bt boi duong hsg lop 7

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (649.48 KB, 43 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

PH N I: Đ BÀI

Ầ

Ề

1. Ch ng minh ứ 7 là s vô t .ố ỉ

2. a) Ch ng minh : (ac + bd)ứ 2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2)

b) Ch ng minh b t d ng th c Bunhiacôpxki : (ac + bd)ứ ấ ẳ ứ 2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2)

3. Cho x + y = 2. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : S = xị ỏ ấ ủ ể ứ 2 + y2.

4. a) Cho a ≥ 0, b ≥ 0. Ch ng minh b t đ ng th c Cauchy : ứ ấ ẳ ứ a b ab
2

+ ≥ .

b) Cho a, b, c > 0. Ch ng minh r ng : ứ ằ bc ca ab a b c

a + b + c ≥ + +

c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá tr l n nh t c a tích P = ab.ị ớ ấ ủ
5. Cho a + b = 1. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : M = aị ỏ ấ ủ ể ứ 3 + b3.

6. Cho a3 + b3 = 2. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c : N = a + b.ị ớ ấ ủ ể ứ

7. Cho a, b, c là các s dố ương. Ch ng minh : aứ 3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)

8. Tìm liên h gi a các s a và b bi t r ng : ệ ữ ố ế ằ a b+ > −a b
9. a) Ch ng minh b t đ ng th c (a + 1)ứ ấ ẳ ứ 2 ≥ 4a

b) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Ch ng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8ứ
10. Ch ng minh các b t đ ng th c :ứ ấ ẳ ứ

a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)

11. Tìm các giá tr c a x sao cho :ị ủ

a) | 2x – 3 | = | 1 – x | b) x2 – 4x ≤ 5 c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 1.

12. Tìm các s a, b, c, d bi t r ng : aố ế ằ 2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d)

13. Cho bi u th c M = aể ứ 2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001. V i giá tr nào c a a và b thì M đ t giá tr nh nh t ?ớ ị ủ ạ ị ỏ ấ

Tìm giá tr nh nh t đó.ị ỏ ấ

14. Cho bi u th c P = xể ứ 2 + xy + y2 – 3(x + y) + 3. CMR giá tr nh nh t c a P b ng 0.ị ỏ ấ ủ ằ

15. Ch ng minh r ng khơng có giá tr nào c a x, y, z th a mãn đ ng th c sau :ứ ằ ị ủ ỏ ẳ ứ
x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = 0

16. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c : ị ớ ấ ủ ể ứ A 2 1
x 4x 9

− +

17. So sánh các s th c sau (khơng dùng máy tính) :ố ự

a) 7+ 15 và 7 b) 17+ 5 1 và 45+

c) 23 2 19 và 27
3

− d)

3 2 và 2 3

18. Hãy vi t m t s h u t và m t s vô t l n h n ế ộ ố ữ ỉ ộ ố ỉ ớ ơ 2 nh ng nh h n ư ỏ ơ 3
19. Gi i phả ương trình : 3x2+6x 7+ + 5x2+10x 21 5 2x x+ = − − 2.

20. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c A = xị ớ ấ ủ ể ứ 2y v i các đi u ki n x, y > 0 và 2x + xy = 4.ớ ề ệ

21. Cho S 1 1 .... 1 ... 1

1.1998 2.1997 k(1998 k 1) 1998 1

= + + + + +

− + − .

Hãy so sánh S và 2.1998
1999.

22. Ch ng minh r ng : N u s t nhiên a khơng ph i là s chính phứ ằ ế ố ự ả ố ương thì a là s vô t .ố ỉ
23. Cho các s x và y cùng d u. Ch ng minh r ng :ố ấ ứ ằ

a) x y 2

y+ ≥x

b)

2 2

x y x y

y x y x

 +  − + ≥

   

 

c)

4 4 2 2

x y x y x y

y x y x y x

 +  − +  + + ≥

     

 

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

24. Ch ng minh r ng các s sau là s vô t : ứ ằ ố ố ỉ
a) 1+ 2

b) m 3
n

+ v i m, n là các s h u t , n ≠ 0.ớ ố ữ ỉ

25. Có hai s vơ t dố ỉ ương nào mà t ng là s h u t không ?ổ ố ữ ỉ
26. Cho các s x và y khác 0. Ch ng minh r ng : ố ứ ằ

2 2

x y x y

4 3

y x y x

 

+ + ≥  + 

 .

27. Cho các s x, y, z dố ương. Ch ng minh r ng : ứ ằ

2 2 2

x y z x y z

y + z +x ≥ + +y z x.

28. Ch ng minh r ng t ng c a m t s h u t v i m t s vô t là m t s vô t .ứ ằ ổ ủ ộ ố ữ ỉ ớ ộ ố ỉ ộ ố ỉ
29. Ch ng minh các b t đ ng th c : ứ ấ ẳ ứ

a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2)

b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)

c) (a1 + a2 + ….. + an)2 ≤ n(a12 + a22 + ….. + an2).

30. Cho a3 + b3 = 2. Ch ng minh r ng a + b ≤ 2.ứ ằ

31. Ch ng minh r ng : ứ ằ

[ ] [ ] [

x + y ≤ +x y

]

32. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c : ị ớ ấ ủ ể ứ A 2 1
x 6x 17

− + .

33. Tìm giá tr nh nh t c a : ị ỏ ấ ủ A x y z

y z x

= + + v i x, y, z > 0.ớ
34. Tìm giá tr nh nh t c a : A = xị ỏ ấ ủ 2 + y2 bi t x + y = 4.ế

35. Tìm giá tr l n nh t c a : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) v i x, y, z ≥ 0 ; x + y + z = 1.ị ớ ấ ủ ớ
36. Xét xem các s a và b có th là s vơ t khơng n u : ố ể ố ỉ ế

a) ab và a

b là s vô t .ố ỉ

b) a + b và a

b là s h u t (a + b ≠ 0)ố ữ ỉ

c) a + b, a2 và b2 là s h u t (a + b ≠ 0)ố ữ ỉ

37. Cho a, b, c > 0. Ch ng minh : aứ 3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)

38. Cho a, b, c, d > 0. Ch ng minh : ứ a b c d 2
b c c d d a+ + + + + +a b+ ≥

39. Ch ng minh r ng ứ ằ

[ ]

2x b ng ằ 2 x

[ ]

ho c ặ 2 x

[ ]

40. Cho s nguyên dố ương a. Xét các s có d ng : a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; … ; a + 15n. Ch ng minhố ạ ứ
r ng trong các s đó, t n t i hai s mà hai ch s đ u tiên là 96.ằ ố ồ ạ ố ữ ố ầ

41. Tìm các giá tr c a x đ các bi u th c sau có nghĩa :ị ủ ể ể ứ
2

2 2

1 1 1 2

A= x 3 B C D E x 2x

x 4x 5 x 2x 1 1 x 3

− = = = = + + −

+ − − − − −

G= 3x 1− − 5x 3− + x + +x 1

42. a) Ch ng minh r ng : | A + B | ≤ | A | + | B | . D u ứ ằ ấ “ = ” x y ra khi nào ?ả
 b) Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c sau : ị ỏ ấ ủ ể ứ M = x2+4x 4+ + x2−6x 9+ .
 c) Gi i phả ương trình : 2 2 2

4x +20x 25+ + x −8x 16+ = x +18x 81+

43. Gi i phả ương trình : 2x2−8x 3 x− 2−4x 5 12− = .
44. Tìm các giá tr c a x đ các bi u th c sau có nghĩa :ị ủ ể ể ứ

2 2

1 1

A x x 2 B C 2 1 9x D

1 3x x 5x 6

= + + = = − − =

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

2 2
2

1 x

E G x 2 H x 2x 3 3 1 x

x 4
2x 1 x

= = + − = − − + −

−
+ +

45. Gi i phả ương trình :
2
x 3x

0
x 3

− =

−

46. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : ị ỏ ấ ủ ể ứ A= x x+ .
47. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c : ị ớ ấ ủ ể ứ B= 3 x x− +

48. So sánh : a) a 2 3 và b= 3 1
2

= + b) 5− 13 4 3 và+ 3 1−
c) n 2+ − n 1 và+ n+1− n (n là s nguyên dố ương)

49. V i giá tr nào c a x, bi u th c sau đ t giá tr nh nh t : ớ ị ủ ể ứ ạ ị ỏ ấ A 1= − 1 6x 9x− + 2 +(3x 1)− 2.
50. Tính : a) 4 2 3− b) 11 6 2+ c) 27 10 2−

2 2

d) A= m +8m 16+ + m −8m 16+ e) B= n 2 n 1+ − + n 2 n 1− − (n ≥ 1)
51. Rút g n bi u th c : ọ ể ứ M 8 41

45 4 41 45 4 41

+ + − .

52. Tìm các s x, y, z th a mãn đ ng th c : ố ỏ ẳ ứ 2 2 2
(2x y)− + −(y 2) + (x y z)+ + =0

53. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : ị ỏ ấ ủ ể ứ P= 25x2−20x 4+ + 25x2−30x 9+ .
54. Gi i các phả ương trình sau :

2 2 2 2 2

a) x − − −x 2 x 2 0− = b) x − + =1 1 x c) x − +x x + − =x 2 0

4 2 2

d) x− x −2x + =1 1 e) x +4x 4+ + − =x 4 0 g) x 2− + x 3− = −5

2 2 2

h) x −2x 1+ + x −6x 9 1+ = i) x 5+ + 2 x− =x −25

k) x 3 4 x 1+ − − + x 8 6 x 1 1+ − − = l) 8x 1+ + 3x 5− = 7x 4+ + 2x 2−

55. Cho hai s th c x và y th a mãn các đi u ki n : xy = 1 và x > y. CMR: ố ự ỏ ề ệ

2 2

x y

2 2
x y

+ ≥

− .

56. Rút g n các bi u th c :ọ ể ứ

a) 13 30 2 9 4 2 b) m 2 m 1 m 2 m 1

c) 2 3. 2 2 3 . 2 2 2 3 . 2 2 2 3 d) 227 30 2 123 22 2

+ + + + − + − −

+ + + + + + − + + − + +

5

7. Ch ng minh r ng ứ ằ 2 3 6 2

2 2

+ = + .

58. Rút g n các bi u th c :ọ ể ứ

(

)

(

)

6 2 6 3 2 6 2 6 3 2 9 6 2 6

a) C b) D

2 3

+ + + − − − + − −

= = .

59. So sánh :

a) 6+ 20 và 1+ 6 b) 17 12 2 và 2 1+ + c) 28 16 3 và 3 2− −

60. Cho bi u th c : ể ứ A= x− x2−4x 4+
a) Tìm t p xác đ nh c a bi u th c A.ậ ị ủ ể ứ
b) Rút g n bi u th c A.ọ ể ứ

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

3 11 6 2 5 2 6
c)

2 6 2 5 7 2 10

+ + − +

62. Cho a + b + c = 0 ; a, b, c ≠ 0. Ch ng minh đ ng th c : ứ ẳ ứ 12 12 12 1 1 1

a +b +c = + +a b c

63. Gi i b t phả ấ ương trình : x2−16x 60 x 6+ < − .
64. Tìm x sao cho : 2 2

x − + ≤3 3 x .

65. Tìm giá tr nh nh t, giá tr l n nh t c a A = xị ỏ ấ ị ớ ấ ủ 2 + y2 , bi t r ng :ế ằ

x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = 1 (1)

66. Tìm x đ bi u th c có nghĩa: ể ể ứ

1 16 x

a) A b) B x 8x 8

2x 1
x 2x 1

−

= = + − +

− − .

67. Cho bi u th c : ể ứ

2 2

x x 2x x x 2x

+ − − −

= −

− − + − .

a) Tìm giá tr c a x đ bi u th c A có nghĩa.ị ủ ể ể ứ

b) Rút g n bi u th c A. c) Tìm giá tr c a x đ A < 2.ọ ể ứ ị ủ ể

68. Tìm 20 ch s th p phân đ u tiên c a s : ữ ố ậ ầ ủ ố 0,9999....9 (20 ch s 9)ữ ố

69. Tìm giá tr nh nh t, giá tr l n nh t c a : A = ị ỏ ấ ị ớ ấ ủ | x - 2| + | y – 1 | v i ớ | x | + | y | = 5
70. Tìm giá tr nh nh t c a A = xị ỏ ấ ủ 4 + y4 + z4 bi t r ng xy + yz + zx = 1ế ằ

71. Trong hai s : ố n+ n 2 và 2 n+1+ (n là s nguyên dố ương), s nào l n h n ?ố ớ ơ

72. Cho bi u th c ể ứ A= 7 4 3+ + 7 4 3− . Tính giá tr c a A theo hai cách.ị ủ
73. Tính : ( 2+ 3+ 5)( 2+ 3− 5)( 2− 3+ 5)(− 2+ 3+ 5)

74. Ch ng minh các s sau là s vô t : ứ ố ố ỉ 3+ 5 ; 3− 2 ; 2 2 3+

75. Hãy so sánh hai s : ố a 3 3 3 và b=2 2 1= − − ; 2 5 và 5 1
2

+
+

76. So sánh 4+ 7 − 4− 7 − 2 và s 0.ố
77. Rút g n bi u th c : ọ ể ứ Q 2 3 6 8 4

2 3 4

+ + + +

+ + .

78. Cho P= 14+ 40+ 56+ 140 . Hãy bi u di n P dể ễ ướ ại d ng t ng c a 3 căn th c b c haiổ ủ ứ ậ
79. Tính giá tr c a bi u th c xị ủ ể ứ 2 + y2 bi t r ng : ế ằ x 1 y− 2 +y 1 x− 2 =1.

80. Tìm giá tr nh nh t và l n nh t c a : ị ỏ ấ ớ ấ ủ A = 1 x− + 1 x+ .

81. Tìm giá tr l n nh t c a : ị ớ ấ ủ M=

(

a + b

)

2 v i a, b > 0 và a + b ≤ 1.ớ

82. CMR trong các s ố 2b c 2 ad ; 2c d 2 ab ; 2d a 2 bc ; 2a b 2 cd+ − + − + − + − có ít nh tấ

hai s dố ương (a, b, c, d > 0).

83. Rút g n bi u th c : ọ ể ứ N= 4 6 8 3 4 2 18+ + + .

84. Cho x y z+ + = xy+ yz+ zx, trong đó x, y, z > 0. Ch ng minh x = y = z.ứ
85. Cho a1, a2, …, an > 0 và a1a2…an = 1. Ch ng minh: (1 + aứ 1)(1 + a2)…(1 + an) ≥ 2n.

86. Ch ng minh : ứ

(

a + b

)

2 ≥2 2(a b) ab+ (a, b ≥ 0).

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

88. Rút g n : ọ a)

ab b a

b b

−

= − b)

2
(x 2) 8x
B

2
x

+ −

− .

89. Ch ng minh r ng v i m i s th c a, ta đ u có : ứ ằ ớ ọ ố ự ề
2

2
a 2

a+ ≥+1 . Khi nào có đ ng th c ?ẳ ứ

90. Tính : A= 3+ 5 + 3− 5 b ng hai cách.ằ

91. So sánh : a) 3 7 5 2 và 6,9 b) 13 12 và 7 6
5

+ − −

92. Tính : P 2 3 2 3

2 2 3 2 2 3

+ −

= +

+ + − − .

93. Gi i phả ương trình : x 2 3 2x 5+ + − + x 2− − 2x 5− =2 2.
94. Ch ng minh r ng ta ln có : ứ ằ n

1.3.5...(2n 1) 1
P

2.4.6...2n 2n 1

−

= <

+ ; ∀n ∈ Z+

95. Ch ng minh r ng n u a, b > 0 thì ứ ằ ế

2 2

a b

b a

+ ≤ + .

96. Rút g n bi u th c : ọ ể ứ A =

x 4(x 1) x 4(x 1) 1

. 1

x 1
x 4(x 1)

− − + + −  

−

 − 

 

− − .

97. Ch ng minh các đ ng th c sau : ứ ẳ ứ a) a b b a : 1 a b

ab a b

+ = −

− (a, b > 0 ; a ≠ b)

14 7 15 5 1 a a a a

b) : 2 c) 1 1 1 a

1 2 1 3 7 5 a 1 a 1

 − −   +  − 

+ = − + − = −

 − −  −  +  − 

     (a > 0).

98. Tính : a) 5− 3− 29 6 20− ; b) 2 3+ 5− 13+ 48 .

c)  7+ 48 − 28 16 3 .−  7+ 48

  .

99. So sánh : a) 3+ 5 và 15 b) 2+ 15 và 12+ 7
16

c) 18 19 và 9 d) và 5. 25
2

100. Cho h ng đ ng th c : ằ ẳ ứ

a b a a2 b a a2 b

2 2

+ − − −

± = ± (a, b > 0 và a2 – b > 0).

Áp d ng k t qu đ rút g n : ụ ế ả ể ọ a) 2 3 2 3 ; b) 3 2 2 3 2 2

2 2 3 2 2 3 17 12 2 17 12 2

+ + − − − +

+ + − − − +

2 10 30 2 2 6 2

c) :

2 10 2 2 3 1

+ − −

− −

101. Xác đ nh giá tr các bi u th c sau :ị ị ể ứ

2 2

xy x 1. y 1
a) A

xy x 1. y 1

− − −

+ − − v i ớ

1 1 1 1

x a , y b

2 a 2 b

   

=  +  =  + 

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

a bx a bx
b) B

a bx a bx

+ + −

+ − − v i ớ

(

)

2am

x , m 1

b 1 m

= <

+ .

102. Cho bi u th c ể ứ 2
2

2x x 1

P(x)

3x 4x 1

− −

− +

a) Tìm t t c các giá tr c a x đ P(x) xác đ nh. Rút g n P(x).ấ ả ị ủ ể ị ọ

b) Ch ng minh r ng n u x > 1 thì P(x).P(- x) < 0.ứ ằ ế

103. Cho bi u th c ể ứ

x 2 4 x 2 x 2 4 x 2
A

4 4
1

x x

+ − − + + + −

− + .

a) Rút g n bi u th c A.ọ ể ứ b) Tìm các s nguyên x đ bi u th c A là m t s nguyên.ố ể ể ứ ộ ố
104. Tìm giá tr l n nh t (n u có) ho c giá tr nh nh t (n u có) c a các bi u th c sau:ị ớ ấ ế ặ ị ỏ ấ ế ủ ể ứ

a) 9 x− b) x x (x 0)− > c) 1+ 2 x− d) x 5 4− −

2 2 1

e) 1 2 1 3x g) 2x 2x 5 h) 1 x 2x 5 i)

2x x 3

− − − + − − + +

− +

105. Rút g n bi u th c : ọ ể ứ A= x+ 2x 1− − x− 2x 1− , b ng ba cách ?ằ
106. Rút g n các bi u th c sau : ọ ể ứ a) 5 3 5 48 10 7 4 3+ − +

b) 4+ 10 2 5+ + 4− 10 2 5+ c) 94 42 5− − 94 42 5+ .

107. Ch ng minh các h ng đ ng th c v i b ≥ 0 ; a ≥ ứ ằ ẳ ứ ớ b

a) a+ b ± a− b = 2 a

(

± a2−b

)

b) a a2 b a a2 b

a b

2 2

+ − − −

± = ±

108. Rút g n bi u th c : ọ ể ứ A= x 2 2x 4+ − + x 2 2x 4− −
109. Tìm x và y sao cho : x y 2+ − = x+ y− 2

110. Ch ng minh b t đ ng th c : ứ ấ ẳ ứ 2 2 2 2

(

) (

)

2
a +b + c +d ≥ a c+ + +b d .
111. Cho a, b, c > 0. Ch ng minh : ứ

2 2 2

a b c a b c

b c c a a b 2

+ +

+ + ≥

+ + + .

112. Cho a, b, c > 0 ; a + b + c = 1. Ch ng minh :ứ

a) a 1+ + b 1+ + c 1 3,5+ < b) a b+ + b c+ + c a+ ≤ 6 .

113. CM :

(

a2+c2

) (

b2+c2

) (

+ a2+d2

) (

b2 +d2

)

≥ +(a b)(c d)+ v i a, b, c, d > 0.ớ
114. Tìm giá tr nh nh t c a : ị ỏ ấ ủ A x= + x.

115. Tìm giá tr nh nh t c a : ị ỏ ấ ủ A (x a)(x b)
x

+ +

= .

