chuyên đề 3 toán 9 ôn vào 10

BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ
TRONG PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

I – KIẾN THỨC CƠ BẢN
 Ứng dụng hệ thức Vi-ét:
2
2
Xét phương trình bậc hai: ax  bx  c  0  * ,  a �0  ,   b  4ac .

b
�
S  x1  x2  
�
�
a
Gọi S , P lần lượt là tổng và tích của hai nghiệm x1 , x2 . Hệ thức Viét: �
.
�P  x x  c
1 2
�
a
Điều kiện

PT  *

có hai nghiệm trái dấu

Điều kiện

PT  *

có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

PT  *

có hai nghiệm phân biệt dương

PT  *

có hai nghiệm phân biệt âm



Điều kiện


Điều kiện


� P0

.
  0.
�
��
�P  0

0
�
�
.

� �S  0
�P  0
�

0
�
�
.
� �S  0
�P  0
�

 Các hệ thức thường gặp:
.



x12  x22   x12  2 x1.x2  x2 2   2 x1.x2   x1  x2   2 x1.x2  S 2  2 P
.



x1  x2  �  x1  x2   4 x1 x2  � S 2  4 P

.



x2  x1  �  x1  x2   4 x1 x2  � S 2  4 P



x12  x22   x1  x2   x1  x2   � x1  x2 



2
.
x13  x23   x1  x2   x12  x1.x2  x2 2    x1  x2  �
 S . S 2  3P 
 x1  x2   3x1.x2 �
�
� 



.
2
x14  x2 4   x12    x2 2    x12  x2 2   2 x12 .x2 2  �
 2 x12 x22
 x1  x2   2 x1 x2 �
�
�

2

2

2

2

2

  S 2  2P   2P 2 .
2



1 1 x1  x2 S .
 

x1 x2
x1 x2
P

2

 x1  x2 

2

 4 x1 x2  �S . S 2  4P

2

.


 x1  x2   4 x1 x2

1 1 x2  x1
S 2  4P .
 
�
�
x1 x2
x1 x2
x1 x2
P
2







 x1  x2 
x1 x2 x12  x2 2  x1  x2   x1  x2 
 

�
x2 x1
x1 x2
x1 x2

 x1  x2 

2

 4 x1 x2

x1 x2

S . S 2  4P
�
P

2
.
x13  x23   x1  x2   x12  x1.x2  x2 2    x1  x2  �
 x1  x2   x1.x2 �
�
�









2
2
 �  x1  x2   4 x1 x2 �
 � S 2  4P �
S 2  P�
 x1  x2   x1.x2 �
�

�.
�
�
2





x14  x24   x12    x2 2    x12  x22   x12  x2 2   � S 2  2P  S . S 2  4P
2

.

II – CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Câu 1:

2
Cho phương trình  2m  1 x  2mx  1  0 . Xác định m để phương trình trên có nghiệm thuộc

khoảng  1;0  .
Lời giải



1
phương trình trở thành  x  1  0 � x  1 � 1;0 
2
1
10 m

Xét 2m  �
khi đó ta có:
2
2
 '  m 2   2m  1  m 2  2m  1   m  1 �0 mọi m .
Suy ra phương trình có nghiệm với mọi m .
Ta thấy nghiệm x  1 không thuộc khoảng  1;0 
Xét 2m  1  0 � m 

1
m  m 1
1

Với m � phương trình cịn có nghiệm là x 
2
2m  1
2m  1
Phương trình có nghiệm trong khoảng  1;0  suy ra
� 1
� 2m
1  0
0
1
�
�
1 �
�0 � �2m  1
� �2m  1
�m0
2m  1

�
�
2m  1  0
2m  1  0
�
�

Vậy phương trình đã cho có nghiệm trong khoảng  1;0  khi và chỉ khi m  0 .

Câu 2:

2
2
Cho phương trình x   2m  1 x  m  1  0 ( x là ẩn số)
a) Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
b) Định m để hai nghiệm x1 , x2 của phương trình đã cho thỏa mãn:  x1  x2  2  x1  3x2 .

a)

   2m  1  4.  m  1  5  4m
2

Lời giải

2

Phương trình có hai nghiệm phân biệt � m 
5
4
�x1  x2  2m  1

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: �
2
�x1 x2  m  1
Theo đề bài:
b)

Phương trình hai nghiệm � m 

5
4


 x1  x2   x1  3x2
2
�  x1  x2   4 x1 x2  x1  3x2
2
�  2m  1  4  m 2  1  x1  3 x2
2

� x1  3 x2  5  4m
� m 1
x 
�
x

x

2
m


1
�1 2
�1
2
��
Ta có hệ phương trình: �
�x1  3 x2  5  4m
�x  3(m  1)
�2
2
m  1 3(m  1)
�
�
 m2  1
2
2
� 3  m 2  1  4  m 2  1
� m2  1  0
� m  �1
Kết hợp với điều kiện � m  �1 là các giá trị cần tìm
Câu 3:

Tìm m để phương trình x 2  5 x  3m  1  0 ( x là ẩn số, m là tham số) có hai nghiệm x1 , x2
3
3
thỏa mãn x1  x2  3x1 x2  75
Lời giải
2
  5  4.1.  3m  1  29  12m
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt ��0

m

29
12

�x1  x2  5
Áp dụng hệ thức Vi-ét �
�x1 x2  3m  1
3
3
Ta có: x1  x2  3x1 x2  75
�  x1  x2 

 x x 
1

2

2



 x1 x2  3 x1 x2  75

�  x1  x2   25  x1 x2   3x1 x2  75
� 25  x1  x2    x1  x2  x1 x2  3x1 x2  75
� x1  x2  3
Kết hợp x1  x2  5 suy ra x1  1; x2  4 Thay vào x1 x2  3m  1 suy ra m 

5
3

5
là giá trị cần tìm
3
Cho phương trình x 2  10mx  9m  0 ( m là tham số)

Vậy m 
Câu 4:

a) Giải phương trình đã cho với m  1 .
b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 , x2 thỏa điều kiện
x1  9 x2  0
Lời giải
m

1
a) Với
phương trình đã cho trở thành x 2  10 x  9  0
x1  1
�
Ta có a  b  c  0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là �
x2  9
�
b)

 '   5m   1.9m  25m2  9m
2

Điều kiện phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là  '  0 � 25m 2  9m  0 (*)
Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
�
�
�x2  m
10 x2  10m
�x1  x2  10m
�
�x2  m
�
�
�
�
� �x1  9 m
� �x1  9 m , (*) � m  1
�x1  9 x2  0 � �x1  9 x2
�x x  9m
�x x  9m
� 2
�m  0
9m  9m  0
�1 2
�1 2
�
��
�
�
m 1
��

Câu 5:

Cho phương trình x 2  2(m  1) x  m2  m  1  0 ( m là tham số)
a) Giải phương trình đã cho với m  0 .
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn điều kiện

