Tải bản đầy đủ (.doc) (10 trang)

Bài tập về bất đẳng thức

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (148.9 KB, 10 trang )

Chuyên đề 7 : BẤT ĐẲNG THỨC
TÓM TẮT GIÁO KHOA
I. Số thực dương, số thực âm:
• Nếu x là số thực dương, ta ký hiệu x > 0
• Nếu x là số thực âm, ta ký hiệu x < 0
• Nếu x là số thực dương hoặc x= 0, ta nói x là số thực không âm, ký hiệu
0

x
• Nếu x là số thực âm hoặc x= 0, ta nói x là số thực không dương, ký hiệu
0

x
Chú ý:
• Phủ đònh của mệnh đề "a > 0" là mệnh đề "
0

a
"
• Phủ đònh của mệnh đề "a < 0" là mệnh đề "
0

a
"
II. Khái niệm bất đẳng thức:
1. Đònh nghóa 1: Số thực a gọi là lớn hơn số thực b, ký hiệu a > b nếu a-b là một số dương, tức
là a-b > 0. Khi đó ta cũng ký hiệu b < a
Ta có:
0a b a b
> ⇔ − >
• Nếu a>b hoặc a=b, ta viết


ba

. Ta có:

0b-a
≥⇔≥
ba
2. Đònh nghóa 2:
Giả sử A, B là hai biểu thức bằng số
Mệnh đề : " A lớn hơn B ", ký hiệu : A > B
" A nhỏ hơn B ", ký hiệu :A < B
" A lớn hơn hay bằng B " ký hiệu
A B≥

" A nhỏ hơn hay bằng B " ký hiệu
A B≤

được gọi là một bất đẳng thức
Quy ước :
• Khi nói về một bất đẳng thức mà không chỉ rõ gì hơn thì ta hiểu rằng đó là một bất
đẳng thức đúng.
• Chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng
III. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức :
1. Tính chất 1:
a b
a c
b c
>

⇒ >


>

2. Tính chất 2:
a b a c b c
> ⇔ + > +
Hệ quả 1:
a b a c b c> ⇔ − > −
Hệ quả 2:
a c b a b c
+ > ⇔ > −
3. Tính chất 3:
a b
a c b d
c d
>

⇒ + > +

>

4. Tính chất 4:
nếu c > 0
nếu c < 0
ac bc
a b
ac bc
>

> ⇔


<

Hệ quả 3:
a b a b> ⇔ − < −
Hệ quả 4:
nếu c > 0
nếu c < 0
a b
c c
a b
a b
c c

>


> ⇔


<


1
5. Tính chất 5:
0
0
a b
ac bd
c d

> >

⇒ >

> >

6. Tính chất 6:
1 1
0 0a b
a b
> > ⇔ < <
7. Tính chất 7:
nn
baNnba
>⇒∈>>
*
,0

8. Tính chất 8:
n
baNnba
>⇒∈>>
n

*
,0
Hệ quả 5: Nếu a và b là hai số dương thì :

22
baba

>⇔>
Nếu a và b là hai số không âm thì :

22
baba
≥⇔≥
IV. Bất đẳng thức liên quan đến giá trò tuyệt đối :
1. Đònh nghóa:
nếu x 0
( x )
nếu x < 0


= ∈



x
x R
x
2. Tính chất :
2
2
0 , x , x x , -x xx x≥ = ≤ ≤
3. Với mọi
Rba

,
ta có :


a b a b+ ≤ +

a b a b− ≤ +

. 0a b a b a b+ = + ⇔ ≥

. 0a b a b a b− = + ⇔ ≤
V. Bất đẳng thức trong tam giác :
Nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì :
• a > 0, b > 0, c > 0

b c a b c− < < +

c a b c a− < < +

a b c a b− < < +

a b c A B C> > ⇔ > >
VI. Các bất đẳng thức cơ bản :
a. Bất đẳng thức Cauchy:
Cho hai số không âm a; b ta có :
2
a b
ab
+

Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi a=b
Tổng quát :
Cho n số không âm a
1

