mọi F ∈ F nên

A⊂

{F : F ∈ F} = A

(2) Theo Định lí 1.2.2 ta suy ra rằng A là tập hợp đóng. Bây giờ, giả
sử F là tập đóng bất kỳ trong X chứa A. Khi đó, F ∈ F , kéo theo

A=

{F : F ∈ F} ⊂ F .

Ngoài ra, nhờ khẳng định(1)ta suy ra A ∈ F . Như vậy, A là tập hợp đóng
nhỏ nhất chứa A.
(3) Giả sử A đóng. Khi đó, vì A ⊂ A nên ta suy ra A ∈ F , kéo theo

A=

{F : F ∈ F} ⊂ A.

Kết hợp khẳng định (1) ta suy ra rằng A = A.
Ngược lại, giả sử A = A. Khi đó, nhờ khẳng định (2), A là tập hợp

đóng, kéo theo A là tập hợp đóng trong X .
(4) Theo khẳng định (2), A là tập hợp đóng. Do đó, nhờ khẳng định (3)
ta suy ra rằng A = A.
(5) Bởi vì A ⊂ B nên G ⊂ F . Do đó,

A=

{F : F ∈ F} ⊂

{F : F ∈ G} = B .

(6) Theo khẳng định (1), A ⊂ A; B ⊂ B , kéo theo

A ∪ B ⊂ A ∪ B.
Mặt khác, theo khẳng định (2), A, B là các tập hợp đóng. Do đó, nhờ
Định lí 1.2.2, A ∪ B là tập hợp đóng. Như vậy, sử dụng khẳng định (3) và


12

(5) ta suy ra rằng

A ∪ B ⊂ A ∪ B = A ∪ B.

(1.1)

Hơn nữa, vì A ⊂ A ∪ B và B ⊂ A ∪ B nên theo khẳng định (5) ta có

A ⊂ A ∪ B; B ⊂ A ∪ B .
Điều này kéo theo rằng

A ∪ B ⊂ A ∪ B.

(1.2)

Như vậy, từ (1.1), (1.2) ta suy ra A ∪ B = A ∪ B.
(7) Theo Khẳng định (1) ta có A ⊂ A và B ⊂ B , kéo theo

A ∩ B ⊂ A ∩ B.
Mặt khác, theo khẳng định (2), A và B là các tập hợp đóng. Hơn nữa, nhờ
Định lí 1.1.2, A ∩ B là tập hợp đóng. Do đó, sử dụng khẳng định (3) và
(5) ta suy ra rằng

A ∩ B ⊂ A ∩ B = A ∩ B.
Bây giờ, giả sử X = R với topo thông thường và

A = (0, 1), B = (1, 2).
Khi đó, vì A = [0, 1], B = [1, 2] nên ta có

A ∩ B = ∅ = ∅ = {1} = A ∩ B .
Như vậy, không xảy ra đẳng thức trong khẳng định (7)
Định lí 1.2.6. Đối với khơng gian topo (X, τ ), các khẳng định sau là
tương đương.
1) x ∈ A;
2) U ∩ A = ∅ với mọi lân cận U của x;


13

3) Tồn tại một cơ sở Bx của x sao cho U ∩ A = ∅ với mọi U ∈ Bx .

Chứng minh. (1)=⇒(2). Giả sử x ∈ A. Ta chứng minh rằng với mọi lân
cận U của x ta đều có

U ∩ A = ∅.
Thật vậy, giả sử ngược lại rằng tồn tại lân cận U của x sao cho U ∩ A = ∅.
Bởi vì U là lân cận của x nên tồn tại V ∈ τ sao cho

x ∈ V ⊂ U.
Do đó, V ∩ A = ∅, kéo theo A ⊂ X \ V . Mặt khác, vì X \ V là đóng nên
ta suy ra

A⊂X \V =X \V.
Do đó, A ∩ V = ∅, kéo theo

x ∈ V ⊂ X \ A.
Điều này mâu thuẫn với x ∈ A.
(2) =⇒ (3). Ta gọi Bx là họ gồm tất cả các lân cận của x. Khi đó, hiển
nhiên rằng Bx là một cơ sở lân cận của x và

U ∩ A = ∅ với mọi U ∈ Bx .
(3) =⇒ (1). Giả sử rằng tồn tại cơ sở lân cận Bx tại x sao cho U ∩A = ∅
với mọi U ∈ Bx nhưng x ∈
/ A. Khi đó, X \ A là một lân cận mở của x.
Mặt khác, vì Bx là cơ sở lân cận tại x nên tồn tại U ∈ Bx sao cho

x ∈ U ⊂ X \ A.
Suy ra U ∩ A ⊂ U ∩ A = ∅. Điều này dẫn đến mâu thuẫn với giả thiết
rằng U ∩ A = ∅.

