Tài liệu Tom tat ly thuyet GT (2)

Tích Phân và Đại số tổ hợp - Trang 1 - Gv soạn: Phạm Văn Luật
Phần 3. TÍCH PHÂN
I . Nguyên hàm và tích phân bất đònh :
1.Nguyên hàm và tích phân bất đònh: Nếu F’(x)=f(x) với ∀x∈(a;b) thì F(x) là một nguyên
hàm của f(x) trên khoảng (a;b). Nếu thêm F’(a
+
) = f(a) và F’(b
−
)=f(b) thì F(x) là một
nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a;b]. Mọi nguyên hàm của f(x) đều có dạng F(x)+C,
trong đó C là hằng số. Tập hợp các nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a;b), gọi là tích
phân bất đònh của f(x) trên khoảng (a;b) và ký hiệu là
∫
dx)x(f
.
Vậy
∫
dx)x(f
= F(x)+C ⇔ F ’(x) = f(x) với ∀x∈(a;b) và C là hằng số.
 Mọi hàm số liên tục trên đoạn [a;b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó.
2.Tính chất:
a)
)'dx)x(f(
∫
= f(x)
b)
∫
dx)x(kf
= k
∫
dx).x(f

k≠0
c)
∫
+
dx)]x(g)x(f[
=
∫
dx)x(f
+
∫
dx)x(g
d)
C)t(Fdt)t(f
+=
∫
⇒
C)u(Fdu)u(f
+=
∫
với u = u(x)
3.Bảng các nguyên hàm:
Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp Nguyên hàm của các hàm số hợp
∫
dx
=x+C
∫
du
=u+C
1
x

dxx
1
+α
=
+α
α
∫
+C, α≠−1
1
u
duu
1
+α
=
+α
α
∫
+C, α≠−1
∫
x
dx
= lnx+ C, x ≠ 0
∫
u
du
= lnu+ C, x ≠ 0
∫
dxe
x
= e

x
+C
∫
due
u
= e
u
+C
∫
=
aln
a
dxa
x
x
+C, 0<a≠1
∫
=
aln
a
dua
u
u
+C, 0<a≠1
∫
xdxcos
= sinx+C
∫
uducos
= sinu+C

∫
xdxsin
= − cosx+C
∫
udusin
= − cosu+C
∫
xcos
dx
2
= tgx+C, x≠
2
π
+kπ và k∈Z
∫
ucos
du
2
= tgu+C, u≠
2
π
+kπ và k∈Z
∫
xsin
dx
2
= − cotgx+C, x≠ kπ và k∈Z
∫
usin
du

2
= − cotgu+C, u≠ kπ và k∈Z
II. Phương pháp đồng nhất:
a.Hai đa thức đồng nhất:
Cho hai đa thức :
f(x) = a
n
x
n
+a
n-1
x
n-1
+...+a
1
x+a
0
(a
n
≠ 0)
g(x) = b
n
x
n
+b
n-1
x
n-1
+...+b
1

x+b
0
(b
n
≠ 0)
Tích Phân và Đại số tổ hợp - Trang 2 - Gv soạn: Phạm Văn Luật





=
=
⇔≡
00
nn
ba
...
ba
)x(g)x(f
b.Phép đồng nhất:
1) Dạng f(x) =
n
)ax(
)x(g
−
( với degg(x) < n):
Phương pháp: Phải tìm n số r
1
, r

2
, r
3
, ..., r
n
sao cho:
f(x) =
ax
r
...
)ax(
r
)ax(
r
n
1n
2
n
1
−
++
−
+
−
−
Kiến thức:
1)
∫∫
−
−

