ToanHocTHPTTuyenTapDeThiOLYMPIC2000NguyenHuuDienTap1

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (309.58 KB, 13 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Giải tích tốn học. Tập 1. NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007.
Từ khố: Giải tích tốn học, giải tích, tập hợp, số thực, ánh xạ.

Tài liệu trong Thư viện điện tửĐH Khoa học Tự nhiên có thể được sử dụng cho mục 
đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục 
vụ các mục đích khác nếu khơng được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả.

M

ụ

c l

ụ

c

Chương 1 Tập hợp và số thực... 2

1.1 Khái niệm về tập hợp ... 2

1.2 Số thực ... 4

1.3 Ánh xạ... 9

1.4 Bài tập chương 1 ... 11

Chương 1

.

T

ậ

p h

ợ

p và s

ố

th

ự

c

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Ch

ươ

ng 1

T

ậ

p h

ợ

p và s

ố

th

ự

c

1.1

Khái ni

ệ

m v

ề

t

ậ

p h

ợ

p

1.1.1 Tập hợp

Cho tập hợp M, để chỉx là phần tử của tập M ta viết x M∈ (đọc là x thuộc M), để chỉ x
không phải là phần tử của tập M ta viết x M∉ (đọc là x khơng thuộc M).

Tập hợp M chỉ có một phần tửa, kí hiệu là { }a .

Tập hợp M khơng có phần tử nào gọi là tập rỗng, ký hiệu là ∅ .

Cho hai tập A và B. Nếu mỗi phần tử của Ađều là phần tử của B ta nói rằng A là tập con

của B và ta viết A⊆B.

Nếu A là tập con của B và A B≠ ta nói rằng A là tập hợp con thực sự của tập hợp B và
viết là A⊂B. Trong trường hợp này tồn tại ít nhất một phần tử trong B mà không phải là
phần tử của A. Ví dụ như tập hợp các số nguyên ] là tập con của tập hợp các số hữu tỷ _.

Cho A, B, C là ba tập hợp. Khi đó có tính chất sau:

a) ∅ ∈A (1.1.1)
)

)

⊆ ⊆ ⇒

⊂ ⊂ ⇒ ⊂

b

c

vµ = (1.1.2)

vµ (1.1.3)

A B B A A B 
A B B C A C. 
1.1.2 Một số tập hợp thường gặp

Trong các giáo trình đại sốở trường phổ thơng trung học ta đã làm quen với tập hợp các
số tự nhiên `

`={ 0,1,2,…, n,…} (1.1.4)

`*={1,2,… n,…}. (1.1.5)

Để xét nghiệm của phương trình x+n = 0 trong đó n∈` ta đưa thêm tập các số nguyên
]:

{

0, 1, 2,..., ,...

}

= ± ± ±

] n . (1.1.6)

Để xét nghiệm của phương trình mx + n = 0 trong đó ,m n∈] ta đưa thêm tập các số hữu
tỷ _

| , 0,

⎧ ⎫

=⎨ = ≠ ∈ ⎬

⎩ ⎭

m

x x n m,n

n

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Ta đã biết bốn phép toán cơ sở (cộng, trừ, nhân, chia) của số hữu tỷ và cách sắp xếp
chúng theo độ lớn (nếu a, b là hai số hữu tỷ, thì một trong chúng bé hơn số thứ hai). Tổng
a+b, hiệu a - b, tích a.b, thương a (b 0)

b ≠ của hai số hữu tỷ a,b lại là số hữu tỷ, nhưng với
các phép toán khác nếu chỉ xét trên tập các số hữu tỷ, ta thấy những điều nêu trên không cịn

đúng nữa. Ví dụ phép lấy căn là phép tốn như vậy. Ta hãy tìm căn bậc hai của số 2, tức là
tìm một số x mà bình phương của nó bằng 2. Ta khẳng định rằng khơng có số hữu tỷ nào mà
bình phương của nó bằng 2. Giả sử rằng số hữu tỷ x như vậy tồn tại, ta có thể viết dưới dạng
phân số tối giản p

q , trong đó p và q chỉ có ước số chung là 1± . Khi đó

2 2

2 =2; 2=

p

p q

q cho

nên p2 là số chẵn và do đó p cũng là số chẵn, p = 2m, trong đó m là số nguyên, do đó
4m2=2q2, 2m2=q2 cho nên q2 là số chẵn và vì thế q là số chẵn. Như vậy p,q là các số chẵn,

điều này mâu thuẫn với giả thiết là p,q chỉ có ước chung là 1± . Mâu thuẫn nhận được chứng
minh khẳng định trên.

