chuyen de boi duong HS gioi

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>chuyên đề bồi dỡng hs giỏi về du hiu</b>

<b>chia ht</b>

<b>A </b>

<b> Mở đầu</b>

<b>1. Lý do chn tài</b>

Số học là môn học lâu đời nhất và hấp dẫn nhất của tốn học.

Vậy số học là gì? Số học là khoa học về số, trong số học ngời ta nghiên cứu
những tính chất đơn giản nhất của số và những quy tắc tính tốn. ở chơng trình
THCS số học chiếm 1 lợng khá lớn trong số học thì phép chia hết trên vành số
nguyên đã thực sự thu hút đối với giáo viên và học sinh, có lẽ đó khơng chỉ bởi
vấn đề lý thuyết về phép chia có giá trị thực tiễn mà qua đó rèn cho học sinh t
duy sáng tạo toán học. Càng học các em càng đợc cuốn hút bởi 1 lợng bài tập vơ
cùng sáng tạo và phong phú.

Cái khó khi dùng phép chia hết trên vành số nguyên và khi học sinh là vấn
đề nhận diện và vận dụng lý thuyết để chỉ ra phơng pháp giải các bài toán, khi
ngành Giáo dục đang thi đua giảng dạy theo phơng pháp đổi mới, trong luật
Giáo dục Việt Nam và Nghị quyết đại hội Đảng lần thứ 7 và 8 cũng đã nhấn
mạnh: “Dạy cho học sinh phơng pháp tự nghiên cứu” và với tình hình hiện nay
cịn nhiều giáo viên cha thực sự quan tâm đúng mức đến việc rèn luyện năng lực
tự học cho học sinh.

Xuất phát từ vấn đề nên trên đã thúc đẩy Tôi viết.

Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán chia hết trên vành số nguyên.
<b>2. Ni dung ti gm</b>

Phần I: Tóm tắt lý thuyết

Phần II: Các phơng pháp giải các bài toán chia hết.
1. Phơng pháp sử dụng dấu hiệu chia hết.

2. Phơng pháp sử dụng tính chất chia hết.

3. Phơng pháp sử dụng xÐt tËp hỵp sè d trong phÐp chia.

4. Phơng pháp sử dụng các phơng pháp phân tích thành nhân tử.
5. Phơng pháp biến đổi biểu thức cần chứng minh về dạng tổng.
6. Phơng pháp quy nạp toán học.

7. Phơng pháp sử dụng đồng d thức.
8. Phơng pháp sử dụng nguyên lý Đ.
9. Phơng pháp phản chứng.

Trong mỗi phơng pháp đều có những ví dụ điển hình và các bài tập tơng tự.
Vẫn biết rằng những khái niệm về số học đợc rất nhiều tác giả đề cập đến ở
nhiều khía cạnh khác nhau. Do đó khơng thể có sự sáng tạo hoàn toàn trong đề
tài mà đề tài này mới chỉ dừng lại ở 1 mức độ nhất định. Với nội dung và cách
trình bày trong đề tài này khơng tránh khỏi những hạn chế của bản thân, rất
mong đợc các Thầy cơ giáo và đồng nghiệp góp ý để nội dung đề tài ngày càng
đợc hoàn thiện hơn.

<b>B - Nội dung</b>

<i><b>Phần I: Tóm tắt lý thuyết</b></i>

<b>I. Định nghĩa phép chia</b>

Cho 2 số nguyên a và b trong đó b  0 ta ln tìm đợc hai số ngun q và

r duy nhất sao cho:

a = bq + r Víi 0  r   b

<i>Trong đó</i>: a là số bị chia, b là số chia, q là thơng, r là số d.
Khi a chia cho b có thể xẩy ra  b số d