116. Tìm giá tr nh nh t, giá tr l n nh t c a A = 2x + 3y bi t 2xị ỏ ấ ị ớ ấ ủ ế 2 + 3y2 ≤ 5.

117. Tìm giá tr l n nh t c a A = x + ị ớ ấ ủ 2 x− .

118. Gi i phả ương trình : x 1− − 5x 1− = 3x 2−

119. Gi i phả ương trình : x 2 x 1+ − + x 2 x 1 2− − =
120. Gi i phả ương trình : 3x2+21x 18 2 x+ + 2+7x 7+ =2

121. Gi i phả ương trình : 3x2+6x 7+ + 5x2+10x 14 4 2x x+ = − − 2
122. Ch ng minh các s sau là s vô t : ứ ố ố ỉ 3− 2 ; 2 2+ 3

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

124. Ch ng minh b t đ ng th c sau b ng phứ ấ ẳ ứ ằ ương pháp hình h c :ọ

2 2 2 2

a +b . b +c ≥b(a c)+ v i a, b, c > 0.ớ
125. Ch ng minh ứ (a b)(c d)+ + ≥ ac+ bd v i a, b, c, d > 0.ớ

126. Ch ng minh r ng n u các đo n th ng có đ dài a, b, c l p đứ ằ ế ạ ẳ ộ ậ ược thành m t tam giác thì các đo n th ngộ ạ ẳ
có đ dài ộ a , b , c cũng l p đậ ược thành m t tam giác.ộ

127. Ch ng minh ứ

(a b) a b

a b b a

2 4

+ + + ≥ +

v i a, b ≥ 0.ớ
128. Ch ng minh ứ a b c 2

b c+ + a c+ + a b+ > v i a, b, c > 0.ớ

129. Cho x 1 y− 2 +y 1 x− 2 =1. Ch ng minh r ng xứ ằ 2 + y2 = 1.

130. Tìm giá tr nh nh t c a ị ỏ ấ ủ A= x 2 x 1− − + x 2 x 1+ −
131. Tìm GTNN, GTLN c a ủ A= 1 x− + 1 x+ .

132. Tìm giá tr nh nh t c a ị ỏ ấ ủ 2 2

A= x + +1 x −2x 5+

133. Tìm giá tr nh nh t c a ị ỏ ấ ủ A= − +x2 4x 12+ − − +x2 2x 3+ .

134. Tìm GTNN, GTLN c a : ủ a) A 2x= + 5 x− 2 b) A x 99=

(

+ 101 x− 2

)

135. Tìm GTNN c a A = x + y bi t x, y > 0 th a mãn ủ ế ỏ a b 1

x + =y (a và b là h ng s dằ ố ương).

136. Tìm GTNN c a A = (x + y)(x + z) v i x, y, z > 0 , xyz(x + y + z) = 1.ủ ớ
137. Tìm GTNN c a ủ A xy yz zx

z x y

= + + v i x, y, z > 0 , x + y + z = 1.ớ

138. Tìm GTNN c a ủ

2 2 2

x y z

x y y z z x

= + +

+ + + bi t x, y, z > 0 , ế xy+ yz+ zx 1= .

139. Tìm giá tr l n nh t c a : a) ị ớ ấ ủ A=

(

a+ b

)

2 v i a, b > 0 , a + b ≤ 1ớ

b) B=

(

a+ b

) (

4+ a+ c

) (

4+ a+ d

) (

4+ b+ c

) (

4+ b+ d

) (

4+ c+ d

)

v i a, b, c, d > 0 và a + b + c + d = 1.ớ

140. Tìm giá tr nh nh t c a A = 3ị ỏ ấ ủ x + 3y v i x + y = 4.ớ

141. Tìm GTNN c a ủ A b c
c d a b

= +

+ + v i b + c ≥ a + d ; b, c > 0 ; a, d ≥ 0.ớ

142. Gi i các phả ương trình sau :

2 2

a) x −5x 2 3x 12 0− + = b) x −4x 8 x 1= − c) 4x 1+ − 3x 4 1+ =

d) x 1− − x 1 2+ = e) x 2 x 1− − − x 1 1− = g) x+ 2x 1− + x− 2x 1− = 2
h) x 2 4 x 2+ − − + x 7 6 x 2 1+ − − = i) x + x+ 1 x− =1

2 2 2

k) 1− x − =x x 1− l) 2x +8x 6+ + x − =1 2x 2+

2 2

m) x + = −6 x 2 x −1 n) x 1+ + x 10+ = x 2+ + x 5+

(

)

(

)

o) x 1− + x 3 2 x 1 x+ + − −3x 5+ = −4 2x
p) 2x 3+ + x 2+ + 2x 2+ − x 2 1 2 x 2+ = + + .

2 2

q) 2x −9x 4 3 2x 1+ + − = 2x +21x 11−

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

144. Ch ng minh r ng, ứ ằ ∀n ∈ Z+ , ta ln có :

(

)

1 1 1

1 .... 2 n 1 1

2 3 n

+ + + + > + − .

145. Tr c căn th c m u : ụ ứ ở ẫ a) 1 b) 1

1+ 2+ 5 x + x 1+ .

146. Tính : a) 5− 3− 29 6 20 b) 6 2 5− + − 13+ 48 c) 5− 3− 29 12 5−
147. Cho a= 3− 5. 3

(

+ 5

)(

10− 2

)

. Ch ng minh r ng a là s t nhiên.ứ ằ ố ự

148. Cho b 3 2 2 3 2 2
17 12 2 17 12 2

− +

= −

− + . b có ph i là s t nhiên không ?ả ố ự

149. Gi i các phả ương trình sau :

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

a) 3 1 x x 4 3 0 b) 3 1 x 2 3 1 x 3 3

5 x 5 x x 3 x 3

c) 2 d) x x 5 5

5 x x 3

− − + − = − = + −

− − + − −

= + − =

− + −

150. Tính giá tr c a bi u th c : ị ủ ể ứ M= 12 5 29− + 25 4 21+ − 12 5 29+ − 25 4 21−

151. Rút g n : ọ A 1 1 1 ... 1

1 2 2 3 3 4 n 1 n

= + + + +

+ + + − + .

152. Cho bi u th c : ể ứ P 1 1 1 ... 1

2 3 3 4 4 5 2n 2n 1

= − + − +

− − − − +

a) Rút g n P.ọ b) P có ph i là s h u t không ?ả ố ữ ỉ

153. Tính : A 1 1 1 ... 1

2 1 1 2 3 2 2 3 4 3 3 4 100 99 99 100

= + + + +

+ + + + .

154. Ch ng minh : ứ 1 1 1 ... 1 n

2 3 n

+ + + + > .

155. Cho a= 17 1− . Hãy tính giá tr c a bi u th c: A = (aị ủ ể ứ 5 + 2a4 – 17a3 – a2 + 18a – 17)2000.

156. Ch ng minh : ứ a − a 1− < a 2− − a 3− (a ≥ 3)
157. Ch ng minh : ứ x2 x 1 0

− + > (x ≥ 0)

158. Tìm giá tr l n nh t c a ị ớ ấ ủ S= x 1− + y 2− , bi t x + y = 4.ế

159. Tính giá tr c a bi u th c sau v i ị ủ ể ứ ớ a 3 : A 1 2a 1 2a

4 1 1 2a 1 1 2a

+ −

= = +

+ + − − .

160. Ch ng minh các đ ng th c sau :ứ ẳ ứ

(

)(

)

(

)

a) 4+ 15 10− 6 4− 15 =2 b) 4 2 2 6+ = 2 3 1+

(

)(

)

(

)

c) 3 5 3 5 10 2 8 d) 7 48 3 1 e) 17 4 9 4 5 5 2

− + − = + = + − + = − 161.

Ch ng minh các b t đ ng th c sau :ứ ấ ẳ ứ

5 5 5 5

a) 27 6 48 b) 10 0

5 5 5 5

+ −

+ > + − <

− +

5 1 5 1 1

c) 3 4 2 0, 2 1,01 0

1 5 3 1 3 5

 + −  

+ − + − >

  

+ + + −

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

2 3 1 2 3 3 3 1

d) 3 2 0

2 6 2 6 2 6 2 6 2

 

+ − + − + − + − >

 

+  − + 

e) 2 2+ 2 1− + 2 2− 2 1 1,9− > g) 17 12 2+ − 2 > 3 1−

(

)

(

)

2 2 3 2 2

h) 3 5 7 3 5 7 3 i) 0,8

+ + −

+ + − + + < <

162. Ch ng minh r ng : ứ ằ 2 n 1 2 n 1 2 n 2 n 1
n

+ − < < − − . T đó suy ra:ừ

1 1 1

2004 1 ... 2005

2 3 1006009

< + + + + <

163. Tr c căn th c m u : ụ ứ ở ẫ a) 2 3 4 b) 3 3 3

2 3 6 8 4 2 2 4

+ +

+ + + + + + .

164. Cho x 3 2 và y= 3 2

3 2 3 2

+ −

− + . Tính A = 5x

2 + 6xy + 5y2.

165. Ch ng minh b t đ ng th c sau : ứ ấ ẳ ứ 2002 2003 2002 2003
2003+ 2002 > + .

166. Tính giá tr c a bi u th c : ị ủ ể ứ

2 2

x 3xy y
A

x y 2

− +

+ + v i ớ x 3= + 5 và y 3= − 5.

167. Gi i phả ương trình : 6x 3 3 2 x x2

x 1 x

− = + −

− − .

168. Gi i b t các pt : a) ả ấ 3 3 5x 72 b) 1 10x 14 1 c) 2 2 2 2x 4
4

+ ≥ − ≥ + + ≥ .

169. Rút g n các bi u th c sau :ọ ể ứ

a 1

a) A 5 3 29 12 5 b) B 1 a a(a 1) a

−

= − − − = − + − +

2 2 2

x 3 2 x 9 x 5x 6 x 9 x

c) C d) D

2x 6 x 9 3x x (x 2) 9 x

+ + − + + + −

= =

− + − − + + −

1 1 1 1

E ...

1 2 2 3 3 4 24 25

= − + − −

− − − −

170. Tìm GTNN và GTLN c a bi u th c ủ ể ứ A 1 2

2 3 x

− − .

171. Tìm giá tr nh nh t c a ị ỏ ấ ủ A 2 1
1 x x

= +

− v i 0 < x < 1.ớ

172. Tìm GTLN c a : ủ a) A= x 1− + y 2− bi t x + y = 4 ; b) ế B x 1 y 2

x y

−
−

= +

173. Cho a= 1997− 1996 ; b= 1998− 1997 . So sánh a v i b, s nào l n h n ?ớ ố ớ ơ
174. Tìm GTNN, GTLN c a : ủ a) A 1 2 b) B x2 2x 4

5 2 6 x

= = − + +

+ − .

175. Tìm giá tr l n nh t c a ị ớ ấ ủ 2
A x 1 x= − .

176. Tìm giá tr l n nh t c a A = | x – y | bi t xị ớ ấ ủ ế 2 + 4y2 = 1.

177. Tìm GTNN, GTLN c a A = xủ 3 + y3 bi t x, y ≥ 0 ; xế 2 + y2 = 1.

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

179. Gi i phả ương trình : 2 x 1

1 x x 3x 2 (x 2) 3

x 2

−

− + − + + − =

− .

180. Gi i phả ương trình : x2+2x 9− = 6 4x 2x+ + 2 .
181. CMR, ∀n ∈ Z+ , ta có :

1 1 1 1

... 2

2 3 2 4 3+ + + +(n 1) n+ < .

182. Cho A 1 1 1 ... 1

1.1999 2.1998 3.1997 1999.1

= + + + + . Hãy so sánh A và 1,999.

183. Cho 3 s x, y và ố x+ y là s h u t . Ch ng minh r ng m i s ố ữ ỉ ứ ằ ỗ ố x ; y đ u là s h u tề ố ữ ỉ
184. Cho a 3 2 2 6 ; b 3 2 2 6 4 2

3 2

= − = + + −

− . CMR : a, b là các s h u t .ố ữ ỉ

185. Rút g n bi u th c : ọ ể ứ P 2 a a 2 a a a. a 1

a 1

a 2 a 1 a

 + −  + − −

= − 

−

+ +

  . (a > 0 ; a ≠ 1)

186. Ch ng minh : ứ a 1 a 1 4 a a 1 4a

a 1 a 1 a

 + −  

− + − =

 − +  

 

  . (a > 0 ; a ≠ 1)

187. Rút g n : ọ

(

)

2
x 2 8x

2
x

+ −

− (0 < x < 2)

188. Rút g n : ọ a b ab : a b a b

a b ab b ab a ab

 −   + 

+ + −

   

+  + − 

 

189. Gi i b t phả ấ ương trình :

(

)

2 2

2 x x a

x a

+ + ≤

+ (a ≠ 0)

190. Cho A

(

1 a :2

)

1 a a a 1 a a a 1

1 a 1 a

 −  + 

= −  − +  + − +

  

 

a) Rút g n bi u th c A. ọ ể ứ b) Tính giá tr c a A v i a = 9.ị ủ ớ
c) V i giá tr nào c a a thì | A | = A.ớ ị ủ

191. Cho bi u th c : ể ứ B a b 1 a b b b

a ab 2 ab a ab a ab

 

+ − −

= +  + 

+  − + .

a) Rút g n bi u th c B.ọ ể ứ b) Tính giá tr c a B n u ị ủ ế a 6 2 5= + .
c) So sánh B v i -1.ớ

192. Cho A 1 1 : 1 a b

a a b a a b a b

 + 

 

= +   + 

− − + + −

   

a) Rút g n bi u th c A.ọ ể ứ b) Tìm b bi t | A | = -A.ế
c) Tính giá tr c a A khi ị ủ a 5 4 2 ; b 2 6 2= + = + .

193. Cho bi u th c ể ứ A a 1 a 1 4 a a 1

a 1 a 1 a

 + −  

= − +  − 

− +  

 

a) Rút g n bi u th c A.ọ ể ứ

b) Tìm giá tr c a A n u ị ủ ế a 6

2 6

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

194. Cho bi u th c ể ứ A a 1 a a a a

2 2 a a 1 a 1

  − + 

= −  − 

+ −

  .

a) Rút g n bi u th c A.ọ ể ứ b) Tìm giá tr c a A đ A = - 4ị ủ ể
195. Th c hi n phép tính : ự ệ A 1 a 1 a : 1 a 1 a

1 a 1 a 1 a 1 a

 + −   + − 

= +   − 

− + − +

   

196. Th c hi n phép tính : ự ệ B 2 3 2 3

2 2 3 2 2 3

+ −

= +

+ + − −

197. Rút g n các bi u th c sau :ọ ể ứ

(

)

x y 1 1 1 2 1 1

a) A : . .

x y

xy xy x y 2 xy x y x y

  

−   

=  +  +  + 

+ +

  +  

 

 

v i ớ x 2= − 3 ; y 2= + 3 .
b)

2 2 2 2

x x y x x y

2(x y)

+ − − − −

− v i x > y > 0ớ

2
2
2a 1 x
C

1 x x

+
=

+ − v i ớ

1 1 a a

2 a 1 a

 − 

=  − 

−

  ; 0 < a < 1

(

) (

)

2 2

a 1 b 1
D (a b)

c 1

+ +

= + −

+ v i a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 1ớ

e) E x 2 x 1 x 2 x 1. 2x 1

x 2x 1 x 2x 1

+ − + − −

= −

+ − + − −

198. Ch ng minh : ứ x x2 4 x x2 4 2x 4

x x x

− − +

+ + − = v i x ≥ 2.ớ

199. Cho a 1 2 , b 1 2

2 2

− + − −

= = . Tính a7 + b7.

200. Cho a= 2 1−

a) Vi t aế 2 ; a3 dướ ại d ng m− m 1− , trong đó m là s t nhiên.ố ự

b) Ch ng minh r ng v i m i s nguyên dứ ằ ớ ọ ố ương n, s aố n vi t đế ược dướ ại d ng trên.

201. Cho bi t x = ế 2 là m t nghi m c a phộ ệ ủ ương trình x3 + ax2 + bx + c = 0 v i các h s h u t . Tìm cácớ ệ ố ữ ỉ

nghi m còn l i.ệ ạ

202. Ch ng minh ứ 2 n 3 1 1 ... 1 2 n 2

2 3 n

− < + + + < − v i nớ ∈ N ; n ≥ 2.

203. Tìm ph n nguyên c a s ầ ủ ố 6+ 6 ...+ + 6+ 6 (có 100 d u căn).ấ
204. Cho a 2= + 3. Tính a)   a2 b)   a3 .

205. Cho 3 s x, y, ố x + y là s h u t . Ch ng minh r ng m i s ố ữ ỉ ứ ằ ỗ ố x , y đ u là s h u tề ố ữ ỉ
206. CMR, ∀n ≥ 1 , n ∈ N : 1 1 1 ... 1 2

2 3 2 4 3+ + + +(n 1) n+ <

207. Cho 25 s t nhiên aố ự 1 , a2 , a3 , … a25 th a đk : ỏ

1 2 3 25

1 1 1 1

... 9

a + a + a + + a = . Ch ng minh r ngứ ằ

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

208. Gi i phả ương trình 2 x 2 x 2

2 2 x 2 2 x

+ + − =

+ + − − .

209. Gi i và bi n lu n v i tham s a ả ệ ậ ớ ố 1 x 1 x a
1 x 1 x

+ + − =

+ − − .

210. Gi i h phả ệ ương trình

(

)

(

)

(

)

x 1 y 2y
y 1 z 2z
z 1 x 2x

 + =

 + =



 + =



211. Ch ng minh r ng :ứ ằ

a) S ố

(

8 3 7+

)

7 có 7 ch s 9 li n sau d u ph y.ữ ố ề ấ ẩ
b) S ố

(

7 4 3+

)

10 có mười ch s 9 li n sau d u ph y.ữ ố ề ấ ẩ
212. Kí hi u aệ n là s nguyên g n ố ầ n nh t (n ấ ∈ N*), ví d : ụ

1 2 3 4

1 1= ⇒ =a 1 ; 2 1,4≈ ⇒a =1 ; 3 1,7≈ ⇒a =2 ; 4 2= ⇒a =2

Tính :

1 2 3 1980

1 1 1 1

...

a +a +a + +a .

213. Tìm ph n ngun c a các s (có n d u căn) : a) ầ ủ ố ấ
n

a = 2+ 2 ...+ + 2+ 2
b)

a = 4+ 4 ...+ + 4+ 4 c)
n

a = 1996+ 1996 ...+ + 1996+ 1996

214. Tìm ph n nguyên c a A v i n ầ ủ ớ ∈ N : A= 4n2+ 16n2+8n 3+

215. Ch ng minh r ng khi vi t s x = ứ ằ ế ố

(

3+ 2

)

200 dướ ại d ng th p phân, ta đậ ược ch s li n trữ ố ề ước d uấ
ph y là 1, ch s li n sau d u ph y là 9.ẩ ữ ố ề ấ ẩ

216. Tìm ch s t n cùng c a ph n nguyên c a ữ ố ậ ủ ầ ủ

(

3+ 2

)

250.
217. Tính t ng ổ A=    1 + 2    + 3 + +...  24

218. Tìm giá tr l n nh t c a A = xị ớ ấ ủ 2(3 – x) v i x ≥ 0.ớ

219. Gi i phả ương trình : a) 3x 1+ + 37 x− =2 b) 3 x 2− + x 1 3+ = .

220. Có t n t i các s h u t dồ ạ ố ữ ỉ ương a, b không n u : ế a) a+ b = 2 b) a+ b = 4 2.
221. Ch ng minh các s sau là s vô t : a) ứ ố ố ỉ 35 b) 3 2+ 34

222. Ch ng minh b t đ ng th c Cauchy v i 3 s không âm : ứ ấ ẳ ứ ớ ố a b c 3abc
3

+ + ≥ .

223. Cho a, b, c, d > 0. Bi t ế a b c d 1

1 a 1 b 1 c 1 d+ + + + + + + ≤ . Ch ng minh r ng : ứ ằ

1
abcd

≤ .

224. Ch ng minh b t đ ng th c : ứ ấ ẳ ứ

2 2 2

x y z x y z

y + z +x ≥ + +y z x v i x, y, z > 0ớ

225. Cho a= 33+33 +33−33 ; b 2 3= 3 . Ch ng minh r ng : a < b.ứ ằ
226. a) Ch ng minh v i m i s nguyên dứ ớ ọ ố ương n, ta có :

n
1

1 3

 +  <

 

  .

b) Ch ng minh r ng trong các s có d ng ứ ằ ố ạ n n (n là s t nhiên), s ố ự ố 33 có giá tr l n nh tị ớ ấ
227. Tìm giá tr nh nh t c a ị ỏ ấ ủ 2 2

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

228. Tìm giá tr nh nh t c a A = xị ỏ ấ ủ 2(2 – x) bi t x ≤ 4.ế

229. Tìm giá tr l n nh t c a ị ớ ấ ủ A x= 2 9 x− 2 .

230. Tìm giá tr nh nh t, giá tr l n nh t c a A = x(xị ỏ ấ ị ớ ấ ủ 2 – 6) bi t 0 ≤ x ≤ 3.ế

231. M t mi ng bìa hình vng có c nh 3 dm. m i góc c a hình vng l n, ngộ ế ạ Ở ỗ ủ ớ ười ta c t đi m t hìnhắ ộ

vng nh r i g p bìa đ đỏ ồ ấ ể ược m t cái h p hình h p ch nh t khơng n p. Tính c nh hình vng nh độ ộ ộ ữ ậ ắ ạ ỏ ể
th tích c a h p là l n nh t.ể ủ ộ ớ ấ

232. Gi i các phả ương trình sau :

3 3

a) 1+ x 16− = x 3+ b) 2 x− + x 1 1− =

3 3 3 3

c) x 1+ + x 1− = 5x d) 2 2x 1 x− = +1

(

)

3 2 2 3 3

3
3

x 3x x 1 x 4 7 x x 5

e) 2 3 g) 6 x

2 7 x x 5

− − − − − − −

= − = −

− + −

2 2 2 3 3 3

3 3

h) (x 1)+ + (x 1)− + x − =1 1 i) x 1+ + x 2+ + x 3 0+ =

4 4 4 4 4 4

k) 1 x− + 1 x+ + 1 x− =3 l) a x− + b x− = a b 2x+ − (a, b là tham s )ố
233. Rút g n ọ

4 2 2 4

3 3 3

2 2

3 3 3

a a b b

a ab b

+ +

+ + .

234. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : ị ỏ ấ ủ ể ứ A= x2− + +x 1 x2+ +x 1

235. Xác đ nh các s nguyên a, b sao cho m t trong các nghi m c a phị ố ộ ệ ủ ương trình : 3x3 + ax2 + bx + 12 = 0 là

1+ 3.

236. Ch ng minh ứ 33 là s vô t .ố ỉ

237. Làm phép tính : a) 13 + 2 . 3 2 26 − b) 69 4 5. 2+ 3 − 5.
238. Tính : 3 3

a= 20 14 2+ + 20 14 2− .
239. Ch ng minh : ứ 37 5 2+ +37 2 5− =2.

240. Tính : A=

(

4 7+ 48−4 28 16 3 . 7−

)

4 + 48.

241. Hãy l p phậ ương trình f(x) = 0 v i h s nguyên có m t nghi m là : ớ ệ ố ộ ệ x= 33+39.

242. Tính giá tr c a bi u th c : M = xị ủ ể ứ 3 + 3x – 14 v i ớ 3

3
1
x 7 5 2

7 5 2

= + −

+ .

243. Gi i các phả ương trình : a) 3x 2+ + 325 x− =3.

2 2 4 2

b) x 9 (x 3)− = − +6 c) x +32 2 x− +32 3=

244. Tìm GTNN c a bi u th c : ủ ể ứ A= x3+2 1

(

+ x3+ +1

)

x3+2 1

(

− x3+1

)

.
245. Cho các s dố ương a, b, c, d. Ch ng minh : a + b + c + d ≥ ứ 4 abcd4 .

246. Rút g n : ọ

3 2 3 3 2

3 3 3 3 2

8 x x 2 x x 4

P : 2 x

2 x 2 x x 2 x 2 x

    

− −

=  + + +  

−  +   −  +  ; x > 0 , x ≠ 8

247. CMR : 3 3

x= 5− 17 + 5+ 17 là nghi m c a phệ ủ ương trình x3 – 6x – 10 = 0.

248. Cho x 3 1 3 4 15

4 15

= + −

− . Tính giá tr bi u th c y = xị ể ứ

3 – 3x + 1987.

249. Ch ng minh đ ng th c : ứ ẳ ứ 3

3 3 2

3 3

a 2 5. 9 4 5

a 1

2 5. 9 4 5 a a

+ + − = − −

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

250. Ch ng minh b t đ ng th c : ứ ấ ẳ ứ 3 9 4 5+ + 32+ 5 . 3 5 2 2,1 0− − <

  .

251. Rút g n các bi u th c sau :ọ ể ứ

(

)

4 2 2 4

3 3 3

2 2

3 3 3 3

3
1
1 2

a a b b b 4b b 24

A b) .

b 8 b 8

a ab b b 2 1 2.

 

   + 

+ +    

=  −  −

+   +

+ +  +   − 

  

2 2 2 2

3 3 3

3 3

2 2

3 3 3

a a 2a b a b a b ab 1

C .

a b

a ab a

 − + − 

= + 

−
−

  .

252. Cho M = x2−4a 9+ + x2−4x 8+ . Tính giá tr c a bi u th c M bi t r ng:ị ủ ể ứ ế ằ

2 2

x −4x 9+ − x −4x 8 2+ = .

253. Tìm giá tr nh nh t c a : ị ỏ ấ ủ P= x2−2ax a+ 2 + x2−2bx b+ 2 (a < b)
254. Ch ng minh r ng, n u a, b, c là đ dài 3 c nh c a m t tam giác thì :ứ ằ ế ộ ạ ủ ộ

abc ≥ (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)
255. Tìm giá tr c a bi u th c | x – y | bi t x + y = 2 và xy = -1ị ủ ể ứ ế
256. Bi t a – b = ế 2 + 1 , b – c = 2 - 1, tìm giá tr c a bi u th c :ị ủ ể ứ

A = a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca.

257. Tìm x, y, z bi t r ng : ế ằ x y z 4 2 x 2 4 y 3 6 z 5+ + + = − + − + − .

258. Cho y= x 2 x 1+ − + x 2 x 1− − . CMR, n u 1 ≤ x ≤ 2 thì giá tr c a y là m t h ng s .ế ị ủ ộ ằ ố
259. Phân tích thành nhân t : ử 3 2

M 7 x 1= − − x −x + −x 1 (x ≥ 1).

260. Trong t t c các hình ch nh t có đấ ả ữ ậ ường chéo b ng 8ằ 2, hãy tìm hình ch nh t có di n tích l n nh t.ữ ậ ệ ớ ấ
261. Cho tam giác vuông ABC có các c nh góc vng là a, b và c nh huy n là c. Ch ng minh r ng ta ln cóạ ạ ề ứ ằ

: c a b

≥ .

262. Cho các s dố ương a, b, c, a’, b’, c’. Ch ng minh r ng : ứ ằ

N u ế aa' bb ' cc' (a b c)(a ' b' c ') thì a b c
a' b ' c'

+ + = + + + + = = .

263. Gi i phả ương trình : | x2 – 1 | + | x2 – 4 | = 3.

264. Ch ng minh r ng giá tr c a bi u th c C không ph thu c vào x, y :ứ ằ ị ủ ể ứ ụ ộ

(

)

x y

1 x y

4xy
2 x y

x y x y

+
+

= − −

 + − + 

 

 + + 

 

v i x > 0 ; y > 0.ớ

265. Ch ng minh giá tr bi u th c D không ph thu c vào a:ứ ị ể ứ ụ ộ

2 a a 2 a a a a 1

a 1

a 2 a 1 a

 + −  + − −

= − 

−

+ +

  v i a > 0 ; a ≠ 1 ớ

266. Cho bi u th c ể ứ

c ac 1

B a

a c a c

a c

ac c ac a ac

 − 

= + − +

  + −

+ −

.
a) Rút g n bi u th c B.ọ ể ứ

b) Tính giá tr c a bi u th c B khi c = 54 ; a = 24ị ủ ể ứ
c) V i giá tr nào c a a và c đ B > 0 ; B < 0. ớ ị ủ ể

267. Cho bi u th c : ể ứ 2 2 2

2mn 2mn 1

A= m+ m 1

1+n 1 n n

 

+ − +

 + 

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

a) Rút g n bi u th c A.ọ ể ứ b) Tìm giá tr c a A v i ị ủ ớ m= 56 24 5+ .
c) Tìm giá tr nh nh t c a A.ị ỏ ấ ủ

268. Rút g n ọ 2 2 2

1 x 1 x 1 1 x x

D 1

x x

1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x

 + −  − 

= −  − − 

+ − − − − + − + −

  

269. Cho P 1 2 x : 1 2 x

x 1
x 1 x x x x 1

   

= −   − 

− + − −

    v i x ≥ 0 ; x ≠ 1.ớ

a) Rút g n bi u th c P.ọ ể ứ b) Tìm x sao cho P < 0.
270. Xét bi u th c ể ứ

x x 2x x

y 1

x x 1 x

+ +

= + −

− + .

a) Rút g n y. Tìm x đ y = 2.ọ ể b) Gi s x > 1. Ch ng minh r ng : y - | y | = 0ả ử ứ ằ
c) Tìm giá tr nh nh t c a y ?ị ỏ ấ ủ

PH N II: H

Ầ

ƯỚ

NG D N GI I

Ẫ

Ả

1. Gi s ả ử 7 là s h u t ố ữ ỉ⇒ 7 m

= (t i gi n). Suy ra ố ả

2 2

2
m

7 hay 7n m

= = (1). Đ ng th c này ch ngẳ ứ ứ
t ỏ m 72M mà 7 là s nguyên t nên m ố ố M 7. Đ t m = 7k (k ặ ∈ Z), ta có m2 = 49k2 (2). T (1) và (2) suy ra 7nừ 2 =

49k2 nên n2 = 7k2 (3). T (3) ta l i có nừ ạ 2M 7 và vì 7 là s nguyên t nên n ố ố M 7. m và n cùng chia h t cho 7 nênế

phân s ố m

n không t i gi n, trái gi thi t. V y ố ả ả ế ậ 7 không ph i là s h u t ; do đó ả ố ữ ỉ 7 là s vô t .ố ỉ

2. Khai tri n v trái và đ t nhân t chung, ta để ế ặ ử ược v ph i. T a) ế ả ừ ⇒ b) vì (ad – bc)2 ≥ 0.

3. Cách 1 : T x + y = 2 ta có y = 2 – x. Do đó : S = xừ 2 + (2 – x)2 = 2(x – 1)2 + 2 ≥ 2.

V y min S = 2 ậ ⇔ x = y = 1.

Cách 2 : Áp d ng b t đ ng th c Bunhiacopxki v i a = x, c = 1, b = y, d = 1, ta có :ụ ấ ẳ ứ ớ

(x + y)2 ≤ (x2 + y2)(1 + 1) ⇔ 4 ≤ 2(x2 + y2) = 2S ⇔ S ≥ 2. ⇒ mim S = 2 khi x = y = 1

4. b) Áp d ng b t đ ng th c Cauchy cho các c p s dụ ấ ẳ ứ ặ ố ương bc và ca bc; và ab ca; và ab

a b a c b c , ta l n lầ ượ t

có: bc ca 2 bc ca. 2c; bc ab 2 bc ab. 2b
a + b ≥ a b = a + c ≥ a c = ;

ca ab ca ab

2 . 2a

b + c ≥ b c = c ng t ng v ta độ ừ ế ượ c

b t đ ng th c c n ch ng minh. D u b ng x y ra khi a = b = c.ấ ẳ ứ ầ ứ ấ ằ ả

c) V i các s dớ ố ương 3a và 5b , theo b t đ ng th c Cauchy ta có : ấ ẳ ứ 3a 5b 3a.5b
2

+ ≥

⇔ (3a + 5b)2 ≥ 4.15P (vì P = a.b) ⇔ 122 ≥ 60P ⇔ P ≤ 12

5 ⇒ max P =
12

5 .

D u b ng x y ra khi 3a = 5b = 12 : 2 ấ ằ ả ⇔ a = 2 ; b = 6/5.

5. Ta có b = 1 – a, do đó M = a3 + (1 a)3 = 3(a ẵ)2 + ẳ ≥ ¼ . D u “=” x y ra khi a = ½ .ấ ả

V y min M = ¼ ậ ⇔ a = b = ½ .

6. Đ t a = 1 + x ặ ⇒ b3 = 2 – a3 = 2 – (1 + x)3 = 1 – 3x – 3x2 – x3 ≤ 1 – 3x + 3x2 – x3 = (1 – x)3.

Suy ra : b ≤ 1 – x. Ta l i có a = 1 + x, nên : a + b ≤ 1 + x + 1 – x = 2.ạ
V i a = 1, b = 1 thì aớ 3 + b3 = 2 và a + b = 2. V y max N = 2 khi a = b = 1.ậ

7. Hi u c a v trái và v ph i b ng (a – b)ệ ủ ế ế ả ằ 2(a + b).

8. Vì | a + b | ≥ 0 , | a – b | ≥ 0 , nên : | a + b | > | a – b | ⇔ a2 + 2ab + b2 ≥ a2 – 2ab + b2

⇔ 4ab > 0 ⇔ ab > 0. V y a và b là hai s cùng d u.ậ ố ấ

9. a) Xét hi u : (a + 1)ệ 2 – 4a = a2 + 2a + 1 – 4a = a2 – 2a + 1 = (a – 1)2 ≥ 0.

b) Ta có : (a + 1)2 ≥ 4a ; (b + 1)2 ≥ 4b ; (c + 1)2 ≥ 4c và các b t đ ng th c này có hai v đ u dấ ẳ ứ ế ề ương, nên : [(a

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

10. a) Ta có : (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2). Do (a – b)2 ≥ 0, nên (a + b) 2 ≤ 2(a2 + b2).

b) Xét : (a + b + c)2 + (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2. Khai tri n và rút g n, ta để ọ ược :

3(a2 + b2 + c2). V y : (a + b + c)ậ 2 ≤ 3(a2 + b2 + c2).

11. a)

2x 3 1 x 3x 4 x

2x 3 1 x 3

2x 3 x 1 x 2 x 2



− = − = =

  

− = − ⇔  ⇔  ⇔ 

− = − =

   =

b) x2 – 4x ≤ 5 ⇔ (x – 2)2 ≤ 33 ⇔ | x – 2 | ≤ 3 ⇔ -3 ≤ x – 2 ≤ 3 ⇔ -1 ≤ x ≤ 5.

c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 1 ⇔ (2x – 1)2 ≤ 0. Nh ng (2x – 1)ư 2 ≥ 0, nên ch có th : 2x – 1 = 0ỉ ể

V y : x = ½ . ậ

12. Vi t đ ng th c đã cho dế ẳ ứ ướ ại d ng : a2 + b2 + c2 + d2 – ab – ac – ad = 0 (1). Nhân hai v c a (1) v i 4 r iế ủ ớ ồ

đ a v d ng : aư ề ạ 2 + (a – 2b)2 + (a – 2c)2 + (a – 2d)2 = 0 (2). Do đó ta có :

a = a – 2b = a – 2c = a – 2d = 0 . Suy ra : a = b = c = d = 0.
13. 2M = (a + b – 2)2 + (a – 1)2 + (b – 1)2 + 2.1998 ≥ 2.1998 ⇒ M ≥ 1998.

D u “ = “ x y ra khi có đ ng th i : ấ ả ồ ờ

a b 2 0
a 1 0
b 1 0

+ − =


 − =

 − =


V y min M = 1998 ậ ⇔ a = b = 1.
14. Gi i tả ương t bài 13.ự

15. Đ a đ ng th c đã cho v d ng : (x – 1)ư ẳ ứ ề ạ 2 + 4(y – 1)2 + (x – 3)2 + 1 = 0.

16. 2

(

)

1 1 1 1

A . max A= x 2

x 4x 9 x 2 5 5 5

= = ≤ ⇔ =

− + − + .

17. a) 7+ 15< 9+ 16 3 4 7= + = . V y ậ 7+ 15 < 7
b) 17+ 5 1+ > 16+ 4 1 4 2 1 7+ = + + = = 49> 45.
c) 23 2 19 23 2 16 23 2.4 5 25 27

3 3 3

− < − = − = = < .

d) Gi s ả ử

( ) ( )

2 2

3 2 > 2 3 ⇔ 3 2 > 2 3 ⇔ 3 2 2 3> ⇔ 18> 12 ⇔18 12> .
B t đ ng th c cu i cùng đúng, nên : ấ ẳ ứ ố 3 2 > 2 3.

18. Các s đó có th là 1,42 và ố ể 2 3

19. Vi t l i phế ạ ương trình dướ ại d ng : 3(x 1)+ 2+ +4 5(x 1)+ 2+16 6 (x 1)= − + 2.

V trái c a phế ủ ương trình khơng nh h n 6, cịn v ph i không l n h n 6. V y đ ng th c ch x y ra khi cỏ ơ ế ả ớ ơ ậ ẳ ứ ỉ ả ả
hai v đ u b ng 6, suy ra x = -1.ế ề ằ

20. B t đ ng th c Cauchy ấ ẳ ứ ab a b
2

≤ vi t l i dế ạ ướ ại d ng

a b
ab

 

≤   (*) (a, b ≥ 0).
Áp d ng b t d ng th c Cauchy dụ ấ ẳ ứ ướ ại d ng (*) v i hai s dớ ố ương 2x và xy ta được :

2
2x xy

2x.xy 4

 

≤  =

 

D u “ = “ x y ra khi : 2x = xy = 4 : 2 t c là khi x = 1, y = 2. ấ ả ứ ⇒ max A = 2 ⇔ x = 2, y = 2.
21. B t đ ng th c Cauchy vi t l i dấ ẳ ứ ế ạ ướ ại d ng : 1 2

a b

ab > + . Áp d ng ta có S > ụ

1998
2.

1999.

22. Ch ng minh nh bài 1.ứ ư
23. a)

2 2 2

x y x y 2xy (x y)

2 0

y x xy xy

+ − −

+ − = = ≥ . V y ậ x y 2

y+ ≥x

b) Ta có :

2 2 2 2

x y x y x y x y x y

A 2

y x y x y x y x y x

         

= + − + = + −  +  + + 

     

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

2 2

x y x y x y

A 2 2 1 1 0

y x y x y x

       

≥ + −  + + = −  + −  ≥

 

   

 

c) T câu b suy ra : ừ

4 4 2 2

x y x y

y x y x

 +  − + ≥

   

    . Vì

x y
2

y+ ≥x (câu a). Do đó :

4 4 2 2

x y x y x y

y x y x y x

 +  − +  + + ≥

     

 

    .

24. a) Gi s ả ử 1+ 2 = m (m : s h u t ) ố ữ ỉ ⇒ 2 = m2 – 1 ⇒ 2 là s h u t (vơ lí)ố ữ ỉ

b) Gi s m + ả ử 3

n = a (a : s h u t ) ố ữ ỉ ⇒
3

n = a – m ⇒ 3 = n(a – m) ⇒ 3 là s h u t , vơ lí.ố ữ ỉ

25. Có, ch ng h n ẳ ạ 2 (5+ − 2) 5=

26. Đ t ặ

2 2

x y x y

a 2 a

y+ = ⇒x y +x + = . D dàng ch ng minh ễ ứ

2 2

x y

2
y +x ≥ nên a

2 ≥ 4, do đó

| a | ≥ 2 (1). B t đ ng th c ph i ch ng minh tấ ẳ ứ ả ứ ương đương v i : aớ 2 – 2 + 4 ≥ 3a

⇔ a2 – 3a + 2 ≥ 0 ⇔ (a – 1)(a – 2) ≥0 (2)

T (1) suy ra a ≥ 2 ho c a ≤ -2. N u a ≥ 2 thì (2) đúng. N u a ≤ -2 thì (2) cũng đúng. Bài tốn đừ ặ ế ế ượ c
ch ng minh.ứ

27. B t đ ng th c ph i ch ng minh tấ ẳ ứ ả ứ ương đương v i :ớ

(

)

4 2 4 2 4 2 2 2 2

2 2 2

x z y x z x x z y x z y xyz
0
x y z

+ + − + +

≥ .

C n ch ng minh t không âm, t c là : xầ ứ ử ứ 3z2(x – y) + y3x2(y – z) + z3y2(z – x) ≥ 0. (1)

Bi u th c không đ i khi hốn v vịng x ể ứ ổ ị  y  z  x nên có th gi s x là s l n nh t. Xét hai trể ả ử ố ớ ấ ườ ng
h p :ợ

a) x ≥ y ≥ z > 0. Tách z – x (1) thành – (x – y + y – z), (1) tở ương đương v i :ớ
x3z2(x – y) + y3x2(y – z) – z3y2(x – y) – z3y2(y – z) ≥ 0

⇔ z2(x – y)(x3 – y2z) + y2(y – z)(yx2 – z3) ≥ 0

D th y x – y ≥ 0 , xễ ấ 3 – y2z ≥ 0 , y – z ≥ 0 , yx2 – z3 ≥ 0 nên b t đ ng th c trên đúng.ấ ẳ ứ

b) x ≥ z ≥ y > 0. Tách x – y (1) thành x – z + z – y , (1) tở ương đương v i :ớ
x3z2(x – z) + x3z2(z – y) – y3x2(z – y) – z3y2(x – z) ≥ 0

⇔ z2(x – z)(x3 – zy2) + x2(xz2 – y3)(z – y) ≥ 0

D th y b t đ ng th c trên dúng.ễ ấ ấ ẳ ứ

Cách khác : Bi n đ i b t đ ng th c ph i ch ng minh tế ổ ấ ẳ ứ ả ứ ương đương v i :ớ

2 2 2

x y z x y z

1 1 1 3

y z x y z x

 −  + −  + −  + + + ≥

       

    .

