MOT SO DE THI GIAI TOAN TREN MAY TINH 3

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (198.92 KB, 21 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Một số bài toán giải bằng máy tÝnh cÇm tay

1.TÝnh:

21
34
21
13
1

1
1

1  









665
2241
665

246
3

3
1
3

1
3

3  








985
2378
985

408
2

2
1
2

1
2

2  









 1,433127427

9
1
8

1
7

1
6

1
5

1
4

1
3

1
2

1 






120941476
,

9
8
2

7
3

6
4

5
5

4
6

3
7

9 










141592653
,

292
1
1

1
15

M

2: a) Tìm số tự nhiên a, b biÕt:

b
a 1

1
5

1
3

1
1051

329






đáp số: a = 7, b = 9

b) Cho

7217
9595


A . ViÕt l¹i

n

n a

a
a

a
a
a
A

1
...

1
1
1
1

1
3

2
1
0









</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Đs:

a0;a1;a2;...a7;a8

1;3;28;1;1;1;6;4

c) Cho

2003
5
10

12
30

A

. Viết lại

n

n a

a
a

a
a
a
A

1
...

1
1
1
1

1
3

2
1
0










ViÕt kq theo thø tù



a0,a1,a2,...an1,an







..,...,...,...,



3. T×m x biÕt:

2007

25
1
20

1
15

1
5








x

2007

1
1
2
...

...
2
2
2
2











x
x
x
x
x
x

(có 2006 dấu phân thức)

2007

1
1
2
...

...
2
2
2
2

x
x
x
x
x
x

( có vô số dấu phân thứe)

4. Tính:

59
1808225930
14375

12578963

A

0190521
1524157875

46090521
10

.
167620410
10

.
152399025

10
.
6789
.
12345
.
2
6789
10

.
12345
)

6789
10

.
12345
(
123456789

4
8

4
2

8
2
2

4
2

B

922402816
1072031456

94818816
10

.
584
1432289827
10

.
1070599167

456
1023456
.

10
.

456
.
1023
.
3
10
.
1023
456

10
.
1023
1023456

3
9

3
3

9
3
3

3
3

C

289361111
1119909991

10384713

D .

5.Tìm 5 chữ số tận cïng cña 2224 1

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

 

 
97536

...
...
36256
...
...
2
98016
...
...
06496
...
...
2
79136
...
...
73056
...
...
2
00416
...
...
73696
...
...
2
56736
...
...

77856
...
...
2
66816
...
...
92896
...
...
2
90336
...
...
30656
...
...
2
37216
...
...
2
84096
...
...
2
39936
...
11456
...

2
2
2
11456
...
51616
...
2
2
2
51616
...
67296
...
2
2
2
67296
...
2
23
21
19
17
15
13
11
10
9
7

7
8
6
6
7
5
5
6
5
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
.
2
2
2
2
2
2
.

2
2
2
2
2
2
.
2
2
2














































24
22
20
18
16

14
12
2
2
2
2
2
2
2
2

2

2

2

2

2

VËy 2224 1

 cã 5 chữ số tận cùng là 97537

6. Tìm số d trong phÐp chia:

a, 20022002 cho 2001 (kq: r = 1997)
b) 200220022002 cho 2001(kq: r = 21)

c) 1234567890987654321 cho 123456 (kq: r = 8817)
d) 715cho 2001(kq: r = 1486)

e) 456123cho 789 (kq: r = 123)

f) 3332

3 cho 7
gi¶i:

 

mod7

7
mod
3
7
mod

cã 6
6
3
.
3
1
1
3
3
.
3
3
3
3
6
33
3
6
6
3

6
3
6
33
32
32










k
k
k
k
k

g) 17762003 cho 4000.

gi¶i:



















mod 4000



2176
2
3776
4000
mod
3776
2
576

;
4000
mod

576
2
2976

;
4000
mod

2976
2
2176

;
4000

mod

2176
2
1776






</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>





 





 





 

mod4000

4000
mod

4000

mod

4000
mod
4000

mod

4000
mod

576
1776
.
576
.
2976

1776
.
576
.
2976
1776

.
576
.

