Tổng hợp lý thuyết và bài tập về Khối trụ môn Toán 12 có đáp án chi tiết

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.1 MB, 13 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Trang | 1

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP VỀ KHỐI TRỤ

MƠN TỐN 12 CĨ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

1. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Khái niệm: Hình trụ trịn xoay

Khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh đường thẳng chứa một cạnh, chẳng hạn cạnh AB thì đường
gấp khúc ABCD tạo thành một hình, hình đó được gọi là hình trụ trịn xoay hay gọi tắt là hình trụ.

Đường thẳng AB được gọi là trục.
Đoạn thẳng CD được gọi là đường sinh.

Độ dài đoạn thẳng ABCDh được gọi là chiều cao của hình trụ.

Hình trịn tâm A, bán kính rAD và hình trịn tâm B, bán kính rBC được gọi là hai đáy của hình
trụ.

Khối trụ trịn xoay, gọi tắt là khối trụ, là phần không gian giới hạn bởi hình trụ trịn xoay kể cả hình trụ.
Cơng thức tính diện tích của hình trụ và thể tích của khối trụ:

Cho hình trụ có chiều cao là h và bán kính đáy bằng r.
Diện tích xung quanh của hình trụ: Sxq 2rh

Diện tích tồn phần của hình trụ: Stp Sxq 2.SÐay 2rh2r2

Thể tích khối trụ: V B h. r h2
2. BÀI TẬP

BÀI TẬP MẪU

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Trang | 2
A. 18 . B. 36 . C. 54 . D. 27.

Lời giải

Phân tích hướng dẫn giải 
1. DẠNG TỐN: Đây là dạng tốn tìm các yếu tố của hình trụ.

……….
3. HƢỚNG GIẢI:

B1: Theo giả thiết ta có r3. Vì thiết diện là hình vng nên độ dài đường cao là l2r6
B2: Diện tích xung quanh của hình trụ: Sxq 2rl36.

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể nhƣ sau:

Lời giải 
Chọn B

Theo giả thiết ta có r3.

Vì thiết diện là hình vng nên độ dài đường cao là h2r6.
Diện tích xung quanh của hình trụ: Sxq 2rh36 .

BÀI TẬP TƢƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN

Bài 1. Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật ABCD có AB và

CD thuộc hai đáy của khối trụ. Biết AB4 , a BC3a. Thể tích của khối trụ đã cho bằng

A. 3

12a . B. 3

16a . C. 3

4a . D. 3

8a .

Lờigiải

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Trang | 3
Theo giả thiết ta có 2

AB

r   a.
Độ dài đường cao là hBC3a.

Thể tích khối trụ: V r h2 

 

2a 23a12a3.

Bài 2. Cho hình chữ nhật ABCD có AB2BC2a. Tính thể tích khối trịn xoay khi quay hình phẳng

ABCD quanh trục AB.
A. 3

2a . B. 3

1a . C. 3

4a . D. 3

8a .

Lờigiải

Chọn A

Theo giả thiết ta có r BCa.
Độ dài đường cao là hAB2a.

Thể tích khối trụ: V 



r h2 



. .2a2 a2



a3.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Trang | 4
A. 23

 

cm2 . B. 23

 

2 cm



. C. 69

 

2
2 cm



. D. 69

 

cm2 .

Lờigiải

Chọn C

Gọi r là bán kính mặt đáy, h là đường cao của hình trụ.
Thiết diện là hình chữ nhật có kích thước là 2r và h.

Hình chữ nhật có diện tích bằng 30cm2 và chu vi bằng 26cmnên có:





2 30

2 2 26

rh
r h

 
  

3
2
10
r
h
 


 



(Vì chiều dài của hình chữ nhật lớn hơn đường kính mặt đáy)

Diện tích tồn phần của hình trụ

2
2 3 3 69

2 2 2 . .10 2 .

2 2 2

tp

S rh r   



       

 .

Bài 4. Biết thiết diện qua trục của một hình trụ là hình vng cạnh a. Diện tích tồn phần của hình trụ đã
cho bằng

A. 2a2. B.

3
2

a



. C. 4a2. D. 3a2.

Lờigiải

Chọn B

Theo giả thiết ta có
2

a

r  .

Độ dài đường cao là ha.
Diện tích tồn phần của khối trụ

2 2

2 3

2 2 2 2

2 2 2

tp

a a a

rh r a

S           




 .