Từ nguyên nhân này, trong toán học ta đưa thêm vào những số mới, đó là các số vơ tỷ. Ví
dụ vể số vơ tỷ là 2, 3, lg3, π, sin20o…

Tập các số hữu tỷ và các số vô tỷđược gọi là tập các số thực và kí hiệu là \. Như vậy ta
có bao hàm thức:

.
⊂ ⊂ ⊂

` ] _ \ (1.1.8)

1.1.3 Các phép toán trên tập hợp

a) Hợp A B∪ của tập hợp A và tập hợp B, đọc là “A hợp B” là tập hợp được định nghĩa
bởi:

{ | }

∪ = ∈ ∈

A B x x Ahc x B . (1.1.9)

b) GiaoA B∩ của hai tập hợp A và B, đọc là “A giao B” là tập hợp định nghĩa bởi:

{ | }

A B∩ = x x A∈ vµ x∈B . (1.1.10)
c) Hiệu A B| ={ |x x∈A vµ x∉B}. (1.1.11)
Ta nói rằng các tập A và B là rời nhau nếu A B∩ = Φ.

d) Bổ sung CAB của B trong A (B⊆ A) là tập hợp định nghĩa bởi

={ | ∈ vµ ∉ }
A

C B x x A x B (1.1.12)
Phép giao, hợp và bổ sung có các tính chất sau:

i) (A∩B)∩ =C A∩(B∩C) (1.1.13)

ii) (A∪B)∪ =C A∪(B∪C) (1.1.14)

iii) (A∩B)∪ =C (A∪C)∩(B∪C) (1.1.15)

iv) (A∩B)∪ =C (A∩C)∪(B∩C) (1.1.16)

v) A\ ∅ = A, \ A=∅ ∅ (1.1.17)

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

vii) CA(B1∩B2)=C BA 1∪C BA 2. (1.1.19)

1.1.4 Tích Đề các

Cho hai tập hợp A,B khơng rỗng. Tích Đề các của hai tập hợp A và B, kí hiệu là A×B là
tập hợp các cặp (x,y) trong đó x∈A y, ∈B, đồng thời (x,y)= (a,b) khi và chỉ khi x = a, y =

b.

Như vậy

A×B ={(x,y)| x∈A y, ∈B} (1.1.20)
Thay cho A×A ta viết là A2

Ví dụ: {1,2}×{2,3,4} = {(1,2); (1,3); (1,4); (2,2); (2,3); (2,4)}
Ngoài ra {1,2}2 ={(1,1); (1,2); (2,1); (2,2)}.

1.1.5 Các kí hiệu lơgic

Bây giờ giả sửM là một tập hợp và t là một tính chất nào đó của các phần tử của tập M.
Nếu phần tử x∈M có tính chất t ta viết t(x). Gọi c(t) là tập hợp của tất cả các phần tử của tập
M có tính chất t:

c(t) ={ x∈M|x có tính chất t} (1.1.21)
hay

c(t) ={ x∈M|t(x)} (1.1.22)

khi đó nếu

c(t) = M

thì mọi phần tử của Mđều có tính chất t, ta nói rằng “với mọi x∈M , x có tính chất t” và ta
viết ∀ ∈x M : t(x) hay ( )

x M∈∀ t x .

Ký hiệu ∀ gọi là ký hiệu phổ biến.

Nếu c t( )≠∅ , thì có ít nhất một phần tử x∈M , x có tính chất t” và viết
: ( ) hay ( )

x M

x M t x t x

∈

∃ ∈ ∃

Ký hiệu ∃ gọi là ký hiệu tồn tại.

