Bài giảng Bài tập định lý vi-lét (có đáp án )

Bµi tËp ®Þnh lý vi-Ðt
Bµi 1: Phương trình: 2x
2
+ (2m-1)x + m - 1= 0 (1)
1. Thay m = 2 vào phương trình (1) ta có.
2x
2
+ 3x + 1 = 0
Có ( a - b + c = 2 - 3 + 1 = 0)
=> Phương trình (1) có nghiệm x
1
= -1 ; x
2
= - 1/2
2. Phương trình (1) có
∆
= (2m -1)
2
- 8(m -1)
= 4m
2
- 12m + 9 = (2m - 3)
2

≥
0 với mọi m.
=> Phương trình (1) luôn có hai nghiệm x
1
; x
2
với mọi giá trị của m.

+ Theo hệ thức Vi ét ta có:







−
=
−
=+
2
1
2
21
21
21
m
xx
m
xx
+ Theo điều kiện đề bài: 4x
1
2
+ 4x
2
2
+ 2x
1

x
2
= 1
<=> 4(x
1
+ x
2
)
2
- 6 x
1
x
2
= 1
<=> ( 1 - 2m)
2
- 3m + 3 = 1
<=> 4m
2
- 7m + 3 = 0
+ Có a + b + c = 0 => m
1
= 1; m
2
= 3/4
Vậy với m = 1 hoặc m = 3/4 thì phương trình (1) có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả

mãn:
4x
1
2
+ 4x
2
2
+ 2x
1
x
2
= 1
Bµi 2: . Cho phương trình x
2
– 2mx + m
2
– m + 3 =0
Tìm biểu thức x
1
2

+ x
2
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
( a = 1 ; b = - 2m => b’ = - m ; c = m
2
- m + 3 )
Δ’ = ...= m
2

- 1. ( m
2
- m + 3 ) = m
2
- m
2
+ m - 3 = m – 3 ,do pt có hai
nghiệm x
1
; x
2
(với m là tham số ) Δ’ ≥ 0
⇒
m ≥ 3 .Áp dụng hệ thức Vi-ét
ta có:
x
1
+ x
2
= 2m
x
1

. x
2

= m
2
- m + 3
x

1
2

+ x
2
2
= ( x
1
+ x
2
)

2
– 2x
1
x
2
= (2m)
2
- 2(m
2
- m + 3 )=2(m
2
+ m - 3 )
=2(m
2
+ 2m
1
2
+

1
4
-
1
4
-
12
4
) =2[(m +
1
2
)
2
-
13
4
]=2(m +
1
2
)
2
-
13
2
Do điều kiện m ≥ 3
⇒
m +
1
2
≥ 3+

1
2
=
7
2

(m +
1
2
)
2
≥
49
4

⇒
2(m +
1
2
)
2
≥
49
2

⇒
2(m +
1
2
)

2
-
13
2
≥
49
2
-
13
2
= 18
Vậy GTNN của x
1
2

+ x
2
2
là 18 khi m = 3
Bài 3 .
a)Giảiphương trình (1) khi m = -1:
Thay m =
1−
vào phương trình (1) ta được phương trình:

2
2 8 0x x+ − =

2
( 2 1) 9 0x x⇔ + + − =

( )
2
2
1 3 0x⇔ + − =

( ) ( )
1 3 1 3 0x x⇔ + + + − =

( ) ( )
4 2 0x x⇔ + − =
4 0 4
2 0 2
x x
x x
+ = = −
 
⇔ ⇔
 
− = =
 
b) Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, trong đó một
nghiệm
bằng bình phương của nghiệm còn lại.
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
⇔
∆’ = m
2
- (m - 1)
3

> 0 (*)
Giả sử phương trình có hai nghiệm là u; u
2
thì theo định lí Vi-ét ta có:

2
2 3
u u 2m
u.u (m 1)

