SKKN ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10

SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
I. Lời giới thiệu
Hàm số bậc hai là một nội dung quen thuộc, cơ bản đối với học sinh lớp 10 khi học đại số, tuy
nhiên việc đọc đồ thị hàm số, khai thác đồ thị hàm số và đặc biệt là việc ứng dụng đồ thị của hàm số bậc
hai để biện luận phương trình đại số trong phạm vi kiến thức lớp 10 với đa số học sinh vẫn cịn lúng túng
ngay từ những bài ở mức độ thơng hiểu và vận dụng thấp và gây khá nhiều khó khăn đối với hầu hết học
sinh ở lớp bài tập vận dụng cao. Trong khi đó việc ứng dụng đồ thị hàm số bậc hai để biện luận đặc biệt
là biện luận số nghiệm của phương trình đại số lại là nội dung rất hay được sử dụng trong các đề thi
khảo sát chất lượng và cũng xuất hiện trong các đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 10. Đặc biệt trong
những năm gần đây dạng toán đọc đồ thị, khai thác đồ thị là một trong những dạng toán chiếm tỉ lệ lớn
trong đề thi THPT Quốc Gia. Tuy nhiên các sách tham khảo, sách bồi dưỡng về việc ứng dụng đồ thị của
hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số trong phạm vi kiến thức lớp 10 chưa
nhiều, các ví dụ và bài tập vẫn ở những dạng cơ bản nhất chưa có nhiều bài tốn mở rộng, bài tốn đòi
hỏi khai thác đồ thị ở mức vận dụng cao.

Với mong muốn sẽ đem đến thêm cho giáo viên và học sinh tài liệu “Ứng dụng đồ thị của
hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10”, giúp cho học sinh sẽ có
cái nhìn tồn diện hơn, dễ dàng giải quyết lớp bài toán này hơn và tạo điều kiện để học sinh được
tiếp cận dần với dạng toán đọc và khai thác đồ thị của đề thi THPT Quốc Gia nên bằng kinh nghiệm
giảng dạy của bản thân cùng với nguồn bài tập khá phong phú sáng tạo của tập thể giáo viên trên
các nhóm, các diễn đàn mà tơi đã tham gia, tôi đã nghiên cứu, sưu tầm, tập hợp viết sáng kiến kinh
nghiệm: “Ứng dụng đồ thị của hàm số bậc hai để giải và biện luận phương trình đại số lớp 10”.
Sáng kiến kinh nghiệm: “Ứng dụng đồ thị của hàm số bậc hai để giải và biện luận phương
trình đại số lớp 10” tơi viết đã cập nhật được mới, tính thực tế áp dụng trong giai đoạn hiện nay. Có
nhiều ví dụ và bài tập chưa được cơng khai chia sẻ và cũng có bài tập lần đầu được giới thiệu do
bản thân đã khai thác, phát triển từ bài toán gốc thành các bài toán mới.

Do thời gian và khả năng có hạn nên sáng kiến kinh nghiệm tơi viết vẫn cịn nhiều

tồn tại. Kính mong đồng nghiệp và học sinh góp ý để sáng kiến kinh nghiệm của tơi được
hồn thiện hơn và sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích và thú vị cho giáo viên và học sinh.

II.
Tên sáng kiến: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số
nghiệm của phương trình đại số lớp 10
III. Tác giả sáng kiến:
|1


SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10

-

Họ và tên:Vũ Thị Thanh Nga.

-

Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Viết Xuân - Vĩnh Tường - Vĩnh Phúc.

-

Số điện thoại: 0982843827

E_mail:
IV. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Vũ Thị Thanh Nga.
V. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giảng dạy cho học sinh lớp 10.
VI. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: Tháng 11 năm 2019.
VII. Mô tả bản chất của sáng kiến:
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Hàm số bậc hai
1.1. Định nghĩa
Hàm số bậc hai là hàm số có dạng y

ax 2 bx

c với a

0.

Chú ý :
+ Hàm số bậc hai có tập xác định là D.
+

Khi a 0 , b 0 , hàm số trở thành hàm số bậc nhất y bx c .

