Các chuyên đề cơ bản luyện thi vào 10

Đề cương thi vào 10
Chuyên đề 1: CĂN THỨC
1. Cho
( ) ( )
( )
3 3
2
2
1 1 1 1
2 1
x x x
P
x
+ − + − −
=
+ −
.
a) Rút gọn
P
.
b) Tính giá trị của
P
khi
1
2
x =
. Từ đó tính
α
sao cho
sin P
α

=
.
2. Cho
2
1 1
:
x
A
x x x x x x
+
=
+ + −
.
a) Rút gọn
A
và nêu điều kiện của
x
để
A
có nghĩa.
b) Coi
A
là một hàm số với biến
x
. Vẽ đồ thị hàm số
A
.
3. Cho
2 1 2
1 .

1
1 2 1
x x x x x x x x
A
x
x x x
 
+ − − + −
= + −
 ÷
−
− −
 
.
a) Tìm điều kiện của
x
để
A
có nghĩa.
b) Tính
x
nếu
6 6
5
A
−
=
.
c) Chứng minh rằng :
2

3
A ≤
là bất đẳng thức sai.
4. Cho
3 3 4 5 4 2
:
9
3 3 3 3
x x x x
A
x
x x x x x
   
+ − +
= − − −
 ÷  ÷
−
− + − −
   
.
a) Rút gọn
A
.
b) Tìm điều kiện của
x
để
A A> −
.
c) Tìm
x

để
2
40A A=
.
5. Cho
( )
2 2
2
2
4 2
8 48 0B a a a
a a
   
= + − + + ≠
 ÷  ÷
   
.
a) Rút gọn
B
.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của
B
khi
a
thay đổi.
6. Cho
5 4 9
3
3
3

2 4
1 1
m m m
A
m
+ +
=
− −
.
Rút gọn
A
rồi tính giá trị của
A
khi
3
2 2m =
.
7. Cho
( )
2 2 2 1 2 8 6 2 1A x x x x x= − − + + − −
.
a) Tìm đoạn
[ ]
;a b
sao cho
( )
A x
có giá trị không đổi trên đoạn đó.
b) Tìm
x

sao cho
( )
4A x >
.
8. Cho
2 2
16 2 9 2 7x x x x− + + − + =
. Tính :
2 2
16 2 9 2A x x x x= − + − − +
.
Đề cương thi vào 10
9. Cho
4 4 4 4A x x x x= + − + − −
.
a) Tìm
x
để
4A
=
.
b) Tìm
x
để
A
đạt giá trị nhỏ nhất.
10. Cho
3 3 3 3
2 6
,

2 2 2 4 2 2 2 4
x y= =
+ + − +
. Tính
( )
2 2
M xy x y= −
.
11.Rút gọn các biểu thức sau :

2 3 5 13 48
8 41
,
6 2
45 4 41 45 4 41
A B
+ − +
= =
+
+ + −
.
12. Cho
(
)
3 3 3
3
8 3 5 64 12 20 . 8 3 5
57
A
− + − +

=
,
3 3
4 4
3 3
9 2 2 9 9
3 2 2 81
B
− −
= +
+ −
.
Chứng minh :
. 12A B =
.
13.Chứng minh các biểu thức sau là một số vô tỷ :

2 3 6 8 4
2 3 4
P
+ + + +
=
+ +

( )
2 3
: 2 1
6 3 2 1
Q
+

= +
− + −
14. Cho
( )
1 1
: 3 2
1 7 24 7 24 1
A
 
= − −
 ÷
 ÷
+ − + −
 
.
Chứng minh :
A
là một số nguyên.
15. Rút gọn biểu thức :
1 1 1
...
1 2 2 3 99 10
M = + + +
+ + +
.
Chuyên đề 2: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
1. Giải các phương trình sau đây bằng cách đặt ẩn số phụ thích hợp :

2 2
2

2
2 2 4
10 11 0
1 1 1
x x x
x x x
 
− + −
   
+ − =
 ÷
 ÷  ÷
+ − −
   
 
;
( ) ( )
2 2
4 3 . 6 8 15x x x x− + − + =

2 2
90
1 1
x x
x x
   
+ =
 ÷  ÷
+ −
   

;
( )
3 3
3
2 3 12 1x x x+ − = −
.