1 1
 4
x1 x2

Lời giải
a) Với m  0 , phương trình đã cho trở thành: x 2  2 x  1  0
 '  2 ; x1,2  1 � 2
Vậy với m  0 thì nghiệm của phương trình đã cho là x1,2  1 � 2 .
b)  '  m  2 Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt �   0 � m  2  0 � m  2
�x1  x2  2(m  1)
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: �
2
�x1 x2  m  m  1
Do đó:
1 1
x x
2(m  1)
 4� 1 2 4� 2
4
x1 x2
x1 x2
m  m 1

Câu 6:

m 1
�
�
�
m 2  m  1 �0
m 2  m  1 �0
�
�
�
��
�� 2
�
3
�
m
m  1  2(m 2  m  1)
�
�2m  m  3  0
�
2
� 3�
1;  �là các giá trị cần tìm.
Kết hợp với điều kiện � m ��
� 2
Cho phương trình 2 x 2  (2m  1) x  m  1  0 ( m là tham số). Khơng giải phương trình, tìm m
để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn 3 x1  4 x2  11
Lời giải
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thì   0
�  2m  1  4.2.  m  1  0

2

� 4m 2  12m  9  0
�  2m  3  0
2

 m

3
2

Mặt khác, theo hệ thức Vi-ét và giả thiết ta có:


2m 1
�
� x1  x2   2
�
m 1
�
�
� x1.x2 
2
�
3x1  4x2  11
�
�
�

13- 4m

�
� x1  7
�
7m 7
�
� x2 
26-8m
�
7m 7
� 13- 4m
3
4
 11
�
26-8m
� 7

13- 4m
7m 7
4
 11
Giải phương trình 3
7
26-8m
m  2
�
Ta được �
m  4,125
�

Câu 7:

m  2
�
Vậy �
là các giá trị cần tìm
m  4,125
�
Cho phương trình x 2  2(m  1) x  m 2  3  0 ( m là tham số).
a) Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm.
b) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm sao cho nghiệm này bằng ba lần nghiệm kia.
Lời giải
a) Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi  ' �0
2
��
  m  1 �
�
� 1.  m  3 �0
2

� 2m  4 �0
ۣ m 2
Vậy m �2 là các giá trị cần tìm
b) Với m  2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm.
Gọi một nghiệm của phương trình đã cho là a thì nghiệm kia là 3a . Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
a  3a  2m  2
�
�
2
�a.3a  m  3

2

Câu 8:

m 1
�m  1 �
2
�a
� 3�
� m  3
2
�2 �
2
� m  6m  15  0
� m  3 �2 6 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy � m  3 �2 6 là các giá trị cần tìm.
1 2
1 2
Cho phương trình x  mx  m  4m  1  0 ( m là tham số).
2
2
a) Giải phương trình đã cho với m  1 .
1 1
b) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn   x1  x2
x1 x2
Lời giải
a) Với m  1 phương trình trở thành

1 2
9

x  x   0 � x2  2 x  9  0
2
2

�x  1  10
�
� �1
�x2  1  10
b) Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì   0
1 �1
1
2
�
�  m   4. . � m2  4m  1� 0 � 8m  2  0 � m 
2 �2
4
�


Để phương trình có nghiệm khác 0 �

1 2
m  4m  1 �0
2

�
m �4  3 2
�
� �1
m2 �4  3 2

�
�x1  x2  0
1 1
Ta có   x1  x2 �  x1  x2   x1 x2  1  0 � �
x1 x2
�x1 x2  1  0

Câu 9:

m0
�
2m  0
�
�
��2
��
m  4  19
m  8m  3  0
�
�
m  4  19
�
m0
�
Kết hợp với điều kiện ta được �
m  4  19
�
m0
�
Vậy �

là các giá trị cần tìm.
m  4  19
�
Tìm tất cả các số tự nhiên m để phương trình x 2  m 2 x  m  1  0 ( m là tham số) có nghiệm
nguyên.
Lời giải
   m 2   4.1.  m  1  m 4  4m  4
2

Phương trình có nghiệm nguyên khi   m 4  4m  4 là số chính phương
m0
�
Nếu �
thì   0 (loại)
m 1
�
Nếu m  2 thì   4  22 (nhận)
2
Nếu m �3 thì 2m  m  2   5 � 2m  4m  5  0
�    2m 2  4m  5       4 m  4
� m 4  2m 2  1    m 4
�  m 2  1     m 2 
2

2

 không là số chính phương.
Vậy m  2 là giá trị cần tìm
Câu 10: Cho phương trình x 2  2(m  1) x  m  3  0 ( m là tham số).
a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt.

b) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà khơng phụ thuộc vào
m.
2
2
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P  x1  x2 (với x1 , x2 là nghiệm của phương trình đã cho)
Lời giải
2

� 3� 7
a)   �
  m  1 �
m  �  0 , m
�
� 1.  m  3  m  3m  4  �
� 2� 4
Vậy phương trình đã cho ln có hai nghiệm phân biệt.
�x1  x2  2(m  1) �x1  x2  2m  2
��
b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có: �
2 x1 x2  2m  6
�x1 x2  m  3
�
'

2

2

� x1  x2  2 x1 x2  4  0 không phụ thuộc vào m .
c) P  x12  x22   x1  x2   2 x1 x2  4  m  1  2  m  3

2

2


2

5 � 15 15
�
�
2m  � � , m
2� 4
4
�
15
5
5
Do đó Pmin 
và dấu "  " xảy ra khi 2m   0 � m 
4
2
4
15
5
Vậy Pmin 
với m  .
4
4
2
Câu 11: Cho phương trình x  mx  m  1  0 ( m là tham số).

a)

Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 , x2 . Tính giá trị của biểu thức M 

đó tìm m để M  0 .
2
2
b) Tìm giá trị của m để biểu thức P  x1  x2  1 đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải
�x1  x2  m
a) Theo hệ thức Vi-ét, ta có: �
�x1 x2  m  1

x12  x22  1
. Từ
x12 x2  x1 x22

2
x12  x22  1  x1  x2   2 x1 x2  1 m  2  m  1  1


Ta có M  2
x1 x2  x1 x22
x1 x2  x1  x2 
 m  1 m
2

m 2  2m  1  m  1



m  m  1
m  m  1
2

�
m0
�
�
�
 m  1  0 � m m  1  0 � ��m  1  0 � �m  1


Để M  0 �
�
�
m0
m  m  1
m0
�
�
�
�
m 1  0
�
�
2

b) Ta có P  x12  x22  1   x1  x2   2 x1 x2  1  m 2  2  m  1  1
2

 m 2  2m  1   m  1 �0 , m
2

Do đó Pmin  0 và dấu "  " xảy ra khi m  1  0 � m  1
Vậy Pmin  0 với m  1 .
Câu 12: Cho phương trình x 2   2m  2  x  2m  0 ( m là tham số). Tìm m để phương trình có hai
nghiệm x1 , x2 thỏa mãn

x1  x2 � 2
Lời giải

Điều kiện PT có 2 nghiệm không âm x1 , x2 là
�
 ' �0
m 2  1 �0
�
�
�
�۳
2(m 1) 0
�x1  x2 �0 ��
�x x �0
�
2m �0
�1 2
�

m 0

�x1  x2  2  m  1

Theo hệ thức Vi-ét: �
�x1 x2  2m
Ta có x1  x2 � 2 � x1  x2  2 x1 x2 �2
� 2m  2  2 2m �2 � m  0 (thoả mãn)
Vậy m  0 là giá trị cần tìm.