+

Khi a b 0 , hàm số trở thành hàm hằng y c .

1.2. Bảng biến thiên
a 0

a 0

+ Khi a 0

+ Khi a 0
2.3. Đồ thị
Đồ thị hàm số y

ax 2 bx

c, a

0 là một parabol có:

|2


SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10

+

Trục đối xứng là đường thẳng x2ba .

+

Bề lõm hướng lên trên nếu a 0 , hướng xuống dưới nếu a 0 .

+

Giao điểm với trục tung là M 0;c .

a 0
2. Đồ thị hàm số bậc hai chứa dấu giá trị tuyệt đối
2.1.
Đặt f x ax2

Đồ thị hàm số y ax2

bx c

bx c , a 0

y

Ta có y

f x

Từ đó suy ra cách vẽ đồ thị hàm số C
Lấy đối xứng phần đồ thị y f x phía dưới trục hoành qua trục hoành ( bỏ phần dưới ).
Kết hợp hai phần ta được đồ thị hàm số y

Đồ thị y f x

f x .

Đồ thị y

f x


|3


SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10

2.2. Đồ thị hàm số yax 2 b x c, a 0
Đặt f x ax2

bx c

y ax2

b

Do hàm số

y f

Mặt khác, với x 0 thì y

f x

f x.

Từ đó suy ra cách vẽ đồ thị hàm số C
Giữ nguyên đồ thị y

f

x

từ đồ thị hàm số y f x như sau:
phía bên phải trục tung ( bỏ phần đồ thị bên trái trục
tung ).

Lấy đối xứng phần đồ thị y f x phía bên phải trục tung qua
trục tung. Kết hợp hai phần ta được đồ thị hàm số y f x .

Đồ thị y f x

3. Phép tịnh tiến đồ thị
Định lí: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đồ thị G của hàm số y f x ; p và q là hai số
dương bất kỳ. Khi đó:

1) Tịnh tiến G lên trên q đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số y f x q .
2) Tịnh tiến G xuống dưới q đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số y f x q .
3) Tịnh tiến
được đồ thị của hàm số y

G sang trái p đơn vị thì ta
f x p.


4) Tịnh tiến
được đồ thị của hàm số y

G sang phải p đơn vị thì ta
f x p.

|4


SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10

B. PHƯƠNG PHÁP
1. Bài toán: Dựa vào đồ thị của hàm số y f x biện luận theo tham số m số nghiệm
của phương trình f x g m .

2. Phương pháp:
- Vẽ đồ thịC của hàm số f

x ( có thể phải sử dụng các phép biến đổi đồ thị đã trình bày ở

mục

2 và 3 phần A ).
- Tùy vào giá trị của g m
của đường thẳng d : y
gm
- Số giao điểm của d và C
nghiệm của phương trình f x

để chỉ ra số giao điểm
và C .
cũng chính là số

gm.

*Lưu ý: Đường thẳng d : y g m là đường thẳng có phương ngang và cắt trục
tung tại điểm có tung độ g m .
C. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho hàm số y x2 4x 2 có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Dựa vào đồ thị tìm
các giá trị của tham số m để phương trình x 2 4 x 2 m có 2 nghiệm phân biệt.

Phân tích: Đây là bài tốn đã cho đúng dạng của bài toán gốc nêu trên
nên học sinh dễ dàng vận dụng để tìm lời giải.
Lời giải
Phương trình x2 4x 2 m (1) là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số

P của hàm số y x2 4x 2 và đường thẳng d : y m .
Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của

P và d .

Dựa vào đồ thị ta thấy, u cầu bài tốn m 6 .

Vậy m

6.

Ví dụ 2. Biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình sau: x2

4x 3

m 0.


|5


SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10

Lời giải
Xét phương trình: x 2 4x 3
Đặt y

m

f (x ) x 2 4x 3, (P) và y

0

x 2 4x 3

m (1)

g ( m ) m , (d )

Khi đó số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của Parabol (P) và đường thẳng (d ) .