14

1.3. Cơ sở và cơ sở lân cận của không gian topo
Định nghĩa 1.3.1. Giả sử (X, τ ) là một khơng gian topo và B ⊂ τ . Ta
nói rằng B là cơ sở của (X, τ ) (hay là cơ sở của τ ) nếu mỗi phần tử của
τ là hợp nào đó các phần tử của B .
Nhận xét 1.3.2. Giả sử (X, τ ) là một khơng gian topo, một B ⊂ τ . Khi
đó,
1) Nếu B là cơ sở của τ , thì mỗi phần tử của B là một tập hợp mở
trong X , nhưng mỗi tập hợp mở trong X có thể khơng thuộc B .
2) B là cơ sở của không gian topo (X, τ ) khi và chỉ khi với mọi U ∈ τ
và với mọi x ∈ U , tồn tại V ∈ B sao cho

x ∈ V ⊂ U.
Chứng minh. (1) Bởi vì B ⊂ τ nên mỗi phần tử của B là tập hợp mở.
Bây giờ, giả sử X = {a, b, c}, τ là topo rời rạc, nghĩa là τ là họ gồm tất
cả các tập con của X và ta đặt

B = {a}, {b}, {c} .
Khi đó, (X, τ ) là một khơng gian topo và B là cơ sở của X nhưng tồn tại
tập mở X mà X ∈
/ B.
(2) Điều kiện cần. Giả sử B là cơ sở của X , U ∈ τ và x ∈ U . Khi đó,
tồn tại {Bα }α∈Λ ⊂ B sao cho

U=

{Bα : α ∈ Λ}.

Bởi vì x ∈ U nên tồn tại α ∈ Λ sao cho x ∈ Bα . Như vậy, tồn tại

V = Bα ∈ B sao cho
x ∈ V ⊂ U.
Điều kiện đủ. Giả sử với mọi U ∈ τ và với mọi x ∈ U , tồn tại V ∈ B
sao cho x ∈ V ⊂ U và W ∈ τ . Khi đó, với mọi x ∈ W , tồn tại Vx ∈ B sao
cho x ∈ Vx ⊂ W . Do đó,


15

{x} ⊂

W =
x∈W

Vx ⊂ W .
x∈W

Như vậy, W là hợp nào đó các phần tử của B .
Định lí 1.3.3. Giả sử B là một cơ sở của không gian topo (X, τ ). Khi đó,
các khẳng định sau là đúng.
1) Với mỗi x ∈ X , tồn tại U ∈ B sao cho x ∈ U ;
2) Nếu U , V ∈ B , thì với mọi x ∈ U ∩ V , tồn tại W ∈ B sao cho

x ∈ W ⊂ U ∩ V.
Chứng minh. (1) Giả sử x ∈ X . Khi đó, vì x ∈ X ∈ τ và B là cơ sở của
X nên tồn tại U ∈ B sao cho x ∈ U ⊂ X .
(2) Giả sử U , V ∈ B và x ∈ U ∩ V . Khi đó, vì B ⊂ τ nên U , V ∈ τ ,
kéo theo U ∩ V ∈ τ . Mặt khác, vì B là cơ sở của X nên tồn tại W ∈ B
sao cho x ∈ W ⊂ U ∩ V .

Định nghĩa 1.3.4. Giả sử Ux là một họ gồm tất cả các lân cận của x
trong X . Ta nói rằng họ Bx ⊂ Ux là một cơ sở lân cận tại x nếu với mọi
U ∈ Ux , tồn tại V ∈ Bx sao cho

x ∈ V ⊂ U.
Định lí 1.3.5. Giả sử x ∈ X , Bx là một cơ sở lân cận của x. Khi đó,
1) x ∈ U với mọi U ∈ Bx và Bx = ∅ với mọi x ∈ X ;
2) Nếu U , V ∈ Bx , thì tồn tại W ∈ Bx sao cho W ⊂ U ∩ V .
Chứng minh. (1) Giả sử U ∈ Bx . Khi đó, vì Bx ⊂ U nên U là một lân cận
của x. Điều này chứng tỏ rằng x ∈ U . Ngoài ra, vì X là một lân cận của
x nên tồn tại B ∈ Bx sao cho x ∈ B ⊂ X . Như vậy, Bx = ∅.


16

(3)‘ Giả sử U , V ∈ Bx . Khi đó, U , V là các lân cận của x, kéo theo
U ∩ V là một lân cận của x. Bởi vì Bx là cơ sở lân cận tại x nên tồn tại

W ∈ Bx sao cho W ⊂ U ∩ V .

