Bài soạn PT VÀ BPT VÔ TỈ

PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
I.Một số PT,BPT vô tỷ thông thường:
1/ 3 6 3;2 / 4 1 1 2 ;3/ 9 5 2 4;4/ ( 1) ( 2) ( 3)x x x x x x x x x x x x x+ + − = + − − = − + = − + − + − = +
2 2 2
5/ 2 8 6 1 2 2;6 / ( 1) ( 2) 2 ;7 /( 1 1)( 1 1) 2x x x x x x x x x x x x+ + + − = + + + − = + − − + =
8/ 11 11 4;9 / 2 1 2 1 2;10 / 3 4 1 8 6 1 1x x x x x x x x x x x x+ + + − + = + − + − − = + − − + + − − =
2 2
4 1 3 20 20 2 2
11/ ;12 / 6;13/ 2 2
2 2 2 2
x x x x
x x x
x x
x x x x x x
+ − + −
− = − = + =
+ + − +
+ + − +
2 2 2 2 2 2
2 2
14 /( 3) 10 12( 3 3) ( 3) (10 ) ( 12)
( 9 3)( 13 9) 0 ( 93 9) / 2;(13 205) / 2
x x x x x x x x x
x x x x x
− − = − − − < < ⇔ − − = − −
⇔ + − − − = ⇒ = − −
2 2 2 2 2 2
5 5 1 1
15/ 1 1 1 1 1 1
4 4 2 2
x x x x x x x x− + − + − − − = + ⇔ + − + − − = +

2 2 2 2
16 / 5 8 4 5( 2) 5 1 8 4 4 0x x x x x x x x x+ − + + − = = ⇔ + − − + + − − =
2 2 2 2 2 2 2 2
17 / 2 1 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 1 2 3 2 0x x x x x x x x x x x x x x− + − − = + + + − + ⇔ + + − − + − + − − − =
2 2 2 2
2;18 / 3 7 3 2 3 5 1 3 4( 2)x x x x x x x x x⇒ = − − + − − = − − − − + =
2 2 2 2 2
18/ 7 5 3 2 ( 1);19 / 3 2 1( 5 1 , 0 1)x x x x x x x x x x t t t t− + + = − − = − − + − + − = − = + > ⇒ =
2 2
20 / 2 1 ( 1 1) 0 ( 1 1)( 1 1 ) 0 2x x x x x x x x x x− − − − − − = ⇔ − − − − − − = ⇒ =
.
2
21/ 4 1 4 1 1( 1/ 2 1/ 2);22 / ( 2)(2 1) 3 6 4 ( 6)(2 1) 3 2x x x VT VP x x x x x x x− + − = ≥ ⇒ ≥ ⇒ = + − − + = − + − + +
( ) ( 6 2).( 2 1 3) ( ). ( ) 4 5f x x x x g x h x x⇔ = + + + − − = = ⇒ > ⇒
g(x)&h(x) đồng biến trên
(5; )+∞ ⇒
f(x) đồng
biến trên khoảng đó nên PT có nghiệm duy nhất x = 7.
[ ] [ ]
23/ ( 1)(4 ) 2(4 1);24 / 1 3 4( 0);25 / 3 2 8 7 ( 4;5 6;7 )x x x x x x x x x x− − > − > > + > − + > + ≥ − + − ∪
2 2 2
26 / 2 3 5 2 ( 2 2);27 / 3 2 6 5 2 9 7( 5; 1)x x x x x x x x x x x+ − − < − − ≤ < + + + + + ≤ + + = − −
{ }
( )
2 2 2 2
28/ 4 3 2 3 1 1 1 (4 13) / 2;1/ 2 ;29/( 3) 4 9( 13/ 6; 3)x x x x x x x x x x
 