1.2

S

ố

th

ự

c

1.2.1 Phép cộng và nhân các số thực

Xét tập hợp các số thực \. Ta có thể xác định phép cộng và nhân hai số thực bất kì a và
b. Phép tốn cộng cho tương ứng hai số thực a và b với số thực được ký hiệu là a+b, phép
nhân cho tương ứng hai số thực a và b với số thực được kí hiệu là a.b sao cho thoả mãn các

tính chất sau: Với mọi số thực a,b và c.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

b) a+(b+c) = (a+b)+c (tính chất kết hợp),
c) a.b = b.a (tính chất giao hốn ),

d) a(b.c) = (a.b).c (tính chất kết hợp),
e) (a+b).c = a.c+b.c (tính chất phân phối),

f) Tồn tại duy nhất số 0 sao cho a+0 = a ∀ ∈a \,

g) Với mọi a, tồn tại số – a sao cho a + (−a) = 0,
h) Tồn tại duy nhất số 1≠0 sao cho a.1 = a ∀ ∈a \,

i) Với mọi sốa≠0, tồn tại sốa-1 sao cho a.a-1= 1, sốa-1 cịn được kí hiệu là 1

a.

Chú ý: Số (−a) và sốa-1 nói trong tính chất g) và i) là duy nhất. Thật vậy, ví dụ như nếu tồn tại

sốb≠−a thoả mãn điều kiện a+b =0, thì a+b+ (−a)= −a, từđây a+ (−a)+b=−a hay 0+b = −
a và b= −a, mâu thuẫn.

1.2.2 So sánh hai số thực a và b

Cho hai số thực bất kì a và b. Khi đó chỉ có thể xảy ra một trong ba trường hợp sau:
a = b (a bằng b), a > b (a lớn hơn b) hay b > a (b lớn hơn a).

Mệnh đề “=” có tính chất: nếu a=b và b=c thì a=c.
Mệnh đề “>” có tính chất sau: Với mọi số thực a,b và c.
a) Nếu a > b và b > c thì a > c

b) Nếu a > b thì a+c > b+c. 
c) Nếu a > 0, b > 0 thì ab > 0.

Mệnh đềa≥b nghĩa là hoặc a=b, hoặc a>b.

Các mệnh đềa < b, a ≤ b, a > b, a ≥ bđược gọi là các bất đẳng thức. Các bất đẳng thức
a <b, a >bđược gọi là các bất đẳng thức thực sự.

Số thực a thoả mãn bất đẳng thức a>0 được gọi là số dương.
Số thực a thoả mãn bất đẳng thức a<0 được gọi là số âm.
1.2.3 Tính liên tục của tập hợp số thực

Định lí 1.2.1 Giả sử X và Y là hai tập hợp các số thực thoả mãn điều kiện sau:

x≤y ∀ ∈x X,∀ ∈y Y . (1.2.1)
Khi đó tồn tại một sốc sao cho

≤ ≤ ∀ ∈ ∀ ∈

x c y x X, y Y . (1.2.2)
Chú ý rằng chỉ có tập hợp các số thực mới có tính chất này. Ví dụ như, giả sử

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Y = {y hữu tỉ | y > 2}.

Khi đó đối với mọi x∈X với mọi y∈Y thoả mãn x≤y, nhưng không tồn tại số hữu tỉc
nào sao cho x≤ ≤c y. Thật vậy, số như vậy chỉ có thể là 2, nhưng 2 khơng phải là số

hữu tỉ.

Trong lý thuyết số vô tỉ người ta chứng minh được rằng với hai số thực bất kì α β, trong
đó α < β ln ln tìm được một số thực và đặc biệt một số hữu tỉ r nằm giữa hai sốđó (và
thành thử có một tập vơ số các số vơ tỉ như vậy nằm giữa α và β).

1.2.4 Cận của tập hợp số

Giả sửM là tập hợp số (tức là tập hợp mà các phần tử của nó là những số thực). Tập hợp
M được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số thực k sao cho

x≤k ∀ ∈x M . (1.2.3)
Số k bất kì có tính chất như vậy được gọi là cận trên của tập M. Do đó tập hợp M là bị

chặn trên nếu có ít nhất một cận trên. Nếu tập M có một cận trên thì nó có vơ hạn cận trên, bởi
vì nếu sốk là cận trên thì bất kì sốl nào lớn hơn k là cận trên. Một câu hỏi được đặt ra là liệu
có tồn tại số nhỏ nhất trong các cận trên của tập M. Số nhỏ nhất như vậy gọi là cận trên đúng
của tập M và kí hiệu là sup M.

Cận trên đúng của tập M có tính chất sau:

∀ >ε 0, ∃ ∈x M xsao cho > supM -ε.