+ =


= −


(**)
( )
( )
2
3
3
2
**
1
u u m
u m

+ =


⇔

= −



⇔

2
2
1
u u m
u m

+ =

= −


( )
2
1 1 2
1
m m m
u m

− + − =

⇔


= −



2
3 0
1
m m
u m

− =
⇔

= −

PT
2
3 0m m− =

⇔

( )
1 2
3 0 0; 3m m m m− = ⇔ = =
(thỏa mãn đk (*) )
Vậy m = 0 hoặc m = 3 là hai giá trị cần tìm.
Lưu ý: Có thể giả sử phương trình có hai nghiệm, tìm m rồi thế vào PT(1) tìm
hai nghiệm của phương trình , nếu hai nghiệm thỏa mãn yêu cầu thì
trả lời.
Ở trường hợp trên khi m = 0 PT (1) có hai nghiệm

1 2
1; 1x x= − =
thỏa
mãn

2
2 1
x x=
, m = 3 PT (1) có hai nghiệm
1 2
2; 4x x= =
thỏa mãn
2
2 1
x x=
.
Bµi 4 .
Cho phương trình bậc hai: x
2
-2(m-1)x+2m-3=0. (1)
a) Chứng minh rằng phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của m.
x
2
- 2(m-1)x + 2m - 3=0.
Cú:

=
( )
[ ]
)32(1

2

mm
= m
2
-2m+1-2m+3
= m
2
-4m+4 = (m-2)
2


0 vi mi m.
Phng trỡnh (1) luụn luụn cú nghim vi mi giỏ tr ca m.
b) Phng trỡnh (1) cú hai nghim trỏi du khi v ch khi a.c < 0
<=> 2m-3 < 0
<=> m <
2
3
.
Vy : vi m <
2
3
thỡ phng trỡnh (1) cú hai nghim trỏi du.
Bài 5.: Cho phơng trình (2m-1)x
2
-2mx+1=0
Xác định m để phơng trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1,0)
Giải: Phơng trình: ( 2m-1)x
2

-2mx+1=0
Xét 2m-1=0=> m=1/2 pt trở thành x+1=0=> x=1
Xét 2m-10=> m 1/2 khi đó ta có
,

= m
2
-2m+1= (m-1)
2
0 mọi m=> pt có nghiệm với mọi m
ta thấy nghiệm x=1 không thuộc (-1,0)
với m 1/2 pt còn có nghiệm x=
12
1

+
m
mm
=
12
1

m

pt có nghiệm trong khoảng (-1,0)=> -1<
12
1

m
<0

<
>+

012
01
12
1
m
m
=>





<
>

012
0
12
2
m
m
m

=>m<0
Vậy Pt có nghiệm trong khoảng (-1,0) khi và chỉ khi m<0
Bài 6: Cho phơng trình: x
2
-( 2m + 1)x + m
2
+ m - 6= 0 (*)
a.Tìm m để phơng trình (*) có 2 nghiệm âm.
b.Tìm m để phơng trình (*) có 2 nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn
3
2
3
1
xx


=50
giải: Để phơng trình có hai nghiệm âm thì:
( )
( )








<+=+
>−+=
≥−+−+=∆
012
06
06412
21
2
21
2
2
mxx
mmxx
mmm

3
2
1
0)3)(2(
025
−<⇔







−<

>+−
>=∆
⇔
m
m
mm

b. Gi¶i ph¬ng tr×nh:
( )
50)3(2
3
3
=+−−
mm









−−
=
+−
=
⇔
=−+⇔=++⇔
2

51
2
51
0150)733(5
2
1
22
m
m
mmmm

Bµi 7: Cho ph¬ng tr×nh: ax
2
+ bx + c = 0 cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖt x
1
,
x
2
Chøng minh:
a,Ph¬ng tr×nh ct
2
+ bt + a =0 còng cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖt t
1
vµ t
2
.
b,Chøng minh: x
1
+ x
2