Dựa vào đồ thị ta có:
+) Nếu m

1

+) Nếu m

1

Phân tích: Bài tốn chưa có đúng dạng của bài tốn gốc nên ta sẽ chuyển
về bài toán gốc bằng cách chuyển tham số sang vế phải ( cô lập tham số ).
Ví dụ 3. Cho hàm số y x2 6x 5 có đồ thị ( P) như nhình vẽ bên dưới. Dựa vào đồ thị, tìm các
giá trị của tham số m để phương trình: 2 x 2 12 x 6m 1 0 có 2 nghiệm phân biệt dương.

Phân tích: Ở Ví dụ 3 giống như Ví dụ 2 nhưng yêu cầu thêm về điều kiện của
nghiệm là hai nghiệm phân biệt dương nên phải lưu ý số giao điểm của parabol và
đường thẳng là hai điểm có hồnh độ dương ( hai điểm nằm bên phải trục tung ).

|6

SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10

Lời giải
Phương trình: 2x

2

12x 6m1

0

x2 6 x 5

11

3m

2 (1).

Phương trình (1) là phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị hàm số P y x 2 6x 5 và
đường thẳng d y

3m

Số nghiệm của phương trình (1) chính bằng số giao điểm của P
Dựa vào đồ thị ta thấy, u cầu bài tốn4 3m
Ví dụ 4. Biện luận theo m số nghiệm phương trình x2
3; 0 .

2x 2

2m

0 trên đoạn

Phân tích: Tương tự như ở Ví dụ 3, bài toán đưa về việc biện luận theo m số giao điểm của
parabol và đường thẳng ứng với hoành độ thuộc đoạn 3; 0 . Lưu ý các nghiệm tại các đầu

mút .

Lời giải

Ta có x 2 2x 2 2m 0
Xét parabol (P ) : y

x 2 2x 2 2m (2) .
f (x )

x2

2x

2 với x3; 0 có

Có đỉnh I 1;3 và parabol có bề lõm quay
xuống. f 3 1, f 0 2 .
Xét đường thẳng

d : y 2m .

Số nghiệm của phương trình (1) trên đoạn
P
Từ đồ thị ta có

3; 0 là số giao điểm của
và d .


|7


SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10

1

Nếu 2 m 1 m 2 thì d và P khơng có điểm chung, tức là phương trình (1)
vơ nghiệm.

1

Nếu 1 2 m 2 2 m 1 thì d cắt P tại 1 điểm, tức là phương trình (1) có 1
nghiệm.
Nếu

2 2m 3 1 m

có 2 nghiệm phân biệt.
Nếu

Nếu 2 m 3 m

3

2m 3 m

2 thì d và P khơng có điểm chung, tức là phương trình (1) vơ

nghiệm.
Kết luận:

Ví dụ 5. Cho hàm số y

x2

2x 3 có đồ thị P .

a) Vẽ đồ th
b) Dựa

x 2 2x 3
Phân tích: Đây vẫn là bài tốn cơ bản nhưng muốn giải quyết tốt bài tốn địi hỏi học
sinh phải thành thạo cách vẽ đồ thị hàm số y ax2

2.1 )
Lời giải
a) Đồ thị P của hàm số y x

2

2x

3

bx c , a 0 ( đã trình bày ở mục


|8


SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10

b) Xét phương trình
Đồ thị P1 : y

x 2 2 x 3 và đường thẳng dm : y

Từ đồ thị P vẽ

P1

+

3 2m ( dm .

bằng cách :

Giữ nguyên phần đồ thị P ở phía trên trục Ox

+ Lấy đối xứng phần đồ thị P
+ Xóa bỏ phần đồ thị

P

ở phía dưới trục Ox qua trục Ox .

ở phía dưới trục Ox .

Vì số nghiệm của 1
dm

bằng số giao điểm của
nên 1 có 3 nghiệm phân biệt khi

P1 và
P1 và

dm cắt nhau tại 3 điểm phân biệt.
Dựa vào đồ thị ta có 3

Vậy, m

1

2

2m4

m

1

2 .

.