Câu 13: Cho phương trình x 2   m  1 x  m  0 ( m là tham số). Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương
2
2
trình đã cho. Tìm giá trị của m để A  x1 x2  x1 x2  2007 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ
nhất đó.
Lời giải

Ta có   [-(m+1)]2  4m  m 2  2m  1  ( m  1) 2
0  m 1
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt �

2

0

m 1

�x1  x2  m  1
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: �
�x1 x2  m
2
2
Ta có A  x1 x2  x1 x2  2007  x1 x2  x1  x2   2007

1 1
3
 m  m  1  2007  m 2  m  2007  m 2  2.m.   2006 
2 4
4
2
� 1 � 8027 8027
, m
 �m  �
�
4
� 2� 4
1
1
Dấu "  " xảy ra m   0 � m 
2
2
8027
1
Vậy Amin 
với m   .
4
2
Câu 14: Cho phương trình x 2  2mx  2m  1  0 ( m là tham số). Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương
2
2
trình đã cho. Tìm giá trị của m để A  x1 x2  x1 x2 đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải

Ta có    2m   4.1.  2m  1  4m 2  8m  4  4  m  1

2

2

0  m 1
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt �

2

0

m 1

�x1  x2  2m
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: �
�x1 x2  2m  1
2
2
Ta có A  x1 x2  x1 x2  x1 x2  x1  x2 
�2 1 �
 m  m  1  2007   2m  1  2m   4m 2  2m  4 �
m  m�
2 �
�
2

1 1 1�
�2
� 1� 1 1
 4 �

m  2.m.   � 4 �
m  � � , m
4 16 16 �
�
� 4� 4 4
1
1
Dấu "  " xảy ra m   0 � m 
4
4
1
1
Vậy Am ax  với m  .
4
4
2
Câu 15: Cho phương trình x  2  m  1 x  2m  5  0 ( m là tham số).
a) Chứng minh rằng phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với mọi m .
b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1  1  x2 .
Lời giải
2
2  m  1 �
a) Ta có   �
�
� 4.1.  2m  5   4m  12m  22
2

  2m   2.2m.3  9  13   2m  3   13  0 , m
2

2

Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với mọi m .


�x1  x2  2m  2
b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có �
(I)
�x1 x2  2m  5
�x1  1  0
�  x1  1  x2  1  0 � x1 x2   x1  x2   1  0 (II)
Theo giả thiết x1  1  x2 � �
�x2  1  0
Thay (I) vào (II) ta có:
 2m  5    2m  2   1  0 � 0.m  2  0 , đúng với mọi m .
Vậy với mọi m thì phương trình trên có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1  1  x2 .
Câu 16: Cho phương trình x 2  mx  m  2  0 ( m là tham số).
a) Chứng minh phương trình đã cho ln có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m .
x 2  2 x22  2
.
4.
b) Định m để hai nghiệm x1 , x2 của phương trình thỏa mãn 1
x1  1 x2  1
Lời giải
a) Chứng minh phương trình ln có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị m .
  m 2  4.(m  2)  m 2  4m  8  (m  2) 2  4  4  0 , m
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m .
b) Vì a  b  c  1  m  m  2  1 �0 , m nên phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 �1 , m .
Phương trình x 2  mx  m  2  0 � x 2  2  mx  m
x12  2 x22  2

mx1  m mx2  m
m 2 ( x1  1)( x2  1)
.

4
�
.

4
�
 4 � m 2  4 � m  �2
Ta có
x1  1 x2  1
x1  1
x2  1
( x1  1)( x2  1)
Vậy m  �2 là các giá trị cần tìm.
Câu 17: Cho phương trình x 2  mx  1  0 (1) ( m là tham số).
a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm trái dấu.
b) Gọi x1 , x2 là các nghiệm của phương trình (1):
Tính giá trị của biểu thức: P 

x12  x1  1 x22  x2  1

x1
x2
Lời giải

a) Ta có a.c  1.  1  1  0 , với m nên phương trình (1) ln có 2 nghiệm trái dấu với
mọi m .

2
�
�x1  mx1  1
b) Ta có � 2
do x1 , x2 là nghiệm của phương trình (1).
�x2  mx2  1
x12  x1  1 x22  x2  1 mx1  1  x1  1 mx2  1  x2  1
P




Do đó
x1
x2
x1
x2
x  m  1 x2  m  1
 1

  m  1   m  1  0 vì x1 , x2 �0 .
x1
x2
Vậy P  0 .
Câu 18: Cho phương trình x 2   2m  1 x  m 2  1  0  1 ( m là tham số).
a) Tìm điều kiện của m để phương trình  1 có 2 nghiệm phân biệt.
2
b) Định m để hai nghiệm x1 , x2 của phương trình  1 thỏa mãn:  x1  x2   x1  3x2 .
Lời giải
2

  2m  1 �
a)   �
�
� 4.1.  m  1  4m  5
2


Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi   0 � 4m  5  0 � m 

5
4

�x1  x2  2m  1
b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có �
2
�x1 x2  m  1
2
2
Ta có  x1  x2   x1  3x2 �  x1  x2   4 x1 x2  x1  x2  4 x2
�  2m  1  4  m 2  1  2m  1  4 x2 � 6m  6  4 x2  0 � x2 
2

3m  3
2

m 1
2
m  1 3m  3
.
 m 2  1 � m 2  1  0 � m  �1

Do đó
(thỏa mãn điều kiện có nghiệm)
2
2
Vậy m  �1 là các giá trị cần tìm.
Câu 19: Tìm m để phương trình x 2  2 x  2m  1  0 ( m là tham số) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2
Suy ra x1 

2
2
2
2
thỏa mãn điều kiện x2 ( x1  1)  x1 ( x2  1)  8 .
Lời giải

   2   4.1.  2m  1  8m
2

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi   0 � 8m  0 � m  0
�x1  x2  2
Theo hệ thức Vi-ét, ta có �
(I)
�x1 x2  2m  1
Ta có x22 ( x12  1)  x12 ( x22  1)  8 � 2  x1 x2   ( x12  x22 )  8
2

� 2  x1 x2   �
( x1  x2 )2  2 x1 x2 �
�
� 8 (II)

Thay (I) vào (II) ta có:
2
2(2m  1) 2  �
4  2  2m  1 �
�
� 8 � 2m  3m  2  0
2

1
�
m
�
�
2
�
m2
�
So với điều kiện có nghiệm m  0 .
Vậy m  2 là giá trị cần tìm.
Câu 20: Xác định giá trị m trong phương trình x 2  8 x  m  0 để 4  3 là nghiệm của phương trình.
Với m vừa tìm được, phương trình đã cho cịn một nghiệm nữa. Tìm nghiệm cịn lại.
Lời giải
Do 4  3 là nghiệm của phương trình nên thỏa:

 4  3

2





8 4 3  m  0

� m  13  0 � m  13
Thay m  13 vào phương trình ta được phương trình: x 2  8 x  13  0  *
 '   4   1.13  3
2

�
x1  4  3
Phương trình  * có hai nghiệm phân biệt là: �
x2  4  3
�
�
Vậy x  4  3 là giá trị cần tìm.
Câu 21: Cho phương trình x 2   2m  1 x  m 2  m  1  0 ( m là tham số).
a) Chứng minh rằng phương trình ln có nghiệm với mọi m .


b) Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm m sao cho A   2 x1  x2   2 x2  x1  đạt giá
trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó.
Lời giải
2
  2m  1 �
a) Ta có   �
�
� 4.1.  m  m  1  5  0 , m .
Nên phương trình ln có nghiệm với mọi m .
�x1  x2  2m  1

b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có: �
2
�x1 x2  m  m  1
2
2
2
Ta có A   2 x1  x2   2 x2  x1   5 x1 x2  2  x1  x2   9 x1 x2  2  x1  x2 
2

 9  m 2  m  1  2  2m  1  m 2  m  11
2

2

1 1 1
45
� 1 � 45
 m  2.m.    11  �
m  �
� , m
2 4 4
4
� 2� 4
1
1
Dấu "  " xảy ra m   0 � m  
2
2
45
1

Vậy Amin  
với m   .
4
2
1
2
2
Câu 22: Cho phương trình x  2mx  m   0 ( m là tham số).
2
a) Chứng minh rằng hhương trình ln có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m .
b) Tìm m để hai nghiệm của phương trình có giá trị tuyệt đối bằng nhau.
c) Tìm m để hai nghiệm đó là số đo của 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền
bằng 3.
Lời giải
2

2
�2 1� 1
'
m  �  0 , m .
a)     m   1. �
2� 2
�
Nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m .
�
2
x1  m 
�
2
b) Hai nghiệm của phương trình là �

�
2
x2  m 
�
�
2

Theo đề bài ta có m 

2
2
1
1
 m
� m 2  2m   m 2  2m 
2
2
2
2

� 2 2m  0 � m  0
c) Theo định lý Pitago ta có:
2

2

�
m2
�
2� �

2�
2
2
m


m


9
�
2
m

8

0
�
m

4

0
�
�
�
�
�
�
�

�
m  2
2 �
2 �
�
�
� �
�
m2
�
Vậy �
là các giá trị cần tìm.
m  2
�
Câu 23: Cho phương trình x 2  2 x  m  3  0 ( m là tham số).
a) Tìm m để phương trình có nghiệm x  1 . Tính nghiệm cịn lại.
3
3
b) Tìm m để hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn hệ thức x1  x2  8
Lời giải
2
a) Vì phương trình x  2 x  m  3  0 có nghiệm x  1 nên ta có:
(1) 2  2.(1)  m  3  0 � m  6  0 � m  6


Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:
x1  x2  2 � 1  x2  2 � x2  3
Vậy m  6 và nghiệm còn lại là x  3 .
2
b)  '  1  1.  m  3   m  2

Phương trình có hai nghiệm phân biệt �  '  0 � m  2
�x1  x2  2
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: �
�x1 x2  m  3
Ta có
x13  x23  8
� ( x1  x2 )3  3x1 x2 ( x1  x2 )  8
� 23  3.(m  3).2  8
� 6(m  3)  0
� m3 0
� m  3 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy m  3 là giá trị cần tìm.
Câu 24: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x 2   2m  1 x  m 2  1  0 có hai nghiệm phân
2
2
biệt x1 , x2 sao cho biểu thức P  x1  x2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải

   2m  1  4.1.  m 2  1  4m  5
2

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt �   0 � m 
�
�x1  x2    2m  1
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: �
2
�x1 x2  m  1
2
Ta có P  x12  x22   x1  x2   2 x1 x2

5
.
4

2
2
�
  2m  1 �
�
� 2  m  1  2m  4m  3
2

 2  m 2  2.m.1  1  1  3  2  m  1  1 �1 , m
2

Dấu "  " xảy ra m  1  0 � m  1 (nhận)
Vậy Pmin  1 khi m  1 .
2
Câu 25: Cho phương trình x   m  5  x  2m  6  0 ( x là ẩn số)
a) Chứng minh rằng: phương trình đã cho ln ln có hai nghiệm với mọi giá trị của m .
2
2
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn: x1  x2  35 .
Lời giải:
a)

Δ�
  m  5 �
�
� 4.1.  2m  6 

2

  m  5   4.  2m  6 
2

 m 2  10m  25  8m  24
 m 2  2m  1
2
  m  1 �0; m
Vậy với mọi giá trị của m phương trình ln ln có hai nghiệm.
b) Với mọi m , phương trình đã cho có hai nghiệm x1 , x2 thỏa hệ thức Vi-ét:


b
�
S  x1  x2 
 m  5;
�
�
a
�
�P  x x  c  2m  6
1 2
�
a
x12  x22  35
Ta có:
�  x1  x2   2 x1 x2  35
2

�  m  5   2  2m  6   35
2

� m 2  10m  25  4m  12  35  0
� m 2  6m  22  0  1
 '  32  1.  22   9  22  31  0

Vì  '  0 nên phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt: m1  3  31; m2  3  31





Vậy m � 3  31;  3  31

Câu 26: Cho phương trình x 2  2 x  m  2  0  1 ( m là tham số)
a) Tìm m để phương trình  1 có nghiệm

Tìm m để phương trình  1 có 2 là một nghiệm và tìm nghiệm cịn lại
Lời giải
a) Phương trình  1 có nghiệm :
�  ' �0
� 1   m  2  �0
� 3  m �0
ۣ m 3
Vậy phương trình  1 có nghiệm khi m �3
b)

b)

Do phương trình  1 có 2 là một nghiệm nên thỏa:

2  2.2  m  2  0
� m60
� m  6
Thay m  6 vào phương trình  1 ta được phương trình: x 2  2 x  8  0  *
2

 '  12  1.  8   1  8  9  0,  '  9  3
Do  '  0 nên phương trình  * có hai nghiệm phân biệt: x1 

1  3
1  3
 2; x2 
 4
1
1

Vậy m  6 và nghiệm cịn lại là 4 là các giá trị cần tìm.
Câu 27: Cho phương trình x 2  mx  m  1  0  1 với x là ẩn số
a) Giải phương trình khi m  2
b) Chứng tỏ phương trình ln có nghiệm với mọi giá trị của m .
c) Gọi x1 , x2 là nghiệm của phương trình. Tính giá
A   x1  1

2

 x2  1

2

trị

của

biểu

thức

 2016 .