28. Ch ng minh b ng ph n ch ng. Gi s t ng c a s h u t a v i s vô t b là s h u t c. Ta có : b = c –ứ ằ ả ứ ả ử ổ ủ ố ữ ỉ ớ ố ỉ ố ữ ỉ
a. Ta th y, hi u c a hai s h u t c và a là s h u t , nên b là s h u t , trái v i gi thi t. V y c ph i là s vôấ ệ ủ ố ữ ỉ ố ữ ỉ ố ữ ỉ ớ ả ế ậ ả ố
t .ỉ

29. a) Ta có : (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2) ⇒ (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2).

b) Xét : (a + b + c)2 + (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2. Khai tri n và rút g n ta để ọ ược :

3(a2 + b2 + c2). V y : (a + b + c)ậ 2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)

c) Tương t nh câu bự ư

30. Gi s a + b > 2 ả ử ⇒ (a + b)3 > 8 ⇔ a3 + b3 + 3ab(a + b) > 8 ⇔ 2 + 3ab(a + b) > 8

⇒ ab(a + b) > 2 ⇒ ab(a + b) > a3 + b3. Chia hai v cho s dế ố ương a + b : ab > a2 – ab + b2

⇒ (a – b)2 < 0, vơ lí. V y a + b ≤ 2.ậ

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Cách 2 : Theo đ nh nghĩa ph n nguyên : 0 ≤ x - ị ầ

[ ]

x < 1 ; 0 ≤ y -

[ ]

y < 1.
Suy ra : 0 ≤ (x + y) – (

[ ]

x +

[ ]

y ) < 2. Xét hai trường h p :ợ

- N u 0 ≤ (x + y) – (ế

[ ]

x +

[ ]

y ) < 1 thì

[

x y+

]

[ ]

x +

[ ]

y (1)

- N u 1 ≤ (x + y) – (ế

[ ]

x +

[ ]

y ) < 2 thì 0 ≤ (x + y) – (

[ ]

x +

[ ]

y + 1) < 1 nên

[

x y+

]

[ ]

x +

[ ]

y + 1 (2). Trong c hai trả ường h p ta đ u có : ợ ề

[ ]

x +

[ ]

y ≤

[

x y+

]

32. Ta có x2 – 6x + 17 = (x – 3)2 + 8 ≥ 8 nên t và m u c a A là các s dử ẫ ủ ố ương , suy ra A > 0 do đó : A l nớ

nh t ấ ⇔ 1

A nh nh t ỏ ấ ⇔ x

2 – 6x + 17 nh nh t.ỏ ấ

V y max A = ậ 1

8 ⇔ x = 3.

33. Không được dùng phép hốn v vịng quanh x ị  y  z  x và gi s x ≥ y ≥ z.ả ử

Cách 1 : Áp d ng b t đ ng th c Cauchy cho 3 s dụ ấ ẳ ứ ố ương x, y, z :

x y z x y z

A 3 . . 3

y z x y z x

= + + ≥ =

Do đó min x y z 3 x y z x y z

y z x y z x

 + + = ⇔ = = ⇔ = =

 

 

Cách 2 : Ta có : x y z x y y z y

y z x y x z x x

   

+ + = +  + + − 

 

  . Ta đã có

x y
2

y+ ≥x (do x, y > 0) nên đ ch ng minhể ứ
x y z

y+ + ≥z x ta ch c n ch ng minh : ỉ ầ ứ

y z y
1
z + − ≥x x (1)

(1) ⇔ xy + z2 – yz ≥ xz (nhân hai v v i s dế ớ ố ương xz)

⇔ xy + z2 – yz – xz ≥ 0 ⇔ y(x – z) – z(x – z) ≥ 0 ⇔ (x – z)(y – z) ≥ 0 (2)

(2) đúng v i gi thi t r ng z là s nh nh t trong 3 s x, y, z, do đó (1) đúng. T đó tìm đớ ả ế ằ ố ỏ ấ ố ừ ược giá tr nhị ỏ
nh t c a ấ ủ x y z

y+ +z x.

34. Ta có x + y = 4 ⇒ x2 + 2xy + y2 = 16. Ta l i có (x – y)ạ 2 ≥ 0 ⇒ x2 – 2xy + y2 ≥ 0. T đó suy ra 2(xừ 2 + y2) ≥

16 ⇒ x2 + y2 ≥ 8. min A = 8 khi và ch khi x = y = 2.ỉ

35. Áp d ng b t đ ng th c Cauchy cho ba s không âm : ụ ấ ẳ ứ ố

1 = x + y + z ≥ 3.3 xyz (1)

2 = (x + y) + (y + z) + (z + x) ≥ 3.3(x y)(y z)(z x)+ + + (2)
Nhân t ng v c a (1) v i (2) (do hai v đ u không âm) : 2 ≥ 9.ừ ế ủ ớ ế ề 3 A ⇒ A ≤

3
2
9

 
 
 

max A =
3
2
9

 
 

  khi và ch khi x = y = z = ỉ

1
3.

36. a) Có th . b, c) Không th .ể ể

37. Hi u c a v trái và v ph i b ng (a – b)ệ ủ ế ế ả ằ 2(a + b).

38. Áp d ng b t đ ng th c ụ ấ ẳ ứ 2

1 4

xy ≥(x y)+ v i x, y > 0 :ớ

2 2 2 2

2
a c a ad bc c 4(a ad bc c )
b c d a (b c)(a d) (a b c d)

+ + + + + +

+ = ≥

+ + + + + + + (1)

Tương t ự

2 2

2
b d 4(b ab cd d )
c d a b (a b c d)

+ + +

+ ≥

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

C ng (1) v i (2) ộ ớ

2 2 2 2

a b c d 4(a b c d ad bc ab cd)

b c c d d a a b (a b c d)

+ + + + + + +

+ + + ≥

+ + + + + + + = 4B

C n ch ng minh B ≥ ầ ứ 1

2, b t đ ng th c này tấ ẳ ứ ương đương v i :ớ

2B ≥ 1 ⇔ 2(a2 + b2 + c2 + d2 + ad + bc + ab + cd) ≥ (a + b + c + d)2

⇔ a2 + b2 + c2 + d2 – 2ac – 2bd ≥ 0 ⇔ (a – c)2 + (b – d)2 ≥ 0 : đúng.

39. - N u 0 ≤ x - ế

[ ]

x < ½ thì 0 ≤ 2x - 2

[ ]

x < 1 nên

[ ]

2x = 2

[ ]

x .

- N u ½ ≤ x - ế

[ ]

x < 1 thì 1 ≤ 2x - 2

[ ]

x < 2 ⇒ 0 ≤ 2x – (2

[ ]

x + 1) < 1 ⇒

[ ]

2x = 2

[ ]

x + 1
40. Ta s ch ng minh t n t i các s t nhiên m, p sao cho : ẽ ứ ồ ạ ố ự

14 2 43
mchữsố0

96000...00 ≤ a + 15p < 14 2 43
mchữsố0
97000...00

T c là 96 ≤ ứ am +15pm

10 10 < 97 (1). G i a + 15 là s có k ch s : 10ọ ố ữ ố

k – 1 ≤ a + 15 < 10k

⇒ 1 ≤ ak + 15k <1

10 10 10 (2). Đ t ặ n= k + k
a 15p
x

10 10 . Theo (2) ta có x1 < 1 và k
15
10 < 1.

Cho n nh n l n lậ ầ ượt các giá tr 2, 3, 4, …, các giá tr c a xị ị ủ n tăng d n, m i l n tăng không quá 1 đ n v , khiầ ỗ ầ ơ ị

đó

[ ]

xn s tr i qua các giá tr 1, 2, 3, … Đ n m t lúc nào đó ta có ẽ ả ị ế ộ   xp = 96. Khi đó 96 ≤ xp < 97 t c là 96 ≤ứ

k k

a 15p

10 10 < 97. B t đ ng th c (1) đấ ẳ ứ ược ch ng minh.ứ

42. a) Do hai v c a b t đ ng th c không âm nên ta có :ế ủ ấ ẳ ứ
| A + B | ≤ | A | + | B | ⇔ | A + B |2 ≤ ( | A | + | B | )2

⇔ A2 + B2 + 2AB ≤ A2 + B2 + 2| AB | ⇔ AB ≤ | AB | (b t đ ng th c đúng)ấ ẳ ứ

D u “ = “ x y ra khi AB ≥ 0.ấ ả

b) Ta có : M = | x + 2 | + | x – 3 | = | x + 2 | + | 3 – x | ≥ | x + 2 + 3 – x | = 5.

D u “ = “ x y ra khi và ch khi (x + 2)(3 – x) ≥ 0 ấ ả ỉ ⇔ -2 ≤ x ≤ 3 (l p b ng xét d u)ậ ả ấ
V y min M = 5 ậ ⇔ -2 ≤ x ≤ 3.

c) Phương trình đã cho ⇔ | 2x + 5 | + | x – 4 | = | x + 9 | = | 2x + 5 + 4 – x |

⇔ (2x + 5)(4 – x) ≥ 0 ⇔ -5/2 ≤ x ≤ 4

43. Đi u ki n t n t i c a phề ệ ồ ạ ủ ương trình : x2 – 4x – 5 ≥ 0 ⇔ x 1

x 5

≤ −


 ≥


Đ t n ph ặ ẩ ụ x2−4x 5− = ≥y 0, ta được : 2y2 – 3y – 2 = 0 ⇔ (y – 2)(2y + 1) = 0.

45. Vô nghi mệ

46. Đi u ki n t n t i c a ề ệ ồ ạ ủ x là x ≥ 0. Do đó : A = x + x ≥ 0 ⇒ min A = 0 ⇔ x = 0.
47. Đi u ki n : x ≤ 3. Đ t ề ệ ặ 3 x− = y ≥ 0, ta có : y2 = 3 – x ⇒ x = 3 – y2.

B = 3 – y2 + y = - (y – ½ )2 + 13

4 ≤
13

4 . max B =
13

4 ⇔ y = ½ ⇔ x =
11

4 .

48. a) Xét a2 và b2. T đó suy ra a = b.ừ

b) 5− 13 4 3+ = 5 (2 3 1)− + = 4 2 3− = 3 1− . V y hai s này b ng nhau.ậ ố ằ
c) Ta có :

(

n 2+ − n 1+

)(

n 2+ + n 1+ =

)

1 và

(

n+1− n

)(

n 1+ + n

)

=1.

Mà n 2+ + n 1+ > n 1+ + n nên n+2− n 1+ < n 1+ − n.

49. A = 1 - | 1 – 3x | + | 3x – 1 |2 = ( | 3x – 1| - ẵ )2 + ắ ắ .

T đó suy ra : min A = ¾ ừ ⇔ x = ½ ho c x = 1/6ặ
51. M = 4

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

53. P = | 5x – 2 | + | 3 – 5x | ≥ | 5x – 2 + 3 – 5x | = 1. min P = 1 ⇔ 2 x 3
5≤ ≤ 5.

54. C n nh cách gi i m t s phầ ớ ả ộ ố ương trình d ng sau : ạ
2
B 0

A 0 (B 0) A 0

a) A B b) A B c) A B 0

A B A B B 0

≥

≥ ≥  =

 

= ⇔ = ⇔ + = ⇔

= = =

  

B 0

A 0

d) A B A B e) A B 0

B 0

A B

≥


=



= ⇔ = + = ⇔ =




 = −



.

a) Đ a phư ương trình v d ng : ề ạ A = B.
b) Đ a phư ương trình v d ng : ề ạ A =B.

c) Phương trình có d ng : ạ A+ B 0= .
d) Đ a phư ương trình v d ng : ề ạ A =B.
e) Đ a phư ương trình v d ng : | A | + | B | = 0ề ạ
g, h, i) Phương trình vơ nghi m.ệ

k) Đ t ặ x 1− = y ≥ 0, đ a phư ương trình v d ng : | y – 2 | + | y – 3 | = 1 . Xét d u v trái.ề ạ ấ ế
l) Đ t : ặ 8x 1 u 0 ; 3x 5 v 0 ; 7x 4 z 0 ; 2x 2+ = ≥ − = ≥ + = ≥ − = ≥t 0.

Ta được h : ệ u v z t2 2 2 2

u v z t

+ = +


 − = −

 . T đó suy ra : u = z t c là : ừ ứ 8x 1+ = 7x 4+ ⇔ =x 3.

55. Cách 1 : Xét x2+y2−2 2(x y) x− = 2+y2−2 2(x y) 2 2xy (x y− + − = − − 2)2 ≥0.

Cách 2 : Bi n đ i tế ổ ương đương

(

)

(

)

2 2

2
x y
x y

2 2 8

x y x y

+ ≥ ⇔ ≥

− − ⇔ (x

2 + y2)2 – 8(x – y)2 ≥ 0

⇔ (x2 + y2)2 – 8(x2 + y2 – 2) ≥ 0 ⇔ (x2 + y2)2 – 8(x2 + y2) + 16 ≥ 0 ⇔ (x2 + y2 – 4)2 ≥ 0.

Cách 3 : S d ng b t đ ng th c Cauchy : ử ụ ấ ẳ ứ

2 2 2 2 2

x y x y 2xy 2xy (x y) 2.1 2 1

(x y) 2 (x y).

x y x y x y x y x y

+ = + − + = − + = − + ≥ −

− − − − − (x > y).

D u đ ng th c x y ra khi ấ ẳ ứ ả x 6 2 ; y 6 2

2 2

+ −

= = ho c ặ x 6 2 ; y 6 2

2 2

− + − −

= =

62.

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2(c b a

a b c a b c ab bc ca a b c abc

+ +

 + +  = + + +  + +  = + + +

   

    =

= 12 12 12

a +b + c . Suy ra đi u ph i ch ng minh.ề ả ứ

63. Đi u ki n : ề ệ

2 (x 6)(x 10) 0 x 6

x 16x 60 0

x 10
x 10

x 6
x 6 0

x 6

 ≤

− − ≥

 − + ≥ ⇔  ⇔  ⇔ ≥

≥

 − ≥  ≥ 



  ≥



Bình phương hai v : xế 2 – 16x + 60 < x2 – 12x + 36 ⇔ x > 6.

Nghi m c a b t phệ ủ ấ ương trình đã cho : x ≥ 10.

64. Đi u ki n xề ệ 2 ≥ 3. Chuy n v : ể ế x2−3 ≤ x2 – 3 (1)

Đ t th a chung : ặ ừ x2−3.(1 - x2−3) ≤ 0 ⇔ 
2

x 3

x 3 0

x 2

1 x 3 0 x 2

 = ±

 − = 

⇔ ≥

 

− − ≤

  ≤ −

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

V y nghi m c a b t phậ ệ ủ ấ ương trình : x = ± 3 ; x ≥ 2 ; x ≤ -2.

65. Ta có x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = 1 ⇔ (x2 + y2)2 – 4(x2 + y2) + 3 = - x2 ≤ 0.

Do đó : A2 – 4A + 3 ≤ 0 ⇔ (A – 1)(A – 3) ≤ 0 ⇔ 1 ≤ A ≤ 3.

min A = 1 ⇔ x = 0, khi đó y = ± 1. max A = 3 ⇔ x = 0, khi đó y = ± 3.
66. a) ½ ≤ x ≠ 1.

b) B có nghĩa ⇔

2
2

4 x 4
4 x 4

16 x 0

x 4 2 2 1

2x 1 0 (x 4) 8 x 4 2 2

2
x 4 2 2

x 8x 8 0 x

2 x




 − ≤ ≤


− ≤ ≤



 − ≥ 

 ≤ −


 + > ⇔ − ≥ ⇔  ⇔ − < ≤ −

  

≥ +


 − + ≥  

  > − 

  > −



67. a) A có nghĩa ⇔
2

2 2

x 2x 0 x(x 2) 0 x 2

x 0

x x 2x

 − ≥  − ≥  ≥

 ⇔ ⇔

  ≠ −  <

≠ ± −  



b) A = 2 x2−2x v i đi u ki n trên.ớ ề ệ

c) A < 2 ⇔ x2−2x < 1 ⇔ x2 – 2x < 1 ⇔ (x – 1)2 < 2 ⇔ - 2 < x – 1 < 2⇒ kq

68. Đ t ặ

20chữsố9

0,999...9914 2 43 = a. Ta s ch ng minh 20 ch s th p phân đ u tiên c a ẽ ứ ữ ố ậ ầ ủ a là các ch s 9. Mu nữ ố ố

v y ch c n ch ng minh a < ậ ỉ ầ ứ a < 1. Th t v y ta có : 0 < a < 1 ậ ậ ⇒ a(a – 1) < 0 ⇒ a2 – a < 0 ⇒ a2 < a. Từ

a2 < a < 1 suy ra a < a < 1.

V y ậ

20chữsố9 20chữsố9
0,999...99 0,999...9914 2 43 = 14 2 43 .

69. a) Tìm giá tr l n nh t. Áp d ng | a + b | ≥ | a | + | b |.ị ớ ấ ụ

A ≤ | x | + 2 + | y | + 1 = 6 + 2 ⇒ max A = 6 + 2 (khi ch ng h n x = - 2, y = - 3)ẳ ạ
b) Tìm giá tr nh nh t. Áp d ng | a – b | ≥ | a | - | b .ị ỏ ấ ụ

A ≥ | x | - 2 | y | - 1 = 4 - 2 ⇒ min A = 4 - 2 (khi ch ng h n x = 2, y = 3)ẳ ạ
70. Ta có : x4 + y4 ≥ 2x2y2 ; y4 + z4 ≥ 2y2z2 ; z4 + x4 ≥ 2z2x2. Suy ra :

x4 + y4 + z4 ≥ x2y2 + y2z2 + z2x2 (1)

M t khác, d dàng ch ng minh đặ ễ ứ ược : N u a + b + c = 1 thì aế 2 + b2 + c2 ≥ 1

Do đó t gi thi t suy ra : xừ ả ế 2y2 + y2z2 + z2x2 ≥ 1

3 (2).

T (1) , (2) : min A = ừ 1

3 ⇔ x = y = z =
3
3

71. Làm nh bài 8c (§ 2). Thay vì so sánh ư n+ n 2 và 2 n+1+ ta so sánh n 2+ − n 1+ và

n 1+ − n. Ta có : n 2+ − n 1+ < n 1+ − n ⇒ n + n 2 2 n 1+ < + .

72. Cách 1 : Vi t các bi u th c dế ể ứ ướ ấi d u căn thành bình phương c a m t t ng ho c m t hi u.ủ ộ ổ ặ ộ ệ

Cách 2 : Tính A2 r i suy ra A.ồ

73. Áp d ng : (a + b)(a – b) = aụ 2 – b2.

74. Ta ch ng minh b ng ph n ch ng.ứ ằ ả ứ

a) Gi s t n t i s h u t ả ử ồ ạ ố ữ ỉ r mà 3+ 5 = r ⇒ 3 + 2 15 + 5 = r2 ⇒

2
r 8
15

−

= . V trái là s vô t ,ế ố ỉ
v ph i là s h u t , vơ lí. V y ế ả ố ữ ỉ ậ 3+ 5 là s vô t .ố ỉ

b), c) Gi i tả ương t .ự

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

⇔

( ) (

3 3 2 > 2 2 2+

)

2 ⇔ 27 8 4 8 2> + + ⇔15 8 2> ⇔ 225 128> . V y a > b là đúng.ậ

b) Bình phương hai v lên r i so sánh.ế ồ

76. Cách 1 : Đ t A = ặ 4+ 7 − 4− 7 , rõ ràng A > 0 và A2 = 2 ⇒ A = 2

Cách 2 : Đ t B = ặ 4+ 7 − 4− 7 − 2 ⇒ 2.B= 8 2 7+ − 8 2 7 2 0− − = ⇒ B =

77. Q 2 3 2.3 2.4 2 4

(

2 3 4

)

(

2 3 4

)

1 2

2 3 4 2 3 4

+ + + + +

+ + + +

= = = +

+ + + + .

78. Vi t ế 40 2 2.5 ; 56 2 2.7 ; 140 2 5.7= = = . V y P = ậ 2+ 5+ 7.
79. T gi thi t ta có : ừ ả ế 2 2

x 1 y− = −1 y 1 x− . Bình phương hai v c a đ ng th c này ta đế ủ ẳ ứ ượ c :
2

y= 1 x− . T đó : xừ 2 + y2 = 1.

80. Xét A2 đ suy ra : 2 ≤ Aể 2 ≤ 4. V y : min A = ậ 2 ⇔ x = ± 1 ; max A = 2 ⇔ x = 0.

81. Ta có : M =

(

a + b

) (

2 ≤ a+ b

) (

2+ a− b

)

2 =2a 2b 2+ ≤ .

a b

max M 2 a b

2
a b 1

 =



= ⇔ ⇔ = =

+ =

 .