− + − − + ≥ − ∪ − − − ≤ − ≤ − ≥
 
1

2 2 2
2 2
2
1 1 4 4
30 / 4 ( 1 1) 4( 1 8);31/ 3 3(1 1 4 ),( 1/ 2 0)
(1 1)
x x x
x x x x x x
x x
x
− −
> − ⇔ + − > − − ≤ < < ⇔ < + − − < <
+ +
2 2
3 3
3
2 2
12 12 1 1 2
32 / ,( 3; 2 4);33/ ( 1) 1 1 2( 5/ 4)
11 2 9
x x x x
x x x x x x x x
x x x x x
+ − + −
≥ = − − < ≤ + + − > ≥ ⇔ + + − > >
− −
2 2
1 1 1 1 1
34 / 0 0;35/ 3 2 1 1( 2; 1)
2 ( 2)

1 1
x
x x x x x x x
x x x
x
− +
+ < ⇔ < ⇒ > + + − + + < ≤ − ≥ −
+ +
+ +
2
7 21 11 13
36 / 1 4 2 1( 0);37 / 5 9 1 ; ;9 ;38 / 2 6 1 1( 0;0 2)
2 2
x x x x x x x x x x
   
− +
− ≥ + ≤ − − − > −∞ + + > + < < <
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
U
3
2001
39 / 3 1 2 4 3
304
x x x+ + + < −
. Xét tính đơn điệu của hàm số thì nghiệm của BPT là
[
)
2;0−

.
2
3( 5) 5
40 / 3 1 6 3 14 8 0 ( 5)(3 1) 0 5
3 1 4 6 1
x x
x x x x x x x
x x
− −
+ − − + − − = ⇔ + + − + = ⇒ =
+ + − +
II.Giải bằng phương pháp đặt biến phụ:
2 2 2 2 2
1/ 3 3 3 6 3;2 / 3 15 2 5 1 2;3/ 7 4 4 ( 2)( 1;2)x x x x x x x x x x x x x t t− + + − + = + + + + = + + = + = ⇒ =
2 2 2 2 2 2 2
4 / 4 1 2 2 9;5/ 3 2 1;6 / 11 31x x x x x x x x x x x x+ + + + + = + + − + − + − = + + =
2
7 / 3(2 2) 2 6( 2 3;(11 3 5) / 2)x x x x t x+ − = + + = + ⇒ = −
2 2 2 2 2 2 2
8/ / 1 2 2( 1) /( 1) 2 / 1 8 2 8 0x x x x x x x x x t t+ − = > ⇔ + − + − = ⇔ + − =
2 3 2 2 3 2 3
9 / 2 5 1 7 1( 1 0; 1 0);10 / 2( 3 2) 3 8;11/ 2( 2) 5 1x x x u x v x x x x x x x+ − = − = − ≥ = + + > − + = + + = +
2 3
12 / 2 4 2 4 ;13/ 1 3 2 ( 1)( 3) 4 2 ( 1 3);x x x x x x x x x t x x+ + = + − + + + − + = − = − + +
2 2
14 / 4 4 2 2 16 12;15 / 3 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x x x x x+ + − = + − − − + − = − + − +
2 2 2
16 / 2 3 1 3 2 2 5 3 16;17 / 4 2 3 4x x x x x x x x x+ + + = + + + − + − = + −
2 2 2 2 2
18/(4 1) 1 2 2 1( 1 0,5;2 1);19 / 2(1 ) 2 1 2 1x x x x y x y x x x x x x− + = + + = + ⇒ = − − + − = − −