Lời giải
a) Khi m = 2, phương trình  1 trở thành: x 2  2 x  1  0  2 
Ta có a  b  c  1  2  1  0 nên phương trình  2  có hai nghiệm: x1  1; x2  
Vậy khi m  2 , tập nghiệm của phương trình  2  là S   1;  2

c
2
   2
a
1


2
b)   m 2  4.1.  m  1  m 2  4m  4   m  2  �0; với mọi m .
Vậy phương trình ln có nghiệm với mọi giá trị của m .
c) Với mọi m , phương trình đã cho có hai nghiệm x1 , x2 thỏa hệ thức Vi-ét:

b
�

S  x1  x2 
 m
�
�
a
�
�P  x x  c  m  1
1 2
�
a
Ta có:

A   x1  1

2

 x2  1

2

 2016

A�
 x1  1  x2  1 �
�
� 2016
2

A   x1 x2  x1  x2  1  2016
2

A   m  1  m  1  2016
2

A  02  2016
A  2016
2
Câu 28: Cho phương trình x   2m  1 x  2m  0 với x là ẩn số; m là tham số. Tìm m để phương
trình có nghiệm x  2 . Tìm nghiệm cịn lại.
Lời giải
2
Do phương trình có nghiệm x  2 nên thỏa: 2   2m  1 .2  2m  0
� 4  4m  2  2m  0
� 2m  2  0
� 2m  2
� m  1
Thay m  1 vào phương trình ta được phương trình: x 2  3 x  2  0  *
Ta có a  b  c  1   3   2  0 nên phương trình  * có hai nghiệm: x1  1; x2 

c 2
 2
a 1

Vì x2  2 nên nghiệm còn lại là x1  1
Vậy m  1 và nghiệm cịn lại là 1 là giá trị cần tìm.
2
Câu 29: Cho phương trình x   m  1 x  m  2  0 ( x là ẩn số, m là tham số)
a) Chứng tỏ phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 , x2
b) Tính tổng và tích của hai nghiệm x1 , x2 của phương trình theo m
2

2
c) Tính biểu thức A  x1  x2  6 x1 x2 theo m và tìm m để A đạt giá trị nhỏ nhất
Lời giải
a)

2
�
  m  1 �
�
� 4.1.  m  2    m  1  4  m  2   m  2m  1  4m  8
2

2

2
2
 m 2  2m  9   m  2m  1  8   m  1  8  0 ; với mọi m

Vậy phương trình lương có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với mọi m .
b)

Với mọi m , phương trình đã cho có hai nghiệm x1 , x2 thỏa hệ thức Vi-ét:

b
�
S  x1  x2 
 m 1
�
�
a

�
�P  x x  c  m  2
1 2
�
a
c)

2
2
Ta có A  x1  x2  6 x1 x2   x1  x2   8 x1 x2   m  1  8  m  2   m 2  2m  1  8m  16
2

2

2
 m 2  6m  17  m 2  6m  9  8   m  3  8 �8 ; với mọi m


Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m  3
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là: MinA  8 khi và chỉ khi m  3 .
2
Câu 30: Cho phương trình: x  2  m  1 x  4m  0 ( x là ẩn số, m là tham số).
a) Giải phương trình với m  1 .
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Lời giải
2
a) Với m  1 phương trình trở thành: x  4 x  4  0  *
 '  22  1.4  0
b'
2

   2
a
1
Vậy với m  1 , tập nghiệm của phương trình  * là S   2
b) Ta có
Vì  '  0 nên phương trình  * có nghiệp kép: x1  x2  

2
2
'  �
  m  1 �
�
� 1.  4m    m  1  4m  m  2m  1  4m  m  2m  1   m  1
2

2

0 �m�۹1
0
m 1 0
m
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt �'�
Vậy m �1 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Câu 31: Cho phương trình x 2  2 x  m 2  1  0 ( m là tham số)
a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m .
b) Tính tởng và tích hai nghiệm của phương trình trên theo m .
c) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm thỏa: x1  3 x2
Lời giải
2
2

2
a) Ta có  '  1  1.   m  1  1  m  1  m 2  2  0 , với mọi m
Vì  '  0 , với mọi m nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với mọi m .
b) Với mọi m , phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa hệ thức Vi-ét:
b  2
�
S  x1  x2 

 2
�
�
a
1
�
2
�P  x x  c  m  1  m 2  1
1 2
�
a
1
x

x

c) Ta có 1 2 2 (do trên) và x1  3 x2 nên ta có hệ phương trình sau:
�
�x  x  2
�x  x  2
�x1  x2  2
� �1 2

� �1 2
�
 x1  3x2  0
�x1  3x2  0
�
�x1  3x2
2

2

1

�x  x  2
�x  1  2
�x  3
�
� �1 2
� �1
� �1
 *
2 x2  2
�x2  1
�
�x2  1
2
Thay  * vào biểu thức x1 x2  m  1 ta được:

 3 .1  m2  1 � m2  2 � m  � 2
Vậy m  � 2 là các giá trị cần tìm.
2

Câu 32: Cho phương trình: x   m  2  x  m  1  0 ( m là tham số)
a) Chứng minh: phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
2
2
b) Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để có x1  x2  13  x1 x2
Lời giải
2
2
a) Ta có    m  2   4.1.  m  1  m  4m  4  4m  4  m 2  8  0 , với mọi m .
Vì   0 , với mọi m nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m .
b) Với mọi m , phương trình ln có hai nghiệm phân biệt nên thỏa hệ thức Vi-ét:


�
b   m  2 
S  x1  x2 

   m  2
�
�
a
1
�
�P  x x  c  m  1  m  1
1 2
�
a
1
Theo đề bài, ta có:
x12  x22  13  x1 x2 �  x1  x2   2 x1 x2  13  x1 x2  0 �  x1  x2   3x1 x2  13  0

2

2

��
  m  2 �
�
� 3  m  1  13  0 �  m  2   3  m  1  13  0
2

2

� m 2  4m  4  3m  3  13  0
� m 2  m  6  0  *
  12  4.1.  6   1  24  25  0;   25  5

Do   0 nên phương trình  * có hai nghiệm phân biệt:
1  5
1  5
m1 
 2; m2 
 3
2.1
2.1
Vậy m1  2; m2  3 là các giá trị cần tìm .
Câu 33: Cho phương trình x 2  x  m  2  0 với m là tham số và x là ẩn số
a) Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm
3
3
b) Giả sử x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm m để x1 x2  x1 x2  10

Lời giải
2
a) Ta có   1  4.1.  m  2 
 1  4m  8
 9  4m

0 ��
9 
4�m 0
Để phương trình có nghiệm -���

4m

9

m

9
4

9
Vậy m � thì phương trình có nghiệm .
4
9
b) Với m � thì phương trình trên có hai nghiệm x1 , x2 thỏa hệ thức Vi-ét:
4
b  1
�
S  x1  x2 


 1
�
�
a
1
�
�P  x x  c  m  2  m  2
1 2
�
a
1
2
2
3
3
Ta có x1 x2  x1 x2  10 � x1 x2  x2  x1   10
2
� x1 x2 �
 10  0
 x1  x2   2 x1 x2 �
�
�
2
�  1 . �
 10  0
�1  2.  m  2  �
�
�   1  2m  4   10  0
� 1  2m  4  10  0
� 2m  5  0