Thật vậy, nếu số x như vậy không tồn tại thì số supM−ε cũng là cận trên và khi đó số

supM khơng phải là cận trên đúng của tập M. Nói một cách khác, tính chất này nói lên supM
là số nhỏ nhất trong số các cận trên của M.

Ví dụ 1: Tìm cận trên đúng của tập

1 1 1
{1, , ,..., ,...}.

2 3

M

n
=

Giải: Ta thấy < 1 ≤ ∀ ∈`*

0 1 n

n , vì thế tập hợp M bị chặn trên, dễ thấy số 1 là cận
trên. Ta hãy chứng minh số 1 là cận trên đúng của M. Thật vậy ∀ >ε 0, ta phải tìm được số

tự nhiên n sao cho 1 1

n > −ε . Số n này, ví dụ là n = 1.
Ví dụ 2: sup(0,1) = sup[0,1] = 1.

Bây giờ ta có thểđịnh nghĩa cận trên đúng của tập M một cách khác như sau:
Số supMđược gọi là cận trên đúng của tập M bị chặn trên nếu

a) x≤supM ∀ ∈x M (1.2.4)

b) ∀ >ε 0, ∃ ∈x M sao chox >supM -ε (1.2.5)
Tập hợp sốMđược gọi là bị chặn dưới, nếu tồn tại sốg sao cho

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Mọi sốg có tính chất này gọi là cận dưới của tập hợp M. Do đó tập M bị chặn dưới, nếu
nó có ít nhất một cận dưới.

Số lớn nhất trong các cận dưới của tập M gọi là cận dưới đúng của M và được kí hiệu là
inf M.

Ví dụ 3: Xét tập M=(a,b)

Hiển nhiên số a và số bất kì bé hơn a là cận dưới của M. Hiển nhiên số a là cận dưới

đúng của tập M, tức là a= inf M.

Tương tự nhưđối với cận trên đúng, cận dưới đúng có tính chất sau:

∀ ∃ ∈ε, x M sao cho x < inf M +ε. (1.2.7)

Ví dụ 4: Xét tập {1, , ,...,1 1 1,...}
2 3

M

n
=

Ta chứng minh rằng số 0 là cận dưới đúng của tập M.
Thật vậy, ∀ >ε 0, ta phải tìm được số tự nhiên n sao cho

< +ε

0 ,

n hay < ⇒ >ε ε

1 1

n

n .

Điều này nghĩa là số 0 là cận dưới đúng của tập M, tức là inf M = 0.
Ví dụ 5: inf(0,1) = inf[0,1] = 0.

Trong các ví dụ trên, ta thấy sup M, inf M có thể thuộc M, cũng có thể khơng thuộc M.
Định lí 1.2.2Tập hợp số khơng rỗng bất kì bị chặn trên (dưới) có cận trên (dưới) đúng.

Chứng minh: Giả sửX là tập hợp số không rỗng bị chặn trên. Khi đó tập hợp Y các số là
cận trên của tập X không rỗng. Theo định nghĩa của cận trên suy ra rằng đối với bất kì x∈X
và bất kì y∈Y ta có bất đẳng thức.

x≤ y.

Dựa vào tính chất liên tục của tập hợp các số thực, tồn tại một sốc sao cho
≤ ≤ ∀ ∈ ∀ ∈

x c y x X, y Y . (1.2.8)

Từ bất đẳng thức thứ nhất trong (1.2.8) suy ra số c chặn trên tập hợp X, từ bất đẳng thức
thứ hai trong (1.2.8) suy ra c là số bé nhất trong các cận trên của X, tức là cận trên đúng của
tập X.

Ví dụ 6: Chứng minh rằng tập hợp các số nguyên

X= {…,−3, −2, −1,0,1,2,3,…}
không bị chặn trên, cũng không bị chặn dưới, tức là

supX= +∞ và inf X= − ∞.

Thật vậy, giả sử ngược lại, tập hợp X bị chặn trên. Khi đó theo định lí trên, nó có cận trên

đúng

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Theo tính chất của cận trên đúng, đối với ε =1, ta tìm được một số nguyên x∈X sao
cho

x > c – 1

nhưng khi đó x+1> c. Bởi vì x+ ∈1 X, điều này có nghĩa là c không phải là cận trên đúng
của tập hợp X, mâu thuẫn với điều nói ở trên.