−−
−=−−=
−
1n
n
n
)ax)(1n(
1
)ax(d)ax(
)ax(
dx
+C với 2≤ n∈N
2)
Caxln
ax
)ax(d
ax
dx
+−=
−
−
=
−
∫∫
2) Dạng f(x) =
)bx)(ax(
)x(g
−−
( với degg(x) ≤ 1 ):
Phương pháp: Phải tìm các số A, B sao cho:

f(x) =
)bx)(ax(
)x(g
−−
=
bx
B
ax
A
−
+
−
3) Dạng f(x) =
)cbxax)(x(
)x(g
2
++α−
( với degg(x) < 3 và ∆ =b
2
− 4ac < 0 )
Phương pháp: Phải tìm các số A, B, C sao cho:
f(x) =
cbxax
CBx
x
A
2
++
+
+

α−
4) Dạng khác: Có thể liên quan đến lượng giác,… ta có thể dùng phương pháp đồng nhất
các hệ số của các biểu thức đồng dạng với nhau.
III. Tích phân xác đònh:
1) Đònh nghóa : Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên khoảng K; a,b∈K; F(x) là một
nguyên hàm của f(x) trên K. Hiệu số F(b)−F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của f(x)
và được ký hiệu là
∫
b
a
dx)x(f
. Ta viết :
)a(F)b(F)x(Fdx)x(f
b
a
b
a
−==
∫
(Công thức Niutơn-Laipnit)
Tích Phân và Đại số tổ hợp - Trang 3 - Gv soạn: Phạm Văn Luật
2) Các tính chất của tích phân :
Giả sử các hàm số f(x) và g(x) liên tục trên khoảng K và a,b,c ∈ K.
*
∫
a
a
dx)x(f
=0
*

∫
a
b
dx)x(f
= −
∫
b
a
dx)x(f
*
∫
b
a
dx)x(kf
=k
∫
b
a
dx)x(f
(k∈|R)
*
∫
±
b
a
dx)]x(g)x(f[
=
∫
b
a

dx)x(f
±
∫
b
a
dx)x(g
*
∫
c
a
dx)x(f
=
∫
b
a
dx)x(f
+
∫
c
b
dx)x(f
* f(x) ≥ 0 trên [a;b]⇒
∫
b
a
dx)x(f
≥0
* f(x) ≥ g(x) trên [a;b]⇒
∫
b

a
dx)x(f
≥
∫
b
a
dx)x(g
* m ≤ f(x) ≤ M trên [a;b] ⇒ m(b−a) ≤
∫
b
a
dx)x(f
≤ M(b−a)
* t∈[a;b] ⇒ G(t)=
∫
t
a
dx)x(f
là 1 nguyên hàm của f(t) thỏa G(a)=0.
IV. Các phương pháp tính tích phân xác đònh:
1) Phương pháp đổi biến số : Cho f(x) là một hàm số liên tục trên đoạn [a;b], giả sử cần
tính
∫
b
a
dx)x(f
, khi chưa tìm được trực tiếp nguyên hàm F(x) của f(x) trên đoạn [a;b] .
a) Đổi biến số dạng 1:
Đặt x = u(t)
- Tính dx=u’(t)dt

- Đổi cận x = a
⇒
u(t) = a
⇒
t = α
x = b
⇒
u(t) = b
⇒
t = β
Đổi biến
∫∫
β
α
=
dt)t(gdx)x(f
b
a
và tìm G(t) là một nguyên hàm của g(t) trên
đoạn [α,β]
Tính
∫∫
β
α
=
dt)t(gdx)x(f
b
a
=G(t)
)(G)(G|

α−β=
β
α
b) Đổi biến số dạng 2:
Tích Phân và Đại số tổ hợp - Trang 4 - Gv soạn: Phạm Văn Luật
Đặt t= v(x) ( hoặc biến đổi t= v(x) ⇔ x = u(t))
- Tính dt = v’(x)dx ( hoặc tính dx=u’(t)dt )
- Đổi cận: x = a
⇒
t = v(a) = α
x = b
⇒
t= v(b) = β
Đổi biến
∫∫
β
α
=
dt)t(gdx)x(f
b
a
và tìm G(t) là một nguyên hàm của g(t) trên
đoạn [α,β]
Tính
∫∫
β
α
=
dt)t(gdx)x(f
b

a
= G(t)
)(G)(G|
α−β=
β
α
2) Phương pháp tính tích phân từng phần :
a) Đònh lý: Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b] thì:
∫
b
a
)x(u
.v’(x)dx= u(x) v(x)
−
b
a