2 2 2 2 2 2
20 / 3 1 ( 3) 1;21/ 5 1 ( 4) 1;22 / 17 17 9x x x x x x x x x x x x x+ + = + + + + = + + + + − + − =
2
2 2 2
23/ 1 1 (1 2 1 )( ,0 / 2 / 2; / 6);24 / 5 5( 5 )x x x x sint t t x x x t
π π π
+ − = + − = ≤ ≤ ⇒ = ± + = + =
2 3 3
3
23'/ 1 4 3 ,( ;0 2 / 2; 2 2 / 4);24'/ 6 6 4 4 0,( 2;1 3)x x x x cosx x x x x x
π
− = − = ≤ ≤ ⇒ = − ± + − + − = = − ±
2 3 2 2 2
3 3
25/ 1 1;26 / 3 3 ,( 3 );27 / 1 2 2 1,( 2 1 );28 /(3 ) 3 ,( 3 )x x x x x t x x x t x x t x+ + = + + = + = + = − − = − = − = −
3 3 3 3
3 3
1 2 3
27'/8 1 162 27 1 3 3 1 3 1 0 8 6 1 0; 2 3 1 0 ; ;x x u u u u x x x cosy cos y x x x+ = − ⇔ + = − ⇒ − + = ⇔ − + = = ⇒ + = ⇒
3 2 2 2
3 3
3 3
29 / (3 ) 3 3 ( 3) ,( 3 ( 3) );30 / 2 1 1,( 2 ; 1)x a a x a a t x a a x x u x v x+ − = + − = + − − = − − = − = −
3 3
3 3 3 3 3 3
31/ 7 1;32 / 1 1 2;33/ 4 3 1,( 4; 3 7)x x x x x x u x v x u v+ − = − − = − + + − − = = + = − ⇒ − =
3 3 32 2 2
3 3 3 3 3 3
34 / 2 1 1 3 1;35/ 2 1 16 2 1;36 / 7 8 6 7 2 13 12 3x x x x x x x x x x x x− + − = + − = − + − + + − + − − − =
2

4 4 4
3 3
4 4
2 1 1 3 2 1 1
37 / 2;38/ 2 4 , 1; ;39 / 1 1 1 1 1
1 2 2 2 2
x x u
x x u x v x x x
x x x x
 
+ +
+ + = + = = + = − + = + ⇔ − + = +
 ÷
 ÷
+
 
3 34 4 3 3 2 2
4 4
1 & 2;40 / 57 40 5;41/ 35 ( 35 ) 30;42/1/ 1/ 2 2,( 2 )u v u v x x x x x x x x y x⇔ + = + = − + + = − + − = + − = = −
2 2 2 2 2
38'/ 2 15 32 32 20 2 15 8(2 1) 28 14 8 28; 14 14 2x x x x x u u u ku u k u k+ = + − ⇔ + = + − ⇔ + = − + = ⇔ + = ⇒ =
2 2
6 2 2 2 2
3 3
3
43/ 1 1 1;44 / 2 ( 1) 3 1 ( 1) 0;45 / 4 1 3 2
5 5
n
n n
x u v

x x x x x x x x u v
 
+ −
+ − − = − + − − + − = + − − = − =
 ÷
 
2
3
3 3
2
3 3
3 3
1
7 5 2
46 / 6 2 ( ) 0 5 7;47 / 1 (: ; )
3
7 5
2
a b
a
x x
x ab a b x x x t HVN
a b
x x
a b
−

= −
− − −


 
= − ⇔ ⇒ − = ⇒ = ∧ − = − =
+

 ÷
− + −
 

+ =

2 2 2 2
5 2 5 2 5 5
48/ 2 5 4 2 4 3,( 1 4 3 1 4 3);49 / 5 10 1 7 2 , 3; ;1
5 5
x x x x x x x x x
   
− − −
+ + ≤ + + − − ≤ ≤ − + + + ≥ − − −
   
   
U
2 2 2
50 / 4 (4 )(2 ) 2 12( 1 5);51/ ( 4) 4 ( 2) 2(2 3 2 3)x x x x x x x x x x x− − + ≤ − − = ± − − + + − < − < < +
3 2 2
0
52 /( 1) ( 1) 3 1 0,( 1 2 3 / 9 3 2 0, : 1)x x x x t x x t t TM n x+ + + + + > = + ≥ − ⇒ + + > ⇒ ≥ −
2
0
3 1 1 16 6 7 16 6 7
53/ 3 2 7, 2 3 9 0 3 : 0; ;

2 4 4
2 2
x x t x t t t n
x
x x
 
   
− +
+ < + − = + ⇒ − − > ⇒ > ⇒ +∞
 ÷
 ÷  ÷
 ÷  ÷
 ÷
   
 
U
4 2 2
0
2
2 2 2
35 1225
54 / ( 1) 2 0, : (1;1, 25) (5/ 3; )
12 1 144
1 1 1
x x x x
x x t n
x
x x x
 