1.4. Không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất
Định nghĩa 1.4.1. Giả sử B là cơ sở của không gian topo X , U là một
tập con của X và x ∈ U . Ta nói U là một lân cận của x trong X nếu tồn
tại B ∈ B sao cho x ∈ B ⊂ U .
Định nghĩa 1.4.2. Giả sử X là không gian topo, x ∈ X và U(x) là họ
tất cả các lân cận của x. Ta nói B(x) ⊂ U(x) là cơ sở lân cận của x nếu
với mọi U ∈ U(x), tồn tại V ∈ B(x) sao cho x ∈ V ⊂ U .
Định nghĩa 1.4.3. Không gian topo X được gọi là không gian thỏa mãn
tiên đề đếm được thứ nhất nếu mỗi điểm của X có một cơ sở lân cận đếm
được.

1.5. Tiên đề đếm được thứ hai
Không gian topo được goi là thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai nếu
nó có một cơ sở đếm được.
1.6. Ánh xạ liên tục
Cho 2 không gian topo (X, TX ), (Y, TY ). Ta nói ánh xạ f : X → Y là
liên tục trên X nếu f −1 (U ) ∈ TX với mọi U ∈ TY .
1.7. Một số định nghĩa cơ bản
Giả sử P là một phủ của X .Ta nói X được xác định bởi P hay P xác
định X nếu U ⊂ X là mở ( tương ứng, đóng) trong X khi và chỉ khi U ∩ V
là mở (tương ứng, đóng) trong P với mọi P ∈ P .


17

Định nghĩa 1.7.1. Giả sử P là họ gồm các tập con của X . Khi đó,
(1) P được gọi là k -lưới nếu với mọi K compact và với mọi lân cận mở

U của K trong X ,tồn tại họ con hữu hạn F ⊂ P sao cho
K⊂

F ⊂U

(2) P được gọi là lưới nếu với mọi x ∈ X , với mọi lân cận mở U của x
tồn tại P ⊂ P sao cho

x∈P ⊂U
(3) P là cs-lưới, nếu với mọi dãy {xn } hội tụ đến x ∈ X và U là lân
cận bất kì của x, tồn tại m ∈ N và P ∈ P sao cho

{x}

{xn : n ≥ m} ⊂ P ⊂ U

(4) Giả sử P là k -lưới của X . Ta nói P là k -lưới đóng (tương ứng, khả
ly) nếu tất cả các phần tử của P là các tập con đóng (tương ứng, khả ly)
của X .
Định nghĩa 1.7.2. Giả sử P là một họ gồm các tập con của X .Khi đó,
(1) P được gọi là điểm-đếm được nếu mỗi x ∈ X thuộc đếm được phần
tử của P .
(2) P được gọi là điểm-hữu hạn nếu mỗi x ∈ X thuộc hữu hạn phần
tử của P .
(3) P được gọi là hữu hạn địa phương nếu x ∈ X ,tồn tại lân cận V của

x sao cho V chỉ giao với hữu hạn phần tử của P .
∞

(4) P được gọi là σ -hữu hạn địa phương nếu P =

Pn với mỗi Pn là
n=1

họ hữu hạn địa phương.


18
∞

(5) P được gọi là σ -điểm-hữu hạn nếu P =

Pn với mỗi Pn là họ

n=1

điểm-hữu hạn.
(6) P được gọi là compact-hữu hạn nếu mỗi tập compact K ⊂ X thì

K chỉ giao với hữu hạn phần tử của P .
Định nghĩa 1.7.3. (1) Không gian X được gọi là không gian Frechet nếu
với mọi A ⊂ X và x ∈ A, tồn tại dãy {xn } ⊂ A hội tụ đến x.
(2) Không gian X được gọi là không gian dãy nếu tập A ⊂ X là đóng
trong X khi và chỉ khi khơng có dãy nào trong A hội tụ đến điểm nằm
ngoài A, hoặc tương đương, X được xác định bở phủ gồm các tập con
compact metric của X .
(3) Không gian X được gọi là k -khơng gian nếu nó được xác định bở
phủ gồm các tập con compact của X .
(4) Không gian X được gọi là ℵ-khơng gian nếu nó có k -lưới σ -hữu hạn
địa phương.
(5) Giả sử f : X → Y . Ta nói f là ánh xạ phủ-compact nếu mỗi tập
con compact K ⊂ Y là ảnh của L ⊂ Y .
1.7. Nhận xét
Không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai⇒ Không gian thỏa
mãn tiên đề đếm được thứ nhất⇒ Không gian Frechet⇒ Không gian dãy

⇒ k -không gian.


19

CHƯƠNG 2

KHƠNG GIAN VỚI CƠ SỞ σ-WHCP.