2
3 2
1
5 3 3 2 3
2 2
x
x x x x+ + − + = +
.
( ) ( ) ( )
1
1 . 4 3 4 . 18 0
4
x
x x x
x
+
+ − + − − =
−
.

( ) ( )
2 2 2
2 3 1 . 2 3 1 9x x x x x

− + + + =
.
2 2 2
16 64 2 8 16 0x x x x x− + − − + + =
.

( ) ( )
2
2 2 4
1 5 1x x x x+ + = + +
.
( ) ( )
4 4
6 8 16x x− + − =
.

3
3
2 2 1 1 0x x− − + =
.
( ) ( )
5 . 5 3 . 3
2
5 3
x x x x
x x
− − + − −
=
− + −
.


3
18 7 5x x− + + =
.
Đề cương thi vào 10

4 4
18 1 3x x− + − =
.
2 2
4 5 3
3 5 3 2
x x
x x x x
+ = −
+ + − +
.

5 5
. . 6
1 1
x x
x x
x x
− −
 
+ =
 ÷
+ +
 

.
2. Tìm các nghiệm nguyên
( )
,x y
hoặc
( )
, ,x y z
của các phương trình và hệ phương trình dưới
đây:

( ) ( ) ( )
2
1 2 3x y y y y= + + +
.
2
2
2 2 1
x y z
x xy x z
− + =


− + − =


2 2 2
3
1
x y z
x y z

− − = −


− − =

2 83xy x y+ + =

3
xy zx yz
z y x
+ + =
2
2 2 5 19x xy x y− = + −
.
3. Giải các phương trình, hệ phương trình khác dưới đây:

2
1 1
2
2
x
x
+ =
−
2 2 2 4
4 1 4 2 3 16 5x x x y y x y− + + + + − − = − − +
.

4 3 2
2 21 74 105 50 0x x x x− + − + =

21 1 5
1 41 7
x x
x x

+ − − =


+ + − =



1 5 1
5 1
x y
y x
 − + − =


= + −


2 2
2 2
2 15 4 12 45 24 0
2 3 3 0
x xy y x y
x y x y xy

− + − + − =



− − + + =



( ) ( )
3 2 2
3 9 6 5 0x m x m x m m+ − + − + − + =
4 4 4
1x y z
x y z xyz
+ + =


+ + =


0
3
2
x y z
xy yz zx
xyz
+ + =


+ + = −



= −

2 2
3
2
x xy y
x y xy
+ + =


+ =

2
2
3 10
4 6
x xy
y xy

+ =


+ =


16
15
7
xt yt
xy yt

xy xt
+ =


+ =


+ =


2 2 2 2
1
1
x y z t
xy yz zt tx

+ + + =

+ + + =

( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
. 9
. 5
x y x y
x y x y


+ − =


− + =



( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
3 3 . 3 5 2 4 54 5 1x x x x x− + + − + + = − −

( ) ( ) ( ) ( )
1 . 2 . 6 . 3 34x x x x− + − − =
.

( )
( )
2 2
1
1999 1999 2000 2000 2001
x y
x y y x x y xy

+ =


− = − + + +




2 5 2 3 2 5 2 2 2x x x x+ − − + − − + =
.
( ) ( ) ( ) ( )
2
4 5 . 6 . 10 . 12 3x x x x x+ + + + =
.
 Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
6 3 2
2 2 64x x y y− + =
.
Đề cương thi vào 10
 Phân tích biểu thức
2 2
2 2x x xy y y+ − − −
thành nhân tử. Từ đó giải hệ :

2 2
2 2
2 2 0
1
x x xy y y
x y

+ − − − =


+ =



 Tìm các số nguyên
, ,a b c
thỏa mãn điều kiện :

2 2 2
3
1
a b
a b c
a b c

<

+ = +


= + +

 Tìm các số nguyên
,a b
để
1 3x = +
là nghiệm của phương trình sau :

3 2
3 12 0x ax bx+ + + =
 Giải phương trình :
4 2
4 8 3 0x x x− + + =
.