2176
1776

.
2176
.
576
.
576
1776
.
2176
.
576

1776
.
2176
.
576
1776
.
2176
.
2176
1776

.
2176
1776

.
2176
.
2176

1776
.
2176
.
2176
1776

.
2176
.
2176
1776

.
2176
1776

.
2176
.
2176

1776
.

2176
.
2176
1776

.
2176
.
2176
1776

.
2176

1776
.
2176
1776

.
1776
1176

2
4

5
10

11
7

7
4
7

4
16
71

9
62

9
62
9

62
16
1001

1001
1001

2
2003





















7. Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho n3là một số có ba chữ số đầu và bốn chữ số cuối đều

b»ng 1, tøc lµ: 3 111...1111



n với n vừa tìm đợc thì n3 bằng bao nhiêu?

kq: n = 1038471





289361111
1119909991

1038471
.

10
.
8471
.
103
.
3
8471
10

.
103
8471

10
.

103 3 3 3 9 3 3











n

8. Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho n3 là một số có ba chữ số đầu và bốn chữ số cuối đều

b»ng 7, tức là n3 = 777 ... 7777

(kq: 1980753)

9. tìm

a) ¦CLN(222222; 506506; 714714) = 2002
b) ¦CLN(24614205; 10719433) = 21311
c) ¦CLN(1582370; 1099647) = 2003
d) ¦CLN(11264845; 33790075) = 1115

10. T×m sè nguyên dơng nhỏ nhất thoả mÃn: Chia cho 2 d 1, chia cho 3 d 2, chia cho 4 d 3,
chia cho 5 d 4, chia cho 6 d 5, chia cho 7 d 6, chia cho 8 d 7, chia cho 9 d 8, chia cho 10 d 9.

11. Tìm số tự nhiên a lớn nhất để khi chia các số 13511; 13903; 14589 cho a ta đợc cùng một
số d.

12a: Khi dùng máy tính cầm tay làm phép chia các số 1059; 1417 và 2312 cho cùng một số
tự nhiên d ( d > 1) ta đều nhận đợc một số d là r. Tính d và r. (d = 179, r = 164 )

12b. Cho d·y:13; 25; 43; ...; 3(n2 + n) + 7

a, Gọi Sn là tổng của n số hạng đầu tiên cđa d·y. TÝnh S15; S16; S19; S20.

b, LËp quy tr×nh bÊm phÝm liªn tơc tÝnh Sn.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

13. Cho













S 1 2;

S 1 2 4 5;

S 1 2 3 7 8 9;

S 1 2 3 4 11 12 13 14

 

   

     

       

TÝnh S50; S60; S80; S100

14. TÝnh S = 1357...200320052007=1004

15. TÝnh S = 13 23 33 ... 20073






16. TÝnh S=1 22 23 24 ... 263








17.TÝnh S = 12 22 32 ... 20072






18.TÝnh: S = 1.2 +2.3 + 3.4 + ...+2006.2007 + 2007.2008

19. TÝnh S = 13 33 53 ... 20073






20. TÝnh 1.99 + 2.98 + 3.97 + ... + 98.2 + 99.1

21. TÝnh tÝch 98 sè h¹ng đầu tiên của dÃy: 1 ; 1 ; 1 ; 11 1 1 1 ;...

3 8 15 24

22. TÝnh

100
.

1
...
13
.
12

1
12
.
11

1
11
.
10







23. Tính

101
.

100
.
99

1
...

5
.
4
.
3

1
4
.
3
.
2

1
3
.
2
.
1

24. Tính giá trị của biểu thức:

2
2

2
2
2
2

2 2007

1
2006

1
1

1
...
4

1
3

1
1

1
3

1
2

1
1

25.Tính S =

2008
2007

1
...

5
4

1
4

3
1
3
2










26. TÝnh S =

2007
2006
2006

2007

1
...