Bài 5. Cho hình trụ có diện tích xung quanh bằng 50 và độ dài đường sinh bằng đường kính của đường
trịn đáy. Tính bán kính r của đường trịn đáy.

A. 5 2
2

r . B. r5. C. 5 2

r  . D. r5  .

Lờigiải

Chọn A

Theo giả thiết ta có diện tích xung quanh Sxq 2rh50 rh25.
Độ dài đường sinh bằng đường kính của đường trịn đáy nên l2r.
Đường sinh và đường cao của hình trụ bằng nhau nên: h l 2r.

Suy ra: 25 .2 25 2 25 5 2

2 2

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Trang | 5
Bài 6. Cho hình trụ

 

T có diện tích xung quanh bằng 24cm2,bán kính đường trịn đáy bằng 4cm. Tính
thể tích của khối trụ

 

T .

A. 24cm3. B. 12cm3.. C. 48cm3. D. 86cm3.

Lờigiải

Chọn C

Ta có: Sxq  2 rh 24  rh 12  V r h2  rh r. 48.

Bài 7. Cắt một hình trụ bằng mặt phẳng

 

 vng góc với mặt đáy, ta được thiết diện là một hình
vng có diện tích bằng 16. Biết khoảng cách từ tâm đáy hình trụ đến mặt phẳng

 

 bằng 3. Tính thể
tích khối trụ.

A. 52
3



. B. 52. C. 13 . D. 2 3 .

Lờigiải

Chọn B

Gọi O O, ' là hai tâm của mặt đáy.

Thiết diện là hình vng ABB A' ' với A B, thuộc mặt đáy chứa tâm O; A B', ' thuộc mặt đáy
chứa tâm O'.

Gọi I là hình chiếu của O lên mặt phẳng



ABB A' '



Thiết diện là một hình vng có diện tích bằng 16Cạnh hình vng bằng 4.
Khoảng cách từ tâm O đáy hình trụ đến mặt phẳng

 

 bằng 3OI 3.
Ta có: OA IA2IO2  2232  13

Thể tích khối trụ:

 

2
2

13 4 52

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Trang | 6
Bài 8. Một hình trụ có chiều cao bằng 5 3. Cắt một hình trụ bằng mặt phẳng song song với trục, và cách
trục một khoảng bằng 1, thiết diện thu được có diện tích bằng 30. Diện tích xung quanh của hình trụ đã
cho bằng

A. 10 3. B. 5 39 . C. 20 3. D. 10 39.

Lờigiải

Chọn C

Gọi O O, ' là hai tâm của mặt đáy.

Thiết diện là hình chữ nhật ABB A' ' với A B, thuộc mặt đáy chứa tâm O; A B', ' thuộc mặt
đáy chứa tâm O'.

Gọi I là hình chiếu của O lên mặt phẳng



ABB A' '



.
Hình trụ có chiều cao bằng 5 3AA'5 3.

Mặt phẳng song song với trục, và cách trục một khoảng bằng 1OI1.
Thiết diện thu được có diện tích bằng 30AB AA. '30.

.5 3 30 2 3

AB AB

   

Ta có:

 

2 2 2

3 1 2

OA IA IO    .

Diện tích xung quanh của hình trụ: Sxq 2rh2 .2 .5 320 3.

Bài 9. Cho AA B B' ' là thiết diện song song với trục OO' của hình trụ (A B, thuộc đường tròn tâm

O). Cho biết AB4,AA'3 và thể tích của hình trụ bằng V24 . Khoảng cách d từ O đến mặt
phẳng



AA B B

' '



là

A. d 1. B. d 2. C. d 3. D. d 4.

Lờigiải

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Trang | 7
Gọi I là hình chiếu của O lên mặt phẳng ABB A' '.

Ta có: AB4,AA'3.

Thể tích khối trụ: V r h2 r2324  r 2 2

Ta có: OA2 IA2IO2

 

2 2 2

2 2 2 =2

OI OA IA

     .

Vậy khoảng cách d từ O đến mặt phẳng



ABB A' '



bằng 2.

Bài 10. Cho một hình trụ trịn xoay và hình vng ABCD cạnh a có hai đỉnh liên tiếp A B, nằm trên
đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh cịn lại nằm trên đường trịn đáy thứ hai của hình trụ. Mặt
phẳng



ABCD



tạo với đáy hình trụ góc 45o. Tính diện tích xung quanh hình trụ.