+ t
1
+ t
2

≥
4
gi¶i: §Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ©m th×:
( )
( )







<+=+
>−+=
≥−+−+=∆
012
06
06412
21
2
21
2
2
mxx
mmxx

mmm

3
2
1
0)3)(2(
025
−<⇔







−<
>+−
>=∆
⇔
m
m
mm

b. Gi¶i ph¬ng tr×nh:
( )
50)3(2
3
3
=+−−
mm








−−
=
+−
=
⇔
=−+⇔=++⇔
2
51
2
51
0150)733(5
2
1
22
m
m
mmmm

Bài 8: a. Vì x
1
là nghiệm của phơng trình: ax

2
+ bx + c = 0 nên ax
1
2
+ bx
1
+ c
=0. .
Vì x
1
> 0 => c.
.0
1
.
1
1
2
1
=++






a
x
b
x
Chứng tỏ

1
1
x
là một nghiệm dơng của ph-
ơng trình: ct
2
+ bt + a = 0; t
1
=
1
1
x
Vì x
2
là nghiệm của phơng trình:
ax
2
+ bx + c = 0 => ax
2
2
+ bx
2
+ c =0
vì x
2
> 0 nên c.
0
1
.
1

2
2
2
=+








+








a
x
b
x
điều này chứng tỏ
2
1
x
là một nghiệm dơng

của phơng trình ct
2
+ bt + a = 0 ; t
2
=
2
1
x

Vậy nếu phơng trình: ax
2
+ bx + c =0 có hai nghiẹm dơng phân biệt x
1
; x
2
thì
phơng trình : ct
2
+ bt + a =0 cũng có hai nghiệm dơng phân biệt t
1
; t
2
. t
1
=
1
1
x
; t
2

=
2
1
x
b. Do x
1
; x
1
; t
1
; t
2
đều là những nghiệm dơng nên
t
1
+ x
1
=
1
1
x
+ x
1


2 t
2
+ x
2
=

2
1
x
+ x
2


2
Do đó x
1
+ x
2
+ t
1
+ t
2


4
Bài 9: Cho phơng trình : x
2
-2(m - 1)x + m
2
- 3 = 0
( 1 )
; m là tham số.
a/. Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm.
b/. Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm sao cho nghiệm này bằng
ba lần nghiệm kia.
Giải :a/. Phơng trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi

0.

(m - 1)
2
-m
2
-3

0

4 - 2m

0

m

2.
b/. Với m

2 thì (1) có 2 nghiệm.
Gọi một nghiệm của (1) là a thì nghiệm kia là 3a . Theo Viet ,ta có:

2
3 2 2
.3 3
a a m
a a m

+ =


=


a=
1
2
m


3(
1
2
m
)
2
= m
2
3

m
2
+ 6m 15 = 0

m = 3

2
6

( thõa mãn điều kiện).
Bai10: Cho phơng trình 2x
2
+ (2m - 1)x + m - 1 = 0
Không giải phơng trình, tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
; x
2
thỏa mãn: 3x
1
- 4x
2
= 11
Giải:
Để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x
1
; x
2
thì > 0
<=> (2m - 1)
2
- 4. 2. (m - 1) > 0
Từ đó suy ra m 1,5 (1)
Mặt khác, theo định lý Viét và giả thiết ta có:

=

=

=+
114x3x
2
1m
.xx
2
12m
xx
21
21
21










=

=
=
11
8m-26
77m
4
7
4m-13
3
8m-26
77m
x
7
4m-13
x
1
1

Giải phơng trình
11
8m-26
77m
4
7
4m-13
3 =

ta đợc m = - 2 và m = 4,125 (2)
Đối chiếu điều kiện (1) và (2) ta có: Với m = - 2 hoặc m = 4,125 thì phơng
trình đã cho có hai nghiệm phân biệt t
Bai 11: Cho pt
01
2
=+
mmxx
a. Chứng minh rằng pt luôn luôn có nghiệm với
m