Ví dụ 7: Giả sửX và Y là hai tập hợp số. Hãy chứng minh rằng nếu Y ⊂ X thì supX ≥ supY.
Giải: Giả sử supX = A, supY = B. Ta phải chứng minh B≤A. Giả sử ngược lại B > A. Khi

đó dựa vào tính chất cận trên đúng, ∀ > ∃ ∈ε 0, y Y sao cho > y B−ε .

Bởi vì: B− A >0, nên ta có thể lấy ε = B−A. Ta nhận được y >B−ε = B –B +A, tức là y
> A.

Nhưng y∈Y và Y ⊂ X nên y∈X , theo định nghĩa sup suy ra y≤ A. Mâu thuẫn nhận

đựơc chứng tỏ rằng B≤ A.

Ta có thể chứng minh khẳng định trên bằng cách khác như sau:
Bởi vì Y ⊂ X nên ∀ ∈x X và ∀ ∈y Y ta có

≤sup , ≤sup

x X y X và y≤supY.

Nhưng supY là số thực nhỏ nhất trong các cận trên của Y và supX là một trong số cận trên
của Y nên

sup Y≤sup X.

Nếu tập Mđồng thời bị chặn dưới và bị chặn trên, ta gọi là tập bị chặn.

Cuối cùng nếu tập M khơng bị chặn trên, thì ta nói rằng cận trên đúng của tập đó là +∞,
sup M = +∞. Tương tự nếu tập M không bị chặn dưới, ta nói rằng cận dưới đúng của tập đó là
− ∞, inf M=− ∞.

Ví dụ như sup(0,+ ∞) = +∞, inf(− ∞,0)= − ∞.

Giả sửM là tập hợp các số thực, nếu tồn tại một phần tử lớn nhất trong các phần tử của
tập M, thì ta kí hiệu phân tử đó là maxM. Tương tự ta kí hiệu phân tử nhỏ nhất của tập M là
minM.

Ví dụ như max{2, –3, –5,0} = 2, min{2,–3, –5,0}=–5,

|x|=max {(–x,x)} ∀x.

1.2.5 Trục số thực

Bây giờ ta tìm cách biểu diễn hình học tập các số thực.

Ta lấy một đường thẳng nằm ngang và trên đó ta lấy một điểm 0 nào đó làm gốc. Ta chon
một độ dài thích hợp làm đơn vị và đặt độ dài đó liên tiếp nhau từ điểm 0 sang trái và sang
phải sao cho trải khắp đường thẳng. Ví dụ như số 2 được biểu diễn bằng “điểm 2”, tức là điểm

ở bên phải điểm 0 với khoảng cách 2 đơn vị.

Ta gọi đường thẳng nói trên là đường thẳng thực hay trục số. Bất kỳ một số thực nào
cũng được ứng với một điểm trên đường thẳng thực và ngược lại, bất kì một điểm nào trên

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

gọi là toạ độ của điểm M. Thông thường người ta không phân biệt “điểm a” nằm trên đường
thẳng thực và số thưc a (là toạđộ của điểm đó).

Tập hợp \ khơng có phần tử cực đại và phần tử cực tiểu, bởi vì đối với một số thực x bất
kì luôn luôn tồn tại hai số y và z sao cho y< x< z (ví dụy = x −1, z = x+1). Vì thế ta hãy bổ

sung vào tập \ hai phần tử mới mà ta ký hiệu là +∞, − ∞ và ta gọi chung là các điểm vô tận
của trục thực. Ta ký hiệu tập mới xuất hiện như vật là \*. Như vậy là

\*= \∪ {− ∞, +∞}. (1.4.2)

Tập hợp R* ta sẽ gọi là trục thực mở rộng. Cuối cùng ta chú ý thêm là

− ∞ < a < +∞, ∀ ∈a \. (1.4.3)

1.3

Ánh x

ạ

Trong phần này chúng ta sẽ trình bày một vài khái niệm về ánh xạ mà nó rất có ích cho
việc nghiên cứu lý thuyết hàm số sau này.

1.3.1 Định nghĩa

Cho hai tập hợp A và B. Ánh xạ từ tập hợp A tới tập hợp B là một quy luật f cho tương

ứng mỗi phần tử x∈A với một và chỉ một phần tử y∈B.
Ví dụ 1: Cho A =B =\.

Qui luật y = x3 cho tương ứng mỗi x∈\ với một và chỉ một y∈\, nên qui luật trên là
một ánh xạ từ \ tới \.