,a
2
,...a
n
ta có :

1 2
1 2
...
. ...
n
n
n
a a a
a a a
n
+ + +

Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi a
1
= a
2
=...= a
n
b. Bất đẳng thức Bunhiacốpski :
Cho bốn số thực a,b,x,y ta có :

2 2 2 2 2
( ) ( )( )ax by a b x y+ ≤ + +
Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi ay = bx

Tổng quát :
2
Cho hai bộ số
1 2
( , ,... )
n
a a a

1 2
( , ,..., )
n
b b b
ta có :

2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
( ... ) ( ... )( ... )
n n n n
a b a b a b a a a b b b+ + + ≤ + + + + + +
Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi
1 2
1 2
...
n
n
a
a a
b b b
= = =
với quy ước rằng nếu mẫu bằng 0 thì tử cũng bằng

c) Bất đẳng thức cơ bản: Cho hai số dương a,b ta luôn có:
1 1 1 1
( )
4a b a b
≤ +
+

Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi a=b
Các phương pháp cơ bản chứng minh bất đẳng thức :
Ta thường sử dụng các phương pháp sau
1. Phương pháp 1: Phương pháp biến đổi tương đương
Biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh đến một bất đẳng thức đã biết rằng đúng .
Ví du1ï:
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1.
2 2 2
a b c ab bc ca+ + ≥ + + với mọi số thực a,b,c
2.
2 2
1a b ab a b+ + ≥ + + với mọi a,b
Ví dụ 2:
Cho hai số a,b thỏa điều kiện a+b
0

, chứng tỏ rằng:
3 3
3
( )
2 2
a b a b+ +



Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu x>0 thì
16)1
21
()1(
2
2
≥+++
x
x
x

2. Phương pháp 2: Phương pháp tổng hợp
Xuất phát từ các bất đẳng thức đúng đã biết dùng suy luận toán học để suy ra điều phải chứng
minh.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có các cạnh a,b,c, chứng minh :
2 2 2
2( )+ + < + +a b c ab bc ca
Ví dụ 2: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện
4
5
=+
yx
. Chứng minh rằng:

5
4
14
≥+

xx
Ví dụ 3: Cho x,y,z là các số dương. Chứng minh rằng:
zxyzxyzyx 53423
++≥++
Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi mọi x,y dương ta có:
)(2
11
22
yx
yx
yx
+≥+++
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có các cạnh a,b,c, chứng minh :

0)2()2()2(
≥−++−++−+
baccaacbbccbaab
Ví dụ6: Cho x,y,z và xyz=1. Chứng minh rằng :
zyxzyx
++≥++
333

3
Ví dụ 7: Cho x, y, z > 0 và x+y+z=xyz. Chứng minh rằng :
33

xyx
Ví dụ 8: Cho ba số dương a, b, c . Chứng minh rằng :
9


++
+
++
+
++
c
cba
b
cba
a
cba
Ví dụ 9: Cho ba số dương x,y,z thỏa mãn
1
≤++
zyx
. Chứng minh rằng :

10
111
≥+++++
zyx
zyx
Ví dụ 10: Cho a,b,c >0 và abc=1. Chứng minh rằng :
3
b c c a a b
a b c
a b c
+ + +
+ + ≥ + + +
3. Phương pháp 3: Sử dụng đạo hàm xét các tính chất của hàm số

Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức: sinx < x với mọi x > 0
Ví dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức:
2
1cos
2
x
x
−>
với mọi x > 0
Ví dụ 3 : Chứng minh bất đẳng thức:
xtgxx 2sin
>+
với mọi
)
2
;0(
π

x
Ví dụ 4 : Với
2
0
π
<<
x
, chứng minh
1
2
3
sin2

222
+
>+
x
tgxx

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
I.BiÕn ®ỉi t¬ng ®¬ng,®¸nh gi¸
Bµi 1: CMR
211
22
≥+−+++
aaaa
∀a.
Bµi 2: CMR
( )
zyxxzxzzyzyyxyx
++≥++++++++
3
222222
∀ x,y,z.
Bµi 3: CMR (x-2)(x-4)( x-6)(x-8) + 16 ≥ 0 ∀x.
Bµi 4: Cho a,b,c tho¶ m·n a
2
+ b
2
+ c
2
= 1. CMR
abc + 2( 1 + a + b + c + ab + bc + ca) ≥ 0