 Cho phương trình :
( ) ( ) ( ) ( )
1 . 2 . 3 . 4x x x x m+ + + + =
.
Biết rằng phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt
1 2 3 4
, , ,x x x x
. Chứng minh :

1 2 3 4
. . . 24x x x x m= −
.

Chuyên đề 3: BẤT ĐẲNG THỨC. GIÁ TRỊ MIN, MAX
1. Cho
, ,a b c
là độ dài 3 cạnh của tam giác. Chứng minh :

( )
2 2 2
2ab bc ca a b c ab bc ca+ + ≤ + + < + +
Khi nào có đẳng thức xảy ra ?
2. Giả sử
; ; 0x z y z z> > >
. Chứng minh :
( ) ( )
z x z z y z xy
− + − ≤
.
3. Cho

0xy >
và
1x y+ =
. Chứng minh :
( )
4 4
1
8 5x y
xy
+ + ≥
.
4. Cho 3 số phân biệt
, ,a b c
. Chứng minh rằng có ít nhất một trong 3 số sau đây là số dương :

( ) ( ) ( )
2 2 2
9 , 9 , 9x a b c ab y a b c bc y a b c ca= + + − = + + − = + + −
5. Chứng minh rằng : nếu
,a b
thỏa mãn :
1; , 0a b a b+ ≥ >
thì
4 4
1
8
a b+ ≥
.
6. Chứng minh :
( ) ( ) ( ) ( )

10 10 2 2 8 8 4 4
. .x y x y x y x y+ + ≥ + +
.
7. Chứng minh rằng : nếu
, ,a b c
là các số đôi một khác nhau và
0a b c+ + <
thì

3 3 3
3 0P a b c abc= + + − <
8. Chứng min rằng :
( )
2
1 1 1 1
...
9 25 4
2 1n
+ + + <
+
nếu
n
là số tự nhiên.
9. Chứng minh rằng nếu
, 0p q >
thì :
2 2
p q
pq
p q

+
≥
+
.
10. Chứng minh rằng :
2
1 1 1
1k k k
< −
−
với
, 2k k∈ ≥¥
. Từ đó suy ra :
Đề cương thi vào 10

2 2 2
1 1 1 1
1 ... 2
2 3 n n
+ + + + < −
(
2 n≤ ∈ ¥
)
11. Cho hai số
,x y
thỏa mãn :
x y>
và
1xy =
. Chứng minh :

2 2
2 2 0
x x
x y
+
− ≥
−
.
12. Cho
ABC∆
có các cạnh thỏa mãn :
a b c≤ ≤
. Chứng minh :
( )
2
9a b c bc+ + ≤
13. Ba số dương
, , 2a b c <
. Chứng minh rằng 3 số
( ) ( ) ( )
2 , 2 , 2a b b c c a− − −
không đồng thời
lớn hơn 1.
14. Ba số dương
, ,a b c
thỏa mãn
a b c> >
. Chứng minh :

b c

a b a b a c a c
<
+ − − + − −
15. Cho
, 0x y >
và
1x y+ =
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

2 2
1 1
1 . 1P
x y
 
 
= − −
 ÷
 ÷
 
 
16. Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số :
2002 2003y x x= − + −
.
17. Cho
2
2
2 2000a a
M
a
− +

=
(
0a ≠
). Tìm
a
để
M
đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
18. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của :
2
2
8 7
1
x x
M
x
+ +
=
+
.
19. Các số
, ,a b c
thỏa mãn điều kiện :
2 2 2 2
7
13
x a b c
x a b c
+ + + =



+ + + =

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
x
.
20. Tìm cặp số
( )
,a b
thỏa mãn đẳng thức :
2
1. 1a b b a− = − −
sao cho
a
đạt giá trị lớn nhất.
21. Cho
6 4 3 2
27, 3 6 9 9P x Q x x x x= + = − + − +
.
a) Rút gọn biểu thức
P
y
Q
=
.
b) Tìm
x
để
y
có giá trị nhỏ nhất.

22. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số :
2
2
18 48 52
9 24 21
x x
y
x x
− +
=
− +
.
23.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số :

2
2 1
2
x
y
x
+
=
+
2
3
2 2 7
y
x x
=
+ − +

.
24. Với giá trị nào của
,a b
thì :
2 2
3 3 2003M a ab b a b= + + − − +
đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá
trị nhỏ nhất đó.
25. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
6 6
A x y= +
biết
2 2
1x y+ =
.
26. Cho các số dương
, ,x y z
thỏa mãn điều kiện
2 2 2
1x y z+ + ≥
. Chứng minh :
Đề cương thi vào 10

3 3 3
1
x y z
y z x
+ + ≥
.
27. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức :

( )
4
2
2
1
1
x
A
x
+
=
+
.
28. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số :
( )
2
2
2 2002
x
f x
x x
=
− +
.
29. Chứng minh rằng :
2 2 2
a b c ab bc ca+ + ≥ + +

, ,a b c∀
.

30. Chứng minh rằng :
( )
4 4 4
x y z xyz x y z+ + ≥ + +
.
Chuyên đề 4: ĐA THỨC VÀ NHỮNG VẤN ĐỀ LIÊN QUAN
1. Cho
2
3 2
5
,
3 2 2 2 12
x a b
P Q
x x x x x
+
= = +
− − − + +
. Với giá trị nào của
,a b
thì
P Q=
với mọi
giá trị của
x
trong tập xác định của chúng.
2. Cho
( )
( )
( )

2
2
2 2 13
1
2
1
2 . 1
x x A B x C D x E
x
x
x
x x
+ + + +
= + +
+
−
+
− +
.
Tìm
, , , ,A B C D E
để đẳng thức trên đúng với mọi
0 4x< ≠
.
3. Cho
5
;A n n= − với
n∈ ¡
.
a) Phân tích

A
thành nhân tử.
b) Tìm
n
để
0A =
.
c) Chứng minh rằng :
A
chia hết cho 30.
4. Chứng minh rằng : nếu
,x y
là những số nguyên thỏa mãn điều kiện
2 2
x y+
chia hết cho 3
thì cả
,x y
đều chia hết cho 3.
5. Tìm giá trị của
,p q
để đa thức
4
1x +
chia hết cho đa thức
2
x px q+ +
.
6. Cho đa thức
( )

4 3 2
14 71 154 120A x x x x x= − + − +
với
x∈¢
.
a) Phân tích
( )
A x
thành nhân tử.
b) Chứng minh rằng đa thức
( )
A x
chia hết cho 24
7. Cho
( ) ( )
1970 1930 1890 20 10
, 1P x x x x Q x x x= + + = + +
. Chứng minh rằng khi
x
nguyên thì
( )
P x
chia hết cho
( )
Q x
.
8. Tìm tất cả các số nguyên
x
để
2

7x +
chia hết cho
2x −
.
9. Một đa thức chia cho
2x −
thì dư 5, chia cho
3x −
dư 7. Tính phần dư của phép chia đa
thức đó cho
( ) ( )
2 3x x− −
.
10. Cho
( )
4 2
3P x x x ax b= − + +
và
( )
2
3 4Q x x x= − +
. Với giá trị nào của
,a b
thì
( )
P x
chia
hết cho
( )
Q x

.
11. Cho biết tổng các số nguyên
1 2
, ,...,
n
a a a
chia hết cho 3. Chứng minh rằng :

3 3 3
1 2
...
n
A a a a= + + +
cũng chia hết cho 3.