5
4
4
5

1
4

3
3
4

1
3

2
2
3

1
2

1
1
2













27: TÝnh 11 12

1 2 3 3.3 4.3 3 ... 24.3 3 25.3

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Gi¶i:



















































 























 

11 12

0 1 2 3 23 24

1 2 3 4 24 25

0 1 2 3 4 24 25

25 25

1 2 3 3.3 4.3 3 ... 24.3 3 25.3

1. 3 2. 3 3. 3 4. 3 ... 24. 3 25. 3

3. 1. 3 2. 3 3. 3 4. 3 ... 24. 3 25. 3

3. 3 3 3 3 3 ... 3 25. 3

3 1 3

. 1 3 25. 3

3 1

S

S S

S

      

            

              

                 

 

     

 

 





26 25

1 25. 3 26. 3 1

25. 3

3 1 3 1

25. 3 26. 3 1

8546323,782
3 1

S

  

 

 



28: Với n là

số tự nhiên, kí hiệu an là số tự nhiên gần nhất của n. TÝnh 
S2005 = a1 + a2 + …+ a2005.

Gi¶i:

1 2 3 4 5 6 7 12 13 20

21 30 31

1; 1; 2; 2; 2; 2; 3;... 3; 4;... 4;

5;... 5; 6;....

a a a a a a a a a a

a a a

         

  

NhËn xÐt: sè 1 xt hiƯn 2 lÇn, sè 2 xt hiƯn 4 lÇn, sè 3 xt hiƯn 6 lÇn, sè 4 xt hiƯn 8 lÇn,

sè 5 xt hiện 10 lần

Dự đoán: số k xuất hiện 2k lần.

Chứng minh dự đoán: ta chứng minh bất phơng trình: 1 1

2 2

k  x k  có đúng 2 k nghiệm

tù nhiªn. ThËt vËy BPT

2 2

1 1 1 1

2 2 2 2

k x k k k x k k

   

            

có nghiệm

tự nhiên là:

2 1; 2 2;...; 2 2 1 2 1; 2 2 2

k  k k  k k  k k k  k k  k k k k.

Vậy: S2005 1.2 2.4 3.6 ... .2   l l



l1 .



x trong đó:













. 1 2005

2 4 6 ... 2 2005 44

2. 1 2. 1 25

l l x

l x l

x l x l x

  



     

  

 

 

  

    

  

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>









2005

2 2 2 2

1.2 2.4 3.6 ... .2 1 .

1.2 2.4 3.6 ... 44.88 45.25

2.1 2.2 2.3 ... 2.44 45.25

2. 1 2 3 ... 44 45.25

44.45.89

2. 45.25 59865

S l l l x

       

     

  

27. Cho   3 3 17 625




 x x

x

P .

a, TÝnh P



2 2



b, Tính a để P x a2

 chia hÕt cho x3

28. Cho ®a thøc P x 6x3 7x2  16xm

a, Với điều kiện nào của m thì đa thức P(x) chia hÕt cho ®a thøc 2x + 3

b, Với giá trị của m tìm đợc ở câu a hãy tìm số d của phép chia P(x) cho 3x - 2.
c, Với m tìm đợc ở câu a hãy phân tích đa thức P(x) ra các thừa số bậc nhất.

29. xác định m trong phơng trình 3,62 3 1,74 2 16,5 0





 x x m

x nÕu biÕt mét nghiƯm cđa

ph-ơng trình là 2. Tìm các nghiệm cịn lại của phph-ơng trình đó.

30. Tìm m và n biết khi chia đa thức x2 mxn cho x m vàx n đợc số d lần lợt là m và n.
31. Tìm số d trong phép chia đa thức 5 7,834 3 7,581 2 4,568 3,194






 x x x

x chox 2,652. Tìm

hệ số của x2 trong đa thức thơng của phép chia trên.

32. Cho phơng trình 2x3 mx2nx120 cã hai nghiÖm 1; 2

1  x 

x tìm m, n và nghiệm thứ
ba.