Ví dụ 6. Tìm tham số m để phương trình x 2

2 x 2 m4

0 có bốn nghiệm phân biệt.

|9


SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10

Phân tích: Đưa về bài tốn gốc

f x

g m , vận dụng cách vẽ đồ thị hàm số dạng:

y ax2 b x c, a 0 để tìm lời giải.
Lời giải
2

Ta có : x 2 x 2m 4 0

x

2

2 x 3 2m 1 (*).

Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y x2
2 x 3 với đường thẳng y 2m 1.

Vậy để phương trình (*) có bốn nghiệm phân biệt thì đồ thị hàm số y x2 2 x 3
cắt đường thẳng y 2m 1 tại bốn điểm phân biệt.

Dựa vào đồ thị suy ra phương trình (*) có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi :
4

2m1

3

2

5

m

2 .

Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt 2

5

m

2 .

Ví dụ 7. Có bao nhiêu giá trị m nguyên trong nửa khoảng 0;2019 để phương trình x
2

4 x 5 m 0 có hai nghiệm phân biệt?
Phân tích: Dễ dàng đưa phương trình về dạng quen thuộc: x2

4 x 5 m . Lưu ý cách vẽ

đồ thị hàm số y x2 4 x 5 , bản chất là gồm hai bài toán là vẽ đồ thị y

x2

4x

5,

sau đó vẽ đồ thị hàm số

Ta có:

x2 4

x

Số nghiệm phương trình 1 bằng số giao điểm của đồ thị

đường thẳng
Xét hàm số

y x2

4x 5 ta thấy nó


| 10


SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10

Xét hàm số y f x x 2 4 x 5 ta thấy đây là hàm số chẵn nên đồ thị P2 của nó nhận
Oy làm trục đối xứng.
Mà y

x2 4x 5

x 2 4 x 5 nếu x 0 nên P2 gồm hai phần:

-Phần 1: Là phần bên phải Oy của

P1

kể cả giao điểm của P1

và Oy .

-Phần 2 : Là phần đối xứng của phần 1 qua trục Oy .

Tức P2

như hình sau đây:

Xét hàm số y

Tức P

gồm hai phần:

-Phần 3 : Là phần phía trên Ox của P2
và Ox .
-Phần 4: Là phần đối xứng của phần phía dưới Ox của

Tức P

như hình sau đây

kể cả các giao điểm của P2

P2

qua trục Ox .


| 11


SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10

Quan sát

P

m

ta thấy: yêu cầu bài toán
m 0

Do

9

.

m

m 0;2019

Vây có 2010 giá trị của tham số m thỏa yêu cầu bài tốn.
Ví dụ 8. Cho hàm số y f x
ax 2 bx
c có đồ thị C

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f

m3

2

như hình vẽ sau

x

m

2 f(x)

0 có

6 nghiệm phân biệt ?
Phân tích: Rõ ràng nhìn vào phương trình muốn đưa về dạng cơ bản bằng cách cơ lập tham
số m thì bài toán trở nên khá phức tạp, mặt khác dễ nhận ra ngay đây là phương trình bậc

hai ẩn t f x là: t 2

m 2 t m 3 0 nhẩm được hai nghiệm t 1 và t 3 m

và bài toán được đưa về bài toán cơ bản đã biết cách giải.
Lời giải
Trước hết ta vẽ đồ thị C1
của hàm số y f
x :
+ Giữ nguyên phần đồ thị

C

nằm bên phải trục Oy .

| 12

SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10

+ Bỏ đi phần đồ thị C
+ Lấy đối xứng phần đồ thị

nằm bên trái trục Oy .

C

đã giữ lại qua trục Oy .

Ta có f 2

Từ đồ thị
C1
2, x 2 .

ta có phương trình f

x

1 có hai nghiệm là x

Do đó phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt
phương trình f

x

3 m có bốn nghiệm phân biệt khác

2

đường thẳng d : y 3 m cắt đồ thị C1 tại bốn điểm phân biệt khác hai điểm A và B
1 3 m 3 0 m 4 . Do m
nên m 1, 2, 3 .

