Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức cauchy schwarz vào chứng minh bất đẳng thức

Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng
minh bất đẳng thức
PHẦN I.
I. LÍ DO CHỌN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1. TÍNH PHỔ BIẾN
AM - GM và Cauchy - Schwarz chính là cặp bất đẳng thức phổ biến nhất trong
toán học sơ cấp. Với sự đa dạng vốn có, hai bất đẳng thức này thường xuyên được sử
dụng để chứng minh các bất đẳng thức đại số khác, từ trung học cơ sở đến trung học
phổ thơng trong các kì thi.
Ngồi mục đích chính là nâng cao kỹ năng cơ bản giải tốn dựa trên những
phương pháp phát triển từ bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, sáng kiến kinh nghiệm
này còn tổng hợp khá nhiều bất đẳng thức từ trước đến nay có thể chứng minh bằng
công cụ này.
Ta sẽ thấy ở đây một góc nhìn bao qt về bất đẳng thức Cauchy - Schwarz:
các kỹ năng cơ bản khi đứng trước một bài toán bất đẳng thức.
Bên cạnh việc sử dụng kỹ thuật Cauchy - Schwarz một cách phù hợp thì điều
kiện đủ để có thể chứng minh được bất đẳng thức mong muốn chính là chỉ ra sự tồn
tại của một bất đẳng thức đơn giản hơn.
Sáng kiến kinh nghiệm này hệ thống một số kỹ năng cơ bản nhất liên quan đến
bất đẳng thức Cauchy - Schwarz.
2. TÍNH CẤP THIẾT
Đối với đối tượng học sinh THPT không chuyên Bất đẳng thức là một chun
đề khó. Trong q trình giảng dạy từ các nguồn tài liệu tham khảo tôi hệ thống một số
dạng bài tập nhằm mục đích để giúp học sinh tiếp cận một số kỹ năng cơ bản để áp
dụng BĐT Cauchy - Schwarz vào chứng minh BĐT với tiêu chí khn khổ là đưa
BĐT cần chứng minh về dạng đơn giản hơn BĐT ban đầu.
Bước đầu dạy cho đối tượng THPT không chuyên đã thu được một số hiệu quả
nhất định giúp các em “Bớt sợ” và có thể giải quyết được một số bài toán về chứng
minh BĐT. Từ đó tạo sự hứng khởi cho các em trong vấn đề khám phá loại toán này.
3. MỤC TIÊU

1


Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng
minh bất đẳng thức
Mục tiêu của SKKN này là hệ thống một số bài tập áp dụng được BĐT Cauchy
- Schwarz vào chứng minh để học sinh làm quen từ đó dần định hình được phương
pháp tư duy vào chứng minh BĐT .
Với mục tiêu đấy và để tạo cho học sinh một “lối mịn” trên một số dạng bài
nên trong khn khổ SKKN này tơi khơng trình bày thêm các cách chứng minh khác.
Vì vậy tơi chọn SKKN
Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
vào chứng minh bất đẳng thức
II. GIỚI THIỆU VỀ BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ
Trong tốn học, bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cịn được gọi là bất đẳng
thức Schwarz hoặc bằng cái tên khá dài là Cauchy - Bunyakovxki - Schwarz. Tài
liệu giáo khoa Việt Nam gọi bất đẳng thức này là Bunyakovxki hoặc bằng tên dài nói
trên nhưng đảo thứ tự là bất đẳng thức Bunyakovxki - Cauchy - Schwarz nên
thường viết tắt là bất đẳng thức BCAUCHY - SCHWARZ.
Tuy nhiên trong toàn bộ sáng kiến kinh nghiệm này ta sẽ thống nhất với một
cách gọi duy nhất là bất đẳng thức Cauchy - Schwarz.
Ở mức độ phổ thông và trong khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm chúng ta quan
tâm đến dạng phát biểu sơ cấp của biểu thức này. Nó được phát biểu như sau:
Nếu a1, a2, …, an , b1, b2, …, bn là các số thực tùy ý thì
(a1b1 + a2b2 + … + anbn)2  (a12 + a22 + … + an2)(b12 + b22 + … + bn2). (*).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
(ở đây, ta sử dụng quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử cũng bằng 0).