82. Xét t ng c a hai s : ổ ủ ố

(

2a b 2 cd+ −

) (

+ 2c d 2 ab+ −

) (

= + −a b 2 ab

) (

+ + −c d 2 cd

)

+ +a c =
=

(

a c+ +

)

(

a− b

) (

2+ c− d

)

2≥ + >a c 0.

83. N= 4 6 8 3 4 2 18+ + + = 12 8 3 4 4 6 4 2 2+ + + + + =
=

(

2 3 2+

)

2+2 2 2 3 2

(

+ + =

)

2

(

2 3 2+ + 2

)

2 =2 3+ 2 2+ .

84. T ừ x y z+ + = xy+ yz+ zx ⇒

(

x− y

) (

2+ y− z

) (

2+ z− x

)

2 =0.
V y x = y = z.ậ

85. Áp d ng b t đ ng th c Cauchy cho 1 và aụ ấ ẳ ứ i ( i = 1, 2, 3, … n ).

86. Áp d ng b t đ ng th c Cauchy v i hai s a + b ≥ 0 và 2ụ ấ ẳ ứ ớ ố ab ≥ 0, ta có :

(

)

a b 2 ab 2 2(a b) ab hay+ + ≥ + a + b ≥2 2(a b) ab+ .
D u “ = “ x y ra khi a = b.ấ ả

87. Gi s a ≥ b ≥ c > 0. Ta có b + c > a nên b + c + 2ả ử bc > a hay

(

b+ c

) ( )

2 > a 2

Do đó : b+ c> a. V y ba đo n th ng ậ ạ ẳ a , b , c l p đậ ược thành m t tam giác.ộ
88. a) Đi u ki n : ab ≥ 0 ; b ≠ 0. Xét hai trề ệ ường h p :ợ

* Trường h p 1 : a ≥ 0 ; b > 0 : ợ A b.( a b) a a b a 1

b b

b. b b

− −

= − = − = − .

* Trường h p 2 : a ≤ 0 ; b < 0 : ợ

2
2

ab b a a a a

A 1 1 2

b b b b

−

= − = − + − = −

− .

b) Đi u ki n : ề ệ

(x 2) 8x 0

x 0
x 0

x 2
2

x 0



 + − ≥

  >

 > ⇔

  ≠




 − ≠



</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

2 2 x 2 . x
(x 2) 8x (x 2) . x

2 x 2 x 2

x
x
−
+ − −
= = =
− −
− .

• N u 0 < x < 2 thì | x – 2 | = -(x – 2) và B = - ế x.

• N u x > 2 thì | x – 2 | = x – 2 và B = ế x

89. Ta có :

(

)

2
2
2

2 2 2

a 1 1

a 2 1

a 1

a 1 a 1 a 1

+ +

+ = = + +

+ + +

. Áp d ng b t đ ng th c Cauchy:ụ ấ ẳ ứ

2 2

1 1

a 1 2 a 1. 2

a 1 a 1

+ + ≥ + =

+ + . V y ậ

2
2
a 2

a+ ≥+1 . Đ ng th c x y ra khi :ẳ ứ ả
2

2
1

a 1 a 0

a 1

+ = ⇔ =

+ .

93. Nhân 2 v c a pt v i ế ủ ớ 2, ta được : 2x 5 3− + + 2x 5 1 4− − = ⇔ 5/2 ≤ x ≤ 3.
94. Ta ch ng minh b ng qui n p toán h c : ứ ằ ạ ọ

a) V i n = 1 ta có : ớ 1

1 1

2 3

= < (*) đúng.

b) Gi s : ả ử k

1 1.3.5...(2k 1) 1
P

2.4.6...2k

2k 1 2k 1

−

< ⇔ <

+ + (1)

c) Ta ch ng minh r ng (*) đúng khi n = k + 1 , t c là : ứ ằ ứ
k 1

1 1.3.5...(2k 1) 1
P

2.4.6...(2k 2)

2k 3 2k 3

< ⇔ <

+ + (2)

V i m i s nguyên dớ ọ ố ương k ta có : 2k 1 2k 1

2k 2 2k 3

+ < +

+ + (3)

Nhân theo t ng v các b t đ ng th c (1) và (3) ta đừ ế ấ ẳ ứ ược b t đ ng th c (2). V y ấ ẳ ứ ậ ∀ n ∈ Z+ ta có

1.3.5...(2n 1) 1
P

2.4.6...2n 2n 1

−

= <

95. Bi n đ i tế ổ ương đương :

2 2 3 3

a b a b

b a ab

+ ≤ + ⇔ + ≤

(

)

2
( a b)(a ab b)

a b ab a ab b a b 0

+ − +

⇔ + ≤ ⇔ ≤ − + ⇔ − ≥ (đúng).

96. Đi u ki n : ề ệ
2

x 4(x 1) 0

1 x 2
x 4(x 1) 0

x 2
x 4(x 1) 0

x 1 0

 − − ≥



< <


 + − ≥ ⇔

  >



− − >


 − ≠


Xét trên hai kho ng 1 < x < 2 và x > 2. K t qu : ả ế ả A 2 và A= 2

1 x x-1

=
−

105. Cách 1 : Tính A 2. Cách 2 : Tính A2

Cách 3 : Đ t ặ 2x 1− = y ≥ 0, ta có : 2x – 1 = y2.

2 2 y 1

y 1 2y y 1 2y

2x 2 2x 1 2x 2 2x 1 y 1

2 2 2 2 2 2

−

+ + + −

+ − − − +

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

V i y ≥ 1 (t c là x ≥ 1), ớ ứ A 1 (y 1 y 1) 2

= + − + = .

V i 0 ≤ y < 1 (t c là ớ ứ 1

2 ≤ x < 1),

1 2y

A (y 1 y 1) y 2 4x 2

2 2

= + + − = = = − .

108. N u 2 ≤ x ≤ 4 thì A = 2ế 2. N u x ≥ 4 thì A = 2ế x 2− .

109. Bi n đ i : ế ổ x y 2+ − + 2= x+ y. Bình phương hai v r i rút g n, ta đế ồ ọ ược :

2(x y 2)+ − = xy. L i bình phạ ương hai v r i rút g n : (2 – y)(x – 2) = 0.ế ồ ọ
Đáp : x = 2 , y ≥ 0 , x ≥ 0 , y = 2.

110. Bi n đ i tế ổ ương đương :

(1) ⇔ a2 + b2 + c2 + d2 + 2

(

a2+b2

) (

c2+d2

)

≥ a2 + c2 + 2ac + b2 + d2 + 2bd

⇔

(

a2+b2

) (

c2+d2

)

≥ ac + bd (2)
* N u ac + bd < 0, (2) đế ược ch ng minh.ứ
* N u ac + bd ≥ 0, (2) tế ương đương v i :ớ

(a2 + b2)(c2 + d2) ≥ a2c2 + b2d2 + 2abcd ⇔ a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 ≥ a2c2 + b2d2 + 2abcd

⇔ (ad – bc)2 ≥ 0 (3). B t đ ng th c (3) đúng, v y b t đ ng th c (1) đấ ẳ ứ ậ ấ ẳ ứ ược ch ng minh.ứ

111. Cách 1 : Theo b t đ ng th c Cauchy :ấ ẳ ứ

2 2 2

a b c 2 a .b c 2.a a a a b c

b c 4 b c 4 2 b c 4

+ + +

+ ≥ = = ⇒ ≥ −

+ + + .

Tương t : ự

2 2

b b a c ; c c a b

a c 4 a b 4

+ +

≥ − ≥ −

+ + .

C ng t ng v 3 b t đ ng th c : ộ ừ ế ấ ẳ ứ

(

)

2 2 2

a b c a b c a b c a b c

b c c a a b 2 2

+ + + +

+ + ≥ + + − =

+ + +

Cách 2 : Theo BĐT Bunhiacôpxki : (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) ≥ (ax + by + cz)2. Ta có :

(

) (

)

2 2 2

a b c

X b c c a a b

b c c a a b

        

+ + + + + + +

        

+ + +

     

 

  ≥

≥

a b c

. b c . c a . a b

b c c a a b

 + + + + + 

 + + + 

 

⇒

[

]

2 2 2 2 2 2

a b c . 2(a b c) (a b c) a b c a b c

b c c a a b b c c a a b 2

 + +  + + ≥ + + ⇒ + + ≥ + +

 + + +  + + +

  .

112. a) Ta nhìn t ng a + 1 dổ ướ ại d ng m t tích 1.(a + 1) và áp d ng bđt Cauchy : ộ ụ xy x y
2

+
≤

(a 1) 1 a

a 1 1.(a 1) 1

2 2

+ +

+ = + ≤ = +

Tương t : ự b 1 b 1 ; c 1 c 1

2 2

+ = + + = +

C ng t ng v 3 b t đ ng th c : ộ ừ ế ấ ẳ ứ a 1 b 1 c 1 a b c 3 3,5
2

+ +

+ + + + + ≤ + = .

D u “ = ” x y ra ấ ả ⇔ a + 1 = b + 1 = c + 1 ⇔ a = b = c = 0, trái v i gi thi t a + b + c = 1.ớ ả ế
V y : ậ a 1+ + b 1+ + c 1 3,5+ < .

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

(

)

(

) (

)

1. a b 1. b c 1. c a+ + + + + ≤ + +(1 1 1)X a b+ + b c+ + c a+ 

  ⇒

(

)

a b+ + b c+ + c a+ ≤ 3(a + b + b + c + c + a) = 6⇒ a b+ + b c+ + c a+ ≤ 6

113. Xét t giác ABCD có AC ứ ⊥ BD, O là giao đi m hai để ường chéo.
OA = a ; OC = b ; OB = c ; OD = d v i a, b, c, d > 0. Ta có :ớ

2 2 2 2 2 2 2 2

AB= a +c ; BC= b +c ; AD= a +d ; CD= b +d

AC = a + b ; BD = c + d. C n ch ng minh : AB.BC + AD.CD ≥ AC.BD.ầ ứ
Th t v y ta có : AB.BC ≥ 2Sậ ậ ABC ; AD.CD ≥ 2SADC. Suy ra :

Suy ra : AB.BC + AD.CD ≥ 2SABCD = AC.BD.

V y : ậ

(

a2+c2

) (

b2+c2

) (

+ a2+d2

) (

b2+d2

)

≥ +(a b)(c d)+ .
Chú ý : Gi i b ng cách áp d ng b t đ ng th c Bunhiacôpxki :ả ằ ụ ấ ẳ ứ

(m2 + n2)(x2 + y2) ≥ (mx + ny)2 v i m = a , n = c , x = c , y = b ta có :ớ

(a2 + c2)(c2 + b2) ≥ (ac + cb)2 ⇒

(

a2+c2

) (

c2+b2

)

≥ ac + cb (1)

Tương t : ự

(

a2+d2

) (

d2+b2

)

≥ ad + bd (2) . C ng (1) và (2) suy ra đpcm.ộ
114. L i gi i saiờ ả :

1 1 1 1

A x x x . Vaäy minA

2 4 4 4

 

= + = +  − ≥ − = −

  .

Phân tích sai l mầ : Sau khi ch ng minh f(x) ≥ - ứ 1

4 , ch a ch ra trư ỉ ường h p x y ra f(x) = - ợ ả
1
4

X y ra d u đ ng th c khi và ch khi ả ấ ẳ ứ ỉ x 1
2

= − . Vô lí.

L i gi i đúngờ ả : Đ t n t i ể ồ ạ x ph i có x ≥ 0. Do đó A = x + ả x ≥ 0. min A = 0 ⇔ x = 0.

115. Ta có

(x a)(x b) x ax+bx+ab ab

A x (a b)

x x x

+ + +  

= = = + + +

  .

Theo b t đ ng th c Cauchy : ấ ẳ ứ x ab 2 ab
x

+ ≥ nên A ≥ 2 ab + a + b =

(

a+ b

)

2.
min A =

(

a+ b

)

2 khi và chi khi

ab
x

x ab
x

x 0

 =

 ⇔ =


 >


.
116. Ta xét bi u th c ph : Aể ứ ụ 2 = (2x + 3y)2. Nh l i b t đ ng th c Bunhiacôpxki :ớ ạ ấ ẳ ứ

(am + bn)2 ≤ (a2 + b2)(m2 + n2) (1)

N u áp d ng (1) v i a = 2, b = 3, m = x, n = y ta có :ế ụ ớ

A2 = (2x + 3y)2 ≤ (22 + 32)(x2 + y2) = 13(x2 + y2).

Vói cách trên ta khơng ch ra đỉ ược h ng s α mà Aằ ố 2 ≤ α. Bây gi , ta vi t Aờ ế 2 dướ ại d ng :

A2 =

(

2. 2x+ 3. 3y

)

2 r i áp d ng (1) ta có :ồ ụ

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

2 2 2

A = 2 + 3    x 2 + y 3 = +(2 3)(2x +3y ) 5.5 25≤ =

   

Do A2 ≤ 25 nên -5 ≤ A ≤ 5. min A = -5 ⇔ x y x y 1

2x 3y 5

 ⇔ = = −

 + =


max A = 5 ⇔ x y x y 1

2x 3y 5

 ⇔ = =

 + =


117. Đi u ki n x ≤ 2. Đ t ề ệ ặ 2 x− = y ≥ 0, ta có : y2 = 2 – x.

a d

b
c

O
D

C
B

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

2 1 9 9 9 1 7

a 2 y y y maxA = y x

2 4 4 4 2 4

 

= − + = − −  + ≤ ⇒ ⇔ = ⇔ =

 

118. Đi u ki n x ≥ 1 ; x ≥ 1/5 ; x ≥ 2/3 ề ệ ⇔ x ≥ 1.

Chuy n v , r i bình phể ế ồ ương hai v : x – 1 = 5x – 1 + 3x – 2 + ế 2 15x2−13x 2+ (3)
Rút g n : 2 – 7x = ọ 2 15x2−13x 2+ . C n có thêm đi u ki n x ≤ 2/7.ầ ề ệ

Bình phương hai v : 4 – 28x + 49xế 2 = 4(15x2 – 13x + 2) ⇔ 11x2 – 24x + 4 = 0

(11x – 2)(x – 2) = 0 ⇔ x1 = 2/11 ; x2 = 2.

C hai nghi m đ u không th a mãn đi u ki n. V y phả ệ ề ỏ ề ệ ậ ương trình đã cho vơ nghi m.ệ
119. Đi u ki n x ≥ 1. Phề ệ ương trình bi n đ i thành :ế ổ

x 1 1− + + x 1 1 2− − = ⇔ x 1− + x 1 1 1− − =

* N u x > 2 thì : ế x 1− + x 1 1 1− − = ⇔ x 1 1x 2− = = , không thu c kho ng đang xét.ộ ả

* N u 1 ≤ x ≤ 2 thì : ế x 1 1− + − x 1 1 2− + = . Vô s nghi m 1 ≤ x ≤ 2ố ệ

K t lu n : 1 ≤ x ≤ 2.ế ậ

120. Đi u ki n : xề ệ 2 + 7x + 7 ≥ 0. Đ t ặ x2+7x 7+ = y ≥ 0 ⇒ x2 + 7x + 7 = y2.

Phương trình đã cho tr thành : 3yở 2 – 3 + 2y = 2 ⇔ 3y2 + 2y – 5 = 0 ⇔ (y – 1)(3y + 5) = 0

⇔ y = - 5/3 (lo i) ; y = 1. V i y = 1 ta có ạ ớ x2+7x 7+ = 1 ⇒ x2 + 7x + 6 = 0 ⇔

⇔ (x + 1)(x + 6) = 0. Các giá tr x = - 1, x = - 6 th a mãn xị ỏ 2 + 7x + 7 ≥ 0 là nghi m c a (1).ệ ủ

121. V trái : ế 3(x 1)+ 2+ +4 5(x 1)+ 2+ ≥9 4+ 9 5= .

V ph i : 4 – 2x – xế ả 2 = 5 – (x + 1)2 ≤ 5. V y hai v đ u b ng 5, khi đó x = - 1. V i giá tr này c hai b tậ ế ề ằ ớ ị ả ấ

đ ng th c này đ u tr thành đ ng th c. K t lu n : x = - 1ẳ ứ ề ở ẳ ứ ế ậ
122. a) Gi s ả ử 3− 2 = a (a : h u t ) ữ ỉ ⇒ 5 - 2 6 = a2 ⇒

2
5 a
6

−

= . V ph i là s h u t , v trái làế ả ố ữ ỉ ế
s vô t . Vơ lí. V y ố ỉ ậ 3− 2 là s vô t .ố ỉ

b) Gi i tả ương t câu a.ự

123. Đ t ặ x 2− = a, 4 x− = b, ta có a2 + b = 2. S ch ng minh a + b ≤ 2. C ng t ng v b t đ ng th c :ẽ ứ ộ ừ ế ấ ẳ ứ

2 2

a 1 b 1

a ; b

2 2

+ +

≤ ≤ .

124. Đ t các đo n th ng BH = a, HC = c trên m t đặ ạ ẳ ộ ường th ng. ẳ
K HA ẻ ⊥ BC v i AH = b. D th y AB.AC ≥ 2Sớ ễ ấ ABC = BC.AH.

125. Bình phương hai v r i rút g n, ta đế ồ ọ ược b t đ ng th c tấ ẳ ứ ương

đương : (ad – bc)2 ≥ 0. Chú ý : Cũng có th ch ng minh b ng b t đ ng th c Bunhiacôpxki.ể ứ ằ ấ ẳ ứ

126. Gi s a ≥ b ≥ c > 0. Theo đ bài : b + c > a. Suy ra : b + c + 2ả ử ề bc > a ⇒

⇒

(

b+ c

) ( )

2> a 2 ⇒ b+ c> a
V y ba đo n th ng có đ dài ậ ạ ẳ ộ b , c , a l p đậ ược thành m t tam giác.ộ
127. Ta có a, b ≥ 0. Theo b t đ ng th c Cauchy :ấ ẳ ứ

(a b) a b a b 1 1

a b ab a b

2 4 2 2 2

+ + + = +  + + ≥  + + 

   

   

C n ch ng minh : ầ ứ ab a b 1

 + + 

 

  ≥ a b b a+ . Xét hi u hai v :ệ ế

1
ab a b

 + + 

 

  - ab a

(

+ b

)

ab a b a b

 + + − − 

 

  = =

2 2

1 1

ab a b

2 2

    

− + −

    

   

 

  ≥ 0

X y ra d u đ ng th c : a = b = ả ấ ẳ ứ 1

4 ho c a = b = 0.ặ

c
a

b

C
B

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

128. Theo b t đ ng th c Cauchy : ấ ẳ ứ b c.1 b c 1 :2 b c a

a a 2a

+ ≤ + +  = + +

 

  .

Do đó : a 2a

b c a b c+ ≥ + + . Tương t : ự

b 2b ; c 2c

a c a b c+ ≥ + + a b a b c+ ≥ + +

C ng t ng v : ộ ừ ế a b c 2(a b c) 2

b c c a a b a b c

+ +

+ + ≥ =

+ + + + + .

X y ra d u đ ng th c : ả ấ ẳ ứ

a b c

b c a a b c 0
c a b

= +


 = + ⇒ + + =


 = +



, trái v i gi thi t a, b, c > 0.ớ ả ế
V y d u đ ng th c không x y ra.ậ ấ ẳ ứ ả

129. Cách 1 : Dùng b t đ ng th c Bunhiacơpxki. Ta có :ấ ẳ ứ

(

)

(

) (

)

2 2 2 2 2 2

x 1 y− +y 1 x− ≤ x −y 1 y− + −1 x .
Đ t xặ 2 + y2 = m, ta được : 12 ≤ m(2 - m) ⇒ (m – 1)2 ≤ 0 ⇒ m = 1 (đpcm).

Cách 2 : T gi thi t : ừ ả ế x 1 y− 2 = −1 y 1 x− 2. Bình phương hai v :ế

x2(1 – y2) = 1 – 2y 1 x− 2 + y2(1 – x2) ⇒ x2 = 1 – 2y 1 x− 2 + y2

0 = (y - 1 x− 2)2 ⇒ y = 1 x− 2 ⇒ x2 + y2 = 1 .

130. Áp d ng | A | + | B | ≥ | A + B | . min A = 2 ụ ⇔ 1 ≤ x ≤ 2 .

131. Xét A2 = 2 + 2 1 x− 2. Do 0 ≤ 1 x− 2 ≤ 1 ⇒ 2 ≤ 2 + 2 1 x− 2 ≤ 4

⇒ 2 ≤ A2 ≤ 4. min A = 2 v i x = ± 1 , max A = 2 v i x = 0.ớ ớ

132. Áp d ng b t đ ng th c : ụ ấ ẳ ứ a2+b2+ c2+d2 ≥ (a c)+ 2+ +(b d)2 (bài 23)

2 2 2 2 2 2

A = x + +1 (1 x)− +2 ≥ (x 1 x)+ − + +(1 2) = 10

1 x 1

minA 10 2 x

x 3

−

= ⇔ = ⇔ = .