+ > > ⇔ + − > = ⇒ ∪ +∞

 ÷
−
− − −
 
2
55/ 1 3 2( 3) 2 2(*),( ( 1; 3), (1;1).(*) . . 1 3 5)x x x x u x x v u v u v x x x− + − ≥ − + − = − − = ⇔ ≥ ⇒ − = − ⇒ =
r r r r r r
3
2
56 / 1 3 2 1,( ( ;1), ( 1; 3 ) . . 1 3 1;1 2)x x x x u x v x x u v u v x x x x+ + − = + = = + − ⇒ = ⇒ + = − ⇒ = +
r r r r r r
III.Biện luận PT và BPT vô tỉ:
Tìm các giá trị của m để PT sau có nghiệm:
2
1/ 2 2 (2 )(2 ) ;( 2 2 4 2 (2 )(2 ) 2 2 2x x x x m t x x t x x t+ + − − + − = = + + − ⇒ = + + − ⇒ ≤ ≤
2
2 2 4 ( ) 4 2 4;4 2 2 2;2m t t f t m
   
⇒ = − + + = ∈ − ⇒ ∈ −
   
2
1
2 / 5 1 5 6 ,(2 2 2 2);3/( 3)( 1) 4( 3) ,( 4)
3
x
x x x x m m x x x m m
x
+
− + − + − + − = ≤ ≤ + − + + − = ≥ −
−

2
4 / 3 6 ( 3)(6 ),(3 2 4,5 3);5 / 9 9 ,( 2,25 10)x x m x x m x x x x m m+ + − = + + − − ≤ ≤ + − = − + + − ≤ ≤
2 2
6 / 2 1 ,( 2 / 2);7 / 2 1,( 5 /8);8/ 4 2,( 4 / 3; 0)x x m m x m x m x mx m m m+ + = ≥ + < + < − = − + < − >
2 2
9 / 2 2( 4) 5 10 3 0( ( ) ( 1) /(2 5)x m x m x PTf x x x m− + + + + − = ⇔ = − − =
có nghiệm
3 3)x m≥ ⇒ ≥
2 2
4
4
10 / 3 1 1 2 1,( 2 3 ;0 ( 1) /( 1) 1 1 1/ 3)x m x x m t t t x x m− + + = − ⇔ = − ≤ = − + < ⇒ − < ≤
2 2 2
4
11/ 1 4 3 2 ( 3) 2 0,( ( ) (3 1)/( 4 );0 1 3/ 4)x m x x m x m f t t t t t m− + − + + + − = ⇔ = = − + + ≤ < ⇒ ≤ −
3 3 2
12 /( 1 ) (1 ) ,( 1 1; 2 ( ) ( 1) / 2 1 2 2 0,5)x x x x m t x x f t t t m m
 
− + − − = = − + ∈ ⇒ = − − = ⇒ ≤ ≤ −
 
2 2 4 2 2 2 2 2
13/ ( 1 1 2) 2 1 1 1 ,( 1 1 2 2;2 2 (5 6 ) /m x x x x x t x x m t t t
 
+ − − + = − + + − − = + − − + ∈ + ⇒ = − −
 
(
]
2
4
2 2 3;5 2 6 );14 / ( ) 1 ,( '( ) 0 0 0;1 )f x x x m f x x m

 
∈ − − = + − = < ∀ ≥ ⇒ ∈
 
15/ 12 ( 5 4 ); ( ) ( 12) /( 5 4 )x x x m x x f x x x x x x+ + = − + − = + + − + −
là hs đồng biến trên đoạn
[ ]
2 2
0;4 2 15 4 3 12;16 / 2 2 2 1 2 4 ,( 1)m x x m x x m⇒ − ≤ ≤ − + = + − + ≥ −
2
17 / 6 9 6 9 ( ) / 6; 6( 3 3 ) 9 ( ) 51,( 9 0)x x x x x m m t t t f t t x+ − + − − = + = + + − − − = ≤ = − ≥