Ví dụ 2: Cho A = B= {x |x∈\, x≥0}.

Qui luật y= x cho tương ứng mỗi x∈A với một và chỉ một y∈B, nên là một ánh xạ
từA tới B

Để diễn tảf là ánh xạ từ tập hợp A tới tập hợp B ta viết f: A→B hay ⎯⎯→f

A B và gọi

A là tập xác định của ánh xạf.

Phần tử y∈B tương ứng với x∈A bởi qui luật f gọi là ảnh của x và x được gọi là
nghịch ảnh của y và ta viết:

( ) hay ( )

y= f x x6 y= f x .
Ta gọi tập

( )={ | = ( ), ∈ }

f A y y f x x A (1.3.1)

hay

( )={ | ∃ ∈ , = ( )}

f A y x A y f x (1.3.2)

là ánh xạ của tập A qua ánh xạf.

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Ví dụ 3: Ánh xạ cho bởi qui luật f x( )=sin , x x∈\ là ánh xạ tập \ tới tập \ và đồng thời
ánh xạ tập \ lên tập hợp tất cả các số thực y sao cho − ≤ ≤1 y 1.

Nếu như M ⊂` ⊂ A thì f M( )⊆ f( )` . (1.3.3)

1.3.2 Đơn ánh, song ánh

Ánh xạ f : A→B gọi là ánh xạđơn ánh nếu

1 2 1 2

( ) ( )

f x = f x ⇒ x = x (1.3.4)

ví dụ như ánh xạđược cho bởi sinx là đơn ánh từ tập hợp { | 0 }

∈\ < <

x x π lên tập hợp

{y∈\| 0< <y 1}.
Ví dụ 4: Xét ánh xạ cho bởi qui luật 2

y= x . Vì phương trình y= x2, y∈\ có hai nghiệm
khác nhau x1 và x2 nếu y > 0, có nghĩa là f(x1) = f(x2) nhưng x1 ≠ x2, vậy ánh xạ này không

phải là đơn ánh.

Ánh xạ f : A→B gọi là một song ánh nếu nó vừa là đơn ánh vừa là tồn ánh.
Ví dụ 5: Ánh xạ f :\→\ cho bởi qui luật y= x3 là một song ánh

Ví dụ 6: Ánh xạ f :\→\+ cho bởi qui luật y=x2 không phải là song ánh, nhưng ánh xạ

:\+ →\+

f cho bởi qui luật y=x2 là một song ánh.

Ví dụ 7: Cho x∈\, [x] ký hiệu phần nguyên của x (nghĩa là [x] là số nguyên lớn nhất không
lớn hơn x chẳng hạn [−4,5] =−4; [2] = 2; [2,5] = 2; [2,7] = 2). Ta có [x]≤x≤[x]+1.

Ánh xạ f :\→] cho bởi qui luật y=[x] không phải là song ánh.

1.3.3 Ánh xạ ngược

Giả sửf là một ánh xạ tập hợp A lên tập hợp B. Khi đó ứng với mỗi phần tử có một và chỉ

một x∈A sao choy= f x( ). Ánh xạ cho tương ứng phần tử y∈B với phần tử x∈A sao
cho y= f x( ) gọi là ánh xạ ngược của ánh xạf kí hiệu là f−1.

Như vậy f 1 B A

− →

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Hình 1.3.1

Ví dụ 8: Nếu A là tập hợp các vòng tròn đồng tâm nằm trên cùng một phẳng và f(x) là bán
kính của vịng trịn x, khi đó f là ánh xạđơn trị tập A lên tập các số thực dương. Khi đó ánh xạ

ngược f−1 tương ứng một số thực dương x với vòng trịn nằm trong tập A mà bán kính của nó
là x.

1.3.4 Hợp (tích) của hai ánh xạ 
Cho hai ánh xạ:

: vµ :

g M → A f A→B.
Xét ánh xạ từ tập M tới tập hợp Bđược xác định như sau:

( ( ))

x∈M → =z f g x ∈B. (1.3.6)
Ánh xạ này gọi là hợp của ánh xạ g và ánh xạf (hay tích của g và f ), ký hiệu là f D g

Như vậy

f Dg M →B

( ) ( ( )),

f Dg x = f g x x∈M . (1.3.7)
Ví dụ 9: Ánh xạ cho bởi qui luật sinx2, x∈R là hợp của ánh xạ trong cho bởi qui luật x2,

∈\

x và ánh xạ ngoài được cho bởi qui luật siny, y∈\

Ánh xạ sin2x, x∈\ là hợp của ánh xạ trong cho bởi sinx, x∈\ và ánh xạ ngoài cho bởi
y2, y∈\.