33. Tìm phần d trong phÐp chia ®a thøc x100 - 2 x51 + 1 cho x2 - 1.

34. Cho ®a thøc f(x) = x5 + x2 + 1 có năm nghiệm x

1, x2, x3, x4, x5. KÝ hiÖu p(x) = x2 - 81. H·y

tÝnh tÝch P  p(x1) p(x2) p(x3) p(x4) p(x5).
Gi¶i:

cã P(x) = (x-9)(x+9)

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

cã f(x) = (x-x1) (x-x2) (x-x3) (x-x4) (x-x5)

95131 = f(9) = (9-x1) (9-x2) (9-x3) (9-x4) (9-x5) = -(x1-9)(x2-9)(x3-9)(x4-9)(x5-9)

-58967 = f(-9) =(-9-x1) (-9-x2) (-9-x3) (-9-x4) (-9-x5) = - (x1+9)(x2+9)(x3+9)(x4+9)(x5+9)

VËy: P = 95131.(-58967)= - 5609589677

35. Gäi x1, x2, x3 là 3 nghiệm của phơng trình x3 7x40.Xét đa thức Q x x2 15. Tính

giá trÞ cđa biĨu thøc Q

  

x1 .Q x2

 

.Q x3



36. Khi chia ®a thøc 2 4 8 3 7 2 8 12




 x x x

x cho đa thức x 2 ta đợc thơng là đa thức Q(x) có
bậc là 3. Hãy tìm hệ số của x2 trong Q(x).

37. Cho đa thức bậc ba P(x) sao cho khi chia P(x) cho (x - 1); (x-2); (x-3) đều đợc d là 6 và
P(-1) = -18. Tính P(16); P(17); P(18); P(19); P(20)

38. Cho P x x4ax3bx2cxdcãP 1 0;P 2 4;P 3 18;P 4 48. TÝnh P(2002)
39. Cho P x x4ax3bx2cxdcãP 1 0,5;P 2 2;P 3 4,5;P 4 8. TÝnh P(2002),

P(2003).

40. Cho P(x) là đa thức với hệ số nguyên có giá trị P(21) = 17, P(37) = 33.
BiÕt P(N) = N + 51. TÝnh N.

41. Cho P(x) =x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e. BiÕt P(1) = 1, P(2) = 4, P(3) = 9, P(4) = 16, P(5)

= 25. TÝnh c¸c gi¸ trÞ cđa P(6), P(7), P(8), P(9).

42. Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. BiÕt P(1) = 5, P(2) = 7, P(3) = 9, P(4) = 11. Tính các

giá trị của P(10), P(11), P(12), P(13).

43. Cho đa thức p x x4ax3bx2cxdthoả mÃn: P 1 4;P 2 7;P 3 12;P 4 19.
a. Tính các giá trị: P(17); P(18); P(-19); P(-21).

44. Cho f x x3 ax2 bx c





 . BiÕt

500
89
5

1
f
;
8
3
2

1

-f
;

108

7
3
1

f 























. tính giá trị gần đúng vi

5 chữ số thập phân của

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

45. ChoP x x3ax2bxc. BiÕt P 1 15;P 2 15;P 3 9.
a, tìm các hệ số a, b, c cđa P(x).

b, T×m sè d r1 trong phÐp chia P(x) cho (x - 4).

c, T×m sè d r2 trong phÐp chia P(x) cho (2x + 3).

46. Cho ®a thøc   .

35
32
63

82
30

13
21

1
630

1 x9 x7 x5 x3 x

x

P  

a, Tính giá trị của đa thức khi x 4; 3; 2; 1;0;1;2;3;4

b, Chøng minh r»ng P(x) nhËn giá trị nguyên với mọi x nguyên.

47. Cho đa thức P(x) thoả mÃn:
P(x) chia cho x + 3 còn d 1.
P(x) chia cho x - 4 cßn d 8.

P(x) chia cho (x + 3)(x - 4) thì đợc thơng là 3x và cịn d
Tính P(5); P(6); P(2008).

48.Cho ®a thøc:P x x4ax3bx2cxd. BiÕt      

30
3
;
20
2
;
10

1  P  P 

P .

TÝnh P12P 8.

Gi¶i:

  

 



 











 







1 2 3 10

12 8 11.10.9. 12 120 9 10 11 . 8 80
9.10.11. 12 8 40 9.10.11.20 40 19840

P x x x x x m x

P P m m

m m

     

            

       

48: Cho ®a thøc P x

 

x4 ax3 bx2 cx d

     cã P

 

1 7;P

 

2 28;P

 

3 63. TÝnh



100







.
8

P P

P  

48: Cho ®a thøc f x

 

x4 bx3cx2dx43 cã f

 

0 f

 

1 ;f

 

1 f



2



 









và f 2 f 3 . Tìm b, c, d. Với b, c, d = 1 vừa tìm đợc, hãy tìm tất cả các số nguyên n
sao cho f n

 

n4bn3cn2  n 43 là số chính phơng.