.
b. Gọi
21
, xx
là hai nghiệm của pt. Tìm GTLN, GTNN của bt.
( )
12
32
21
2
2
2
1
21
+++
+
=

xxxx
xx
P
Giải . : cm
m

0
B (2 đ) áp dụng hệ thức Viet ta có:



−=
=+
1
21
21
mxx
mxx

2
12
2
+
+
=⇒
m
m
P
(1) T×m ®k ®Î pt (1) cã nghiÖm theo Èn.
11

2
2
1
1
2
1
=⇔=
−=⇔−=⇒
≤≤−⇒
mGTNN
mGTLN
P
Bai ̀ 12: Cho ph¬ng tr×nh
32
2
−
x
2
- mx +
32
2
−
m
2
+ 4m - 1 = 0 (1)
a) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) víi m = -1
b) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm tho· m·n
21
21
11

xx
xx
+=+
gi¶i : a) m = -1 ph¬ng tr×nh (1)
0920
2
9
2
1
22
=−+⇔=−+⇔
xxxx





+−=
−−=
⇒
101
101
2
1
x
x
b) §Ó ph¬ng tr×nh 1 cã 2 nghiÖm th×
4
1
0280

≤⇔≥+−⇔≥∆
mm

(
*
)
+ §Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kh¸c 0





+−≠
−−≠
⇒
≠−+⇔
234
234
014
2
1
2
1
2
m
m
mm
(
*
)

+



=−
=+
⇔=−+⇔+=+
01
0
0)1)((
11
21
21
212121
21
xx
xx
xxxxxx
xx





+=
=
=

=+
=

194
194
0
038
02
2
m
m
m
mm
m
Kết hợp với điều kiện (*)và (**) ta đợc m = 0 và
194
=
m

Bài 13 : Tìm tất cả các số tự nhiên m để phơng trình ẩn x sau:
x
2
- m
2
x + m + 1 = 0
có nghiệm nguyên.
giải:
Phơng trình có nghiệm nguyên khi = m
4

- 4m - 4 là số chính phơng
Ta lại có: m = 0; 1 thì < 0 loại
m = 2 thì = 4 = 2
2
nhận
m 3 thì 2m(m - 2) > 5 2m
2
- 4m - 5 > 0
- (2m
2
- 2m - 5) < < + 4m + 4
m
4
- 2m + 1 < < m
4
(m
2
- 1)
2
< < (m
2
)
2
không chính phơng
Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.
Bài 14: Xác định các giá trị của tham số m để phơng trình
x
2
-(m+5)x-m+6 =0
Có 2 nghiệm x

1
và x
2
thoã mãn một trong 2 điều kiện sau:
a/ Nghiệm này lớn hơn nghiệm kia một đơn vị.
b/ 2x
1
+3x
2
=13
ta có
1142442510)6(4)5(
222
++=+++=++=
mmmmmmm
Để PT có hai nghiệm phân biệt sao cho khi m
1147
=
và m
347
=+
Giả sử x
2
>x
1
ta có HPT x
2
x
1
=1

X
1
+x
2
=m+5
X
1
x
2
=m+6
GiảI HPT ta đợc m=0 và m=-14 TMĐK
Theo giả thiết ta có 2x
1
+3x
2
=13
X
1
+x
2
=m+5
X
1
x
2
=-m+6
GiảI HPT ta đợc m=0 và m=1 thỏa mãn ĐK
Bài 15: Cho phơng trình x
2
- 2(m-1)x + m - 3 = 0 (1)

a. Chứng minh phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
b. Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phơng trình (1) mà
không phụ thuộc vào m.
c. Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x
2
1
+ x
2
2
(với x
1
, x
2
là nghiệm của ph-
ơng trình (1))
giai : a.
'

= m
2
3m + 4 = (m -
2
3
)
2
+
4
7
>0

m.
Vậy phơng trình có 2 nghiệm phân biệt
b. Theo Viét:



