Bài tập về bất đẳng thức

Chuyên đề 7 : BẤT ĐẲNG THỨC
TÓM TẮT GIÁO KHOA
I. Số thực dương, số thực âm:
• Nếu x là số thực dương, ta ký hiệu x > 0
• Nếu x là số thực âm, ta ký hiệu x < 0
• Nếu x là số thực dương hoặc x= 0, ta nói x là số thực không âm, ký hiệu
0
≥
x
• Nếu x là số thực âm hoặc x= 0, ta nói x là số thực không dương, ký hiệu
0
≤
x
Chú ý:
• Phủ đònh của mệnh đề "a > 0" là mệnh đề "
0
≤
a
"
• Phủ đònh của mệnh đề "a < 0" là mệnh đề "
0
≥
a
"
II. Khái niệm bất đẳng thức:
1. Đònh nghóa 1: Số thực a gọi là lớn hơn số thực b, ký hiệu a > b nếu a-b là một số dương, tức
là a-b > 0. Khi đó ta cũng ký hiệu b < a
Ta có:
0a b a b
> ⇔ − >
• Nếu a>b hoặc a=b, ta viết

ba
≥
. Ta có:

0b-a
≥⇔≥
ba
2. Đònh nghóa 2:
Giả sử A, B là hai biểu thức bằng số
Mệnh đề : " A lớn hơn B ", ký hiệu : A > B
" A nhỏ hơn B ", ký hiệu :A < B
" A lớn hơn hay bằng B " ký hiệu
A B≥

" A nhỏ hơn hay bằng B " ký hiệu
A B≤

được gọi là một bất đẳng thức
Quy ước :
• Khi nói về một bất đẳng thức mà không chỉ rõ gì hơn thì ta hiểu rằng đó là một bất
đẳng thức đúng.
• Chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng
III. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức :
1. Tính chất 1:
a b
a c
b c
>

⇒ >


>

2. Tính chất 2:
a b a c b c
> ⇔ + > +
Hệ quả 1:
a b a c b c> ⇔ − > −
Hệ quả 2:
a c b a b c
+ > ⇔ > −
3. Tính chất 3:
a b
a c b d
c d
>

⇒ + > +

>

4. Tính chất 4:
nếu c > 0
nếu c < 0
ac bc
a b
ac bc
>

> ⇔


<

Hệ quả 3:
a b a b> ⇔ − < −
Hệ quả 4:
nếu c > 0
nếu c < 0
a b
c c
a b
a b
c c

>


> ⇔


<


1
5. Tính chất 5:
0
0
a b
ac bd
c d

> >

⇒ >

> >

6. Tính chất 6:
1 1
0 0a b
a b
> > ⇔ < <
7. Tính chất 7:
nn
baNnba
>⇒∈>>
*
,0

8. Tính chất 8:
n
baNnba
>⇒∈>>
n

*
,0
Hệ quả 5: Nếu a và b là hai số dương thì :

22
baba

>⇔>
Nếu a và b là hai số không âm thì :

22
baba
≥⇔≥
IV. Bất đẳng thức liên quan đến giá trò tuyệt đối :
1. Đònh nghóa:
nếu x 0
( x )
nếu x < 0
≥

= ∈

−

x
x R
x
2. Tính chất :
2
2
0 , x , x x , -x xx x≥ = ≤ ≤
3. Với mọi
Rba
∈
,
ta có :
•

a b a b+ ≤ +
•
a b a b− ≤ +
•
. 0a b a b a b+ = + ⇔ ≥
•
. 0a b a b a b− = + ⇔ ≤
V. Bất đẳng thức trong tam giác :
Nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì :
• a > 0, b > 0, c > 0
•
b c a b c− < < +
•
c a b c a− < < +
•
a b c a b− < < +
•
a b c A B C> > ⇔ > >
VI. Các bất đẳng thức cơ bản :
a. Bất đẳng thức Cauchy:
Cho hai số không âm a; b ta có :
2
a b
ab
+
≥
Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi a=b
Tổng quát :
Cho n số không âm a
1