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

















32 ,

19 3681

,0

)

2
2

y

x

y

x

a

















654 ,1

317 ,2

)

2
2

y

x

y

x

b















234575

1275

)

2 2

y

x

y

x

c

49. Cho x > 0 tho¶ m·n: 2 12 7.



x

x TÝnh: 5 15
x
x  .

50. Cho hai sè x, y tho¶ m·n:



















12

1

2
2

y

xy

x

y

x

xy

Tính giá trị biểu thức:P x3 y3

Gii:
t:

39

52

3 .3

4

3

4

12.

1 .;

3
3
3
3

P

aba

yxxy

yx

P

b

a

b

a

ba

byxa

yx

51. Cho x, y, z là các số không âm thoả mÃn:

7

3

1 x

zx

z

yz

y

xy

x

Tính giá trị của biểu thức:M x y2 z3




 .

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

    

     

1 .

1

2    

1

8

3

8

1

2

4

1

2

1

7

3

1

6

2 

























































z

y

x

z

y

x

z

y

x

zx

z

yz

y

xy

x

Kết hợp với (1); (2); (3) ta đợc:













3

0

1 z

y

x

VËy M 28

52. Cho:














2365
.
0
1
1
1

7325
,
1
4142
,
1

2
2
2

z
y
x

. TÝnh :P x3 y3 z3





53. Cho:

















76244

,

33

912 ,6

2000
2000

1000
1000

y

x

y

x

. Tính:P x3000 y3000

54. Cho x, y dơng thoả mÃn:



1 2



1 2



2 3





 x y

xy .

TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc:P x 1 y2 y 1 x2






55. Cho x > 2 thoả mÃn:

8
2
4

x

x .

Tính giá trÞ cđa biĨu thøc:

2
4

2 2






</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

56. Cho

2
3
2

3



 x và: 32x 3 2x 2 2

Tính giá trị cđa biĨu thøc:

x
x
A

4
9
2

6 



57. Cho x2 6x 13 x2 6x 10 1

Tính giá trị C = x2 6x 13 x2 6x 10

    

58. a)T×m sè N 1235679x4y biÕt N24

b) Tìm số lớn nhất và nhỏ nhất có dạng D2x3yz6t biết D29

Giải:

a)N 1235679x4y 123566400015x4y24 mà:123566400024 nên:

0

6

4

5

8

4

24

424

4

84

3

84

3 8415

3415

24415

y

x

y

x

y

x

yx

59. Tìm 9 cặp số tự nhiên nhỏ nhất ( Kí hiƯu a, b sao cho a > b) cã tỉng là bội của 2004 và
thơng của chúng bằng 5.

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

 



;0

334 ;

668 ;

1002

;

1336

;

1670

;

2004

;

2338

;...



B

334 2004

6

5 2004

334

















b

a

b

a



mµ b nhá nhÊt, b khác không nên:

15030a

3006b

13360a

2672b

11690a

2338b

10020

2004

8350a

1670b

6680a

1336b

5010a

1002b

3340a

668b

1670

334 







































































</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

60. a) T×m tất cả các số tự nhiên mà khi bình phơng sẽ có tận cùng là ba chữ số 4. b) Tìm số
tự nhiên a biết hai chữ số tận cùng của a2 là 89.(...17; ...33; ...67; ...83)

c) Tìm số nhỏ nhất mà bình phơng của nó bắt đầu bằng 19 và kết thúc bằng 89.
Giải:

Để a2 có hai chữ số cuối cùng là 89 thì a có hai chữ số cuối cùng là 17; 33; 67; 83.

Để a2 có hai chữ số đầu tiên là 19 thì:19.10n a2 20.10n.

Nếu n = 2k th×:19.10n a2 20.10n 1910k a 20.10k








NÕu n = 2k+1 thì:19.10n a2 20.10n 190.10k a 200.10k

lần lợt thử với k = 0; 1; 2...

k n chẵn n lẻ

0 không có giá trị của a a = 14

1 a = 44 a = 138;193;140;141

2 a = 436;...;447 a = 1379; ...1414

3 a = 4359; ...;4472 a = 13785; ...; 14142.

