11 dạng toán về Phương trình đường thẳng

11 DẠNG TỐN VỀ PHƯƠNG
TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG


I. Tóm tắt lý thuyết phương trình đường thẳng
1. Vectơ pháp tuyến và phương trình tổng quát của đường thẳng
a) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
- Cho đường thẳng (d), vectơ
của vng góc với (d).
* Nhận xét: Nếu

gọi là vectơ pháp tuyến (VTPT) của (d) nếu giá

là vectơ pháp tuyến của (d) thì

cũng là VTPT của (d).

b) Phương trình tổng quát của đường thẳng
* Định nghĩa
- Phương trình (d): ax + by + c = 0, trong đó a và b không đồng thời bằng 0 tức là (a 2 +
b2 ≠ 0) là phương trình tổng quát của đường thẳng (d) nhận
là vectơ pháp tuyến.
* Các dạng đặc biệt của phương trình đường thẳng.
- (d): ax + c = 0 (a ≠ 0): (d) song song hoặc trùng với Oy
- (d): by + c = 0 (b ≠ 0): (d) song song hoặc trùng với Ox
- (d): ax + by = 0 (a2 + b2 ≠ 0): (d) đi qua gốc toạ độ.
- Phương trình dạng đoạn chắn: ax + by = 1 nên (d) đi qua A (a;0) B(0;b) (a,b ≠ 0)
- Phương trình đường thẳng có hệ số góc k: y= kx+m (k được gọi là hệ số góc của đường
thẳng)
2. Vectơ chỉ phương và phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường
thẳng

a) Vectơ chỉ phương của đường thẳng
- Cho đường thẳng (d), vectơ
gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của (d) nếu giá
của song song hoặc trùng với (d).
* Nhận xét: Nếu là vectơ chỉ phương của (d) thì
VTPT vng góc với nhau, vì vậy nếu (d) có VTCP

cũng là VTCP của (d). VTCP và
thì
là VTPT của (d).

b) Phương trình tham số của đường thẳng:
* có dạng:
; (a2 + b2 ≠ 0) đường thẳng (d) đi qua điểm M0(x0;y0) và
nhận
làm vectơ chỉ phương, t là tham số.
* Chú ý: - Khi thay mỗi t ∈ R vào PT tham số ta được 1 điểm M(x;y) ∈ (d).
- Nếu điểm M(x;y) ∈ (d) thì sẽ có một t sao cho x, y thoả mãn PT tham số.
- 1 đường thẳng sẽ có vơ số phương trình tham số (vì ứng với mỗi t ∈ R ta có 1 phương
trình tham số).


c) Phương trình chính tắc của đường thẳng
* có dạng:
; (a,b ≠ 0) đường thẳng (d) đi qua điểm M0(x0;y0) và
nhận
làm vectơ chỉ phương.
d) Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm
- Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A(x A;yA) và B(xB;yB) có dạng:
+ Nếu:

thì đường thẳng qua AB có PT chính tắc là:

+ Nếu: xA = xB: ⇒ AB: x = xA
+ Nếu: yA = yB: ⇒ AB: y = yA
e) Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng
- Cho điểm M(x0;y0) và đường thẳng Δ: ax + by + c = 0, khoảng cách từ M đến Δ được
tính theo cơng thức sau:

3. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng
- Cho 2 đường thẳng (d1): a1x + b1y + c1 = 0; và (d2): a2x + b2y + c =0;
+ d1 cắt d2 ⇔
+ d1 // d2 ⇔

và

hoặc

và

+ d1 ⊥ d2 ⇔
* Lưu ý: nếu a2.b2.c2 ≠ 0 thì:
- Hai đường thẳng cắt nhau nếu:
- Hai đường thẳng // nhau nếu:
- Hai đường thẳng ⊥ nhau nếu:
II. Các dạng tốn về phương trình đường thẳng
Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng khi biết vectơ pháp tuyến và 1 điểm thuộc
đường thẳng

Ví dụ: Viết PT tổng quát của đường thẳng (d) biết (d): đi qua điểm M(1;2) và có
VTPT = (2;-3).
* Lời giải: Vì (d) đi qua điểm M(1;2) và có VTPT

= (2;-3)