,a
2
,...a
n
ta có :

1 2
1 2
...
. ...
n
n
n
a a a
a a a
n
+ + +
≥
Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi a
1
= a
2
=...= a
n
b. Bất đẳng thức Bunhiacốpski :
Cho bốn số thực a,b,x,y ta có :

2 2 2 2 2
( ) ( )( )ax by a b x y+ ≤ + +
Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi ay = bx

Tổng quát :
2
Cho hai bộ số
1 2
( , ,... )
n
a a a
và
1 2
( , ,..., )
n
b b b
ta có :

2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
( ... ) ( ... )( ... )
n n n n
a b a b a b a a a b b b+ + + ≤ + + + + + +
Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi
1 2
1 2
...
n
n
a
a a
b b b
= = =
với quy ước rằng nếu mẫu bằng 0 thì tử cũng bằng

c) Bất đẳng thức cơ bản: Cho hai số dương a,b ta luôn có:
1 1 1 1
( )
4a b a b
≤ +
+

Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi a=b
Các phương pháp cơ bản chứng minh bất đẳng thức :
Ta thường sử dụng các phương pháp sau
1. Phương pháp 1: Phương pháp biến đổi tương đương
Biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh đến một bất đẳng thức đã biết rằng đúng .
Ví du1ï:
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1.
2 2 2
a b c ab bc ca+ + ≥ + + với mọi số thực a,b,c
2.
2 2
1a b ab a b+ + ≥ + + với mọi a,b
Ví dụ 2:
Cho hai số a,b thỏa điều kiện a+b
0
≥
, chứng tỏ rằng:
3 3
3
( )
2 2
a b a b+ +

≥

Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu x>0 thì
16)1
21
()1(
2
2
≥+++
x
x
x

2. Phương pháp 2: Phương pháp tổng hợp
Xuất phát từ các bất đẳng thức đúng đã biết dùng suy luận toán học để suy ra điều phải chứng
minh.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có các cạnh a,b,c, chứng minh :
2 2 2
2( )+ + < + +a b c ab bc ca
Ví dụ 2: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện
4
5
=+
yx
. Chứng minh rằng:

5
4
14
≥+

xx
Ví dụ 3: Cho x,y,z là các số dương. Chứng minh rằng:
zxyzxyzyx 53423
++≥++
Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi mọi x,y dương ta có:
)(2
11
22
yx
yx
yx
+≥+++
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có các cạnh a,b,c, chứng minh :

0)2()2()2(
≥−++−++−+
baccaacbbccbaab
Ví dụ6: Cho x,y,z và xyz=1. Chứng minh rằng :
zyxzyx
++≥++
333

3
Ví dụ 7: Cho x, y, z > 0 và x+y+z=xyz. Chứng minh rằng :
33
≥
xyx
Ví dụ 8: Cho ba số dương a, b, c . Chứng minh rằng :
9
≥

++
+
++
+
++
c
cba
b
cba
a
cba
Ví dụ 9: Cho ba số dương x,y,z thỏa mãn
1
≤++
zyx
. Chứng minh rằng :

10
111
≥+++++
zyx
zyx
Ví dụ 10: Cho a,b,c >0 và abc=1. Chứng minh rằng :
3
b c c a a b
a b c
a b c
+ + +
+ + ≥ + + +
3. Phương pháp 3: Sử dụng đạo hàm xét các tính chất của hàm số

Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức: sinx < x với mọi x > 0
Ví dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức:
2
1cos
2
x
x
−>
với mọi x > 0
Ví dụ 3 : Chứng minh bất đẳng thức:
xtgxx 2sin
>+
với mọi
)
2
;0(
π
∈
x
Ví dụ 4 : Với
2
0
π
<<
x
, chứng minh
1
2
3
sin2