1.4

Bài t

ậ

p ch

ươ

ng 1

1.1Cho a là số vô tỉ, r là số hữu tỉ

1) Hãy chứng minh rằng a+r và a− r là các số vô tỉ

2) Giả sử r ≠0 hãy chứng minh rằng các số ar,a r,

r a là các số vô tỉ.

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

( , ) |= − |

d a b a b là khoảng cách giữa hai điểm a và b của trục số
Hãy chứng minh rằng

1) d(a,a) = 0

2) d(a,b)>0 khi a≠b
3) d(a,b) =d(b,a)

4) d(a,b) + d(b,c)≥d a c( , ).

1.3Hãy chứng minh mệnh đề “tập hợp M ⊂\ là bị chặn khi và chỉ khi tồn tại số thực r>0

sao cho: |x|≤r ∀ ∈x M .

1.4Cho X ⊂\. Định nghĩa: (−X) = {−x|x∈X}
Hãy chứng minh:

1) inf(−X) = −sup X 
2) sup(−X)= −inf X

1.5Cho X Y, ⊂\. Định nghĩa

X+Y = {a∈R| ∃ ∈x X,∃ ∈y Y a, = +x y}

{ R| , , }

XY = a∈ ∃ ∈x X ∃ ∈y Y a=xy

Nghĩa là X+Y là tập hợp các số thực có dạng x+y với x∈X y, ∈Y , cịn XY là tập hợp
các số thực có dạng xy với x∈X y, ∈Y.

1) Giả sửX,Y bị chặn trên, chứng minh:
sup(X+Y) = supX+ supY

2) Giả sửX, Y bị chặn dưới, chứng minh:
inf(X+Y) = inf X + inf Y

3) Giả sửX, Y bị chặn trên, X ⊂\+,Y ⊂\+.

Chứng minh: sup(XY)= (sup X)(sup Y)
4) Giả sửX,Y bị chặn dưới, X ⊂\+,Y ⊂\+.
Chứng minh: inf(XY) = (inf X)(inf Y).

1.6Giả sửφ ≠`⊂M ⊂\*. Chứng minh rằng:

infM ≤inf`≤sup`≤supM .

1.7Cho A⊂\ và F ={ |f f :A → A}. Chứng minh rằng nếu f,g,h∈F và i là ánh xạ đồng
nhất trên tập A, tức là i(x) =x, ∀x∈A thì:

1) (f D g)Dh = f D(g hD ),
2) f Di = f .

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

* { | :

F = f f A→ A và f là đơn ánh}
Chứng minh rằng nếu f,g∈F* thì

1) f Dg∈F*

</div>

ToanHocTHPTTuyenTapDeThiOLYMPIC2000NguyenHuuDienTap1

<b> </b>

<b> </b>

<b> </b>

<b>M</b>

<b>ụ</b>

<b>c l</b>

<b>ụ</b>

<b>c </b>

<i>Chương 1</i>

.

<b>T</b>

<b>ậ</b>

<b>p h</b>

<b>ợ</b>

<b>p và s</b>

<b>ố</b>

<b> th</b>

<b>ự</b>

<b>c</b>

<b> </b>

<b>Ch</b>

<b>ươ</b>

<b>ng 1</b>

<b>T</b>

<b>ậ</b>

<b>p h</b>

<b>ợ</b>

<b>p và s</b>

<b>ố</b>

<b> th</b>

<b>ự</b>

<b>c </b>

<b>1.1</b>

<b>Khái ni</b>

<b>ệ</b>

<b>m v</b>

<b>ề</b>

<b> t</b>

<b>ậ</b>

<b>p h</b>

<b>ợ</b>

<b>p </b>

{

}

<b>1.2</b>

<b>S</b>

<b>ố</b>

<b> th</b>

<b>ự</b>

<b>c </b>

<b>1.3</b>

<b>Ánh x</b>

<b>ạ</b>

<b>1.4</b>

<b>Bài t</b>

<b>ậ</b>

<b>p ch</b>

<b>ươ</b>

<b>ng 1 </b>

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về