r  {0; 1; 2; …;  b}

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

VËy: a  b  Có số nguyên q sao cho a = bq
<b>II. Các tÝnh chÊt</b>

1. Víi  a  0  a  a

2. NÕu a  b vµ b  c  a  c
3. Víi  a  0  0  a

4. NÕu a, b > 0 vµ a  b ; b  a  a = b
5. NÕu a  b vµ c bÊt kú  ac  b
6. NÕu a  b  (a)  (b)
7. Víi  a  a  (1)

8. NÕu a  b vµ c  b  a  c  b
9. NÕu a  b vµ cb  a  c  b

10. NÕu a + b  c vµ a  c  b  c
11. NÕu a  b vµ n > 0  an _{ b}n
12. NÕu ac  b vµ (a, b) =1  c  b

13. NÕu a  b, c  b vµ m, n bÊt kú am + cn  b

14. NÕu a  b vµ c  d  ac  bd

15. TÝch n sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho n!
<b>III. Mét sè dÊu hiÖu chia hÕt</b>

Gäi N = <b>anan</b><b>1...a1a0</b>

<b>1. DÊu hiÖu chia hÕt cho 2; 5; 4; 25; 8; 125</b>

+ N  2  a0  2  a0{0; 2; 4; 6; 8}
+ N  5  a0  5  a0{0; 5}

+ N  4 (hc 25)  <b>a1a0</b>  4 (hc 25)
+ N  8 (hc 125)  <b>a</b>2<b>a1a0</b>  8 (hc 125)

<b>2. DÊu hiƯu chia hết cho 3 và 9</b>

+ N 3 (hoặc 9)  a0+a1+…+an  3 (hc 9)

<b>3. Mét sè dÊu hiƯu kh¸c</b>

+ N  11  [(a0+a1+…) - (a1+a3+…)]  11

+ N  101  [(<b>a1a0</b> +<b>a5a4</b> +…) - (<b>a3a2</b>+<b>a7a6</b> +…)]101

+ N  7 (hc 13)  [(<b>a</b>2<b>a1a0</b> + <b>a</b>8<b>a7a6</b> +…) - [(<b>a</b>5<b>a4a3</b> + <b>a</b>11<b>a10a9</b> +…) 11
(hc 13)

+ N  37  (<b>a</b>2<b>a1a0</b> + <b>a</b>5<b>a4a3</b> +…)  37
+ N  19  ( a0+2an-1+22_an-2+…_{+ 2}n_{a0)  19}

<b>IV. §ång d thøc</b>

<b>a. Định nghĩa</b>: Cho m là số nguyên dơng. Nếu hai số nguyên a và b cho cùng số
d khi chia cho m thì ta nói a đồng d với b theo modun m.

Ký hiÖu: a  b (modun)

VËy: a  b (modun)  a - b  m
<b>b. C¸c tÝnh chÊt</b>

1. Víi  a  a  a (modun)

2. NÕu a  b (modun)  b  a (modun)

3. NÕu a  b (modun), b  c (modun)  a  c (modun)

4. NÕu a  b (modun) vµ c  d (modun)  a+c  b+d (modun)
5. NÕu a  b (modun) vµ c  d (modun)  ac  bd (modun)
6. NÕu a  b (modun), d  Uc (a, b) vµ (d, m) =1



<i>d</i>
<i>b</i>
<i>d</i>
<i>a</i>

 (modun)

7. NÕu a  b (modun), d > 0 vµ d  Uc (a, b, m)

<i>d</i>
<i>b</i>
<i>d</i>
<i>a</i>

(modun

<i>d</i>
<i>m</i>

)
<b>V. Mt s nh lý</b>

<b>1. Định lý Euler</b>

Nếu m là 1 số nguyên dơng (m) là số các số nguyên dơng nhỏ hơn m và
nguyên tố cùng nhau víi m, (a, m) = 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

C«ng thức tính (m)

Phân tích m ra thừa số nguyên tố
m = p11_p22 …_p

k

_k

víi pi  p; i  N*

Th× (m) = m(1 -

`
1

1

<i>p</i> )(1 - 2

1

<i>p</i> ) … (1 - <i>pk</i>

1

)

<b>2. Định lý Fermat</b>

Nếu t là số nguyên tố và a không chia hết cho p thì ap-1 ₁<i>_(modp)</i>
<b>3. Định lý Wilson</b>

Nếu p là số nguyên tè th×
( P - 1)! + 1  0 <i>(modp)</i>

<i><b>phần II: các phơng pháp giải bài toán chia hết</b></i>

<b>1. Phơng pháp 1</b>: Sử dụng dấu hiệu chia hết

<i><b>Ví dụ 1</b></i>: Tìm các chữ số a, b sao cho <b>a56b</b>  45
<i><b>Gi¶i</b></i>

Ta thấy 45 = 5.9 mà (5 ; 9) = 1
để <b>a56b</b>  45  <b>a56b</b>  5 và 9

XÐt <b>a56b</b>  5  b  {0 ; 5}

NÕu b = 0 ta cã sè <b>a56b</b>  9  a + 5 + 6 + 0  9

 a + 11  9
 a = 7

NÕu b = 5 ta cã sè <b>a56b</b>  9  a + 5 + 6 + 0  9

 a + 16  9
 a = 2
VËy: a = 7 vµ b = 0 ta cã sè 7560

a = 2 vµ b = 5 ta cã sè 2560

<i><b>Ví dụ 2</b></i>: Biết tổng các chữ số của 1 số là không đổi khi nhân số đó với 5. Chứng
minh răng số đó chia hết cho 9.