x

Trong (*), chọn ai = yii, bi =

yi với xi, yi  R, yi > 0, ta thu được bất đẳng

thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức
Nếu x1, x2, …, xn là các số thực và y1, y2, …, yn là các số thực dương thì
x1

2

y1

2

x2
+
y2


Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng
minh bất đẳng thức
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Trong khuôn khổ của sáng kiến kinh nghiệm này, chúng ra sẽ cùng xem xét
vấn đề làm sao để có thể sử dụng hợp lý và hiệu quả các bất đẳng thức (*) và (**)
trong việc chứng minh các bất đẳng thức khác bằng những kĩ thật cơ bản nhất.
III. MỘT SỐ CÁCH CHỨNG MINH
Trong mục này, chúng ta sẽ cùng đến với một số chứng minh thú vị cho bất
đẳng thức Cauchy - Schwarz (*).
1. SỬ DỤNG TAM THỨC BẬC HAI
Nếu a12 + a22 + … + an2 = 0 thì ta có a1 = a2 = … = an = 0 và bất đẳng thức

hiển nhiên đúng. Do vậy, ta chỉ cần xét a12 + a22 + … + an2 > 0 là đủ.
Xét tam thức bậc hai
2

2

2

2

2

2

2

f(x) = (a1 + a2 + … + an )x - 2(a1b1 + a2b2 + … + anbn)x + (b1 + b2 + … + bn ).

Ta dễ dàng thấy được f(x) = (a1x - b1)2 + (a2x - b2)2 + … + (anx - bn)2.
từ đó suy ra f(x)  0 với mọi x. Điều này có nghĩa là biểu thức ’f phải là một số
không dương, mà
’f = (a1b1 + a2b2 + … + anbn)2 - (a12 + a22 + … + an2)(b12 + b22 + … +
bn2), nên ta có
(a1b1 + a2b2 + … + anbn)2  (a12 + a22 + … + an2)(b12 + b22 + … +
bn2), Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a1x - b1 = a2x - b2 = … = anx - b, tức
2. SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC AM - GM
i=n

Rõ ràng ta chỉ cần xét bất đẳng thức trong trường hợp  ai

i=1

đủ.
Lấy căn bậc hai hai vế của bất đẳng thức đã cho, sau đó chia cả hai vế cho
i = n

  ai

i = 1

3


Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
vào chứng minh bất đẳng thức



i=

n


i = 1



Sử dụng tính chất về dấu giá trị tuyệt đối kết hợp với bất đẳng thức AM - GM, ta có:



i=n

i =1




1


i=n



ai2
 

2

a
3. SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
Với n = 1, bất đẳng thức của ta trở thành đẳng thức. Xét khi n = 2, ta
có (a12 + a22)(b12 + b22) - (a1b1 + a2b2)2 = (a2b1 - a1b2)  0.
Giả sử bất đẳng thức đúng khi n = k (k  2). Xét khi n = k + 1. Áp dụng kết
quả trường hợp n = 1 với hai bộ



2

a1

2
+ a2

+ … + ak



Ta có:






2



a1



2

+ a2




 (a1


2

+ a22 + … + ak2)(b12 + b22 + … + bk

Mặt khác, theo giả thiết quy nạp, ta lại có
(a12 + a22 + … + ak


Suy ra
(a12 + a22 + … + ak2)(b12 + b22 + … + bk2)  |a1b1 + a2b2 + … + akbk|.
Kết hợp đánh giá này với đánh giá ở trên, ta được
4


Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng
minh bất đẳng thức
i=k+1





i=1


(a1b1 + a2b2 + … + akbk + ak + 1bk + 1)2.

Điều này chứng tỏ bất đẳng thức của ta cũng đúng cho n = k + 1. Theo nguyên
lý quy nạp, ta có nó đúng với mọi n  1.