... ... ...

Trong các số trên số nhỏ nhất có đuôi là một trong các đuôi 17; 33; 67; 83 là: 1383.
d) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n2 là một số có 12 chữ số có dạng:

n2 = 2525 .... 89.

Giải: n2 có đuôi là 17; 33; 67; 83. lại có:

89
2525999999
89

2525000000
89

2525999999
89

2525000000 2

n n

hay:502493n502594.Vậy: n = 502517; 502533; 502567; 502583

61. Cã bao nhiªu sè tự nhiên là ớc của N 1890.1930.1945.1954.1969.1975.2004 nhng không
chia hết cho 900.

977
.
389
.

193
.
179
.
167
.
79
.
11
.
7
.
5
.
3
.
2

167
.
3
.
2
2004
;
79
.
5
1975
;

179
.
11
1969

977
.
2
1954
;
389
.
5
1945
;
193
.
5
.
2
1930
;
7
.
5
.
3
.
2
1890

5
4
5

2
2

N

Số các ớc của N là:6.5.6.28 46080

số các ớc chia hết cho 900 là:4.3.4.28 12288

số các ớc không chia hÕt cho 900 lµ:460801228833792

62. Cho a = 17! = 1.2.3.4...16.17. Tìm ớc số lớn nhất của a biết ớc số đó :
a) là lập phơng của một số tự nhiờn.

b) là bình phơng của một số tự nhiên.
Giải: a 2.3.5.7.11.13.17

17
17
;
2
16
;
5
.
3
15
;
7
.
2
14
;
13
13
;
3
.
2

11
11
;
5
.
2
10
;
3
9
;
2
8
;
7
7
;
3
.
2
6
;
5
5
;
2
4
;

3
3
;
2
2
;
1
1

4
2

2
3









</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

a) íc sè lín nhÊt cđa a là bình phơng của một số tự nhiên là: n214.36.52 298598400
b) ớc số lớn nhất của a là lập phơng của một số tự nhiên là:

2985984000
5

.
3
.
215 6 3

m .

63. Tìm tất cả các số có 6 chữ số thoả mÃn các điều kiện:

+ S c to thnh bi 3 ch số cuối lớn hơn số đợc tạo thành bởi 3 chữ số đầu
một đơn vị.

+ Số đó là số chính phơng.

Giải:

  

1 .

13 .

11 .7

1 1001

1000

1

2
2









































k

abc

k

abc

k

abc

k

def

abc

k

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

328329

;

573

71

143

1

11

1

91

1

13

1

77

1 715716

;

846

77

1

13

1 528529

;

727

91

1

11

1 183184

;

428

143

1

71 











































































abcdef

k

abcdef

k

abcdef

k

abcdef

k



64. T×m số có ba chữ số dạng xyz sao cho tổng của 3 chữ số bằng kết quả của phép chia
1000 cho xyz.

65. a) Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số biết: n19 bắt đầu bởi 1086 cịn n25 bắt đàu bởi 6866.

Gi¶i: Cã

 





 

 3

4
3

25
4
19
3
.

25
4
.
19

....
6866

....
1086



 

n
n
n

n

VËy: 

 

M

M n

n .10

6866
1087
10

.
6867
1086
...

686600
...
108700
...

686700
...
108600

3
4
3

4
3








M
M n 4,4.10

10
.
2
,

4  

 .

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

b) T×m sè tự nhiên n có 3 chữ số biết n69 bắt đầu bằng 1986 còn n121 bắt đầu bởi 3333.

(Đ/s: n = 101)

66. Tìm các số có khơng q 10 chữ số biết khi ta đa chữ số cuối lên vị trí đầu tiên thì số đó
tăng lên 5 ln.

Giải: gọi số phải tìm là Ax

Ta có: 5.AxxA50A5xx.10n A n10 49.Ax.