<i><b>Giải</b></i>

Gi s ó cho l a

Ta có: a và 5a khi chia cho 9 cïng cã 1 sè d
 5a - a  9  4a  9 mµ (4 ; 9) = 1

 a  9 <i>(§pcm)</i>

<i><b>VÝ dơ 3</b></i>: CMR sè     

1
sè

81

111

111 _{ 81}

<i><b>Gi¶i</b></i>

Ta thÊy: 111111111  9
Cã     

1
sè

81

111

111 _{= 111111111(10}72_{+ 10}63₊…_{+ 10}9_{+ 1)}

Mµ tỉng 1072_{+ 10}63₊…_{+ 10}9_{+ 1 có tổng các chữ số bằng 9  9}
 1072_{+ 10}63₊…_{+ 10}9_{+ 1  9}

VËy:    

1
số

81

111

111 _{81 (Đpcm)}

<i><b>Bài tập tơng tự</b></i>

<i><b>Bài 1</b></i>: Tìm các chữ số x, y sao cho

a. <b>34x5y</b> 4 vµ 9

b. <b>2x78</b>  17

<i><b>Bµi 2</b></i>: Cho sè N = <b>dcba</b> CMR

a. N  4  (a + 2b)  4

b. N  16  (a + 2b + 4c + 8d)  16 víi b ch½n
c. N  29  (d + 2c + 9b + 27a)  29

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<i><b>Bài 4</b></i>: Viết liên tiếp tất cả các số có 2 chữ số từ 19 đến 80 ta đợc số A =
192021…7980. Hỏi số A có chia hết cho 1980 khơng ? Vì sao?

<i><b>Bµi 5</b></i>: Tỉng cđa 46 sè tù nhiªn liªn tiÕp cã chia hết cho 46 không? Vì sao?

<i><b>Bài 6</b></i>: Chứng tỏ r»ng sè   

1
sè

100

11

11 __{ } _

2
sè

100

22

22 _{lµ tÝch cđa 2 sè tù nhiªn liªn tiÕp.}

<i><b>Híng dÉn - Đáp số</b></i>

<i><b>Bài 1</b></i>: a. x = 4 và y = 2
x = 0 vµ y = 6

b. <b>2x78</b>= 17 (122 + 6x) + 2(2-x)17  x = 2
<i><b>Bµi 2</b></i>: a. N4  <b>ab</b>4  10b + a4  8b + (2b + a) 4

 a + 2b4
b. N16  1000d + 100c + 10b + a16

 (992d + 96c + 8b) + (8d + 4c + 2b + a) 16
 a + 2b + 4c + 8d16 víi b ch½n

c. Cã 100(d + 3c + 9b + 27a) - <b>dbca</b>29

mµ (1000, 29) =1
<b>dbca</b>29

 (d + 3c + 9b + 27a) 29

<i><b>Bµi 3</b></i>: Gäi <b>ab</b> lµ sè cã 2 chữ số

Theo bài ra ta cã:

<b>ab</b>= 10a + b = 2ab (1)

<b>ab</b>2  b {0; 2; 4; 6; 8}

thay vµo (1) a = 3; b = 6

<i><b>Bµi 4</b></i>: Cã 1980 = 22_.32_.5.11

Vì 2 chữ số tận cùng của a là 80 4 và 5
A 4 và 5

Tổng các số hàng lẻ 1+(2+3++7).10+8 = 279
Tổng các số hàng chẵn 9+(0+1++9).6+0 = 279
Cã 279 + 279 = 558  9  A  9

279 - 279 = 0  11  A  11

<i><b>Bài 5</b></i>: Tổng 2 số tự nhiên liên tiếp là 1 số lẻ nên không chia hết cho 2.

Có 46 số tự nhiên liên tiếp có 23 cặp số mỗi cặp có tổng là 1 số lẻ tổng 23
cặp không chia hết cho 2. Vậy tổng của 46 số tự nhiên liên tiếp không chia hết
cho 46.