Bµi 5: Cho a,b,c > 0. CMR
1) NÕu ab ≥ 1 th×
ab
ba
+

+
+
+
1
2
1
1
1
1
22
.
2) NÕu a,b,c ≥ 1 th×
abc
cba
+

+
+
+
+
+
1
3
1

1
1
1
1
1
333
.
Bµi 6: Cho a,b,c tho¶ m·n
bca
211
=+
. CMR
4
22


+
+

+
bc
bc
ba
ba
.
Bµi 7: Cho a+b ≥ 0. CMR
3
33
22







+

+
baba
.
Bµi 8: Cho a,b,c > 0. CMR
3
22
3
22
3
22
3
cba
acac
c
cbcb
b
baba
a
++

++
+
++

+
++
.
Bµi 9: CMR
[ ]
1,021111
22
∈∀−≥−+≥−++
ttttt
.
Bµi 10: CMR 1. a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ e
2
≥ a( b + c + d + e ) ∀a,b,c,d,e
2.a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
≥ a( b + c + d) ∀a,b,c,d.

Bµi 11.Cho x>0 CMR
2
2
1 2
(x 1) ( 1) 16
x x
+ + + ≥
4
Bài 12.Cho a,b>0 CMR
a b
a b
b a
+ +
.
Bài 13.Cho a,b>0 và
1 1 2
1+a 1 b
1 ab
+
+
+
(Nhân chéo và phân tích).
Bài 14.Cho a,b,c>0 và a,b,c

1,CMR
2 2 2
1 1 1 3
1+a 1 b 1 c 1 abc
+ +
+ + +

(AD bài 13 và ab

abc).
Bài 15.
II.Bất đẳng thức Côsi
Bài 1: Cho a,b,c > 0. CMR
1) a
4
+ b
4
+ c
4
ab
3
+ bc
3
+ca
3
2) 3a
3
+ 7b
3
9ab
2
3)
53
532 abba
+

4)

ba
a
b
b
a
++
5)
33335
2
5
2
5
2
5
2
1111
dcbaa
d
d
c
c
b
b
a
++++++
6)
a
c
c
b

b
a
a
c
c
b
b
a
++++
3
3
3
3
3
3
B i 2 : Cho x , y,z > 0 thỏa mãn xyz = 1. CMR
*
,3
2
1
2
1
2
1
Nn
zyx
nnn








+
+






+
+






+

Bài 3: Cho x,y,z > 0 thoả mãn x + y + z = 1.
a) CMR :







+
x
1
1








+
y
1
1
64
1
1







+
z
.
b) Tìm GTNN của : A =







+
x
3
2








+
y
3
2






+
z

3
2
.
Bài 4: Cho a,b,c,m,n,p > 0. CMR:
a)
( )
a
+
1
( )
b
+
1
( )
( )
3
3
11 abcc
++
b)
( )( )( )
3
3
3
mnpabcpcnbma
++++
Bài 5: Cho a,b,c > 0. CMR:
a)
2
3


+
+
+
+
+
ba
c
ac
b
cb
a
(Bất đẳng thức Nesbit)
b) Nếu abc = 1 thì :
( ) ( ) ( )
2
3
222

+
+
+
+
+ bac
ab
acb
ca
cba
bc
.

Baì 6.
1. Cho a,b

0,CMR.
6
6 6
(a b)
a b
32
+
+
2.
a b b c c a 2( a b c).+ + + + + + +
Bài7.Cho a,b,c>0,CM các BĐT sau
1.
2 2 2 3 3 3
2 2 2 2 2 2
a b c a b c
b c c a a b 2abc
+ +
+ +
+ + +
.
5

×