5


Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng
minh bất đẳng thức
PHẦN II. NỘI DUNG CHÍNH
NHỮNG KỸ NĂNG CƠ BẢN KHI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC
CAUCHY - SCHWARZ VÀO CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Nếu a1, a2, …, an , b1, b2, …, bn là các số thực tùy ý thì
(a1b1 + a2b2 + … + anbn)2  (a12 + a22 + … + an2)(b12 + b22 + … + bn2). (*).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
(ở đây, ta sử dụng quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử cũng bằng 0).

x

Trong (*), chọn ai = yii, bi =

yi với xi, yi  R, yi > 0, ta thu được bất đẳng

thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức
Nếu x1, x2, …, xn là các số thực và y1, y2, …, yn là các số thực dương thì
x1

2

+

y1

y2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Để có thể sử dụng tốt bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, Ta cần quan sát, đưa ra
nhận xét (về điều kiện, về dạng phát biểu của bài tốn, …) và nhận biết mình cần
phải làm gì? Và tự đặt câu hỏi “Có cách nào giúp đơn giản hóa bài tốn hay khơng?”
và tìm cách trả lời câu hỏi đó. Để hiểu rõ hơn vấn đề, ta hãy xét những bài toán
sau. Bài 1. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng

a2
b+c
Phân tích
Nhận thấy rằng vế trái của bất đẳng thức có dạng phát biểu giống với dạng

phân thức của bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

x2


6


Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng
minh bất đẳng thức
gợi cho ta ý nghĩ sử dụng Cauchy - Schwarz để giải bài toán. Và nhận xét này đã giúp
ra giải quyết bài tốn thành cơng, theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có

∑
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Bài 2. Nếu a, b, c là các số thực dương thì

Định hướng và tìm tịi lời giải
Nhận thấy rằng vế trái của bất đẳng thức có dạng phân thức, điều này gợi cho
ta nghĩ đến việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức để chứng
minh bài tốn. Nhưng muốn vậy ta cần có sự xuất hiện của bình phương trên các tử
số, tuy nhiên ở đây lại khơng có. Ta có thể thêm vào các tử và mẫu các lượng a, b, c
tương ứng để bình phương xuất hiện, cụ thể là:

Đến đây ra có thể yên tâm sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz để thu được
∑

a(

Và như vậy bài toán sẽ được chứng minh xong nếu ta có
Đây lại là một kết quả cơ bản và khá quen thuộc.
Lưu ý rằng (2.2) xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi

Và (2.3) xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi a = b = c. Giải hệ này, ta tìm được
a = b = c.
Vì vậy bất đẳng thức đã cho xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi a = b = c.
Bài 3. Cho bốn số thực dương a, b, c, d. Chứng minh rằng:





Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức

Định hướng và tìm tịi lời giải
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, ta có:
VT =


a(b + c) + b(c + d) + c(d + a) + d(a + b)

=

(a + c)(b + d) + 2ac + 2bd

Mặt khác, theo bất đẳng thức AM - GM, ta lại có

(a + c)2

(a + c)(b + d) + 2ac + 2bd  (a + c)(b + d) +

2

+ (b + d)

2

2

(a + b + c + d)2
=

2

Kết hợp hai bất đẳng thức này lại, ta suy ra kết quả cần chứng minh.
Ta có (3.1) xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi
a
a(b + c)
Còn (3.2) xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi a = c và b = d. Từ hai điều kiện này, ta suy
ra bất đẳng thức đã cho xảy ra khi và chỉ khi a = c và b = d.
Nhận xét.
Ưu điểm của việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz trong các ví dụ vừa
rồi là có thể được thấy rõ ở bậc của các bất đẳng thức trước và sau khi sử dụng
Cauchy - Schwarz. Rõ ràng bậc của các bất đẳng thức giảm đi rõ rệt sau khi ta áp
dụng Cauchy - Schwarz, điều đó có nghĩa việc chứng minh các bất đẳng thức sau đó
sẽ dễ hơn rất nhiều.
Có thể cho rằng “Ta vẫn có thể sử dụng phép biến đổi trực tiếp ở đây nên
không cần thiết phải sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz làm gì”.
Khẳng định này đúng với (2),
có:
∑a(a + 2b)(c + 2a)  (a + 2b)(b + 2c)(c + 2a),

8



Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng
minh bất đẳng thức
2(a3 + b3 + c3) + 4(a2b + b2c + c2a) + (ab2 + bc2 + ca2) + 6abc
2(a2b + b2c + c2a) + 4(ab2 + bc2 + ca2) + 9abc,