A.

2 3

xq

a

S   . B.

3
3

xq

a

S  . C.

3
4

xq

a

S  . D.

3
2

xq

a

S  .

Lờigiải

Chọn D

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Trang | 8
Ta có:

a

IM  , do đó 2

a

OM OI  .

Suy ra ' 2

a

hOO  và ' 6

a

rO C

Diện tích xung quanh của hình trụ:

6 2 3

2 2 .

4 2

xq

a

S  rh  a a .

Bài 11. Cho một khối trụ có bán kính đáy ra và chiều cao h2a . Mặt phẳng

 

P song song với
trục OO' của khối trụ chia khối trụ thành 2 phần, gọi V1 là thể tích phần khối trụ chứa trục

OO , V2 là thể tích phần cịn lại của khối trụ. Tính tỉ số 1
2

V

V , biết rằng

 

P cách OO' một

khoảng bằng 2

a

.
A. 3 2
2






 . B.

3 2






 . C.

3 3






 . D.

3 3
2



 .
Lờigiải 
Chọn A

Gọi

 

H1 là phần khối trụ chứa trục OO';

 

H2 là phần còn lại của khối trụ.
Gọi ABB A' ' là thiết diện do mặt phẳng

 

P khối trụ

Gọi I là hình chiếu của O lên mặt phẳng ABB A' '.
Thể tích khối trụ: V r h2 a22a2a3.

Ta có:

 

P cách OO' một khoảng bằng 2 2

2 2

a a

OI

  .

Ta có: 2 2 2

OA IA IO

2 2 2 2 2

2 2

a a

IA OA OI a  

      

 

Suy ra tam giác OIA vuông cân tại 0

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Trang | 9
Diện tích hình quạt AOB là

2 2

.90

360 4

a a

 

Diện tích tam giác AOB là 1 2

2a

Suy ra diện tích hình viên phân ứng với

 

H2 là:

2 2

1 2

4 2 4

a

a a

   

Diện tích hình viên phân ứng với

 

H1 là: 2 2 2 3 2 2

4 4

a  a  a

    

Vì

 

H1 và

 

H2 có cùng chiều cao nên 1 2 2
2

3 2 2 3 2

4 4 2

V
a a
V
  

  
 
 .

Bài 12. Một khối trụ có thể tích bằng 6. Nếu giữ nguyên chiều cao và tăng bán kính đáy của khối trụ đó 
gấp 3 lần thì thể tích của khối trụ mới bằng bao nhiêu?

A. 54. B. 162. C. 27 . D. 18.

Lờigiải

Chọn A

Gọi r r1; 2 lần lượt là bán kính của mặt đáy hình trụ trước và sau khi tăng bán kính đáy.

1
2 1
2
1
3
3
r
r r
r
   
Ta có:
2
1 1
2
2 2
2
1
2
1
9

V r h r

r h r
V




 
   

  V2 9V154.

Bài 13. Khi sản xuất vỏ lon sữa bị có hình trụ với thể tích bằng V , nhà thiết kế ln đặt mục tiêu sao cho
chi phí nguyên liệu làm vỏ lon sữa bị là ít nhất, tức là diện tích tồn phần của hình trụ nhỏ nhất. Muốn
thể tích khối trụ đó bằng V và diện tích tồn phần hình trụ là nhỏ nhất thì chiều cao h của lon sữa bò
bằng bao nhiêu?

A. h 3 4V



 . B. 3

V
h



 . C. 3

4
V
h



 . D. 3

5
4V
h

 .
Lờigiải 
Chọn A

Ta có: 2

h
V r h r V



   .

Diện tích tồn phần của lon sữa là:

 

2
2

2 2 2 V 2 V 2 2V

S h rh r h Vh

h h h

    

 

 

       

 

Bài toán quy về tìm GTNN của hàm số: S h

 

2 Vh 2V



h 0



h



  

 

2 2

' 2

V V V V

S h

h h

 

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Trang | 10

 

' 0 V V

S h

h
h



   V 4V42

h h



  3 4V

h



  h 3 4V



  .
Bảng biến thiên của hàm số S h

 

2 Vh 2V



h 0



h



  

Từ bảng biến thiên suy ra S h

 

đạt giá trị nhỏ nhất khi h 3 4V



 .

