Bài giảng Cấu trúc dữ liệu - Chương 6: Đồ thị

CHƯƠNG 6

ĐỒ THỊ

1


Chương 6: Đồ thị
6.1 Định nghĩa và các khái niệm
6.2 Biểu diễn đồ thị
6.3 Phép duyệt đồ thị
6.4 Tìm đường đi ngắn nhất

2


6.1-Định nghĩa và khái niệm
Đồ thị là một cấu trúc rời rạc gồm các đỉnh và
các cạnh (vô hướng hoặc có hướng) nối các
đỉnh đó .
Nhiều bài tốn thuộc những lĩnh vực rất khác
nhau có thể giải được bằng mơ hình đồ thị:
biểu diễn sự cạnh tranh các lồi trong một mơi
trường sinh thái, hai máy tính có được nối với
nhau bằng một đường truyền thơng hay khơng.
tìm đường đi ngắn nhất giữa hai thành phố,
lập lịch thi, phân chia kênh cho các đài truyền
hình …
3

6.1-Định nghĩa và khái niệm
Khi mơ hình hố bằng đồ thị: đỉnh biểu thị các đối
tượng được xem xét (người, tổ chức, địa danh,...),
cạnh đồ thị là những đoạn thẳng (hoặc cong) hay
những mũi tên nối một số điểm với nhau, tượng
trưng cho một quan hệ nào đó giữa các đối tượng.
Các loại đồ thị :
Một đơn đồ thị G = (V, E) gồm một tập khác rỗng V
mà các phần tử của nó gọi là các đỉnh và một tập E
là các cạnh gồm các cặp khơng có thứ tự của các
đỉnh phân biệt.

4


6.1-Định nghĩa và khái niệm
Một đơn đồ thị có hướng G = (V, E) gồm một
tập khác rỗng V mà các phần tử của nó gọi là
các đỉnh và một tập E các cặp có thứ tự gồm 2
phần tử khác nhau của V gọi là các cung.
Một đa đồ thị G = (V, E) giống như đơn đồ thị,
có thể có cạnh bội (có nhiều hơn hai cạnh
tương ứng với một cặp đỉnh) và khuyên (cạnh
nối đỉnh với chính nó).

5


6.1-Định nghĩa và khái niệm
v1

v2

v3

v4

v5

v6

6


6.1-Định nghĩa và khái niệm
Các thuật ngữ về đồ thị :
Hai đỉnh u và v trong đồ thị (vô hướng) G=(V,E) được gọi
là liền kề nếu (u,v)∈E. Nếu e = (u,v) thì e gọi là cạnh
liên thuộc với các đỉnh u và v. Cạnh e cũng được gọi là
cạnh nối các đỉnh u và v. Các đỉnh u và v gọi là các điểm
đầu mút của cạnh e.
Bậc của đỉnh v trong đồ thị G=(V,E), ký hiệu deg(v), là số
các cạnh liên thuộc với nó. Khun tại một đỉnh được
tính hai lần cho bậc của nó.
Đỉnh v gọi là đỉnh treo nếu deg(v)=1 và gọi là đỉnh cô lập
nếu deg(v)=0
7


6.1-Định nghĩa và khái niệm

v1

v2

v3
v4

v5

v6

v7

8


6.1-Định nghĩa và khái niệm
Bậc vào (t.ư. bậc ra) của đỉnh v trong đồ thị có hướng G,
ký hiệu degt(v) (t.ư. dego(v)), là số các cung có đỉnh cuối
(đỉnh đầu) là v.
Đỉnh có bậc vào và bậc ra cùng bằng 0 gọi là đỉnh cơ lập.
Đỉnh có bậc vào bằng 1 và bậc ra bằng 0 gọi là đỉnh
treo, cung có đỉnh cuối là đỉnh treo gọi là cung treo
Cho G =(V, E) là một đồ thị có hướng. Khi đó

∑ deg (v) = ∑ deg
v∈V

t

v∈V

o

(v) =| E |

9


6.2- Biểu diễn đồ thị
621. Ma trận kề: Cho đồ thị vô hướng G=(V,E),
v1, v2, ..., vn là các đỉnh và e1, e2, ..., em là các cạnh
của G. Ma trận kề của G là ma trận

A = {( aij ) : i, j = 1,2,..., n }

aij bằng 1 nếu cạnh (i,j)∈ E và bằng 0 nếu ngược lại.
Rõ ràng ma trận kề của đồ thị vô hướng là đối xứng.
Ngồi ra, aij có thể gán một số nào đó gọi là trọng số.
Lúc đó, ta có ma trận trọng số.
Nhược điểm là luôn phải dùng n2 đơn vị bộ nhớ để lưu
trữ ma trận kề.
10