=
=+
3
)1(2
21
21
mxx
mxx
=>



=
=+
622
22
21
21
mxx
mxx

<=> x
1
+ x

2
2x
1
x
2
4 = 0 không phụ thuộc vào m
a. P = x
1
2
+ x
1
2
= (x
1
+ x
2
)
2
- 2x
1
x
2
= 4(m - 1)
2
2 (m-3)
= (2m -
2
5
)
2

+
m

4
15
4
15

VậyP
min
=
4
15
với m =
4
5

Bi 16 :
Cho phng trỡnh
( )
2 2
1
x - 2m + 1 x + m + = 0
2
( m l tham s) (1)
1)Vi giỏ tr no ca m thỡ phng trỡnh (1) cú hai nghim phõn bit ?
2) Vi giỏ tr no ca m thỡ phng trỡnh (1) cú hai nghim phõn bit
1 2
,x x
sao cho biu thc

( ) ( )
1 2
M = x - 1 x -1
t giỏ tr nh nht ?
Giai :
1, ờ (1) co 2 nghiờm phõn biờt khi
(2m+1)
2
-4(m
2
+
2
1
) >0
4
1
014
>>
mm
2, Vi m>
4
1
thi (1) co hai nghiờm phõn biờt theo inh ly vi et ta co
{ }
21
xx
+
=2m+1
X
1

.x
2
= m
2
+
2
1
khi o
M = ( x
1
-1)(x
2
-1`) =x
1
x
2
-(x
1
+x
2
) +1 = m
2
+
2
1
- 2m -1 +1
= (m-1)
2
-
2

1
2
1

ng thc xay ra khi m=1 ( thoa man iờu kiờn m>
4
1
Võy GTNN cua M la -
2
1
khi m=1
Bai17:. Cho phơng trình (2m-1)x
2
-2mx+1=0
Xác định m để phơng trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1,0)
Phơng trình: ( 2m-1)x
2
-2mx+1=0
Xét 2m-1=0=> m=1/2 pt trở thành x+1=0=> x=1
Xét 2m-10=> m 1/2 khi đó ta có
,

= m
2
-2m+1= (m-1)
2
0 mọi m=> pt có nghiệm với mọi m
ta thấy nghiệm x=1 không thuộc (-1,0)
với m 1/2 pt còn có nghiệm x=
12

1

+
m
mm
=
12
1

m

pt có nghiệm trong khoảng (-1,0)=> -1<
12
1

m
<0





<
>+

012
01
12
1
m

m
=>





<
>

012
0
12
2
m
m
m
=>m<0
Vậy Pt có nghiệm trong khoảng (-1,0) khi và chỉ khi m<0
Bi 18:
Cho phng trỡnh bc hai n x, tham s m : x
2
2(m + 1)x + m
2
1 = 0
Tớnh giỏ tr ca m, bit rng phng trỡnh cú hai nghim x
1
, x
2
tha món

iu kin :
x
1
+ x
2
+ x
1
.x
2
= 1
Giai : a = 1 , b = -(m+1) ; c = m
2
1 .
= b
2
a.c = (m+1)
2
1. ( m
2
1)
= m
2
+ 2m + 1 m
2
+ 1 = 2m + 2.
pt cú hai nghim x
1
, x
2
thỡ 0

2m + 2 0
m -1 .
Theo h thc Vi ột ta cú :
1 2
2
1 2
2 2
. 1
m
x x
x x m
= +
+



=


Theo bi ta cú: x
1
+ x
2
+ x
1
.x
2
= 1.
2m + 2 + m
2

1 = 1
m
2
+ 2m = 0.
m(m + 2 ) = 0.
m = 0 ( nhn) ; m = -2 ( loi)
Vy m = 0.
Bi 19:
Cho phng trỡnh bc hai n x, tham s m : x
2
2(m + 1)x + m
2
1 = 0