Bài 14. Khi sản xuất vỏ lon sữa bị có hình trụ với thể tích bằng V , nhà thiết kế ln đặt mục tiêu sao cho
chi phí nguyên liệu làm vỏ lon sữa bị là ít nhất, tức là diện tích tồn phần của hình trụ nhỏ nhất. Muốn
thể tích khối trụ đó bằng V và diện tích tồn phần hình trụ là nhỏ nhất thì bán kính đáy r của lon sữa bò
bằng bao nhiêu?

A. 3

2
V
r



 . B. r 3V



 . C.

2
V
r



 . D. r V



 .

Lờigiải

Chọn A

Gọi r r



0



là bán kính đáy của lon sữa.

Khi đó 2

V r h h V

r





  .

Diện tích tồn phần của lon sữa là:

 

2 2 2

2 2 2 V 2 V 2

S r rh r r r r

r r

    



     

Bài tốn quy về tìm GTNN của hàm số:

 

2 2





2 0

V

S r r r

r 

  

 

' V 4

S r r

r 

  

 

' 0 4

V V

S r r r

r



     .

Bảng biến thiên của hàm số S r

 

2V 2 r2



r 0



r 

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Trang | 11
Từ bảng biến thiên suy ra S r

 

đạt giá trị nhỏ nhất khi 3

2
V
r



 .

Bài 15. Một nhà máy sản xuất cần thiết kế một thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích

1000cm . Bán kính của nắp đậy để nhà sản xuất tiết kiệm nguyên vật liệu nhất bằng: 
A. r 103 5cm



 . B. r 3 500cm



 . C. r 10 5cm



 . D. r 500cm



 .

Lờigiải

Chọn B

Gọi r r



0



là bán kính đáy của lon sữa.

Khi đó 2

V r h h V

r





  .

Diện tích tồn phần của lon sữa là:

 

2 2 2

2 2 2 V 2 V 2

S r rh r r r r

r r

    



     

Bài tốn quy về tìm GTNN của hàm số:

 

2 2





2 0

V

S r r r

r 

  

 

' V 4

S r r

r 

  

 

' 0 4

V V

S r r r

r



     31000 3 500

2
r

 

   .

Bảng biến thiên của hàm số S r

 

2V 2 r2



r 0



r 

  

Từ bảng biến thiên suy ra S r

 

đạt giá trị nhỏ nhất khi r 3 500cm



</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Trang | 12
Bài 16. Mặt phẳng chứa trục của một hình trụ cắt hình trụ theo một thiết diện có chu vi bằng 12 cm. Tìm 
giá trị lớn nhất của thể tích khối trụ tương ứng.

A.

 

8 cm . B.

 

32 cm . C.

 

16 cm . D.

 

64 cm .

Lờigiải

Chọn A

Ta có: 2

h
V r h r V



   .

Gọi r (cm) là bán kính đáy, h (cm) là đường cao của hình trụ.
Thiết diện là hình chữ nhật có hai cạnh là 2r và h.

Ta có: 4r12h122r    h 6 h 6 2r.

Thể tích của khối trụ:





2 2 6 2

6 2 8 .

r r r

V r hr  r       

 

Dấu bằng xảy ra khi r 6 2r r 2.

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Trang | 13
Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, 
giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sƣ phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên 
danh tiếng.

I. Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng 
xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và
Sinh Học.

- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các 
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường
Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn 
Đức Tấn.

II. Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS 
THCS lớp 6, 7, 8, 9 u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG.

- Bồi dƣỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng 5 phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp 
dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh 
Trình, TS. Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc 
Bá Cẩn cùng đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia.

III. Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chƣơng trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả 
các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư
liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi 
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và
Tiếng Anh.

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

</div>

Tổng hợp lý thuyết và bài tập về Khối trụ môn Toán 12 có đáp án chi tiết

<b>TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP VỀ KHỐI TRỤ </b>

<b>MƠN TỐN 12 CĨ ĐÁP ÁN CHI TIẾT </b>

 







 

 

 

 





 

 

 

 





 

 





 



<i>AA B B</i>

' '



 









 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 





 

 

 





 





 

 





 

 

 





 





 

 





 

 

 





 

 

 

 