10n  5



nÕu x 7 10n 5 7 5; 14285 142857










  n A Ax

NÕux7 10n 549 không có giá trị của n.
Vậy số phải tìm là:142857

67. Tìm các số tự nhiên x, y biết: x y 1960

68. Tìm số tự nhiên n 1000n2000 sao cho an 5712135ncũng là số tự nhiên.

69. Tìm số tự nhiên n 1010n2010sao cho 2020321ncũng là số tự nhiªn.

70. Tìm tất cả các số tự nhiên n13861 sao cho với mỗi số đó, số: 2

2772
5544

n

m cũng

là số tự nhiên.

71. Tìm các số nguyên dơng x và y biết: 2 2 2009

y

x .

72. Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x, y) sao cho x lµ íc cđa y2+1 vµ y lµ íc cña x2+1.

73. Một tập hợp các số tự nhiên bắt đầu từ số 1 đợc viết trên bảng. Nếu ngời ta xố đi một số

th× trung b×nh céng của nhứng số còn lại là
17

35 . Tìm số bị xoá.

74. Tìm tất cả các số có 4 chữ số a1a2a3a4 sao cho





2
4
3
2

1
4
3
2

1a a a a a a a

a  

75. Tam gi¸c ABC cã BC = a = 8,751 cm; AC = b = 6,318 cm; AB = c = 7,624 cm.
a) TÝnh c¸c gãc cđa tam gi¸c ABC.

b) Tính chiều cao AH = ha; trung tuyến AM = ma; bán kính r của ng trũn ni tip v ng

phân giác trong AD = d cđa tam gi¸c ABC.

   

R
abc
A
bc
pr
h
a
c
p
b
p
a

p
p

S a

4
sin
.
2
1
.

2
1











2 2 2



2
1

a
c
b

ma    ;  

c
b

bc
a
p
p
la




2 ;  

2
A
tg
a
p
r  

R
C
c
B
b
A
a

2
sin
sin

sin    ; a b c 2bc.cosA

2
2
2

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

G
A

B C

M

H

K

B

C

A

C1 B1

1) a2 b2 c2 2bc.cosA




 (h×nh 1)

XÐt gãc A nhän cã:

   

A
bc
b

c

A
b

A

bc
c

A
b
A
b
c

GC
BG

BC
a

A
b
c
AG
AB
BG

A
b
A
AC
AG

A
b

A
AC
CG

cos
.
2

sin
.
cos

.
cos

.
2

sin
.
cos

cos
.
cos
.
cos
.

sin
.
sin
.

2
2

2
2
2
2
2

2
2
































22)S bc.sinA
2

 (h×nh 1) h×nh 1

cã:S ABCG c.b.sinA
2

1
.

2
1




3) 2



2 2 2



2
1

a
c
b
ma   

2
2

AH

HM

AC

CH

HM

AM











76. Cho tam gi¸c ABC cã ba c¹nh AB = c =

3,456 cm; AC = b = 4, 321 cm; BC = a = 5, 463 cm. Các đờng cao AH, BK, CM. Tính diện
tớch tam giỏc ABC.

Giải:

A
AB

AK
AC
AM
A

AB
AC

A
AK
AM

S

ACB

AMK . cos2

sin
.
.
2
1

Tơng tự B

S
S

BCA

BMH cos2

; C

S
S

CBA

CKH cos2



l¹i cã A B C

S
S
S

S
S

S

ABC
MKH
ABC

MKH
CBA

CKH
BCA

BMH
ACB

AMK 1 1 cos2 cos2 cos2














77. Cho tam gi¸c ABC cã BC = a = 15,637 cm; CA = b = 13,154 cm; AB = c = 12,981. Ba
đ-ờng phân giác trong cắt ba cạnh lần lợt tại A1; B1; C1. TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c A1B1C1.

H M

A

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

x I
A

C
B

D C

78. Cho tam giac ABC cã gãc A b»ng 200 và AB = AC. Gọi I là trung điểm cđa AC. TÝnh gãc

IBC.
Gi¶i:

Gäi AB = x

0
0
2

2
2

20
cos
4
5
.
2

80
sin
cos

4
5
.

sin
.
2
sin

sin
sin

cos
4
5
cos

.
4
:























A
x

C
x
IBC

IBC
IC
C

BI
BIC

A
x

x
x
BI
ABI

79. Cho tam giác ABC vuông tại B, cạnh BC = 18,6 cm. Hai trung tuyến BM và CN vuông
góc với nhau. Tính CN.

Giải:

Gọi NF = x. có F là trọng tâm của tam giác ABC nên:
FC = 2x; NC = 3x.