<i><b>Bài 6</b></i>: Cã   

1
sè

100

11

11 __{ } _

2
sè

100

22

22 ₌__{ } _

1
sè

100

11

11 __{ } _

0
sè

99

02

100

Mµ   

0
sè

99

02

100 _{= 3.}__{ } _

3
sè
99

34
33
   
1
sè
100
11

11 __{ } _

2
sè

100

22

22 ₌__{ } 

3
số

100

33

33  

3
số

99

34

33 <i>_(Đpcm)</i>

<b>2. Phơng pháp 2:</b> Sử dụng tÝnh chÊt chia hÕt

<i><b>* Chó ý</b></i>: Trong n sè nguyªn liên tiếp có 1 và chỉ 1 số chia hết cho n.
CMR: Gọi n là số nguyên liên tiếp

m + 1; m + 2; … m + n víi m  Z, n  N*

Lấy n số nguyên liên tiếp trên chia cho n thì ta đợc tập hợp số d là: {0; 1; 2; n
- 1}

* Nếu tồn tại 1 số d là 0: gi¶ sư m + i = nqi ; i = <b>1,n</b>

 m + i  n

* NÕu không tồn tại số d là 0 không có số nguyên nào trong dÃy chia hết cho
n phải cã Ýt nhÊt 2 sè d trïng nhau.

Gi¶ sư:























r

qjn

j

m

n

j

i;

1

r

nqi

i

m

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

mµ i - j< n  i - j = 0  i = j
 m + i = m + j

Vậy trong n số đó có 1 số và chỉ 1 số đó chia hết cho n…

<i><b>VÝ dơ 1</b></i>: CMR: a. Tích của 2 số nguyên liên tiếp luôn chia hÕt cho 2
b. TÝch cđa 3 sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho 6.

<i><b>Gi¶i</b></i>

a. Trong 2 số nguyên liên tiếp bao giờ cũng có 1 số chẵn
 Số chẵn đó chia hết cho 2.

Vậy tích của 2 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2.

Tích 2 số nguyên liên tiếp luôn chia hÕt cho 2 nªn tÝch cđa 3 sè nguyªn liên tiếp
luôn chia hết cho 2

b. Trong 3 sụ nguyờn liên tiếp bao giơ cũng có 1 số chia hết cho 3.
 Tích 3 số đó chia hết cho 3 mà (1; 3) = 1.

VËy tÝch cđa 3 sè nguyªn liên tiếp luôn chia hết cho 6.

<i><b>Ví dụ 2</b></i>: CMR: Tổng lập phơng của 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 9.

<i><b>Giải</b></i>

Gọi 3 số nguyên liên tiếp lần lợt là: n - 1 , n , n+1
Ta cã: A = (n - 1)3 _{+ n}3 _{+ (n + 1)}3

= 3n3 _{- 3n + 18n + 9n}2 _{+ 9}

= 3(n - 1)n (n+1) + 9(n2 _{+ 1) + 18n}
Ta thÊy (n - 1)n (n + 1)  3 <i>(CM VÝ dô 1)</i>

 3(n - 1)n (n + 1) 9
mà

9

18

9

)1

(9

2

<i>n</i>

<i>n</i>

A 9 <i>(ĐPCM)</i>

<i><b>Ví dô 3</b></i>: CMR: n4_{- 4n}3_{- 4n}2_{+16n  3 84 với n chẵn, n4}

<i><b>Giải</b></i>

Vỡ n chn, n4 ta đặt n = 2k, k2

Ta có n4_{- 4n}3_{- 4n}2_{+ 16n = 16k}4_{- 32k}3_{- 16k}2_{+ 32k}
= đặt 16k(k3_{- 2k}2_{- k + 2)}
= đặt 16k(k - 2) (k - 1)(k + 1)

Với k  2 nên k - 2, k - 1, k + 1, k là 4 số tự nhiên liên tiếp nên trong 4 số đó có
1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 4.  (k - 2)(k - 1)(k + 1)k  8

Mµ (k - 2) (k - 1)k  3 ; (3,8)=1
 (k - 2) (k - 1) (k + 1)k  24

 16(k - 2) (k - 1) (k + 1)k  (16,24)

VËy n4_{- 4n}3_{- 4n}2_{+16n  384 víi  n chẵn, n 4}

<i><b>Bài tập tơng tự</b></i>

<i><b>Bài 1</b></i>: CMR: a. n(n + 1) (2n + 1)  6

b. n5_{- 5n}3_{+ 4n  120 Víi  n  N}

<i><b>Bµi 2</b></i>: CMR: n4_{+ 6n}3_{+ 11n}2_{+ 6n  24 Víi  n  Z}

<i><b>Bµi 3</b></i>: CMR: Víi n lẻ thì
a. n2_{+ 4n + 3 8}
b. n3_{+ 3n}2_{- n - 3  48}
c. n12_{- n}8_{- n}4_{+ 1  512}

<i><b>Bài 4</b></i>: Với p là số nguyên tố p > 3 CMR : p2_{- 1  24}

<i><b>Bµi 5</b></i>: CMR: Trong 1900 sè tù nhiªn liªn tiÕp cã 1 số có tổng các chữ số chia hết
cho 27.