222
+
>+
x
tgxx

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
I.BiÕn ®ỉi t¬ng ®¬ng,®¸nh gi¸
Bµi 1: CMR
211
22
≥+−+++
aaaa
∀a.
Bµi 2: CMR
( )
zyxxzxzzyzyyxyx
++≥++++++++
3
222222
∀ x,y,z.
Bµi 3: CMR (x-2)(x-4)( x-6)(x-8) + 16 ≥ 0 ∀x.
Bµi 4: Cho a,b,c tho¶ m·n a
2
+ b
2
+ c
2
= 1. CMR
abc + 2( 1 + a + b + c + ab + bc + ca) ≥ 0

Bµi 5: Cho a,b,c > 0. CMR
1) NÕu ab ≥ 1 th×
ab
ba
+
≥
+
+
+
1
2
1
1
1
1
22
.
2) NÕu a,b,c ≥ 1 th×
abc
cba
+
≥
+
+
+
+
+
1
3
1

1
1
1
1
1
333
.
Bµi 6: Cho a,b,c tho¶ m·n
bca
211
=+
. CMR
4
22
≥
−
+
+
−
+
bc
bc
ba
ba
.
Bµi 7: Cho a+b ≥ 0. CMR
3
33
22







+
≥
+
baba
.
Bµi 8: Cho a,b,c > 0. CMR
3
22
3
22
3
22
3
cba
acac
c
cbcb
b
baba
a
++
≥
++
+
++

+
++
.
Bµi 9: CMR
[ ]
1,021111
22
∈∀−≥−+≥−++
ttttt
.
Bµi 10: CMR 1. a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ e
2
≥ a( b + c + d + e ) ∀a,b,c,d,e
2.a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
≥ a( b + c + d) ∀a,b,c,d.

Bµi 11.Cho x>0 CMR
2
2
1 2
(x 1) ( 1) 16
x x
+ + + ≥
4
Bài 12.Cho a,b>0 CMR
a b
a b
b a
+ +
.
Bài 13.Cho a,b>0 và
1 1 2
1+a 1 b
1 ab
+
+
+
(Nhân chéo và phân tích).
Bài 14.Cho a,b,c>0 và a,b,c

1,CMR
2 2 2
1 1 1 3
1+a 1 b 1 c 1 abc
+ +
+ + +

(AD bài 13 và ab

abc).
Bài 15.
II.Bất đẳng thức Côsi
Bài 1: Cho a,b,c > 0. CMR
1) a
4
+ b
4
+ c
4
ab
3
+ bc
3
+ca
3
2) 3a
3
+ 7b
3
9ab
2
3)
53
532 abba
+

4)

ba
a
b
b
a
++
5)
33335
2
5
2
5
2
5
2
1111
dcbaa
d
d
c
c
b
b
a
++++++
6)
a
c
c
b

b
a
a
c
c
b
b
a
++++
3
3
3
3
3
3
B i 2 : Cho x , y,z > 0 thỏa mãn xyz = 1. CMR
*
,3
2
1
2
1
2
1
Nn
zyx
nnn

+
+






+
+






+

Bài 3: Cho x,y,z > 0 thoả mãn x + y + z = 1.
a) CMR :

+
x
1
1








+
y
1
1
64
1
1







+
z
.
b) Tìm GTNN của : A =

+
x
3
2








+
y
3
2






+
z

3
2
.
Bài 4: Cho a,b,c,m,n,p > 0. CMR:
a)
( )
a
+
1
( )
b
+
1
( )
( )
3
3
11 abcc
++
b)
( )( )( )
3
3
3
mnpabcpcnbma
++++
Bài 5: Cho a,b,c > 0. CMR:
a)
2
3

+
+
+
+
+
ba
c
ac
b
cb
a
(Bất đẳng thức Nesbit)
b) Nếu abc = 1 thì :
( ) ( ) ( )
2
3
222

+
+
+
+
+ bac
ab
acb
ca
cba
bc
.

Baì 6.
1. Cho a,b

0,CMR.
6
6 6
(a b)
a b
32
+
+
2.
a b b c c a 2( a b c).+ + + + + + +
Bài7.Cho a,b,c>0,CM các BĐT sau
1.
2 2 2 3 3 3
2 2 2 2 2 2
a b c a b c
b c c a a b 2abc
+ +
+ +
+ + +
.
5