� 2m  5
5
�m
2
5
Vậy m   thì phương trình trên có nghiệm.
2


Câu 34: Cho phương trình x 2  4 x  m  3  0 ( x là ẩn)
a) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 , x2
2
2
2 2
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa x1  x2  x1 x2  51
Lời giải
2
a) Ta có  '  2  1.  m  3   4  m  3  1  m
' 0  1 m 0
m 1
Để phương trình có nghiệm x1 , x2 ����
b) Theo câu a, ta có m �1 thì phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa hệ thức Vi-ét:

b
4
�
S  x1  x2      4
�
�
a

1
�
c
m

3
�P  x x  
 m3
1 2
�
a
1
2
2
2 2
Ta có x1  x2  x1 x2  51 �  x1  x2   2 x1 x2   x1 x2   51  0
2

2

�  4   2.  m  3   m  3  51  0 � 16  2m  6  m 2  6m  9  51  0
2

2

� m 2  4m  32  0  *
 '  22  1.  32   4  32  36  0;  '  36  6

Do ∆’ > 0 nên phương trình  * có 2 nghiệm phân biệt:
2  6

2  6
m1 
 4 (loại); ; m2 
 8 (nhận)
1
1
Vậy m  8 là giá trị cần tìm .
2
2
Câu 35: Cho phương trình: x  2  m  3 x  m  3m  1  0 ( x là ẩn số, m là tham số)
a) Tìm m để phương trình ln có nghiệm với mọi m .
b) Tìm m để A  x1  x2  1  x2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải

a)

Ta có  '   m  3  1.  m  3m  1  m 2  6m  9  m 2  3m  1  9m  8
2

2

' 0�۳
9m
۳ 8 0
Để phương trình ln có nghiệm với mọi m ���

9m

8

m

8
9

8
Vậy phương trình ln ln có nghiệm với mọi m � .
9
8
b) Theo câu a, với mọi m � thì phương trình ln ln có nghiệm thỏa hệ thức Vi-ét:
9
�
b 2  m  3
S  x1  x2 

 2  m  3 
�
�
a
1
�
2
�P  x x  c  m  3m  1  m 2  3m  1
1 2
�
a
1
�
Ta có A  x1  x2  1  x2  x1 x2  x1  x2  x1 x2   x1  x2 
1 � 27

�2
 m 2  3m  1  2  m  3  m 2  3m  1  2m  6  m 2  m  7  �
m  m  �
4� 4
�
2

2

� 1 � 27 27
� 1�
�
m  �
� , với mọi m (vì �
m  ��0 , với mọi m )
4
� 2� 4
� 2�
1
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m  .
2


Vậy giá trị nhỏ nhất của A là: MinA 

27
1
khi và chỉ khi m 
4
2

Câu 36: Cho phương trình bậc 2 có ẩn x : x 2  2mx  2m  1  0  1
a)
b)
a)

Chứng tỏ phương trình  1 luôn có nghiệm x1 , x2 với mọi giá trị của m
2
2
Đặt A  2  x1  x2   5 x1 x2 , tìm m sao cho A  27
Lời giải
2
2
Ta có  '   m   1.  2m  1  m 2  2m  1   m  1 �0 ; với mọi m

Do  ' �0 (với mọi m) nên phương trình  1 ln có nghiệm x1 , x2 với mọi giá trị của m .
b)

Theo câu a, với mọi m thì phương trình  1 ln có nghiệm x1 , x2 thỏa hệ thức Vi-ét:

b 2 m
�
S  x1  x2 

 2m
�
�
a
1
�

�P  x x  c  2m  1  2m  1
1 2
�
a
1

2
 5x x
Ta có A  2  x12  x22   5 x1 x2  2 �
�x1  x2   2 x1 x2 �
� 1 2

 2  x1  x2   4 x1 x2  5 x1 x2  2  x1  x2   9 x1 x2  2  2m   9  2m  1  8m 2  18m  9
2

2

2

Do A = 27 nên thỏa:
8m2  18m  9  27
� 8m 2  18m  18  0

� 4m 2  9m  9  0  *

Ta có    9   4.4.  9   81  144  225  0;   225  15
2

Do   0 nên phương trình  * có hai nghiệm phân biệt: m1 

9  15
9  15 3
 3; m2 

2.4
2.4
4

3
là các giá trị cần tìm.
4
2
Câu 37: Cho phương trình x   m  3 x  m  5  0 ( x là ẩn)
a) Chứng minh rằng phương trình trên luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
2
2
b) Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm m để x1  4 x1  x2  4 x2  11
Lời giải
Vậy m1  3; m2 

a)

2
Ta có   �
  m  3 �
�
� 4.1.  m  5    m  3  4.  m  5   m  6m  9  4m  20
2

2

2
2
 m 2  10m  29   m  10m  25   4   m  5   4  0 ; với mọi m .
Vì   0 (với mọi m ) nên phương trình ln ln có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
b) Theo câu a, ta có với mọi m thì phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa hệ

thức Viet:
�
  m  3
b
S  x1  x2    
 m3
�
�
a
1
�
�P  x x  c  m  5  m  5
1 2
�
a
1
2
2
2
2
Ta có x1  4 x1  x2  4 x2  11 � x1  x2  4  x1  x2   11  0
�  x1  x2   2 x1 x2  4  x1  x2   11  0
2

�  m  3  2  m  5   4  m  3  11  0 � m 2  6m  9  2m  10  4m  12  11  0
2

� m 2  12m  20  0  *
Ta có  '   6   1.20  36  20  16  0;  '  16  4
2

Do ∆’ > 0 nên phương trình (6) có 2 nghiệm phân biệt: m1 

64
64
 10; m2 
2
1
1

Vậy m1  10; m2  2 là các giá trị cần tìm.
Câu 38: Cho phương trình: x 2  mx  2m  4  0 ( x là ẩn số)
a) Chứng tỏ phương trình ln có nghiệm với mọi giá trị của m
b) Tính tổng và tích của hai nghiệm theo m
2
2
c) Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình. Định m để x1  x2  5
Lời giải
2
a) Ta có:   m  4.1.  2m  4   m 2  8m  16   m  4  2 �0 ; với mọi m .

Vậy phương trình ln có nghiệm với mọi giá trị của m .

b) Với mọi m , phương trình đã cho có hai nghiệm x1 , x2 thỏa hệ thức Vi-ét:
b
�
S  x1  x2 
 m
�
�
a
�
�P  x x  c  2m  4
1 2
�
a
Ta có

x12  x22  5 �  x1  x2   2 x1 x2  5  0 �  m   2.  2m  4   5  0
2

2

 *

2
� m 2  4m  8  5  0 � m  4 m  3  0

Vì a  b  c  1   4   3  0 nên phương trình  * có hai nghiệm: m1  1; m2 
Vậy m1  1; m2  3 là các giá trị cần tìm.
Câu 39: Cho phương trình x 2  2 x  4m  1  0 ( x là ẩn số)
a) Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm
2

2
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa x1  x2  2 x1  2 x2  12
Lời giải
2
a) Ta có  '   1  1.  4m  1  1  4m  1  2  4m
' 0 ��
2 4�m  0
Để phương trình có nghiệm -���

4m

2

m

c 3
 3
a 1

1
.
2

1
Vậy m � thì phương trình có nghiệm.
2
1
b) Theo câu a, với   0 � m  thì phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa hệ thức Vi-ét:
2
b

2
�
S  x1  x2    
2
�
�
a
1
�
�P  x x  c  4m  1  4m  1
1 2
�
a
1
2
2
Ta có x1  x2  2 x1  2 x2  12 �  x1  x2   2 x1 x2  2  x1  x2   12  0
2

� 22  2  4m  1  2.2  12  0 � 4  8m  2  4  12  0 � 8m  2  0 � m 
Vậy m 

1
là giá trị cần tìm.
4

1 (thỏa)
4

Câu 40: Cho phương trình bậc hai: x 2 – 2mx  4m – 4  0 ( x là ẩn)
a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với mọi m
2
b) Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để x1  2mx2  8m  5  0
Lời giải
2
2
2
a) Ta có  '    m   1.  4m  4   m  4m  4   m  2  �0, m
Do  ' �0, m nên phương trình ln có nghiệm với mọi m .
b) Theo câu a)  '  0 ۹ m 2 nên phương trình ln có hai nghiệm x1 , x2 thỏa hệ thức Vi-ét:
b 2m
�
S  x1  x2 

 2m
�
�
a
1
�
�P  x x  c  4m  4  4m  4
1 2
�
a
1
2
Do x1 là nghiệm của phương trình nên thỏa: x1  2mx1  4m  4  0
� x12  2mx1  4m  4  *

Ta có

x12  2mx2  8m  5  0

� 2mx1  4m  4  2mx2  8m  5  0 (do  * )
� 2m  x1  x 2   12m  9  0
� 2m.2m  12m  9  0 (do hệ thức Vi-ét)
� 4m 2  12m  9  0
�  2m  3  0
2

� 2m  3  0
� 2m  3
3
�m
2
3
Vậy m  là giá trị cần tìm.
2
2
Câu 41: Cho phương trình: x  2  m  4  x  m  6  0
a) Chứng minh phương trình ln có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
1 1
b) Tính theo m biểu thức A  
rồi tìm m �� để A�� .
x1 x2
Lời giải
a)

  m  4 �

Ta có:  '  �
�
�  m  6 
2

 '   m  4  m  6
2

 '  m 2  8m  16  m  6
 '  m 2  9m  22
2

� 9� 7
'  �
m  �  0, m
� 2� 2
Do  '  0, m nên phương trình ln có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
b) Theo câu a,  '  0, m nên phương trình ln có hai nghiệm x1 , x2 thỏa hệ thức Vi-ét:
b
�
x1  x2 
 �
2  m  4  �
�
� 2  m  4   2m  8
�
�
a
�
�x .x  c  m  6

�1 2 a


1 1 x1  x2 2m  8 2  m  6   12  8
 


x1 x2
x1.x2
m6
m6
2  m  6  4 2  m  6
4
4



 2
m6
m6
m6
m6
4
�� suy ra 4M m  6  hay m  6 � Ư(4)=  4; 2; 1;1; 2; 4
Để A��thì
m6
Lập bảng:
Có: A 

m6

-4

m

-2

2

-1

4

5

1

2

4

7

8

10

Vậy m � 2; 4;5;7;8;10 thì A��.
2
Câu 42: Cho phương trình: x  2  m  2  x  2m  0  1 với x là ẩn số.

a) Chứng tỏ phương trình trên ln có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2
2
Tìm giá trị của m để hai nghiệm của phương trình thỏa hệ thức x2  x1  x1 .
Lời giải

b)

2
  m  2 �
Ta có:  '  �
�
�  2m    m  2   2m  m  4m  4  2m
2

a)

2

 m 2  2m  4   m  1  3  0, m
2

Do  '  0, m nên phương trình ln có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
b)

Theo câu a,  '  0, m nên phương trình ln có hai nghiệm x1 , x2 thỏa hệ thức Vi-ét:

b
�
S  x1  x2 
 �

2  m  2  �
�
� 2  m  2   2m  4
�
�
a
�
�P  x .x  c  2m
1 2
�
a
2
Ta có: x2  x1  x1 � x2  x1  2  m  2  x1  2m � 2m  4  x1  x1  2  m  2  x1  2m
4
2
� 4  2 x1   2m  4  x1 � x1 

2  2m 1  m
2
2
2 �
�
�2 �
Thay x1 
vào  1 ,ta được: �
 2  m  2 �
�
� 2m  0
1 m
1 m �

1 m �
�
�
�

4

 1 m

2



4  m  2  1  m

 1 m

2



2m  1  m 

 1  m

2

2

0

� 4  4   m 2  3m  2   2m  1  2m  m 2   0
� 4  4m2  12m  8  2m  4m2  2m3  0
� 2m3  8m2  14m  12  0
� m3  4m 2  7 m  6  0
�  m  2   m 2  2m  3  0

�m2
Vậy m  2 là giá trị cần tìm.
Câu 43: Cho phương trình: x 2  2 x  2m2  0  1 với x là ẩn số.


a)
b)
a)

Chứng minh rằng phương trình trên ln có 2 nghiệm phân biệt với mọi m .
2
2
Tìm giá trị của m để hai nghiệm của phương trình thỏa hệ thức x1  4 x2 .
Lời giải
2
2
2
Ta có:  '   1   2m   1  2m  0,  m

Do  '  0, m nên phương trình ln có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
b) Theo câu a,  '  0, m nên phương trình ln có hai nghiệm x1 , x2 thỏa hệ thức Vi-ét:
b
�

S  x1  x2 
   2   2
�
�
a
�
�P  x .x  c  2m 2  3
1 2
�
a
x1  2 x2
�
2
2
Có: x1  4 x2 � �
x1  2 x2
�
� 4
x 
�
�x1  2 x2
4 2
�1 3
2
��
TH1: �
thay vào  3 .Ta được: �  2m (vô lý)
3 3
�x1  x2  2
�x  2

2
� 3
�x1  2 x2
�x  4
2
2
� �1
TH2: �
thay vào  3 . Ta được: 4  2   2m � m  4 � m  �2 .
�x1  x2  2
�x2  2
Vậy m  �2 là giá trị cần tìm .
2
2
Câu 44: Cho phương trình: x   3m  2  x  2m  m  3  0  1 ,(với x là ẩn số).
a) Chứng minh rằng phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trị của m .
b) Gọi x1 , x2 là các nghiệm của  1 . Tìm m để x1  3 x2 .
Lời giải
2
a) Ta có:
2
�
  3m  2  �
�
� 4  2m  m  3

  3m  2   8m 2  4m  12
2

 9m 2  12m  4  8m 2  4m  12

2
 m 2  8m  16   m  4  �0, m
Do  �0, m nên phương trình ln có nghiệm với mọi m .
b) Theo câu a,   0 ۹ m 4 nên phương trình luôn có hai nghiệm x1 , x2 thỏa hệ thức Vi-ét:
b
�
S

x

x

 �
  3m  2  �
1
2
�
� 3m  2
�
�
a
�
�P  x .x  c  2m 2  m  3  3
1 2
�
a
Ta có hệ phương trình sau:
� 9m  6
�x1  4
�x1  3 x2