2(a3 + b3 + c3) + 2(a2b + b2c + c2a)  3(ab2 + bc2 + ca2) + 3abc,

Đúng do theo bất đẳng thức AM - GM, ta có:
VT = 2(a3 + c2a) + 2(b3 + a2b) + 2(c3 + b2c) 


4ca2 + 4ab2 + 4bc2  3(ab2 + bc2 + ca2) + 3abc.
Nhưng với (3)
Việc thực hiện biến đổi trực tiếp để đánh giá với (3) là rất khó. Một bất đẳng

thức bốn biến số và chỉ có tính chất hốn vị vịng quanh giữa các biến chứ khơng đối
xứng. Mà để thực hiện biến đổi trực tiếp, ta cần phải sử dụng nhiều tính tốn (ngay cả
với ví dụ ba biến ở trên thì việc triển khai đã sử dụng khơng ít tính tốn), rất dễ mắc
sai lầm. Và nếu biến đổi thì sau khi biến đổi xong, ta sẽ được một bất đẳng thức hoán
vị bậc bốn với bốn biến số. Việc đánh giá các bất đẳng thức này thật không dễ. Như
vậy, việc sử dụng biến đổi trực tiếp ở đây là không khả thi và ta nên loại trừ.
Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz đã thể hiện ưu thế tuyệt đối của mình ở
những ví dụ này. Và ta có thể kết lại được tác dụng chính của bất đẳng thức Cauchy Schwarz là giúp đơn giản hóa bài tốn, đưa những cái phức tạp, cồng kềnh về những
cái đơn giản.
Tiếp theo là một số ví dụ khác.
Bài 4. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng

Lời giải
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, ta có
a
∑


a + 2bc
(a2 + 2abc) + (b2 + 2abc) + (c2 + 2abc)

Do đó ta chỉ cần chứng minh được (a + b + c)2  a2 + b2 + c2 + 6abc, (4.2)

Hay ab + bc + ca  3abc.
9


Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng
minh bất đẳng thức
Do a + b + c = 3 nên bất đẳng thức trên tương đương với
(a + b + c)(ab + bc + ca)  9abc,
Hiển nhiên đúng theo bất đẳng thức AM - GM.
Ta có (4.1) xảy ra đẳng thức khi
đẳng thức khi a = b = c. Kết hợp hai điều kiện này lại cho ta điều kiện đẳng thức của
cả bài toán là a = b = c.
Bài 5. Chứng minh rằng với mọi a, b, c > 0, ta có

Lời giải
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, ta có
a3

b

a + 2b

+


=

(a2 + b2 + c2)2
a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)

Ta phải chứng minh
 3(a2 + b2 + c2)  a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca),
(5.2) Hay a2 + b2 + c2  ab + bc + ca (5.3)
Đây là một kết quả cơ bản.
a2

b2

c2

Do (5.1) xảy ra đẳng thức khi a2 + 2ab = b2 + 2bc = c2 + 2ca

và (5.3) xảy ra đẳng thức khi a = b = c nên bất đẳng thức đã cho đạt được dấu bằng
khi và chỉ khi a = b = c.


Sau đây là một kỹ năng khác.


10


Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng
minh bất đẳng thức
Bài 6. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng
(a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2)  3(a + b + c)2 . (6)
Định hướng và tìm tịi lời giải
Vì ba biến a, b, c độc lập với nhau nên một cách tự nhiên, ta muốn tìm cách
đánh giá để làm giảm đi số biến.
Sự xuất hiện của a2 + 2 gợi cho ta nghĩ đến việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy

-

Schwarz cho đại lượng (a + b + c)2 như sau

(a + b + c)2

Và như thế ta có thể đưa bài tốn về chứng minh bất đẳng thức sau - một bất đẳng
thức hai biến
2

Hơn nữa ta có thể chắc chắn rằng (6.2) ln đúng.

(b

Thật vậy. Do tính chất độc lập của ba biến a, b, c nên (6.1) chắc chắn có thể
2
xảy ra đẳng thức (đạt được khi a = b + c).