133. T p xác đ nh : ậ ị
2
2

x 4x 12 0 (x 2)(6 x) 0

1 x 3
(x 1)(3 x) 0

x 2x 3 0

− + + ≥  + − ≥

 ⇔ ⇔ − ≤ ≤

  + − ≥

− + + ≥

 

 (1)

Xét hi u : (- xệ 2 + 4x + 12)(- x2 + 2x + 3) = 2x + 9. Do (1) nên 2x + 9 > 0 nên A > 0.

Xét : A2=

(

(x 2)(6 x)+ − − (x 1)(3 x)+ −

)

2. Hi n nhiên Aể 2 ≥ 0 nh ng d u “ = ” khơng x y ra (vì A > 0).ư ấ ả

Ta bi n đ i Aế ổ 2 dướ ại d ng khác :

A2 = (x + 2)(6 – x) + (x + 1)(3 – x) - 2 (x 2)(6 x)(x 1)(3 x)+ − + − =

= (x + 1)(6 – x) + (6 – x) + (x + 2)(3 – x) – (3 – x) - 2 (x 2)(6 x)(x 1)(3 x)+ − + −

= (x + 1)(6 – x) + (x + 2)(3 – x) - 2 (x 2)(6 x)(x 1)(3 x)+ − + − + 3
=

(

(x 1)(6 x)+ − − (x 2)(3 x)+ −

)

2+3.

A2 ≥ 3. Do A > 0 nên min A = 3 v i x = 0.ớ

134. a) Đi u ki n : xề ệ 2 ≤ 5.

* Tìm giá tr l n nh t ị ớ ấ : Áp d ng b t đ ng th c Bunhiacôpxki :ụ ấ ẳ ứ

A2 = (2x + 1. 5 x− 2 )2 ≤ (22 + 11)(x2 + 5 – x2) = 25 ⇒ A2 ≤ 25.

2 2 2

2 2

x 0

x 5 x

A 25 2 x 4(5 x ) x 2

x 5 x 5

≥


 = − 



= ⇔  ⇔  = − ⇔ =

 ≤  ≤

 

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

* Tìm giá tr nh nh tị ỏ ấ : Chú ý r ng tuy t Aằ ừ 2 ≤ 25, ta có – 5 ≤ x ≤ 5, nh ng không x y ra ư ả

A2 = - 5. Do t p xác đ nh c a A, ta có xậ ị ủ 2 ≤ 5 ⇒ - 5 ≤ x ≤ 5. Do đó : 2x ≥ - 2 5 và

5 x− ≥ 0. Suy ra :A = 2x + 5 x− 2 ≥ - 2 5. Min A = - 2 5 v i x = -ớ 5
b) Xét bi u th c ph | A | và áp d ng các b t đ ng th c Bunhiacôpxki và Cauchy :ể ứ ụ ụ ấ ẳ ứ

(

)

2 2

A x 99. 99 1. 101 x x (99 1)(99 101 x ) x .10. 200 x
x 200 x

10. 1000

= + − ≤ + + − = − <

+ −

< =

2 2

x 101

99 99

A 1000 x 10

1 101 x

x 200 x

 ≤



= ⇔  = ⇔ = ±

−


 = −



. Do đó : - 1000 < A < 1000.

min A = - 1000 v i x = - 10 ; max A = 1000 v i x = 10.ớ ớ
135. Cách 1 : A = x + y = 1.(x + y) = a b

(

x y

)

a ay bx b

x y x y

 +  + = + + +

 

  .

Theo b t đ ng th c Cauchy v i 2 s dấ ẳ ứ ớ ố ương : ay bx 2 ay bx. 2 ab
x + y ≥ x y = .

Do đó A a b 2 ab≥ + + =

(

a + b

)

(

)

2
min A= a + b v i ớ

ay bx

x y

x a ab
a b

x y y b ab

x, y 0

 =




 = +

 + = ⇔ 

 

= +


 

 >




Cách 2 : Dùng b t đ ng th c Bunhiacôpxki :ấ ẳ ứ

(

)

a b a b

A (x y).1 (x y) x. y. a b

x y x y

 

= + = +  + ≥ +  = +

    .

T đó tìm đừ ược giá tr nh nh t c a A.ị ỏ ấ ủ

136. A = (x + y)(x + z) = x2 + xz + xy + yz = x(x + y + z) + yz ≥2 xyz(x y z) 2+ + =

min A = 2 khi ch ng h n y = z = 1 , x = ẳ ạ 2 - 1.
137. Theo b t đ ng th c Cauchy : ấ ẳ ứ xy yz 2 xy yz. 2y

z + x ≥ z x = .

Tương t : ự yz zx 2z ; zx xy 2x

x + y ≥ y + z ≥ . Suy ra 2A ≥ 2(x + y + z) = 2.

min A = 1 v i x = y = z = ớ 1

138. Theo bài t p 24 : ậ

2 2 2

x y z x y z

x y y z z x 2

+ +

+ + ≥

+ + + . Theo b t đ ng th c Cauchy :ấ ẳ ứ

xy yz zx

x y y z z x x+y+z 1

xy ; yz ; zx nên

2 2 2 2 2 2

+ +

+ ≥ + ≥ + ≥ ≥ = .

min A = 1

1
x y z

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

139. a) A=

(

a + b

) (

2 ≤ a + b

) (

2+ a − b

)

2 =2a 2b 2+ ≤ .

a b

max A 2 a b

2
a b 1

 =



= ⇔  ⇔ = =

+ =


b) Ta có :

(

a + b

) (

4 ≤ a+ b

) (

4+ a − b

)

4 =2(a2+b2+6ab)
Tương t : ự

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

4 4

2 2 2 2

4 4

2 2 2 2

2 2

a c 2(a c 6ac) ; a d 2(a d 6ad)

b c 2(b c 6bc) ; b d 2(b d 6bd)

c d 2(c d 6cd)

+ ≤ + + + ≤ + +

+ ≤ + +

Suy ra : B ≤ 6(a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd) = 6(a + b + c + d)2 ≤ 6

a b c d

max B 6 a b c d

4
a b c d 1

 = = =



= ⇔  ⇔ = = = =

+ + + =


140. A 3= + ≥x 3y 2. 3 .3x y =2 3x y+ =2. 34 =18. min A = 18 v i x = y = 2.ớ
141. Khơng m t tính t ng quát, gi s a + b ≥ c + d. T gi thi t suy ra :ấ ổ ả ử ừ ả ế

a b c d
b c

+ + +

+ ≥ .

b c b c c c a b c d c d c d

c d a b c d c d a b 2(c d) c d a b

+   + + +  + + 

= + = − − ≥ − − 

+ + +  + +  +  + + 

Đ t a + b = x ; c + d = y v i x ≥ y > 0, ta có :ặ ớ

x y y y x 1 y x y 1 x y 1 1

A 1 2. . 2

2y y x 2y 2 x 2y x 2 2y x 2 2

 

≥ − + = + − + = + − ≥ − = −

 

min A 2 d 0 , x y 2 , b c a d
2

= − ⇔ = = + ≥ + ; ch ng h n khiẳ ạ

a= 2 1, b+ = 2 1,c 2,d 0− = =

142. a) (x 3)− 2+( x − 3)2 =0. Đáp s : x = 3.ố

b) Bình phương hai v , đ a v : (xế ư ề 2 + 8)(x2 – 8x + 8) = 0. Đáp s : x = 4 + 2ố 2.

c) Đáp s : x = 20.ố

d) x 1 2− = + x 1+ . V ph i l n h n v trái. Vô nghi m.ế ả ớ ơ ế ệ

e) Chuy n v : ể ế x 2 x 1 1− − = + x 1− . Bình phương hai v . Đáp s : x = 1.ế ố
g) Bình phương hai v . Đáp s : ế ố 1

2 ≤ x ≤ 1

h) Đ t ặ x 2− = y. Đ a v d ng ư ề ạ y 2− + −y 3 = 1. Chú ý đ n b t đ ng th c :ế ấ ẳ ứ

y 2− + − ≥ − + − =3 y y 2 3 y 1. Tìm được 2 ≤ y ≤ 3. Đáp s : 6 ≤ x ≤ 11.ố
i) Chuy n v :ể ế x+ 1 x− = −1 x , r i bình phồ ương hai v . Đáp : x = 0 (chú ý lo i x = ế ạ 16

25)‌

k) Đáp s : ố 16

25 .‌

l) Đi u ki n : x ≥ 1 ho c x = - 1. Bình phề ệ ặ ương hai v r i rút g n :ế ồ ọ

2 2

2 2(x 1) (x 3)(x 1)+ + − =x −1.

Bình phương hai v : 8(x + 1)ế 2(x + 3)(x – 1) = (x + 1)2(x – 1)2 ⇔ (x + 1)2(x – 1)(7x + 25) = 0

25
x

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

m) V trái l n h n x, v ph i không l n h n x. Phế ớ ơ ế ả ớ ơ ương trình vơ nghi m.ệ

n) Đi u ki n : x ≥ - 1. Bình phề ệ ương hai v , xu t hi n đi u ki n x ≤ - 1. Nghi m là : x = - 1.ế ấ ệ ề ệ ệ

o) Do x ≥ 1 nên v trái l n h n ho c b ng 2, v ph i nh h n ho c b ng 2. Suy ra hai v b ng 2, khi đó xế ớ ơ ặ ằ ế ả ỏ ơ ặ ằ ế ằ
= 1, th a mãn phỏ ương trình.

p) Đ t ặ 2x 3+ + x 2+ =y ; 2x 2+ − x 2+ =z (1). Ta có :

2 2

y − = +z 1 2 x 2 ; y z 1 2 x 2+ + = + + . Suy ra y – z = 1.
T đó ừ z= x 2+ (2). T (1) và (2) tính đừ ược x. Đáp s : x = 2 (chú ý lo i x = - 1).ố ạ

q) Đ t 2xặ 2 – 9x + 4 = a ≥ 0 ; 2x – 1 ≥ b ≥ 0. Phương trình là : a 3 b+ = a 15b+ . Bình phương hai vế

r i rút g n ta đồ ọ ược : b = 0 ho c b = a. Đáp s : ặ ố 1 ; 5
2

144. Ta có :

(

)

(

2 k 1

)(

) (

)

1 2 2

2 k 1 k

k 2 k k k 1 k 1 k k 1 k

+ −

= > = = + −

+ + + + + − .

V y : ậ 1 1 1 ... 1 2( 2 1) 2( 3 2) 2( 4 3) ... 2( n 1 n )

2 3 n

+ + + + > − + − + − + + + − =

= 2( n 1 1)+ − (đpcm).

150. Đ a các bi u th c dư ể ứ ướ ấi d u căn v d ng các bình phề ạ ương đúng. M = -2
151. Tr c căn th c m u t ng h ng t . K t qu : A = ụ ứ ở ẫ ừ ạ ử ế ả n - 1.

152. Ta có : 1 ( a a 1) P ( 2 2n 1)

a− a 1+ = − + + ⇒ = − + + .

P không ph i là s h u t (ch ng minh b ng ph n ch ng).ả ố ữ ỉ ứ ằ ả ứ
153. Ta hãy ch ng minh : ứ 1 1 1 A 9

(n 1) n n n 1+ + + = n − n 1+ ⇒ =

154. 1 1 1 1 ... 1 1 .n n

2 3 4 n n

+ + + + + > = .

155. Ta có a + 1 = 17. Bi n đ i đa th c trong ngo c thành t ng các lũy th a c s a + 1ế ổ ứ ặ ổ ừ ơ ố
A = [(a + 1)5 – 3(a + 1)4 – 15(a + 1)3 + 52(a + 1)2 – 14(a + 1)]2000

= (259 17 - 225 17 - 34 17 - 1)2000 = 1.

156. Bi n đ i : ế ổ a a 1 1 ; a 2 a 3 1

a a 1 a 2 a 3

− − = − − − =

+ − − + − .

157.

2 2

2 1 2 1 1 1 1

x x x x x x x x 0

2 4 4 2 2

   

− + = − + + − + = −  + −  ≥

    .

D u “ = “ không x y ra vì khơng th có đ ng th i : ấ ả ể ồ ờ x 1 và x 1

2 2

= = .

168. Trước h t ta ch ng minh : ế ứ a b+ ≤ 2(a2+b )2 (*) (a + b ≥ 0)
Áp d ng (*) ta có : ụ S= x 1− + y 2− ≤ 2(x 1 y 2)− + − = 2

3
x

x 1 y 2 2

max S 2

x y 4 5

y
2

 =


− = −

 

= ⇔  + = ⇔ 

  =



* Có th tính Sể 2 r i áp d ng b t đ ng th c Cauchy.ồ ụ ấ ẳ ứ

180. Ta ph i có ả | A | ≤ 3. D th y A > 0. Ta xét bi u th c : ễ ấ ể ứ B 1 2 3 x2
A

= = − − . Ta có :

2 2 2

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

min B 2= − 3 ⇔ 3= 3 x− ⇔ =x 0. Khi đó max A 1 2 3

2 3

= = +

− ⇔

⇔ max B 2= ⇔ 3 x− 2 = ⇔ = ±0 x 3. Khi đó min A = 1

181. Đ áp d ng b t đ ng th c Cauchy, ta xét bi u th c : ể ụ ấ ẳ ứ ể ứ B 2x 1 x

1 x x

−

= +

− . Khi đó :

2x 1 x
(1)
2x 1 x

B 2 . 2 2 . B 2 2 1 x x

1 x x 0 x 1 (2)

−

 =

− 

≥ − = = ⇔  −

 < <


Gi i (1) : 2xả 2 = (1 – x)2 ⇔ | x 2 | = | 1 – x |. Do 0 < x < 1 nên x 2 = 1 – x ⇔

⇔ x = 1 2 1

2 1+ = − .

Nh v y min B = 2ư ậ 2 ⇔ x = 2 - 1.

Bây gi ta xét hi u : ờ ệ A B 2 1 2x 1 x 2 2x 1 1 x 2 1 3

1 x x 1 x x 1 x x

− − − +

   

− = +  − + = + = + =

− − −

   

Do đó min A = 2 2 + 3 khi và ch khi x = ỉ 2 - 1.

182. a) Đi u ki n : x ≥ 1 , y ≥ 2. B t đ ng th c Cauchy cho phép làm gi m m t t ng : ề ệ ấ ẳ ứ ả ộ ổ

a b

+ ≥ . đây ta mu n làm tăng m t t ng. Ta dùng b t đ ng th c : Ở ố ộ ổ ấ ẳ ứ a b+ ≤ 2(a2+b )2
A= x 1− + y 2− ≤ 2(x 1 y 3)− + − = 2

x 1 y 2 x 1,5
max A 2

x y 4 y 2,5

− = − =

 

= ⇔  ⇔ 

+ = =

 

Cách khác : Xét A2 r i dùng b t đ ng th c Cauchy.ồ ấ ẳ ứ

b) Đi u ki n : x ≥ 1 , y ≥ 2. B t đ ng th c Cauchy cho phép làm tr i m t tích : ề ệ ấ ẳ ứ ộ ộ ab a b
2

+
≤

Ta xem các bi u th c ể ứ x 1 , y 2− − là các tích : x 1 1.(x 1) , y 2 2(y 2)
2

−

− = − − =

Theo b t đ ng th c Cauchy : ấ ẳ ứ x 1 1.(x 1) 1 x 1 1

x x 2x 2

− = − ≤ + − =

y 2 2.(y 2) 2 y 2 1 2

y y 2 2y 2 2 2 4

− = − ≤ + − = =

x 1 1 x 2

1 2 2 2

max B

y 2 2 y 4

2 4 4

− = =

 

= + = ⇔  ⇔ 

− = =

 

183. a 1 , b 1

1997 1996 1998 1997

= =

+ + . Ta th y ấ 1997+ 1996 < 1998+ 1997

Nên a < b.

184. a) min A = 5 - 2 6 v i x = 0. max A = ớ 1

5 v i x = ± ớ 6.

b) min B = 0 v i x = 1 ± ớ 5. max B = 5 v i x = 1ớ
185. Xét – 1 ≤ x ≤ 0 thì A ≤ 0. Xét 0 ≤ x ≤ 1 thì

2 2

2 2 x (1 x ) 1

A x (1 x )

2 2

+ −

= − ≤ = .

2 2

x 1 x

1 2

max A x

2 x 0 2

 = −

= ⇔  ⇔ =

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

186. A = | x – y | ≥ 0, do đó A l n nh t khi và chi khi Aớ ấ 2 l n nh t. Theo bđt Bunhiacôpxki :ớ ấ

2 2 1 1 2 2 5

A (x y) 1.x .2y 1 (x 4y )

2 4 4

   

= − = −  ≤ +  + =

   

2 2

2 5

2y 1 x

5 5

max A = x 2

2 5

x 4y 1 y

10

 = −  = −
 
⇔  ⇔ 
 + =  =
 

ho c ặ

2 5
x
5
5
y
10

=


 = −


187. a) Tìm giá tr l n nh tị ớ ấ : T gi thi t : ừ ả ế

3 2

3 3 2 2

3 2

0 x 1 x x

x y x y 1

0 y 1 y y



≤ ≤ ≤
 ⇔  ⇔ + ≤ + =
 ≤ ≤ 
≤

 
3 2
3 2
x x

max A 1 x 0, y 1 V x 1, y 0

y y
 =

= ⇔  ⇔ = = = =
=


b) Tìm giá tr nh nh tị ỏ ấ : (x + y)2 ≤ 2(x2 + y2) = 2 ⇒ x + y ≤ 2 x y 1

⇒ ≤ . Do đó :

(

3 3

)

(

)

3 3 x y x y

x y

+ +

+ ≥ . Theo b t đ ng th c Bunhiacôpxki :ấ ẳ ứ

( ) ( )

2 2

( ) ( )

2 2

(

)

3 3 3 3 3 3

(x +y )(x y)+ = x + y    x + y  ≥ x . x + y . y

 

  = (x

2 + y2) = 1

1 2

min A x y

2
2

= ⇔ = =

188. Đ t ặ x =a ; y =b, ta có a, b ≥ 0, a + b = 1.

A = a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) = a2 – ab + b2 = (a + b)2 – 3ab = 1 – 3ab.

Do ab ≥ 0 nên A ≤ 1. max A = 1 ⇔ a = 0 ho c b = 0 ặ ⇔ x = 0 ho c x = 1, y = 0.ặ
Ta có

(a b) 1 1 1 1 1

ab ab 1 3ab . min A x y

4 4 4 4 4 4

≤ = ⇒ ≤ ⇒ − ≥ = ⇔ = =

189. Đi u ki n : 1 – x ≥ 0 , 2 – x ≥ 0 nên x ≤ 1. Ta có :ề ệ

x 1

1 x (x 1)(x 2) x 2 3

x 2

−

− + − − − − =

−

⇔ 1 x− + (x 1)(x 2)− − − (x 1)(x 2) 3− − = ⇔ 1 x− = ⇔ = −3 x 8.

190. Ta có : 6 + 4x + 2x2 = 2(x2 + 2x + 1) + 4 = 2(x + 1)2 + 4 > 0 v i m i x. V y phớ ọ ậ ương trình xác đ nh v iị ớ

m i giá tr c a x. Đ t ọ ị ủ ặ x2+2x 3+ = y ≥ 0, phương trình có d ng : ạ

y2 - y 2 - 12 = 0 ⇔ (y - 3 2)(y + 2 2) = 0 ⇔ y 3 2

y 2 2 (loai vì y 0

 =


= − ≥



Do đó x2+2x 3+ = 3 2 ⇔ x2 + 2x + 3 = 18 ⇔ (x – 3)(x + 5) = 0 ⇔ x = 3 ; x = -5 .

191. Ta có : 1 k. 1 k 1 1 k 1 1 1 1

(k 1)k k k 1

(k 1) k k k 1 k k 1

  

 

= =  − =  +  − 

+ +

+    +  + 

= 1 k 1 1

k 1 k k 1

  

+ −

 +  + 

 

  . Do đó :

1 1 1

(k 1) k k k 1

 

<  − 

+  + .

V y : ậ 1 1 1 ... 1 2 1 1 2 1 1 ... 2 1 1

2 3 2 4 3 (n 1) n 2 2 3 n n 1

 

   

+ + + + <  − +  − + +  − 

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

= 2 1 1 2

n 1

 − <

 + 

  (đpcm).

192. Dùng b t đ ng th c Cauchy ấ ẳ ứ 1 2

a b

ab > + (a, b > 0 ; a ≠ 0).

193. Đ t x – y = a , ặ x + y = b (1) thì a, b ∈ Q .
a) N u b = 0 thì x = y = 0, do đó ế x , y ∈ Q .
b) N u b ≠ 0 thì ế x y a x y a

b b

x y

− = ⇒ − = ∈

+ Q (2).

T (1) và (2) : ừ x 1 b a Q ; y 1 b a Q

2 b 2 b

   

=  +  ∈ =  −  ∈

    .