Vậy m 1, 2, 3 là các giá trị của tham số m cần tìm.

Ví dụ 9. Tìm tất cả các giá trị của tham số m
phân biệt.
Phân tích: Hàm số trong dấu giá trị tuyệt đối y x 4 2x2 là hàm số trùng phương nên dễ
dàng có thể chuyển về hàm bậc hai bằng cách đặt ẩn phụ x2

được đưa về bài toán cơ bản.
Lời giải
Ta đặt x2 u u 0 .

u u 0 khi đó bài tốn


| 13


SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10

Khi đó, phương trình trở thành u 2

2u m *

Để phương trình 1 có bốn nghiệm phân biệt thì phương trình * phải có hai
nghiệm dương phân biệt.
Ta vẽ đồ thị của hàm số y u 2 2u u 0 , số nghiệm của phương trình là số giao
điểm của đồ thị với đường thằng y m .

Từ đồ thị suy ra, phương trình có 4 nghiệm phân biệt khi m

1.

Vậy với m 1 thì phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
Ví dụ 10. Cho phương trình: x2 2 x 2 2 x2 2 x 3 2 m 0 1 . Tìm m để phương trình có
nghiệm.
Phân tích: Bài tốn rất dễ để tìm được ý tưởng giải quyết là đặt ẩn phụ t x 2 2x , t 0 khi
đó phương trình trở thành phương trình bậc hai cô lập được tham số là t 2 2t 3 2m 2 .

Lời giải
x2 2 x

Xét hàm số P : y x2

2

2x 2

2
x 2 2x

Đặt t
Khi đó hàm số: g t t 2

2

2t 3, t 0

| 14


SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10

Dựa vào bảng biến thiên của đồ thị của hàm số g t t 2 2t 3, t 0 , ta thấy phương
trình 1 có nghiệm 2 2 m 1 m .
Ví dụ 11. Tìm tất cả các giá trị của tham số m
3 x

x2 3

6 x

Phân tích: Về ý tưởng tìm lời giải rất rõ ràng: đặt t
thành phương trình bậc hai cơ bản. Điều quan trọng trong bài này là phải
tìm được miền giá trị của t một cách chính xác với điều kiện xác định của x .
Lời giải
Điều kiện 3 x 6 .
Đặt t

3

x

6

x.

Với mọi x3;6

0

3

3
Với t

3 khi x

Suy ra t3;3 .
x2

Ta có

3x 18

Phương trình đã cho trở thành
9 t2

m t2

t
2

Số nghiệm của phương trình
3 t 3 ) và đường thẳng y

2m .

Xét hàm số f t t 2 2t 9 với 3 t 3 có đồ thị như sau

2t 9 2m

3 ; t 3 khi x 6


Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình *
thỏa
3
Dựa vào đồ thị ta có

10

2m 6 5

m

có nghiệm t
t 3.

3.

| 15

SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10

Vậy 5 m 3 là các giá trị của tham số m cần tìm
Ví dụ 12. Cho hàm số y f x có đồ thị C như hình sau

Tìm m để phương trình: f
đoạn 5;1 .

x 1 2 4 f ( x 1) 2 2 m 0 có 6 nghiệm phân biệt thuộc

Phân tích:
Về ý tưởng: Đặt t

f

x 1

2 phương trình đưa về phương trình bậc hai:

1 2
2 t 2t m .
Tìm chính xác miền giá trị của t với x
Xác định được với mỗi giá trị của t thỏa mãn điều kiện sẽ cho
tương ứng với bao nhiêu giá trị của x 5;1 .
Lời giải
Từ đồ thị hàm số y f

x C

ta vẽ đồ thị hàm số

y

f

Tịnh tiến đồ thị C sang trái 1 đơn vị ta được đồ
thị của hàm số y f x 1 .
Tịnh tiến đồ thị hàm số y f x 1 xuống dưới 2 đơn
vị ta được đồ thị hàm số y f x 1 2.
Lấy đối xứng phần phía dưới Ox của đồ thị hàm số
y f
được đồ thị

x 1