9m  6 3m  2
�
��
�
 2m 2  m  3
, thay vào  3 , ta được:
�
x

x

3
m

2
3
m

2
4
4
�1 2
�x 
�2
4
�  9m  6   3m  2   16  2m 2  m  3 
� 27m 2  36m  12  32m 2  16m  48
� 5m 2  20m  60  0

� m 2  4m  12  0
� m  2, m  6
Vậy m  2, m  6 là giá trị cần tìm.
2
2
Câu 45: Cho phương trình: x  2  m  2  x  m  0  1 với x là ẩn số.
a) Chứng minh rằng phương trình trên ln có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
2
2
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 thỏa mãn  x1  1  x2  1  x1 x2  x2 x1  2 .
a)

Ta có:  '   m  2     m
2

2



Lời giải
  m  2   m 2  0, m
2

Do  '  0, m nên phương trình ln có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
b) Theo câu a,  '  0, m nên phương trình ln có hai nghiệm x1 , x2 thỏa hệ thức Vi-ét:
b
�
S  x1  x2 
 2  m  2   4  2m
�

�
a
�
�P  x .x  c  m 2  3
1 2
�
a
Ta có:
 x1  1  x2  1  x12 x2  x22 x1  2
� x1 x2   x1  x2   1  x1 x2  x1  x2   2
�  m 2  4  2m  1   m 2  4  2m   2
�  m 2  2 m  5  4 m 2  2 m 3  2 m 2
� 2 m 3  5m 2  2 m  5  0
� m 2  2m  5    2m  5   0
�  2m  5  m 2  1  0
�m

5
2

5
là giá trị cần tìm.
2
2
2
Câu 46: Cho phương trình: x  2  m  1 x  m  3  0  1 ( với x là ẩn số)
Vậy m 

a)

Tìm điều kiện để  1 có nghiệm.

b)

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 thỏa mãn

 2 x1  1  x2  1   2 x2  1  x1  1  x12  x22  14

.
Lời giải

a)

2
2
2
2
  m  1 �
Ta có:  '  �
�
�  m  3   m  1  m  3  m  2m  1  m  3  2m  4
2

' �۳
2m  4 0
Để  1 có nghiệm thì 

2

m

2

b) Theo câu a)  '  0 � m  2 nên phương trình ln có hai nghiệm x1 , x2 thỏa hệ thức Viét:
b
�
S  x1  x2 
 �
2  m  1 �
�
� 2m  2
�
�
a
�
�P  x .x  c  m 2  3  3
1 2
�
a
Ta có:
 2 x1  1  x2  1   2 x2  1  x1  1  x12  x22  14
� 2 x1 x2  2 x1  x2  1  2 x1 x2  2 x2  x1  1   x1  x2   2 x1 x2  14
2


� 4 x1 x2   x1  x2   2   x1  x2   2 x1 x2  14
2

�  x1  x2   6 x1 x2   x1  x2   16  0
2

�  2m  2   6  m 2  3   2m  2   16  0
2

� 4m 2  8m  4  6m2  18  2m  2  16  0
� 2m 2  6m  36  0
� m2  3m  18  0
� m  3, m  6
Vậy m  6 là giá trị cần tìm.
Câu 47: Tìm m để phương trình x 2  mx  3  0  ( m là tham số) có hai nghiệm thoả mãn 3 x1  x2  6
Lời giải
2
Ta có:   m  12
Để pt có 2 nghiệm phân biệt thì   0 � m �2 3 hoặc m �2 3
�x1  x2  m (1)
�
3 x1  x2  6 (2)
Kết hợp với hệ thức Viét ta có : �
�x x  3
(3)
�1 2
Giải hệ  1 ,  2  ta được x1 
Thay x1 

6m
3m  6
; x2 
2
2

6m
3m  6
, x2 
vào  3 ta được :
2
2

6  m 3m  6
�
 3 �  6  m   3m  6   12 � m  4
2
2
Vậy m  4 là giá trị cần tìm .
2
2
Câu 48: Cho phương trình x   5m  1 x  6m  2m  0  1 ( m là tham số)
a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với mọi m .
2
2
b) Gọi x1 , x2   là nghiệm của phương trình. Tìm m để x1  x2  1.
Lời giải
2
2
2
2
a) Ta có:   �
  5m  1 �
�
� 4  6m  2m   25m  10m  1  24m  8m
 m 2  2m  1   m  1 �0, m

Vì  �0, m nên phương trình (1) ln có nghiệm với mọi m.
b) Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình
2

5m  1  m  1
5m  1   m  1
 3m  1 ; x2 
 2m
2
2
Theo đề bài: x 2  x 2  1 �  3m  1 2   2m  2  1 � 9m 2  6m  1  4m 2  1  0
Ta có: x1 

1

2

� 13m 2  6m  0 � m  0 ; m 
Vậy m  0 ; m 

6
13

6
là giá trị cần tìm.
13

Câu 49: Cho phương trình: x 2  2(m  1) x  m  3  0
a)

 1

Chứng minh rằng phương trình  1 luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt.


b)

Gọi

x1 , x2    là 2 nghiệm của phương trình  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P  x12  x22 .
c)
a)

Tìm hệ thức giữa x1 và  x2 không phụ thuộc vào m .
Lời giải
2
Ta có:  '   ( m  1)    m  3 

 '  m 2  2m  1  m  3
 '  m 2  3m  4
2
2
�2
3 �3 ��
�3 �
'  �
m  2.m.  � �� 4  � �
2 �2 ��

�2 �
�
2

� 3� 7
'  �
m  �  0, m
� 2� 4
Do  '  0, m nên phương trình ln có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
b) Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình  1
b
�
S  x1  x2 
 2  m  1
�
�
a
Áp dụng định lý Vi-ét: �
�P  x x  c  m  3
1 2
�
a
Theo đề bài ta có:
P  x12  x22

 2
 3

P   x12  x22  2 x1 x2   2 x1 x2
P   x1  x2   2 x1 x2

2

P  4  m  1  2  m  3
2

P  4m 2  8m  4  2m  6
P  4m 2  10m  10
2
2
� 2
5 �5 ��
�5 �
P�
 2m   2.2m.  � �� 10  � �
2 �2 ��
�2 �
�
2

5 � 15 15
�
P�
2m  � � , m
2� 2
2
�
5
5
Dấu "  " xảy ra � 2m   0 � m 
2

4
15
5
2
2
Vậy Min  x1  x2  
khi m  .
2
4
c) Từ  3 � m  x1 x2  3

Thay m  x1 x2  3 vào  2  , ta được: x1  x2  2  x1 x2  3  1 � x1  x2  2 x1 x2  4
Câu 50: Cho phương trình bậc hai (ẩn x , tham số m ): x 2 – 2mx  2m  1  0  1
Với giá trị nào của m thì phương trình  1 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1  3 x2 .
Lời giải
Ta có:  '   m    2m  1
2

 '  m 2  2m  1
2
 '   m  1 �0, m