6.2- Biểu diễn đồ thị
v1

e6

v2
e3

e1

e4

v3
e5

e2

0 0 0 1

0 0 1 1
0 1 0 0

1 1 0 0
1 1 0 1


1
1
1
0
0











v4

v5

Ví dụ: Ma trận kề của đồ thị
11


6.2- Biểu diễn đồ thị
622. Danh sách kề: Mỗi đỉnh v của đồ thị có danh
sách lưu trữ các đỉnh kề với nó, ký hiệu Ke(v):
Ke(v)={ u∈V: (v,u)∈E}
Người ta có thể dùng mảng hoặc danh sách liên kết
cho Ke(v). Chúng ta phải dùng m+n đơn vị bộ nhớ
để lưu trữ danh sách kề.
v1

e6

v2
e3

e1

e4

v3
e5

e2

v4

v5

12


6.3- Duyệt đồ thị
Tìm kiếm theo chiều sâu:
void main()
{ for v ∈ V do chuaxet[v]:=true;
for v ∈ V do
if (chuaxet[v]) then DFS(v);
}
void DFS(v)
{ thamdinh(v); chuaxet[v]:=false;
for u ∈ Ke(v) do
if (chuaxet[u]) DFS(u);
}

13

6.3- Duyệt đồ thị
3

6

4

2

5
7
1

8

10
11

9

12

13

Kết quả tìm kiếm theo
chiều sâu: 1, 2, 10, 4, 3,
5, 8, 6, 7, 9, 12, 11, 13
14

6.3- Duyệt đồ thị
Đặc điểm:
- Mỗi đỉnh được thăm đúng 1 lần.
- Mỗi lần quay về chương trình chính, thuật tốn se
tạo ra một thành phần liên thơng mới.
- Độ phức tạp của thuật toán là O(n+m).

15


6.3- Duyệt đồ thị
Tim kiem theo chieu rong:
void main()
{ for (v ∈ V) chuaxet[v]:=true;
for (v ∈ V) do
if (chuaxet[v]) BFS(v);
}

16


6.3- Duyệt đồ thị
void BFS(v)
{ Queue:=∅;
Queue  v; (*nap v vao Queue *)
chuaxet[v]:=false;
while (Queue ≠ ∅)
{ p  Queue;
thamdinh(p);
for (u ∈ Ke(p))

if (chuaxet[u])
{Queue  u; chuaxet(u):=false;}
}
}
17


6.4- Đường đi ngắn nhất
Đường đi độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v, với n là một
số nguyên dương trong đồ thị G=(V,E) là một dãy
các cạnh (hoặc cung) e1, e2, ..., en của đồ thị sao
cho e1=(x0,x1),e2=(x1,x2), ...,en=(xn-1,xn), với x0=u và
xn=v. Trong đồ thị đơn, ta ký hiệu đường đi này
bằng dãy các đỉnh x0, x1, ..., xn.
Nếu mỗi cung được đặt tương ứng một số thực a(xi,xj)
gọi là trọng số, lúc đó độ dài đường đi là:
Σa(xi-1,xj) với i=1 đến n

18


6.4- Đường đi ngắn nhất
Thuật toán Dijkstra:
-Đầu vào: Đồ thị G=(V,E) biểu diễn bằng ma trận
trọng số a[u,v] với u,v ∈ V
-Điều kiện: a[u,v] >= 0
-Đầu ra: Khoảng cách từ đỉnh s (đỉnh bắt đầu cho
trước) đến tất cả các đỉnh còn lại ký hiệu d[v].
truoc[v] ghi nhận đỉnh đi trước v trong đường đi
ngắn nhất từ s đến v.

-Ký hiệu: T là tập hợp chứa các đỉnh có nhãn tạm
thời.

19


6.4- Đường đi ngắn nhất
void dijkstra()
{for (v ∈ V)
{d[v]=a[s,v]; truoc[v]=s;}
d[s]=0; T= V \ {s};
while (T≠∅)
{tìm đỉnh u ∈ T thỏa mãn d[u]=min{d[z]: z ∈ T}
T= T \ {u}; //cố định nhãn của đỉnh u

20


6.4- Đường đi ngắn nhất
for (v ∈ T ) //gán nhãn lại cho các đỉnh trong T
if (d[v]>d[u]+a[u,v])
{ d[v]=d[u]+a[u,v];
truoc[v]=u;
}
}

}

21

6.4- Đường đi ngắn nhất
7
5

3

2

1

1

6

1

1

2

4
1

4

5

2
3

22


6.4- Đường đi ngắn nhất
Bước lặp

đỉnh 1

đỉnh 2

đỉnh 3

đỉnh 4

đỉnh 5

đỉnh 6

khởi tạo

0,1

1,1*

∞,1

∞,1

∞,1

∞,1

1

-

-

6,2

3,2*

∞,1

8,2

2

-

-

4,4*

-

7,4

8,2

3

-

-

-

-

7,4

5,3*

4

-

-

-

-

6,6*

-

-viết d[v], truoc[v] trong mỗi ơ

-đỉnh có * là đang chọn để cố dịnh nhãn ở bước lặp đang xét, nhãn của nó
khơng bị biến đổi ở các bước tiếp theo.
Độ phức tạp thuật toán là O(mlogn)

23


Bài tập
Bài 1: Viết chương trình nhập đồ thị từ bàn phím
lưu trữ dạng ma trận kề.
Bài 2: Viết chương trình chuyển CTDL biểu diễn đồ
thị từ ma trận kề sang danh sách kề và ngược lại.
Bài 3: Viết chương trình liệt kê tất cả các đỉnh của
đồ thị bằng thuật toán duyệt theo chiều sâu, duyệt
theo chiều rộng.
Bài 4: Viết chương trình nhập đồ thị và 2 đỉnh rồi
chỉ ra đường đi ngắn nhất giữa 2 đỉnh đó.
24