199. Nh n xét : ậ

(

x2+a2 +x

)(

x2+a2 −x

)

=a2. Do đó :

(

)

(

) (

2 2

)(

2 2

)

2 2 2 2

5 x a x x a x

2 x x a (1) 2 x x a

x a x a

+ + + −

+ + ≤ ⇔ + + ≤

+ +

Do a ≠ 0 nên : 2 2 2

x +a + >x x + = + ≥x x x 0. Suy ra : x2+a2 + >x 0 , ∀x.

Vì v y : (1) ậ ⇔ 2 2

(

2 2

)

2 2

2 2 2

x 0
x 0

2 x a 5 x a x 5x 3 x a

25x 9x 9a

≤


 >

+ ≤ + − ⇔ ≤ + ⇔ 

 ≤ +



x 0

x a

3 4

0 x a

≤



⇔ ⇔ ≤

 < ≤


207. c) Trước h t tính x theo a đế ược x 1 2a

2 a(1 a)

−
=

− . Sau đó tính 1 x+ 2 được

1
2 a(1 a)− .

Đáp s : B = 1.ố
d) Ta có a2 + 1 = a2 + ab + bc + ca = (a + b)(a + c). Tương t :ự

b2 + 1 = (b + a)(b + c) ; c2 + 1 = (c + a)(c + b). Đáp s : M = 0.ố

208. G i v trái là A > 0. Ta có ọ ế A2 2x 4
x

= . Suy ra đi u ph i ch ng minh.ề ả ứ

209. Ta có : a + b = - 1 , ab = - 1

4 nên : a

2 + b2 = (a + b)2 – 2ab = 1 + 1 3

2 = 2.

a4 + b4 = (a2 + b2)2 – 2a2b2 = 9 1 17

4 9− = 8 ; a

3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = - 1 - 3 7

4 = −4

Do đó : a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4) – a3b3(a + b) = 7 17. 1

( )

1 239

4 8 64 64

 

− − −  − = −

  .

210. a) a2 =( 2 1)− 2 = −3 2 2= 9− 8.

3 3

a =( 2 1)− =2 2 6 3 2 1 5 2 7− + − = − = 50− 49.
b) Theo khai tri n Newtonể : (1 - 2)n = A - B 2 ; (1 + 2)n = A + B 2 v i A, B ớ ∈ N

Suy ra : A2 – 2B2 = (A + B 2)(A - B 2) = [(1 + 2)(1 - 2)]n = (- 1)n.

N u n ch n thì Aế ẵ 2 – 2b2 = 1 (1). N u n l thì Aế ẻ 2 – 2B2 = - 1 (2).

Bây gi ta xét aờ n. Có hai trường h p :ợ

* N u n ch n thìế ẵ : an = ( 2 - 1)n = (1 - 2)n = A - B 2 = 2 2

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

* N u n l thìế ẻ : an = ( 2 - 1)n = - (1 - 2)n = B 2 - A = 2 2

2B − A . Đi u ki nề ệ
2B2 – A2 = 1 được th a mãn do (2).ỏ

211. Thay a = 2 vào phương trình đã cho : 2 2 + 2a + b 2 + c = 0

⇔ 2(b + 2) = -(2a + c).

Do a, b, c h u t nên ph i có b + 2 = 0 do đó 2a + c = 0. Thay b = - 2 , c = - 2a vào phữ ỉ ả ương trình đã cho :
x3 + ax2 – 2x – 2a = 0 ⇔ x(x2 – 2) + a(x2 – 2) = 0 ⇔ (x2 – 2)(x + a) = 0.

Các nghi m phệ ương trình đã cho là: ± 2 và - a.
212. Đ t ặ A 1 1 ... 1

2 3 n

= + + + .

a) Ch ng minh ứ A 2 n 3> − : Làm gi m m i s h ng c a Aả ỗ ố ạ ủ :

(

)

1 2 2

2 k 1 k

k = k + k > k 1+ + k = + − .

Do đó A 2> 

(

− 2+ 3

) (

+ − 3+ 4

)

+ + −...

(

n + n 1+

)

=

(

)

2 n 1 2 2 n 1 2 2 2 n 1 3 2 n 3

= + − = + − > + − > − .

b) Ch ng minhứ A 2 n 2< − : Làm tr i m i s h ng c a A :ộ ỗ ố ạ ủ

(

)

1 2 2

2 k k 1

k = k+ k < k + k 1− = − −

Do đó : A 2< 

(

n− n 1− + +

)

...

(

3− 2

) (

+ 2− 1

)

 =2 n 2− .
213. Kí hi u ệ

a = 6+ 6 ...+ + 6+ 6 có n d u căn. Ta có : ấ

1 2 1 3 2 100 99

a = 6 3 ; a< = 6 a+ < 6 3 3 ; a+ = = 6 a+ < 6 3 3 ... a+ = = 6 a+ < 6 3 3+ = Hi nể
nhiên a100 > 6 > 2. Nh v y 2 < aư ậ 100 < 3, do đó [ a100 ] = 2.

214. a) Cách 1 (tính tr c ti p) : aự ế 2 = (2 + 3)2 = 7 + 4 3.

Ta có 4 3 = 48 nên 6 < 4 3 < 7 ⇒ 13 < a2 < 14. V y [ aậ 2 ] = 13.

Cách 2 (tính gián ti p) : Đ t x = (2 + ế ặ 3)2 thì x = 7 + 4 3 .

Xét bi u th c y = (2 - ể ứ 3)2 thì y = 7 - 4 3. Suy ra x + y = 14.

D th y 0 < 2 - ễ ấ 3 < 1 nên 0 < (2- 3)2 < 1, t c là 0 < y < 1. Do đó 13 < x < 14. ứ

V y [ x ] = 13 t c là [ aậ ứ 2 ] = 13.

b) Đáp s : [ aố 3 ] = 51.

215. Đ t x – y = a ; ặ x+ y=b (1) thì a và b là s h u t . Xét hai trố ữ ỉ ường h p :ợ
a) N u b ≠ 0 thì ế x y a x y a

b b

x y

− = ⇒ − =

+ là s h u t (2). T (1) và (2) ta có :ố ữ ỉ ừ

1 a

x b

2 b

 

=  + 

  là s h u t ; ố ữ ỉ

1 a

y b

2 b

 

=  − 

  là s h u t .ố ữ ỉ

b) N u b = 0 thì x = y = 0, hi n nhiên ế ể x , y là s h u t .ố ữ ỉ

216. Ta có 1 n n 1 1 n 1 1 1 1

n(n 1) n n 1

(n 1) n n n 1 n n 1

  

 

= =  − =  +  − =

+ +

+    +  + 

n 1 1 1 1

1 2

n 1 n n 1 n n 1

    

= +  − <  − 

+  +   + 

  . T đó ta gi i đừ ả ược bài toán.

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

a25 ≥ 25. Th thì : ế

1 2 25

1 1 1 1 1 1

.... ....

a + a + + a ≤ 1+ 2 + + 25 (1). Ta l i có :ạ

1 1 1 1 2 2 2

.... .... 1

25 + 24 + + 2 + 1= 25+ 25 + 24 + 24 + + 2+ 2 + <

(

)

2 2 2

.... 1 2 25 24 24 23 .... 2 1 1

24 24 23 23 2 2

< + + + + = − + − + + − + =

+ + +

(

)

2 25 1 1 9

= − + = (2)

T (1) và (2) suy ra : ừ

1 2 25

1 1 1

.... 9

a + a + + a < , trái v i gi thi t. V y t n t i hai s b ng nhau trong 25ớ ả ế ậ ồ ạ ố ằ

s aố 1 , a2 , … , a25.

218. Đi u ki n : 0 ≤ x ≤ 4. Đ t ề ệ ặ 2+ x = ≥a 0 ; 2− x = ≥b 0.
Ta có : ab = 4 x− , a2 + b2 = 4. Phương trình là :

2 2

a b

2
2 a+ + 2 b− =

⇒ a2 2 - a2b + b2 2 + ab2 = 2(2 - b 2 + a 2 - ab)

⇒ 2(a2 + b2 – 2 + ab) – ab(a – b) = 2(a – b)

⇒ 2(2 + ab) = (a – b)(2 + ab) (chú ý : a2 + b2 = 4)

⇒ a – b = 2 (do ab + 2 ≠ 0)

Bình phương : a2 + b2 – 2ab = 2 ⇒ 2ab = 2 ⇒ ab = 1 ⇒ 4 x− = 1. Tìm được x = 3 .

219. Đi u ki n : 0 < x ≤ 1 , a ≥ 0. Bình phề ệ ương hai v r i thu g n : ế ồ ọ 1 x2 a 1
a 1

−

− =

+ .

V i a ≥ 1, bình phớ ương hai v , cu i cùng đế ố ược : x = 2 a

a 1+ .

Đi u ki n x ≤ 1 th a mãn (theo b t đ ng th c Cauchy).ề ệ ỏ ấ ẳ ứ

K t lu n : Nghi m là x = ế ậ ệ 2 a

a 1+ . V i a ≥ 1.ớ

220. N u x = 0 thì y = 0, z = 0. Tế ương t đ i v i y và z. N u xyz ≠ 0, hi n nhiên x, y, z > 0ự ố ớ ế ể
T h phừ ệ ương trình đã cho ta có : x 2y 2y y

1 y 2 y

= ≤ =

+ .

Tương t ự y ≤ z ; z ≤ x . Suy ra x = y = z. X y ra d u “ = ” các b t đ ng th c trên v i x = y = zả ấ ở ấ ẳ ứ ớ
= 1. K t lu n : Hai nghi m (0 ; 0 ; 0) , (1 ; 1 ; 1).ế ậ ệ

221. a) Đ t A = (8 + 3ặ 7)7. Đ ch ng minh bài toán, ch c n tìm s B sao cho 0 ể ứ ỉ ầ ố

7
1

10 và A + B là

s t nhiên.ố ự

Ch n B = (8 - 3ọ 7)7. D th y B > 0 vì 8 > 3ễ ấ 7. Ta có 8 + 3 7 > 10 suy ra :

(

)

(

)

7 7 7

1 1 1

8 3 7

10 10

8 3 7+ < ⇒ − <

Theo khai tri n Newton ta l i có : A = (8 + 3ể ạ 7)7 = a + b 7 v i a, b ớ ∈ N.

B = (8 - 3 7)7 = a - b 7. Suy ra A + B = 2a là s t nhiên.ố ự

Do 0 B 17
10

< < và A + B là s t nhiên nên A có b y ch s 9 li n sau d u ph y.ố ự ả ữ ố ề ấ ẩ

Chú ý : 10- 7 = 0,0000001.

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

222. Ta th y v i n là s chính phấ ớ ố ương thì n là s t nhiên, n u n khác s chính phố ự ế ố ương thì n là s vơố
t , nên ỉ n khơng có d ng ạ ....,5 . Do đó ng v i m i s n ứ ớ ỗ ố ∈ N* có duy nh t m t s nguyên aấ ộ ố

n g n ầ n nh t.ấ

Ta th y r ng, v i n b ng 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … thì aấ ằ ớ ằ n b ng 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, … Ta s ch ng minh r ng aằ ẽ ứ ằ n l nầ

lượt nh n các giá tr : hai s 1, b n s 2, sáu s 3… Nói cách khác ta s ch ng minh b t phậ ị ố ố ố ố ẽ ứ ấ ương trình :

1 1

1 x 1

2 2

− < < + có hai nghi m t nhiên.ệ ự

1 1

2 x 2

2 2

− < < + có b n nghi m t nhiên.ố ệ ự

1 1

3 x 3

2 2

− < < + có sáu nghi m t nhiên.ệ ự
T ng quát : ổ k 1 x k 1

2 2

− < < + có 2k nghi m t nhiên. Th t v y, b t đ ng th c tệ ự ậ ậ ấ ẳ ứ ương đương v i : kớ 2 –

k + 1

4 < x < k

2 + k + 1

4. Rõ ràng b t phấ ương trình này có 2k nghi m t nhiên là : kệ ự

2 – k + 1 ; k2 – k + 2 ;

… ; k2 + k. Do đó :

{

   

 

   

 

+ + + = + + + + + + + + + + = =

   

 

  1 44 2 4 43  1 4 44 2 4 4 43 

1 2 1980

2 soá 4 soá 88 soá

1 1 ... 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 1 ... 1 2.44 88

a a a 1 1 2 2 2 2 44 44 44 .

223. Gi i tả ương t bài 24.ự

a) 1 < an < 2. V y [ aậ n ] = 1. b) 2 ≤ an ≤ 3. V y [ aậ n ] = 2.

c) Ta th y : 44ấ 2 = 1936 < 1996 < 2025 = 452, còn 462 = 2116.

a1 = 1996 = 44 < a1 < 45.

Hãy ch ng t v i n ≥ 2 thì 45 < aứ ỏ ớ n < 46.

Nh v y v i n = 1 thì [ aư ậ ớ n ] = 44, v i n ≥ 2 thì [ aớ n ] = 45.

224. C n tìm s t nhiên B sao cho B ≤ A ầ ố ự ả ộ ể ược hai s t nhiên liênố ự
ti p.ế

Ta có : (4n + 1)2 < 16n2 + 8n + 3 < (4n + 2)2 ⇒ 4n + 1 < 16n2+8n 3+ < 4n + 2

⇒ 4n2 + 4n + 1 < 4n2 + 16n2+8n 3+ < 4n2 + 4n + 2 < 4n2 + 8n + 4

⇒ (2n + 1)2 < 4n2 + 16n2+8n 3+ < (2n + 2)2.

L y căn b c hai : 2n + 1 < A < 2n + 2. V y [ A ] = 2n + 1.ấ ậ ậ
225. Đ ch ng minh bài toán, ta ch ra s y th a mãn hai đi u ki n : 0 < y < 0,1 ể ứ ỉ ố ỏ ề ệ (1).

x + y là m t s t nhiên có t n cùng b ng 2 ộ ố ự ậ ằ (2).

Ta ch n y = ọ

(

3− 2

)

200. Ta có 0 < 3− 2 < 0,3 nên 0 < y < 0,1. Đi u ki n (1) đề ệ ược ch ng minh.ứ
Bây gi ta ch ng minh x + y là m t s t nhiên có t n cùng b ng 2. Ta có :ờ ứ ộ ố ự ậ ằ

(

) (

200

) (

200

) (

100

)

100
x y+ = 3+ 2 + 3− 2 = +5 2 6 + −5 2 6 .
Xét bi u th c t ng quát Sể ứ ổ n = an + bn v i a = 5 + 2ớ 6 , b = 5 - 2 6.

Sn = (5 + 2 6)n = (5 - 2 6)n

A và b có t ng b ng 10, tích b ng 1 nên chúng là nghi m c a phổ ằ ằ ệ ủ ương trình X2 -10X + 1 = 0, t c là : aứ 2 = 10a

– 1 (3) ; b2 = 10b – 1 (4).

Nhân (3) v i aớ n , nhân (4) v i bớ n : an+2 = 10an+1 – an ; bn+2 = 10bn+1 – bn.

Suy ra (an+2 + bn+2) = 10(an+1 + bn+1) – (an + bn),

t c là Sứ n+2 = 10Sn+1 – Sn , hay Sn+2 ≡- Sn+1 (mod 10)

Do đó Sn+4 ≡ - Sn+2 ≡ Sn (mod 10) (5)

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

T cơng th c (5) ta có Sừ ứ 2 , S3 , … , Sn là s t nhiên, và Số ự 0 , S4 , S8 , … , S100 có t n cùng b ng 2, t c là t ng xậ ằ ứ ổ

+ y là m t s t nhiên có t n cùng b ng 2. Đi u ki n (2) độ ố ự ậ ằ ề ệ ược ch ng minh. T (1) và (2) suy ra đi u ph iứ ừ ề ả
ch ng minh.ứ

226. Bi n đ i ế ổ

(

3+ 2

) (

250= +5 2 6

)

125. Ph n nguyên c a nó có ch s t n cùng b ng 9.ầ ủ ữ ố ậ ằ
(Gi i tả ương t bài 36)ự

227. Ta có :

(

) (

)

A =   1 + +...   3 +  4+ +...   8 +  9+ +...  15 +  16+ +...  24

Theo cách chia nhóm nh trên, nhóm 1 có 3 s , nhóm 2 có 5 s , nhóm 3 có 7 s , nhóm 4 có 9 s . Các sư ố ố ố ố ố
thu c nhóm 1 b ng 1, các s thu c nhóm 2 b ng 2, các s thu c nhóm 3 b ng 3, các s thu c nhóm 4 b ngộ ằ ố ộ ằ ố ộ ằ ố ộ ằ
4.

V y A = 1.3 + 2.5 + 3.7 + 4.9 = 70ậ
228. a) Xét 0 ≤ x ≤ 3. Vi t A dế ướ ại d ng : A = 4.x

2.
x

2.(3 – x). Áp d ng b t đ ng th c Cauchy cho 3 sụ ấ ẳ ứ ố

không âm x

2,
x

2, (3 – x) ta được :
x
2.

2.(3 – x) ≤

3
x x 3 x

2 2 1

 + + − 

 

 

Do đó A ≤ 4 (1)

b) Xét x > 3, khi đó A ≤ 0 (2). So sánh (1) và (2) ta đi đ n k t lu n ế ế ậ

3 x

maxA 4 2 x 2

x 0

 = −


= ⇔  ⇔ =

 ≥



229. a) L p phậ ương hai v , áp d ng h ng đ ng th c (a + b)ế ụ ằ ẳ ứ 3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta được :

x 1 7 x 3. (x 1)(7 x).2 8+ + − + + − = ⇔ (x 1)(7 x) 0+ − = ⇔ x = - 1 ; x = 7 (th a)ỏ
b) Đi u ki n : x ≥ - 1 (1). Đ t ề ệ ặ 3x 2 y ; x 1 z− = + = . Khi đó x – 2 = y2 ; x + 1 = z2

nên z2 – y3 = 3. Phương trình đã cho được đ a v h :ư ề ệ 2 3

y z 3 (2)
z y 3 (3)
z 0 (4)

+ =


 − =


 ≥


Rút z t (2) : z = 3 – y. Thay vào (3) : yừ 3 – y2 + 6y – 6 = 0 ⇔ (y – 1)(y2 + 6) = 0 ⇔ y = 1

Suy ra z = 2, th a mãn (4). T đó x = 3, th a mãn (1). K t lu n : x = 3.ỏ ừ ỏ ế ậ
230. a) Có, ch ng h n : ẳ ạ 1 1 2

2+ 2 = .

b) Không. Gi s t n t i các s h u t dả ử ồ ạ ố ữ ỉ ương a, b mà a+ b= 42. Bình phương hai v :ế
a b 2 ab+ + = 2 ⇒ 2 ab= 2 (a b)− + .

Bình phương 2 v : 4ab = 2 + (a + b)ế 2 – 2(a + b) 2 ⇒ 2(a + b) 2 = 2 + (a + b)2 – 4ab

V ph i là s h u t , v trái là s vơ t (vì a + b ≠ 0), mâu thu n. ế ả ố ữ ỉ ế ố ỉ ẩ
231. a) Gi s ả ử 35 là s h u t ố ữ ỉ m

n (phân s t i gi n). Suy ra 5 = ố ố ả
3
3
m

n . Hãy ch ng minh r ng c m l n nứ ằ ả ẫ

đ u chia h t cho 5, trái gi thi t ề ế ả ế m

n là phân s t i gi n.ố ố ả

b) Gi s ả ử 32+34 là s h u t ố ữ ỉ m

n (phân s t i gi n). Suy ra :ố ố ả

(

)

3 3

3 3 2 3

3 3 3

m 2 4 6 3. 8.m 6 6m m 6n 6mn (1) m 2 m 2

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

Thay m = 2k (k ∈ Z) vào (1) : 8k3 = 6n3 + 12kn2 ⇒ 4k3 = 3n3 + 6kn2. Suy ra 3n3 chia h t cho 2 ế ⇒ n3 chia

h t cho 2 ế ⇒ n chia h t cho 2. Nh v y m và n cùng chia h t cho 2, trái v i gi thi t ế ư ậ ế ớ ả ế m

n là phân s t i gi n.ố ố ả

232. Cách 1 : Đ t a = xặ 3 , b = y3 , c = z3. B t đ ng th c c n ch ng minh ấ ẳ ứ ầ ứ a b c 3abc

+ + ≥ tương đươ ng

v i ớ

3 3 3

x y z xyz hay
3

+ + ≥

x3 + y3 + z3 – 3xyz ≥ 0. Ta có h ng đ ng th c :ằ ẳ ứ

x3 + y3 + z3 – 3xyz = 1

2(x + y + z)[(x – y)

2 + (y – z)2 + (z – x)2]. (bài t p sbt)ậ

Do a, b, c ≥ 0 nên x, y, z ≥ 0, do đó x3 + y3 + z3 – 3xyz ≥ 0. Nh v y : ư ậ a b c 3abc
3

+ + ≥

X y ra d u đ ng th c khi và ch khi a = b = c.ả ấ ẳ ứ ỉ

Cách 2 : Trước h t ta ch ng minh b t đ ng th c Cauchy cho b n s khơng âm. Ta có :ế ứ ấ ẳ ứ ố ố

(

)

a b c d 1 a b c d 1 ab cd ab. cd abcd

4 2 2 2 2

+ + + =  + + + ≥ + ≥ =

 

 

Trong b t đ ng th c ấ ẳ ứ

a b c d abcd
4

+ + +

  ≥

 

  , đ t ặ

a b c
d

+ +

= ta được :
4

4
a b c

a b c a b c a b c a b c

3 abc. abc.