Và vì bất đẳng thức đã cho đúng với mọi a, b, c bất kỳ nên nó cũng phải đúng
2
2
với a = b + c, tức là (6.2) phải đúng (vì khi a = b + c thì bất đẳng thức đã cho trở

thành (6.2)).
Bây giờ thực hiện phép khai triển, ta viết được (6.2) dưới dạng

b2 + c2

Đúng vì

b2 + c 2

+ b2c2 - 3bc + 1  0, (6.3)

2
 bc và bc + b2c2 - 3bc + 1 = (bc - 1)2  0.

2
2
Ta có (6.1) xảy ra đẳng thức khi a = b + c,

còn (6.3) xảy ra đẳng thức khi b = c và bc = 1.
Giải ra, ta tìm được điều kiện để đẳng thức xảy ra ở bất đẳng thức ban đầu là


11


Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng
minh bất đẳng thức
a = b = c = 1.
Cách khác.


(a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2)  3(a + b + c)2 . (6)

Nhận xét rằng đây là một bất đẳng thức không thuần nhất và các biến a, b, c
độc lập với nhau. Ta muốn dùng Cauchy - Schwarz để đánh giá bất đẳng thức này.
Muốn vậy, bạn hãy nhớ lại mục đính chính của ta trong mọi đánh giá là đưa bài tốn
về đơn giản nhất có thể.

Khơng mất tổng qt giả sử (a2 - 1)(b2 - 1)  0  a2.b2 + 1  a2 + b2 (*)
Vậy (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) = [a2.b2 + 2(a2 + b2) + 4].(c2 + 2)
(*)
 [a2 + b2 + 2(a2 + b2) + 3].(c2 + 2)
= 3(a2 + b2 + 12)(12 + 12 + c2)  3(a + b +
c)2 dấu bằng khi và chỉ khi a = b = c = 1
Bài 7. Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực bất kỳ a, b, c
(a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1)  (ab + bc + ca - 1)2 . (7)
Lời giải
Bằng phương pháp suy luận giống như ở bài toán trước, ta muốn áp dụng bất
đẳng thức Cauchy - Schwarz với biểu thức bình phương bên vế phải sao cho đại
lượng a2 + 1 xuất hiện trong đánh giá. Ta thực hiện như sau


VP = a(b + c) + (bc - 1)
Và như vậy, ta chỉ cần chứng minh được
(b + c)2 + (bc - 1)2  (b2 + 1)(c2 + 1). (7.2)
Thế nhưng đây thực chất chỉ là một hằng đẳng thức.
Đẳng thức ở đánh giá (7.1) xảy ra khi và chỉ khi a(bc - 1) = b +
c, hay a + b + c = abc.
Vậy ở bất đẳng thức đã cho, ta có đẳng thức xảy ra khi và chỉ
khi a + b + c = abc.
Nhận xét. Thật ra ta có hằng đẳng thức
(a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1) = (ab + bc + ca - 1)2 + (a + b + c - abc)2 (7.3).
12


Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức
Sử dụng hằng đẳng thức này, ta có thể chứng minh được bất đẳng thức dưới
đây bằng phương pháp tương tự như hai bài toán vừa xét.

Bài 8. Cho các số thực a, b, c, d thỏa mãn (a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1)(d2 + 1) = 16.
Chứng minh bất đẳng thức: -3  ab + ac + ad + bc + bd + cd - abcd  5. (8)
Lời giải
Dễ thấy bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
(ab + ac + ad + bc + bd + cd - abcd - 1)2  16, (8.1)
Hay là
[a(b + c + d - bcd) + (bc + ca + db - 1)]2  16. (8.2)
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta có
VT  (a
Và như thế ta chỉ cần chứng minh được
(b + c + d - bcd)2 + (bc + cd + db - 1)2  (b2 + 1)(c2 + 1)(d2 + 1).
(8.4) Đây chính là hằng đẳng thức (7.3) mà ta vừa đề cập ở trên.
Bài 9. Chứng minh rằng với mọi a, b, c dương, ta đều có
a(b + 1) +



