Gián án Bài tập về Bất đẳng thức

Biên soạn: Tổ bộ môn Toán - Trường THPT Trần Nhân Tông - Hà Nội
Một số bài tập về chứng minh bất đẳng thức ( Dùng để ôn thi đại học)
Bài 1: Cho x, y, z là các số tùy ý
CMR:
222222
zyzyzxzxyxyx
++≥+++++
Bài 2: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện
1
22
=++
cba
CMR:
2
33
22222
≥
+
+
+
+
+
ba
c
ac
b
cb
a
Bài 3: CMR với 3 số dương a, b, c bất kỳ ta luôn có :

3

22
3
22
3
22
3
cba
aacc
c
cbcb
b
baba
a
++
≥
++
+
++
+
++
Bài 4: Cho a, b, c là độ dài các cạnh và x, y, z là độ dài phân giác trong tam giác ABC
CMR:
cbazyx
111111
++>++
Bài 5: Giả sử a, b,c, d là 4 số dương thỏa mãn
3
1
1
1

1
1
1
1
1
≥
+
+
+
+
+
+
+
dcba
CMR:
81
≤
abcd

Bài 6: Biết a,b,c là 3 số tùy thuộc
[ ]
1;0
CMR:
accbbacba
222222
1
+++≤++

Bài 7: Cho
1;1;1

≥≥≥
cba

CMR:
abc
cba
+
≥
+
+
+
+
+
1
3
1
1
1
1
1
1
333
Bài 8: Nếu x; y là hai số tùy ý thỏa mãn
0
≥+
yx
Thì :
yxyx
+
+

≥
+
+
+
21
2
41
1
41
1
Bài 9: Cho a; b; c là 3 số khác 0
CMR:
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
++≥++
2
2
2
2
2

2
Bài 10: Cho a; b; c; d > 0
CMR:
21
<
++
+
++
+
++
+
++
<
bad
d
adc
c
dcb
b
cba
a

Bài 11: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác
CMR:
1
<−−−++
a
b
b
c

c
a
a
c
c
b
b
a
Tuyển tập từ các đề thi đại học 2002-2006
Bài 12: Với a, b, c, d là 4 số nguyên thay đổi thỏa mãn
501
≤<<<≤
dcba
CMR:
b
bb
d
c
b
a
50
50
2
++
≥+
Bài 13: Cho x; y; z là 3 số dương và
1
≤++
zyx
Biên soạn: Tổ bộ môn Toán - Trường THPT Trần Nhân Tông - Hà Nội

CMR:
82
111
2
2
2
2
2
2
≥+++++
z
z
y
y
x
x
Bài 14: Cho x; y; z là các số dương thỏa mãn
4
111
=++
zyx
CMR:
1
2
1
2
1
2
1
≤

++
+
++
+
++
zyxzyxzyx
Bài 15: CMR:

xxx
xxx
543
3
20
4
15
5
12
++≥






+







+







Rx
∈∀
Khi nào đẳng thức xảy ra?
Bài 16: Cho x; y; z là số dương thỏa mãn xyz = 1
CMR:
33
1
11
33
3333
≥
++
+
++
+
++
zx
xz
yz
zy
xy

yx
Bài 17: CMR:
0;
>∀
yx


( )
256
9
111
2
≥








+






++
y

x
y
x
Bài 18 : Cho x; y; z là số dương thỏa mãn x + y + z = 0
CMR
6434343
≥+++++
zyx
Bài 19: Nếu
10
≤≤≤
xy
thì
4
1
≤−
xyyx
Bài 20: Cho a; b; c là số dương thỏa mãn a + b + c =
4
3
CMR
3333
333
≤+++++
accbba
Bài 21: Cho x; y; z là số dương thỏa mãn xyz = 1
CMR
2
3
111

222
≥
+
+
+
+
+
x
z
z
y
y
x
Chúc các em ôn tập tốt!