4 3 3 3

+ +

 + + + 

  ≥ + + ⇒  + +  ≥ + +

   

 

 

Chia hai v cho s dế ố ương a b c

+ +

(trường h p m t trong các s a, b, c b ng 0, bài toán đợ ộ ố ằ ược ch ng minh)ứ
:

a b c abc a b c abc

3 3

+ + + +

  ≥ ⇔ ≥

 

  .

X y ra đ ng th c : a = b = c = ả ẳ ứ a b c

+ +

⇔ a = b = c = 1
233. T gi thi t suy ra : ừ ả ế b c d 1 a 1

b 1 c 1 d 1+ + + + + ≤ −a 1 a 1+ = + . Áp d ng b t đ ng th c Cauchy cho 3 sụ ấ ẳ ứ ố

dương : 1 b c d 3.3 bcd

a 1 b 1 c 1 d 1+ ≥ + + + + + ≥ (b 1)(c 1)(d 1)+ + + . Tương t :ự

1 3. acd

b 1 (a 1)(c 1)(d 1)

1 3. abd

c 1 (a 1)(b 1)(d 1)

1 3. abc

d 1 (a 1)(b 1)(c 1)

≥

+ + + +

≥

+ + + +

≥

+ + + +

Nhân t b n b t đ ng th c : ừ ố ấ ẳ ứ 1 81abcd abcd 1
81

≥ ⇒ ≤ .

234. G i ọ

2 2 2

x y z

y z x

= + + . Áp d ng b t đ ng th c Bunhiacôpxki :ụ ấ ẳ ứ
2

2 2 2

x y z x y z

3A (1 1 1)

y z x y z x

   

= + +  + + ≥ + + 

 

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

Áp d ng b t đ ng th c Cauchy v i ba s không âm : ụ ấ ẳ ứ ớ ố x y z 3.3 x y z. . 3
y z x+ + ≥ y z x = (2)

Nhân t ng v (1) v i (2) : ừ ế ớ

x y z x y z x y z

3A 3 A

y z x y z x y z x

 + + ≥  + +  ⇒ ≥ + +

   

   

235. Đ t ặ x= 33+33 ; y= 33−33 thì x3 + y3 = 6 (1). Xét hi u bệ 3 – a3 , ta được :

b3 – a3 = 24 – (x + y)3 = 24 – (x3 + y3) – 3xy(x + y)

Do (1), ta thay 24 b i 4(xở 3 + b3), ta có :

b3 – a3 = 4(x3 + y3) – (x3 + y3) – 3xy(x + y) = 3(x3 + y3) – 3xy(x + y) =

= 3(x + y)(x2 – xy + y2 – xy) = 3(x + y)(x – y)2 > 0 (vì x > y > 0).

V y bậ 3 > a3 , do đó b > a.

236. a) B t đ ng th c đúng v i n = 1. V i n ≥ 2, theo khai tri n Newton, ta có :ấ ẳ ứ ớ ớ ể
n

2 3 n

1 1 n(n 1) 1 n(n 1)(n 2) 1 n(n 1)...2.1 1

1 1 n. . . ... .

n n 2! n 3! n n! n

− − − −

 +  = + + + + +

 

 

< 1 1 1 1 ... 1

2! 3! n!

 

+ + + + + 

 

D dàng ch ng minh : ễ ứ 1 1 ... 1 1 1 ... 1

2! 3!+ + +n! 1.2 2.3≤ + + +(n 1)n− =

= 1 1 1 1 ... 1 1 1 1 1

2 2 3 n 1 n n

− + − + + − = − <

− Do đó

n
1
(1 ) 3

+ <

b) V i n = 2, ta ch ng minh ớ ứ 33> 2 (1). Th t v y, (1) ậ ậ ⇔

( ) ( )

33 6 > 2 6 ⇔ 32 > 22.

V i n ≥ 3, ta ch ng minh ớ ứ nn>n 1+ n 1+ (2). Th t v y :ậ ậ

(

)

n(n 1)

( )

n(n 1) n n

n n 1

n 1 n

(n 1) 1

(2) n 1 n (n 1) n n 1 n

n n

+ + +

+ +  

⇔ + < ⇔ + < ⇔ < ⇔ +  <

  (3)

Theo câu a ta có

n
1

1 3

 +  <

 

  , mà 3 ≤ n nên (3) được ch ng minh.ứ

Do đó (2) được ch ng minh.ứ

237. Cách 1 : A2=2 x

(

2+ +1 x4+x2+ ≥1

)

4. min A = 2 v i x = 0.ớ
Cách 2 : Áp d ng b t đ ng th c Cauchy :ụ ấ ẳ ứ

2 2 4 4 2

A ≥ 2 (x + +x 1)(x − +x 1) = 2 x +x + ≥1 2

min A = 2 v i x = 0.ớ

238. V i x < 2 thì A ≥ 0 (1). V i 2 ≤ x ≤ 4, xét - A = xớ ớ 2(x – 2). Áp d ng b t đ ng th c Cauchy choụ ấ ẳ ứ

ba s không âm :ố

3
x x x 2

A x x. .(x 2) 2 2 2x 2 8

4 2 2 3 3

 + + − 

   − 

− = − ≤   =   ≤

 

 

 

- A ≤ 32 ⇒ A ≥ - 32. min A = - 32 v i x = 4.ớ
239. Đi u ki n : xề ệ 2 ≤ 9.

2 2

2
2 2

2 4 2 2

x x 9 x

x x 2 2

A x (9 x ) 4. . (9 x ) 4 4.27

2 2 3

 + + − 

 

= − = − ≤   =

 

 

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

240. a) Tìm giá tr l n nh t :ị ớ ấ

Cách 1 : V i 0 ≤ x < ớ 6 thì A = x(x2 – 6) ≤ 0.

V i x ≥ ớ 6. Ta có 6 ≤ x ≤ 3 ⇒ 6 ≤ x2 ≤ 9 ⇒ 0 ≤ x2 – 6 ≤ 3.

Suy ra x(x2 – 6) ≤ 9. max A = 9 v i x = 3.ớ

Cách 2 : A = x(x2 – 9) + 3x. Ta có x ≥ 0, x2 – 9 ≤ 0, 3x ≤ 9, nên A ≤ 9.

max A = 9 v i x = 3ớ
b) Tìm giá tr nh nh t :ị ỏ ấ

Cách 1 : A = x3 – 6x = x3 + (2 2)3 – 6x – (2 2)3 == (x + 2 2)(x2 - 2 2x + 8) – 6x - 16 2

= (x + 2 2)(x2 - 2 2x + 2) + (x + 2 2).6 – 6x - 16 2= (x + 2 2)(x - 2)2 - 4 2 ≥ - 4 2.

min A = - 4 2 v i x = ớ 2.

Cách 2 : Áp d ng b t đ ng th c Cauchy v i 3 s không âm :ụ ấ ẳ ứ ớ ố

x3 + 2 2 + 2 2 ≥ 3.3x .2 2.2 23 = 6x.
Suy ra x3 – 6x ≥ - 4 2. min A = - 4 2 v i x = ớ 2.

241. G i x là c nh c a hình vng nh , V là th tích c a hình h p.ọ ạ ủ ỏ ể ủ ộ
C n tìm giá tr l n nh t c a V = x(3 – 2x)ầ ị ớ ấ ủ 2.

Theo b t đ ng th c Cauchy v i ba s dấ ẳ ứ ớ ố ương :
4V = 4x(3 – 2x)(3 – 2x) ≤

3
4x 3 2x 3 2x

+ − + −

 

 

  = 8 max V = 2 ⇔ 4x = 3 – 2x ⇔ x =

1
2

Th tích l n nh t c a hình h p là 2 dmể ớ ấ ủ ộ 3 khi c nh hình vng nh b ng ạ ỏ ằ 1

2 dm.

242. a) Đáp s : 24 ; - 11.ố b) Đ t ặ 32 x a; x 1 b− = − = . Đáp s : 1 ; 2 ; 10.ố
c) L p phậ ương hai v . Đáp s : 0 ; ± ế ố 5

d) Đ t ặ 32x 1− = y. Gi i h : xả ệ 3 + 1 = 2y , y3 + 1 = 2x, được (x – y)(x2 + xy + y2 + 2) = 0

⇔ x = y. Đáp s : 1 ; ố 1 5

− ±

.
e) Rút g n v trái đọ ế ược : 1

(

x x2 4

)

2 − − . Đáp s : x = 4.ố

g) Đ t ặ 37 x a; x 5 b− = 3 − = . Ta có : a3 + b3 = 2, a3 – b3 = 12 – 2x, do đó v ph i c a phế ả ủ ương trình đã

cho là

3 3

a b
2

−

. Phương trình đã cho tr thành : ở a b

a b

−

+ =

3 3

a b
2

−

.
Do a3 + b3 = 2 nên

3 3

a b a b

− = −

+ + ⇒ (a – b)(a3 + b3) = (a + b)(a3 – b3)

Do a + b ≠ 0 nên : (a – b)(a2 – ab + b2 = (a – b)(a2 + ab + b2).

T a = b ta đừ ược x = 6. T ab = 0 ta đừ ược x = 7 ; x = 5.

h) Đ t ặ 3x 1 a; x 1 b+ = 3 − = . Ta có : a2 + b2 + ab = 1 (1) ; a3 – b3 = 2 (2).

T (1) và (2) : a – b = 2. Thay b = a – 2 vào (1) ta đừ ược a = 1. Đáp s : x = 0.ố

i) Cách 1 : x = - 2 nghi m đúng phệ ương trình. V i x + 2 ≠ 0, chia hai v cho ớ ế 3x 2+ .
Đ t ặ 3 x 1 a; x 3 b

x 2 x 2

+ = + =

+ + . Gi i h aả ệ

3 + b3 = 2, a + b = - 1. H này vô nghi m.ệ ệ

Cách 2 : Đ t ặ 3x 2+ = y. Chuy n v : ể ế 3y 13− +3y 13+ = −y. L p phậ ương hai v ta đế ược :

y3 – 1 + y3 + 1 + 3.3y 16− .(- y) = - y3 ⇔ y3 = y. 3y6−1.
V i y = 0, có nghi m x = - 2. V i y ≠ 0, có yớ ệ ớ 2 = 3y6−1. L p phậ ương : y6 = y6 – 1. Vô n

3-2x
3-2x
x

x x

x
x
x
x

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

Cách 3 : Ta th y x = - 2 nghi m đúng phấ ệ ương trình. V i x < - 2, x > - 2, phớ ương trình vơ nghi m, xemệ
b ng dả ưới đây :

x 3x 1+ 3x 2+ 3x 3+ V tráiế
x < - 2

x > - x

< - 1
> - 1

< 0
> 0

< 1
> 1

< 0
> 0
k) Đ t 1 + x = a , 1 – x = b. Ta có : a + b = 2 (1), ặ 4ab+ 4a+4b = 3 (2)
Theo b t đ ng th c Cauchy ấ ẳ ứ mn m n

≤ , ta có

a b 1 a 1 b

3 a. b 1. a 1. b

2 2 2

+ + +

= + + ≤ + + =

1 a 1 b a b

a b 1 1 2 3

2 2 2

+ + +

= + + ≤ + + = + = .

Ph i x y ra d u đ ng th c, t c là : a = b = 1. Do đó x = 0.ả ả ấ ẳ ứ ứ
l) Đ t ặ 4a x m 0; b x n 0− = ≥ 4 − = ≥ thì m4 + n4 = a + b – 2x.

Phương trình đã cho tr thành : m + n = ở 4m4+n4. Nâng lên lũy th a b c b n hai v r i thu g n : 2mn(2mừ ậ ố ế ồ ọ 2

+ 3mn + 2n2) = 0.

Suy ra m = 0 ho c n = 0, còn n u m, n > 0 thì 2mặ ế 2 + 3mn + 2n2 > 0.

Do đó x = a , x = b. Ta ph i có x ≤ a , x ≤ b đ các căn th c có nghĩa.ả ể ứ
Gi s a ≤ b thì nghi m c a phả ử ệ ủ ương trình đã cho là x = a.

243. Đi u ki n đ bi u th c có nghĩa : aề ệ ể ể ứ 2 + b2 ≠ 0 (a và b không đ ng th i b ng 0).ồ ờ ằ

Đ t ặ 3a =x ; b3 =y, ta có :

4 2 2 4 4 2 2 4 2 2

2 2 2 2

x x y y x 2x y y 2x y
A

x xy y x xy y

+ + + + −

= =

+ + + + =

(

2 2

)

2 2

(

2 2

) (

2 2

)

2 2

2 2 2 2

x y (xy) x y xy x y xy

x y xy

x xy y x y xy

+ − + + + −

= = = + −

+ + + + .

V y : ậ A= 3a2 +3 b2 −3ab (v i aớ 2 + b2 ≠ 0).

244. Do A là t ng c a hai bi u th c dổ ủ ể ứ ương nên ta có th áp d ng b t đ ng th c Cauchy :ể ụ ấ ẳ ứ

2 2 2 2 4 2 2

A= x − + +x 1 x + + ≥x 1 2 x − +x 1. x + + =x 1 2 (x − +x 1)(x + +x 1) =

= 4 4 2

2 x +x + ≥2 2. Đ ng th c x y ra khi : ẳ ứ ả

2 2

4 2

x x 1 x x 1

x 0

x x 1 1

 + + = − +

 ⇔ =



+ + =

 .Ta có A ≥ 2, đ ng th c x y ra khi x = 0. V y : min A = 2 ẳ ứ ả ậ ⇔ x = 0.

245. Vì 1 + 3 là nghi m c a phệ ủ ương trình 3x3 + ax2 + bx + 12 = 0, nên ta có :

3(1 + 3)3 + a(1 + 3)2 + b(1 + 3) + 12 = 0.

Sau khi th c hi n các phép bi n đ i, ta đự ệ ế ổ ược bi u th c thu g n :(4a + b + 42) + (2a + b + 18) ể ứ ọ 3 = 0.
Vì a, b∈ Z nên p = 4a + b + 42 ∈ Z và q = 2a + b + 18∈ Z.Ta ph i tìm các s nguyên a, b sao cho p + qả ố 3=
0.

N u q ≠ 0 thì ế 3 = - p

q, vơ lí. Do đó q = 0 và t p + qừ 3 = 0 ta suy ra p = 0.

V y 1 + ậ 3 là m t nghi m c a phộ ệ ủ ương trình 3x3 + ax2 + bx + 12 = 0 khi và ch khi :ỉ

4a b 42 0
2a b 18 0

+ + =



 + + =

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

246. Gi s ả ử 33 là s h u t ố ữ ỉ p
q (

q là phân s t i gi n ). Suy ra : 3 = ố ố ả
3
3
p

q . Hãy ch ng minh c p và q cùngứ ả

chia h t cho 3, trái v i gi thi t ế ớ ả ế p

q là phân s t i gi n.ố ố ả

247. a) Ta có : 31+ 2 =6

(

1+ 2

)

2 =61 2 2 2+ + = 63 2 2+ .
Do đó : 31+ 2 . 3 2 26 − = 63 2 2. 3 2 2+ 6 − = 632−

( )

2 2 2 =1.
b) 69 4 5. 2+ 3 − 5 = −1.

248. Áp d ng h ng đ ng th c (a + b)ụ ằ ẳ ứ 3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta có :

3 3 3 3 2 2

a =20 14 2 20 14 2 3 (20 14 2)(20 14 2).a+ + − + + − ⇔ =a 40 3 20+ −(14 2) .a

⇔ a3 – 6a – 40 = 0 ⇔ (a – 4)(a2 + 4a + 10) = 0. Vì a2 + 4a + 10 > 0 nên ⇒ a = 4.

249. Gi i tả ương t bài 21.ự
250. A = 2 + 3− 2.

251. Áp d ng : (a + b)ụ 3 = a3 + b3 + 3ab(a + b).

T x = ừ 33+39 . Suy ra x3 = 12 + 3.3x ⇔ x3 – 9x – 12 = 0.

252. S d ng h ng đ ng th c (A – B)ử ụ ằ ẳ ứ 3 = A3 – B3 – 3AB(A – B). Tính x3. K t qu M = 0ế ả

253. a) x1 = - 2 ; x2 = 25.

b) Đ t ặ u= 3 x 9 , v- = -x 3 , ta được :

3
3
u v 6
v u 6

 = +




= +

 ⇔ u = v = - 2 ⇒ x = 1.

c) Đ t : ặ 4 x2+32 = >y 0. K t qu x = ± 7.ế ả

254. Đ a bi u th c v d ng : ư ể ứ ề ạ A= x3+ + +1 1 x3+ −1 1. Áp d ng | A | + | B | ≥ | A + B |ụ
min A = 2 ⇔ -1 ≤ x ≤ 0.

255. Áp d ng b t đ ng th c Cauchy hai l n.ụ ấ ẳ ứ ầ
256. Đ t ặ 3 x =y thì x3 2 =y2 ⇒ =P 2 x 23 +

258. Ta có : P=

(

x a−

)

2 +

(

x b−

)

2 = | x – a | + | x – b | ≥ | x – a + b – x | = b – a (a < b).
D u đ ng th c x y ra khi (x – a)(x – b) ≥ 0 ấ ẳ ứ ả ⇔ a ≤ x ≤ b. V y min P = b – a ậ ⇔ a ≤ x ≤ b.
259. Vì a + b > c ; b + c > a ; c + a > b. Áp d ng b t đ ng th c Cauchy cho t ng c p s dụ ấ ẳ ứ ừ ặ ố ương

(a b c) (b c a) (b c a) (c a b)

(a b c)(b c a) b (b c a)(c a b) c

2 2

(c a b) (a b c)

(c a b)(a b c) a

+ − + + − + − + + −

+ − + − ≤ = + − + − ≤ =

+ − + + −

+ − + − ≤ =

Các v c a 3 b t d ng th c trên đ u dế ủ ấ ẳ ứ ề ương. Nhân 3 b t đ ng th c này theo t ng v ta đấ ẳ ứ ừ ế ược b t đ ng th cấ ẳ ứ
c n ch ng minh. Đ ng th c x y ra khi và ch khi :ầ ứ ẳ ứ ả ỉ

a + b – c = b + c – a = c + a – b ⇔ a = b = c (tam giác đ u).ề

260. 2 2

x y− = (x y)− = (x y)+ −4xy = 4 4 2 2+ = .
261. 2A = (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2.

Ta có : c – a = - (a – c) = - [(a – b) + (b – c)] = - ( 2 + 1 + 2 - 1) = - 2 2.
Do đó : 2A = ( 2+ 1)2 + ( 2 - 1)2 + (-2 2)2 = 14. Suy ra A = 7.

262. Đ a pt v d ng : ư ề ạ

(

x 2 1− −

) (

2+ y 3 2− −

) (

2+ z 5 3− −

)

2 =0.
263. N u 1 ≤ x ≤ 2 thì y = 2.ế

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

265. G i các kích thọ ướ ủc c a hình ch nh t là x, y. V i m i x, y ta có : xữ ậ ớ ọ 2 + y2 ≥ 2xy. Nh ng xư 2 + y2 = (8

2)2 = 128, nên xy ≤ 64. Do đó : max xy = 64 ⇔ x = y = 8.

266. V i m i a, b ta ln có : aớ ọ 2 + b2 ≥ 2ab. Nh ng aư 2 + b2 = c2 (đ nh lí Pytago) nên : ị

c2 ≥ 2ab ⇔ 2c2 ≥ a2 +b2 + 2ab ⇔ 2c2 ≥ (a + b)2 ⇔ c 2 ≥ a + b ⇔ c ≥ a b

.
D u đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b.ấ ẳ ứ ả ỉ

267. Bi n đ i ta đế ổ ược :

(

a 'b− ab '

) (

2+ a 'c− ac'

) (

2+ b 'c − bc'

)

2 =0

268. – 2 ≤ x ≤ - 1 ; 1 ≤ x ≤ 2.

</div>

bt boi duong hsg lop 7

<b>PH N I: Đ BÀI </b>

<b>Ầ</b>

<b>Ề</b>

[ ] [ ] [

]

[ ]

[ ]

[ ]

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

) (

) (

) (

)

(

)

(

)

(

) (

) (

) (

) (

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(