⇒ PT tổng quát của đường thẳng (d) là: 2(x-1) - 3(y-2) = 0 ⇔ 2x - 3y +4 = 0
Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng khi biết vectơ chỉ phương và 1 điểm thuộc
đường thẳng

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) biết rằng (d) đi qua điểm M(-1;2) và có
VTCP = (2;-1)
* Lời giải: Vì đường thẳng đi qua M (1 ;-2) và có vtcp là

= (2;-1)

⇒ phương trình tham số của đường thẳng là :
Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 1 đường thẳng

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) biết rằng:
a) đi qua M(3;2) và //Δ:
b) đi qua M(3;2) và //Δ: 2x - y - 1 = 0
* Lời giải:
a) Đường thẳng Δ có VTCP
qua M(3;2)

= (2;-1) vì (d) // Δ nên (d) nhận

= (2;-1) là VTCP, (d)

⇒ PT đường thẳng (d) là:
b) đường thẳng Δ: 2x – y – 1 = 0 có vtpt là
cũng là VTPT của (d).

= (2;-1). Đường thẳng (d) //Δ nên

⇒ PT (d) đi qua điểm M(3;2) và có VTPT
0

= (2;-1) là: 2(x-3) - (y-2) = 0 ⇔ 2x - y -4 =

= (2;-1)


Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vng góc với 1 đường
thẳng

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) biết rằng (d):
a) đi qua M(-2;3) và ⊥ Δ: 2x - 5y + 3 = 0
b) đi qua M(4;-3) và ⊥ Δ:
* Lời giải:
a) Đường thẳng Δ: 2x - 5y + 3 = 0 nên Δ có VTPT là

=(2;-5)

vì (d) vng góc với Δ nên (d) nhận VTPT của Δ làm VTCP ⇒
⇒ PT (d) đi qua M(-2;3) có VTCP
b) Đường thẳng Δ có VTCP
⇒
= (2;-1)

= (2;-5)

= (2;-5) là:

= (2;-1), vì d⊥ Δ nên (d) nhận VTCP

⇒ Vậy (d) đi qua M(4;-3) có VTPT
11 = 0.

làm VTPT

= (2;-1) có PTTQ là: 2(x-4) - (y+3) = 0 ⇔ 2x - y -

Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm
- Đường thẳng đi qua 2 điểm A và B chính là đường thẳng đi qua A nhận nhận
vectơ
làm vectơ chỉ phương (trở về dạng toán 2).
Ví dụ: Viết PTĐT đi qua 2 điểm A(1;2) và B(3;4).
* Lời giải:
- Vì (d) đi qua 2 điểm A, B nên (d) có VTCP là:

= (3-1;4-2) = (2;2)

⇒ Phương trình tham số của (d) là:
Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và có hệ số góc k cho trước
- (d) có dạng: y = k(x-x0) + y0
Ví dụ: Viết PTĐT (d) đi qua M(-1;2) và có hệ số góc k = 3;
* Lời giải:
- PTĐT (d) đi qua M(-1;2) và có hệ số góc k = 3 có dạng: y = k(x-x0) + y0

⇒ Vậy PTĐT (d) là: y = 3(x+1) + 2 ⇔ y = 3x + 5


Dạng 7: Viết phương trình đường trung trực của một đoạn thẳng
- Trung trực của đoạn thẳng AB chính là đường thẳng đi qua trung điểm I của đoạn thẳng
này và nhận vectơ
làm VTPT (trở về dạng tốn 1).
Ví dụ: Viết PTĐT (d) vng góc với đường thẳng AB và đi qua trung tuyến của AB biết:
A(3;-1) và B(5;3)
* Lời giải:
- (d) vng góc với AB nên nhận

