De thi HSG

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (115.92 KB, 3 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Sở Giáo dục-Đào Tạo
Bắc Giang

Đề chính thức

Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh
Lớp 9. Năm học 2005-2006

Ngày thi: 01 tháng 4 năm 2006
Môn thi: Toán

Thời gian làm bài: 150 phút.
Bài 1 (4 điểm).

1) Cho

a a22006

 

b b22006



2006. H·y tÝnh tỉng a + b.

2) Gi¶i hệ phơng trình

2 2
3 3

1
1
x y
x y

Bài 2(4 điểm).

1) Cho P(x) là đa thức với hệ số nguyên không âm và không lớn hơn 8, biết
P(9)=32078. Tìm đa thức P(x).

2) Giải phơng trình x 1 x4 2x2 1 0

    

Bµi 3(4 điểm).

1) Tìm x, y nguyên dơng thoả mÃn phơng tr×nh 2x 153 y2

  .

2) Cho a, b, c là ba số thực dơng không nhỏ hơn 1. Chứng minh r»ng:

3 3 3

1 1 1 3

1a 1b 1c 1abc

Bài 4(6 điểm). Cho tam giác ABC cân tại A, BAC 300

 . O là một điểm nằm trên đờng

trung tuyến AD sao cho AO=OC. Các đờng BO, CO lần lợt cắt các đoạn AC, AB tại các
điểm tơng ứng E, F. Gọi M, N, P, Q lần lợt là trung điểm các đoạn thẳng BO, OF, BF,
CE.

1) Chứng minh tứ giác CMNE nội tiếp đợc một đờng tròn.
2) Chứng minh tam giác MNQ là tam giác đều.

3) Gọi H là trực tâm của tam giác MNQ, chứng minh H, O, A thẳng hàng.

Bi 5(2 im). Cho đa giác lồi 2006 cạnh, các đỉnh của nó đợc đánh số theo thứ tự từ 1,
2, đến 2006. Ngời ta lại dùng đúng các số 1, 2, ..., 2006 để đánh số lại các đỉnh theo qui
tắc: đỉnh đợc đánh số 1 (lần đầu) đợc đánh số 2005, các đỉnh còn lại đánh tuỳ ý sao cho
mỗi đỉnh đợc đánh đúng một số trong tập hợp các số {1, 2,..., 2004, 2006} . Gọi S là
tổng các giá trị tuyệt đối của hiệu số giữa số mới và số đánh ban đầu tại mỗi đỉnh của đa
giác đó. Xỏc nh tớnh chn, l ca S.

...Hết...

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Đáp ¸n vµ híng dÉn chÊm bµi thi HSG cÊp tØnh

môn toán lớp 9 - năm học 2005-2006

(Đề chÝnh thøc b¶n híng dÉn cã 3 trang)

Chú ý: Dới đây chỉ là sơ lợc từng bớc giải và cách cho điểm từng phần của mỗi bài, bài làm của 
học sinh yêu cầu phải chi tiết, lập luận chặt chẽ. Nếu học sinh giải cách khác đúng thì chấm điểm từng 
phần tơng ứng.

Bµi 1(4 ®iĨm):

1)(2®)Ta cã



a a2 2006

 

b b22006



2006 (1)





a a22006



b b22006

 

a22006 a



2006



a22006 a



 b b2 2006 a2 2006 a

      a b  a22006 b22006 (2)

L¹i cã (1) 



a a22006

 

b b22006

 

b22006 b



2006



b2 2006 b



 a a2 2006 b2 2006 b a b b2 2006 a2 2006

           (3)

tõ (2) và (3) suy ra a+b=0.

2)(2đ)Từ phơng trình x2+y2=1 suy ra x 1 vµ y 1 suy ra x2  x3 vµ y2  y3 suy ra

x2+y2  x3+y3 mµ x2+y2 = x3+y3=1

Do đó hệ đã cho tơng đơng với

2 3
2 3
2 2 1
x x
y y

x y

 






 



từ đó ta có nghiệm của hệ đã cho (x; y )= (0;1) và (x; y )= (1;0).

Điểm

0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0,5
0,5
0.5

Bài 2(4 điểm):

1)(2) Gi sử đa thức cần xác định là P(x)= n 1 n 1 .... 1 1 0

n n

a x a x  a x a



    víi a0, a1, ..., an là các

số nguyên không âm và không lớn hơn 8, hệ số của bậc cao nhÊt kh¸c 0.
Tõ 32078=P(9)= 9n 19n 1 .... 19 0

n n

a a  a a



     32078-a0=an9nan19n1....a19 (1)

chia hết cho 9 mà a0 là số nguyên không âm và nhỏ hơn hoặc bằng 8 nên a0 chØ cã thÓ b»ng 2.