6
3

.
2
.

: FCNC BC2 x x BC2 x BC

vBNC     



80. Cho hình thoi có chu vi là 37,12 cm. Tỉ số hai đờng chéo là 2:3.
Tính diện tích hình thoi.

81. Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ CD = 16,45 cm. Cạnh bên AD = BC = 30,10 cm.
Hai đờng chéo AC và BD vng góc. Tính độ dài đáy lớn AB.

82. Cho tam giác ABC vuông tại C. Trong tam giác vẽ đờng tròn tiếp xúc với các cạnh của
tam giác. Gọi tiếp điểm của cạnh huyền AB với đờng trịn là D. E; F là hình chiếu của D trên
CB; CA. Biết BD = m = 3,572 cm; AD = n = 4,205 cm.

N M

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

I
N

M
B

A C

Tính diện tích tam giác ABC và diện tích hình chữ nhật CEDF.

gii: gi bỏn kớnh ng trịn nội tiếp tam giác là r.
ta có BC = BG + GC = m + r

CA = AH + HC = n + r.
theo Pitago ta cã:
BC2 + AC2 = AB2 hay

     

 1
.

.
2
2

2 2 2 2

2
2

r
n
r
m
r
n
m
mn
n

m

r
n

r
m
n
m
















l¹i cã   





2
1
2

1
.
2
1

r
nr
mr
mn
r

n
r
m
CA
CB

SABC        

tõ (1)  mnm.rn.rr2 2mn SABC m.n

2
2

; 












































n
m

n
n

m
m
S

S
n

m
n
S

S
n

m
m

BA

BD
S

S

ABC
CEDF
ABC

ADF
ABC

BED

83. Cho tam giác vuông có các cạnh góc vuông lần lợt là 3 4và 4 3. Tính tổng bình phơng

di cỏc trung tuyn ca tam giỏc.

84. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3, góc ACB = 300. Các phân gi¸c trong BM;

CN cắt nhau tại I. Tính độ dài BM; CN và diện tích tam giác IMN.

85. Có bao nhiêu số chia hết cho 9 gồm 6 chữ số đợc viết bởi các chữ số
a) 2; 3; 5.

b) 2; 3; 7.

giải phơng trình nghiêm nguyên:

12

93

1

6 z-y-6x

9k =

5z+

3y+

2x

Nz

y;x;

6 z

yx

9k =

5z+

3y+

2x





































y

kz

k

86. Trong tất cả n số tự nhiên mà mỗi số đều có 7 chữ số khác nhau đợc viết ra từ các chữ số
1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 thì có k số chia hết cho 5; m số chia hết cho 2; p số không chia hết cho cả 2
và 5. Tìm m; n; p; k..

H
G

E D

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

87. Cho 5 ch÷ sè 1; 2; 3; 4; 5. Dùng các chữ số này

a) lập đợc bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số trong đó khơng có chữ số nào lặp lại. Tính tổng
các số đợc lập.

b) Lập đợc bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau.

c) lập đợc bao nhiêu số có 5 chữ số trong đó 2 chữ số kề nhau phải khác nhau.

d) lập đuợc bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau trong đó có hai chữ số lẻ, hai chữ số chẵn.
88. Dùng các chữ số 1; 2; 7 viết đợc bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số sao cho các chữ số 2
và 7 có mặt 1 lần cịn chữ số 1 có mặt 3 lần. Cũng hỏi nh trên nếu thêm điều kiện các số phải
tìm lớn hơn 20000.

89. Có 2 viên bi đỏ giống nhau, 8 viên bi xanh giống nhau. Có bao nhiêu cách xếp 10 viờn bi
thnh:

a) hàng ngang
b) vòng tròn.

90. Mt ụ tụ có 8 chỗ ngồi ( kể cả chỗ của lái xe). Có bao nhiêu cách xếp chỗ 8 ngời biết
trong đó có 2 ngời biết lái xe.

</div>