∫
b
a
)x(v
.u’(x)dx
hay:
∫ ∫
−=
b
a
b
a
b

a
vduuvudv
b) Cách tính:
• Biến đổi
∫ ∫
=
b
a
b
a
udvdx)x(f
với cách đặt hợp lý :



=
=
⇒



=
=
)x(vv
dx)x('udu
dx)x('vdv
)x(uu
• Biến đổi về:
∫ ∫
−=

b
a
b
a
b
a
vduuvudv
, sau đó tính từng phần uv
∫
b
a
b
a
vdu,|

c) Chú ý : Có thể sử dụng bảng nguyên hàm 2 sau đây để tính tích phân bằng phương
pháp tích phân từng phần (a≠0):
∫
+−=+
)baxcos(
a
1
dx).baxsin(
+ C
)1(a
)bax(
dx)bax(
1
+α
+

=+
+α
α
∫
+C, α≠−
1
∫
+=+
)baxsin(
a
1
dx).baxcos(
+
C
∫
=
+
a
1
bax
dx
lnax+b+ C
∫
+
)bax(cos
dx
2
=
a
1

tg(ax+b) +C
∫
++
=
baxbax
e
a
1
dx.e
+ C
∫
+
)bax(sin
dx
2
= −
a
1
cotg(ax+b)+C
∫
+
−
=
−
ax
ax
ln
a2
1
ax

dx
22
+ C,
Tích Phân và Đại số tổ hợp - Trang 5 - Gv soạn: Phạm Văn Luật
V. Ứng dụng của tích phân :
1.Diện tích hình phẳng:
1) Cho f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Diện tích hình (H) giới hạn bởi y=f(x); y=0 ( trục
Ox) và hai đường thẳng x=a và x=b xác đònh bởi:
S=
∫
b
a
dx.)x(f

Một số lưu ý khi sử dụng công thức này:
a) Nếu f(x) giữ nguyên dấu khi x∈[a;b] thì
∫∫
=
b
a
b
a
dx).x(fdx.)x(f
b) Khi bài toán không cho hai đường thẳng x=a và x=b thì ta lập phương trình
hoành độ giao điểm f(x) = 0 (1) :
 Nếu phương trình này có 2 nghiệm phân biệt thì a=x
1
< x
2
=b.

 Nếu phương trình này có n nghiệm sắp xếp theo thứ tự tăng dần thì :
a= x
1
< x
2
<… < x
n
=b. Để tính diện tích trong trường hợp này ta biến đổi:
S=
∫
b
a
dx.)x(f
=
∫
2
x
a
dx.)x(f
+
∫
3
x
2
x
dx.)x(f
+…+
∫
−
b

1n
x
dx.)x(f
=
∫
2
x
a
dx)x(f
+
∫
3
x
2
x
dx)x(f
+…+
∫
−
b
1n
x
dx)x(f
2) Cho f
1
(x) và f
2
(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Diện tích hình (H) giới hạn bởi y= f
1
(x);

y= f
2
(x) và hai đường thẳng x=a và x=b xác đònh bởi:
S=
∫
−
b
a
21
dx.)x(f)x(f

2. Thể tích vật thể hình học :
1. Cho vật thể (T) đặt trong hệ trục tọa độ Oxyz, sao cho (T) nằm giữa hai mặt phẳng
( α) và (β) đồng thời vuông góc Ox tại x=a và x=b. Gọi S(x) là diện tích của thiết
diện của (T) với mặt phẳng (γ) vuông góc với Ox. Thể tích của (T) được tính bởi:
V=
∫
b
a
dx)x(S
2. Giả sử y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Khi cho hình (H) giới hạn bởi y=f(x); y=0 và
hai đường thẳng x=a và x=b quay một vòng quanh trục Ox, tạo nên hình tròn xoay.
Thể tích hình tròn xoay được tính bởi: V=
∫
π
b
a
2
dxy