Thay a0=2 vào (1) và chia cả hai vế cho 9 ta lại đợc

3564=an9n1 an 19n2 .... a1


   , lập luận tơng tự nh trên liên tục ta đợc a1=a2=0, a3=8, a4=4 v

a5=a6=...an=0. Vậy đa thức cần tìm là P(x)= 4x4+8x3+2. (mỗi giá trị a1, a2, a3, a4 ,KL tính 0.25)

2)(2 ®). §K: x1.

Ta cã x 1 x4 2x2 1 0

      x 1 (x21)2 0

vÕ trái là tổng các số không âm suy ra x= - 1.
So sánh với điều kiện và kết luận

0.25
0.5
1.25
0,5
1
0,5

Bài 3(4 ®iÓm).

1)(2®) Ta cã 2x 153 y2

   y2 2x 153 (1)

+Với x chẵn: đặt x=2m (m nguyên dơng) suy ra (1) (y 2 )(m y 2 ) 153m

    .

Chỉ ra y+2m>y-2m và y+2m là ớc số nguyên dơng của 153 do đó từ PT(1) suy ra hoặc
2 9

2 17
m
m

y
y

  




 




hc 2 3

2 51
m
m

y
y

  




 




hc 2 1

2 153
m
m

y
y

  




 




giải các hệ đợc (x=4, y=13) thoả mãn.

+ Víi x lỴ: suy ra (1) y2 2x 153 2x 1 150 2

       (2).

chØ ra: VT(2) chia cho 3 d 0 hc 1, VP(2) chia cho 3 d 2 suy ra PT(2) v« nghiệm
Vậy x=4 và y=13 là các số cần tìm.

2)(2đ) Víi a, b, c 1, chøng minh 1 3 1 3 1 3 3

1a 1b 1c 1abc (1)
+Tríc hÕt ta chøng minh víi a, b1 th× 1 2 1 2 2

1a 1b 1ab (2)

Thậy vậy: (2)  (a-b)2(ab-1) 0 (điều này hiển nhiên đúng do a, b1). Dấu bằng xảy ra khi và

chØ khi a=b.

0,5

0,5
0,5
0.5

0,5
0,5

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

+Trë l¹i chøng minh (1). Víi mäi d 1, ¸p dơng (2) ta cã:

3 3 3 3 3 3 3 3

1 1 1 1 2 2

1a 1b 1c 1d 1 a b 1 c d =

3 3 3 3 4 3 3 3 3

1 1 2

2 2.

1 a b 1 c d 1 a b c d

 

 

 

  

 

. Chän d=3 abc d3 abc

 

từ đó suy ra kết quả. Dấu bằng xảy ra khi v ch khi a=b=c=d.

0,5
0.5

Bài 4(6 điểm)

1)(2đ) Do ABC cân tại A và Â=300 nên

750

ABCACB .

Từ OAC cân tại O và OAC 150

suy ra

600

OCB OBC  suy ra OBC và OEF là các
tam giác đều

từ đó suy ra CMBO, ENOF

suy ra tứ giác CMNE nộitiếp đợc một đờng tròn.
2)(2đ) Từ 1) suy ra QM=QN=1

2CE (cùng bằng
bán kính đờng tròn ngoại tiếp tứ giác CMNE).
Mặt khác MN là đờng trung bình trong tam giác
OBF nên MN=1

2BF=
1

2CE(dễ cm)

từ đó suy ra MNQ là tam giác đều.

Q
P

E
F

D
A

B C

3)(2đ) +Chứng minh tứ giác MHON nội tiếp đợc một đờng tròn (vì MHN MON 1200

  vµ O,H

n»m vỊ mét nửa mặt phẳng bờ MN )
Suy ra NOH NMH 1800

 

ChØ ra NMH NOA 300

 

suy ra NOH NOA 1800

. Suy ra đpcm.

0.5
0.5
0,5
0,5
0,5
1
0,5

0,5
0,5
0,5
0,5

Bài 5(2điểm)

Gi a a1, ,...,2 a2006là các số đợc đánh lại lần lợt từ đỉnh đợc đánh số 1 (lần đầu) cho đến hết,
1, ,...,2 2006

a a a là các số tự nhiên khác nhau thc tËp hỵp {1, 2, ..., 2006}.
Ta cã nÕu a, b >0 th× a b  a b 2 max ,



a b



XÐt S= a11 a2 2 ...  a2006 2006 =



a11a2  2 ... a2006 2006

 

 a1 1 a22 ... a20062006





a1 1 a22 ... a20062006



= =



a11 a11) ( a22 a2 2 ) ... (  a20062006 a2006 2006





1 2 ... 2006  

 

 a1a2...a2006



= 2max{a1, 1}+2max{a2, 2}+...+2max{a2006, 2006} – 2(1+2+...+2006)

VËy S là số chẵn.

0.5
0,5

0,5

</div>

De thi HSG

 



<i>(Đề chÝnh thøc b¶n híng dÉn cã 3 trang)</i>

<i><b> </b></i>



 







 









 

 













 













 



Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về