Trước tiên chúng tơi giới thiệu về họ HCP, họ wHCP và họ σ -HCP, σ wHCP thơng qua các định nghĩa. Sau đó chúng tôi đưa ra một số định lý,bổ
đề, hệ quả, mệnh đề cơ bản thể hiên tính chất của họ HCP, họ wHCP và
mối quan hệ giữa chúng. Mục đích của chương này, chúng tơi chứng minh
hai định lí quan trọng.
Định lí 1 về ánh xạ đóng trên khơng gian với cơ sở σ -wHCP là ánh xạ
phủ compact.
Định lí 2 về Không gian topo với cơ sở σ -wHCP là D-không gian.
2.1. HỌ HCP, wHCP
Mục này dành cho việc trình bày các tính chất của khơng gian HCP và
wHCP.
Định nghĩa 2.1.1. Giả sử P = {Pα : α ∈ λ} là họ các tập con của X .Khi
đó
(1) P là họ bảo tồn bao đóng di truyền (HCP) nếu

{Aα : α ∈ J} =
α ∈ J.

{Aα : α ∈ J}, với mọi J ⊂ λ và Aα ⊂ Pα , với mỗi

(2) P là họ bảo tồn bao đóng di truyền yếu (wHCP) nếu

{x(P ) ∈ P : P ∈ P}
là họ HCP.
(3) P là họ σ -bảo tồn bao đóng di truyền (σ -HCP) nếu


20
∞

P=

Pn
n=1

trong đó mỗi Pn là họ HCP.
(4) P là họ σ -bảo tồn bao đóng di truyền yếu (σ -wHCP) nếu
∞

P=

Pn
n=1

trong đó mỗi Pn là họ wHCP.
Câu hỏi
(1) Nếu P là họ wHCP thì P có là họ wHCP khơng?
(2) Nếu P là họ HCP thì P có là họ wHCP không?
Với P = {P : P ∈ P} là bao đóng của P trong X . Chúng ta đưa ra ví
dụ chứng tỏ rằng câu trả lời cho câu hỏi (1) là phủ định.Ta chứng minh
rằng P là HCP với mội họ HCP P . Câu trả lời cho câu hỏi (2) là khẳng
định.
Ví dụ: Tồn tại họ P gồm các tập con của không gian chuẩn tắc X sao
cho P là họ wHCP nhưng P không là họ wHCP.
Chứng minh. Giả sử

X = {(0, 0)} ∪(N × {0}){N × N} ⊂ R2 .
Với mỗi n, m ∈ N, đặt

V (n, m) = {(n, 0)} ∪ {(n, k) : k ≥ m}

Khi đó, với mỗi x ∈ X , ta xác định cơ sở lân cận mở Bx của X như
sau:
(1) Nếu x = (n, m) ∈ N × N, thì

Bx = {(n, m)}
(2) Nếu x = (n, 0) ∈ N × {0}, thì


21

Bx = {V (n, m) : m ∈ N
(3) Nếu x = (0, 0) thì

Bx = {{(0, 0)} ∪ (∪{V (n, nm ) : n ≥ k}) : k ∈ N, mn ∈ N}
Với mỗi n ∈ N, đặt

Pn = {(n, m) : m ∈ N
thì P n = {(n, 0)} ∪ Pn . Bây giờ, ta đặt

P = {Pn : n ∈ N}
Khi đó, X là khơng gian chuẩn tắc và P là họ wHCP nhưng P không
là họ wHCP. Thật vậy,
(i) X là chuẩn tắc. Thật vậy, rõ ràng rằng X là khơng gian Hausdorff.
Vì thế, ta chỉ cần chứng minh rằng X là không gian paracompact. Thật
vậy, giả sử U là một phủ mở bất kì của X . Vì U là phủ của X nên ta có
thể tìm được U0 ∈ U sao cho (0, 0) ∈ U0 . Khi đó, vì B(0,0) là cơ sở lân cận
tại (0, 0) và U0 là lân cận mở của (0, 0) nên tồn tại B ∈ B(0,0 sao cho

(0, 0) ∈ B ⊂ U0
Suy ra N × {0} \ U0 là tập hữu hạn. Do đó, ta có thể đặt

N × {0} \ U0 = {x1 , x2 , ...., xl }
Bây giờ, với mỗi i = 1, 2, ...., l vì U phủ X nên ta có thể chọn được

Ui ∈ U sao cho xi ∈ U . Do đó, {Ui : i = 1, 2, ...., l} phủ N × {0}.Đặt
U = {Ui : i = 1, 2, ..., l}
V=U

{{x} : x ∈ X \

U}

Dễ dàng kiểm tra được rằng V là tập mở hữu hạn địa phương của U .
Vì vậy, X là paracompact.
(ii) P là wHCP. Với mỗi n ∈ N, giả sử (n, mn : n ∈ Pn . Đặt