= (2;4) làm vectơ pháp tuyến

- (d) đi qua trung điểm I của AB, và I có toạ độ: xi = (xA+xB)/2 = (3+5)/2 = 4; yi =
(yA+yB)/2 = (-1+3)/2 = 1; ⇒ toạ độ của I(4;1)
⇒ (d) đi qua I(4;1) có VTPT (2;4) có PTTQ là: 2(x-4) + 4(y-1) = 0 ⇔ 2x + 4y -12 = 0 ⇔
x + 2y - 6 = 0.
Dạng 8: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và tạo với Ox 1 góc ∝ cho trước
- (d) đi qua M(x0;y0) và tạo với Ox 1 góc ∝ (00 < ∝ < 900) có dạng: y = k(x-x0) + y0 (với k
= ±tan∝
Ví dụ: Viết PTĐT (d) biết (d) đi qua M(-1;2) và tạo với chiều dương trục Ox 1 góc bằng
450.
* Lời giải:
- Giả sử đường thẳng (d) có hệ số góc k, như vây k được cho bở công thức k = tan∝ =
tan(450) = 1.
⇒ PTĐT (d) đi qua M(-1;2) và có hệ số góc k = 1 là: y = 1.(x+1) + 2 ⇔ y = x + 3
Dạng 9: Tìm hình chiếu vng góc của 1 điểm lên 1 đường thẳng
* Giải sử cần tìm hình chiếu H của điểm M lên đường thẳng (d), ta làm như sau:
- Lập phương trình đường thẳng (d') qua M vng góc với (d). (theo dạng tốn 4).

- H là hình chiếu vng góc của M lên (d) ⇒ H là giao của (d) và (d').
Ví dụ: Tìm hình chiếu của điểm M(3;-1) lên đường thẳng (d) có PT: x + 2y - 6 = 0
* Lời giải:
- Gọi (d') là đường thẳng đi qua M và vng góc với (d)
- (d) có PT: x + 2y - 6 = 0 nên VTPT của (d) là:

= (1;2)

- (d') ⊥ (d) nên nhận VTPT của (d) là VTCP ⇒

=(1;2)

- PTĐT (d') qua M(3;-1) có VTCP (1;2) là:
- H là hình chiếu của M thì H là giao điểm của (d) và (d') nên có:


Thay x,y từ (d') và PT (d): (3+t) + 2(-1+2t) - 6 = 0 ⇔ 5t - 5 = 0 ⇔ t =1
⇒ x = 4, y = 1 là toạ độ điểm H.
Dạng 10: Tìm điểm đối xứng của 1 điểm qua một đường thẳng
* Giải sử cần tìm điểm M' đối xứng với M qua (d), ta làm như sau:
- Tìm hình chiếu H của M lên (d). (theo dạng toán 9).
- M' đối xứng với M qua (d) nên M' đối xứng với M qua H (khi đó H là trung điểm của M
và M').
Ví dụ: Tìm điểm M' đối xứng với M(3;-1) qua (d) có PT: x + 2y - 6 = 0
* Lời giải:
- Đầu tiên ta tìm hình chiếu H của M(3;-1) lên (d). Theo ví dụ ở dạng 9 ta có H(4;1)
- Khi đó H là trung điểm của M(3;-1) và M'(xM';yM'), ta có:
;
⇒ xM' = 2xH - xM = 2.4 - 3 = 5
⇒ yM' = 2yH - yM = 2.1 - (-1) = 3

⇒ Điểm đối xứng của M(3;-1) lên (d): x + 2y - 6 = 0 là M'(5;3)
Dạng 11: Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng
- Để xét vị trí của 2 đường thẳng (d1): a1x + b1y + c1 = 0; và (d2): a2x + b2y + c =0; ta giải
hệ phương trình:
(*)
_ Hệ (*) vô nghiệm ⇒ d1 // d2
_ Hệ (*) vô số nghiệm ⇒ d1 ≡ d2
_ Hệ (*) có nghiệm duy nhất ⇒ d1 cắt d2 và nghiệm là toạ độ giao điểm.
Ví dụ: Xét vị trí tương đối của 2 đường thằng
a) d1: x + y - 2 = 0; d2: 2x + y - 3 = 0
b) d1: x + 2y - 5 = 0; d2:
* Lời giải:
a) Số giao điểm của d1 và d2 là số nghiệm của hệ phương trình


- Giải hệ PT trên ta được nghiệm x = 1; y =1.
b) Từ PTĐT d2 ta có x = 1-4t và y = 2+2t thay vào PTĐT d1 ta được:
(1-4t) + 2(2+2t) - 5 = 0 ⇔ 0 = 0 ⇒ 2 đường thẳng trùng nhau (có vơ số nghiệm).