2 2
18/ 2 / 3 1 ; 1 1; 2 ( 1) / 3 (1; 2 1/ 3)m x x x x t x x m t t
 
+ − = + − = + − ∈ ⇒ = − − ∈ −
 
19/ Biện luận theo m số nghiệm của pt:
2 2
3 1( ( ) ( 3) / 1)x m x m f x x x+ = + ⇔ = = + +
4
20/ Tìm a để PT sau có nghiệm duy nhất:
2
(3 1) / 2 1 2 1x x x ax− − = − +
2
( (3 2) / 2 1 (3 1) / 2 ; 0a x x t t t⇔ = − − = − > ⇒
PT có nghiệm duy nhất với mọi a )
21/ Xác định theo m số nghiệm của PT:
4 4 4 4
4 4
4 4 6,( 4 2 16 4x x m x x m x x m m x x+ + + + + = ⇒ + + = ⇒ = − −

KL: m > 19: PTVN; m = 19: PT có 1 nghiệm; m < 19: PT có hai nghiệm.
22/ Tìm các giá trị của m để PT sau có nghiệm dn thuộc đoạn
[ ]
2 3 2
1/ 2;1 : ( ) 3 1 2 2 1f x x x x m− = − − + + =
.
2 3 2
3 3 4 3 3 22
'( ) 1 4
2
1 2 1
x
f x x m m
x x x
 
 
+ −
= − + ⇒ = ∧ − ≤ <
 ÷
 ÷
 ÷
− + +
 
 
23/ Tìm m để PT sau có 2 nghiệm phân biệt:
2 3
2 2 1 3 4 2x mx x x− + = +
2 3 2 3
3

2 1 3 4 2 (2 1)( 4 2 3 )
2 3 2
( ) '( )
2
9 / 4
2 4 2
x x x x x x x
m
m f x f x
x
m
x x x
 

+ − + − + −
> −
⇔ = = ⇒ = ⇒
 ÷

 ÷
= −
+

 
24/ Chứng minh với mọi giá trị dương của m, PT sau luôn có 2 nghiệm phân biệt:
2
2 8 ( 2)x x m x+ − = −
2
0
( : 2; 2 ( ) ( 2)( 4) '( ) 3 ( 4) 0n x x m f x x x f x x x= > ⇒ = = − + ⇒ = + > ⇒

nếu m > 0 thì PT có 2 nghiệm 2 và
2
2)x >
25/ Tìm m đê PT sau có nghiệm dn:
3
4
1 2 (1 ) 2 (1 )x x m x x x x m+ − + − − − =
- ĐK cần: dễ thấy nếu PT có nghiệm
[ ]
0;1a∈
thì nó cũng có nghiệm 1 – a . Do đó để nó có nghiệm duy nhất thì
a = 1-a
3
1/ 2 2 2 0; 1a m m m⇒ = ⇒ + − = ⇒ = ±
- ĐK đủ: thay m = 0;- 1; 1 vào PT ta thấy 0 và – 1 TMYCBT.
26/ Tìm các giá trị của m để BPT sau TM với mọi
[ ]
2
1;1 : 1 ,( 2)x x x m m∈ − + − ≤ ≥
27/ Tìm các GT của m để BPT sau có nghiệm:
3 1mx x m− − ≤ +
2
3 1 1 3 1 3 1
( ) 0;
1 2 4 4
x t
m f t m
x t
 
 

− + + + +
⇔ ≤ = = ∈ ⇒ ≤
 ÷



 ÷
− +
 
 
28/ Tìm các giá trị của m để BPT sau TM với mọi
[ ]
2 2 2
0;1 : ( 1) 2 4x x m x x∈ + + ≤ + +
2 2
( 2 0; 3 ( ) 3 3;3,25 3)t x x m f t t t m
   
= + ∈ ⇒ ≤ = − + + ∈ ⇒ ≤
   
29/ Tìm các giá trị của a để BPT sau có nghiệm với mọi x:
2
2 7a x x a+ < +
2
21 21 21
( ) ;
6 6 6
2 7 1
x
a f x a
x

 
 
⇔ < = ∈ − ⇒ < −
 ÷
 
 ÷
+ −
 
 
5