3

c(a + 1)  2 (a + 1)(b + 1)(c + 1). (9)

b(c + 1) +

Phân tích và tìm tịi lời giải
Đây là một bất đẳng thức không thuần nhất và các biến độc lập với nhau. Đó
chính là lợi thế của bài toán, việc đánh giá riêng lẻ sẽ dễ dàng hơn những bất đẳng
thức có điều kiện. Ta quan sát và có để ý rằng đại lượng
vế phải của bất đẳng thức đã cho đều chứa

a + 1. Do đó nếu ta sử dụng Cauchy -

Schwarz đánh giá biểu thức còn lại của vế trái là
1 xuất hiện thì ta có thể giản bớt

c(a + 1) và biểu thức bên

a(b + 1) +

b(c + 1) sao cho

a+

a + 1 ở hai vế. Và như thế ta chỉ còn một bất đẳng

thức hai biến, lẽ đương nhiên là nó sẽ dễ chứng minh hơn bất đẳng thức ban đầu. Với
những ý tưởng như vậy, ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz như sau

a(b + 1) +

b(c + 1)  (a + 1)[(b + 1) + b(c + 1)].

(9.1) Như thế ta chỉ cần chứng minh

13


Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng
minh bất đẳng thức
b(c + 2) + 1 +

3

c  2 (b + 1)(c + 1). (9.2)

Phân tích tương tự như trên, ta muốn áp dụng Cauchy - Schwarz một lần nữa cho vế
trái của (9.2) sao cho nhân tử

b + 1 xuất hiện. Theo đó ta sẽ chỉ cịn một bất đẳng

thức một biến số… Ý tưởng đã rõ. Bây giờ ra chỉ cần thêm một chút quan sát nữa là
được. Bạn hãy để ý rằng đại lượng b(c + 2) + 1 cịn thiếu một lượng c + 1 thì có thể
phân tích ra được b + 1, cái mà chúng ta cần. Do đó ta sẽ sử dụng bất đẳng thức
Cauchy - Schwarz để bổ sung lượng đó cho nó, cụ thể là

Cuối cùng ta chỉ cần chứng minh được

Hay
Đúng theo bất đẳng thức AM - GM

Ta có (9.1) xảy ra dấu bằng khi ab(c + 1) = b + 1, (9.3) xảy ra dấu bằng khi
b(c + 2) + 1 =
còn (9.6) xảy ra dấu bằng khi c = 1.
Kết hợp những điều kiện này lại, chúng ta tìm được điều kiện để xảy ra dấu đẳng
thức ở bất đẳng thức ban đầu là a = b = c = 1.
Bài 10. Cho x, y, z > 1 và


Lời giải

14

Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng
minh bất đẳng thức
Một cách tự nhiên, ta muốn áp dụng Cauchy - Schwarz cho biểu thức bên phải sao
cho sau bước đánh giá, ta thu được đại lượng x + y + z làm nhân tử. Với ý tưởng như
vậy, ta nghĩ ngay đến việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz như sau

(∑ x - 1)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

3
Giải ra, ta tìm được x = y = z = 2.
3
Vậy bất đẳng thức đã cho xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi x = y = z = 2.

Bài 11. Cho bốn số thực dương a, b, c, d thỏa mãn: a + b + c + d =
Chứng minh rằng
a+b+c+d
Lời giải
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta có

2

 a +1+ b

2




(a + b + c + d)
= (a + b + c + d)a + b + c + d +
Từ đây suy ra

2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

a+b+c+d=


Giải hệ phương trình này ta tìm được điều kiện để đẳng thức xảy ra
là a = b = c = d = 1.

15




Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức
Bài 12. Cho n số thực dương a1, a2, …, an có tổng bằng 1. Chứng minh
1

+…+

1 + a1

Lời giải

1 + a1 + a2 + … + a n

Để việc đánh giá được thuận lợi, ta đặt a0 = 0. Khi đó ta phải chứng minh

1+a +a
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta được



Ta cần chứng minh

Để ý rằng với mọi 1  i  n, ta có
ai
(1 + a0 + … + ai)

2

Do đó
i = n


P< 
i =1

1
=



1 + a0

Bài toán được chứng minh xong.
Bài 13. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng

1 + a0
-

<


16