<i><b>Hớng dẫn - Đáp số</b></i>

<i><b>Bài 1</b></i>: a. n(n + 1)(2n + 1) = n(n + 1) [(n + 1) + (n + 2)]
= n(n + 1) (n - 1) + n(n + 1) (n + 2)  6

b. n5_{- 5n}3_{+ 4n = (n}4_{- 5n}2_{+ 4)n}
= n(n2_{- 1) (n}2_{- 4)}

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<i><b>Bµi 2</b></i>: n4_{+ 6n}3_{+ 6n + 11n}2
= n(n3_{+ 6n}2_{+ 6 + 11n)}

= n(n + 1) (n + 2) (n + 3)  24

<i><b>Bµi 3</b></i>: a. n2_{+ 4n + 3 = (n + 1) (n + 3)  8}
b. n3_{+ 3n}2_{- n - 3 = n}2_{(n + 3) - (n + 3)}

= (n2_{- 1) (n + 3)}

= (n + 1) (n - 1) (n + 3)

= (2k + 4) (2k + 2) (2k víi n = 2k + 1, k  N)
= 8k(k + 1) (k +2)  48

c. n12_{- n}8_{- n}4_{+ 1 = n}8_(n4_{- 1) - (n}4_{- 1)}
= (n4_{- 1) (n}8_{- 1)}

= (n4_{- 1)}2_(n4_{+ 1)}

= (n2_{- 1)}2_(n2_{- 1)}2_(n4_{+ 1)}
= 16[k(k + 1)2_(n2_{+ 1)}2_(n4_{+ 1)}

Víi n = 2k + 1  n2_{+ 1 vµ n}4_{+ 1 là những số chẵn (n}2_{+ 1)}2_{ 2}
n4_{+ 1  2}
 n12_{- n}8_{- n}4_{+ 1  (2}4_.22_{. 2}2_{. 1 . 2}1₎

VËy n12_{- n}8_{- n}4_{+ 1  512}

<i><b>Bµi 4</b></i>: Cã p2_{- 1 = (p - 1) (p + 1) v× p là số nguyên tố p > 3}
p 3 ta cã: (p - 1) (p + 1)  8

và p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 (k  N)
 (p - 1) (p + 1) 3

Vậy p2_{- 1 24}

<i><b>Bài 5</b></i>: Giả sử 1900 số tự nhiên liên tiếp là
n, n +1; n + 2; … ; n + 1989 (1)

trong 1000 tù nhiªn liªn tiÕp n, n + 1; n + 2; …; n + 999

có 1 số chia hết cho 1000 giả sử n0, khi đó n0 có tận cùng là 3 chữ số 0 giả sử
tổng các chữ số của n0 là s khi đó 27 số n0, n0 + 9; n0 + 19; n0 + 29; n0 + 39; …;
n0 + 99; n0 + 199; … n0 + 899 (2)

Có tổng các chữ số lần lợt lµ: s; s + 1 … ; s + 26
Cã 1 sè chia hÕt cho 27 <i>(§PCM)</i>

<i><b>* Chó ý</b></i>: n + 899  n + 999 + 899 < n + 1989
 C¸c sè ë (2) n»m trong dÃy (1)

<b>3. Phơng pháp 3:</b> xét tập hợp số d trong phÐp chia

<i><b>VÝ dơ 1</b></i>: CMR: Víi  n  N

Th× A(n) = n(2n + 7) (7n + 7) chia hÕt cho 6

<i><b>Gi¶i</b></i>

Ta thÊy 1 trong 2 thõa sè n và 7n + 1 là số chẵn. Với n  N  A(n)  2
Ta chøng minh A(n)  3

Lấy n chia cho 3 ta đợc n = 3k + 1 (k  N)
Với r  {0; 1; 2}

Víi r = 0  n = 3k  n  3  A(n)  3

Víi r = 1  n = 3k + 1  2n + 7 = 6k + 9  3  A(n)  3
Víi r = 2  n = 3k + 2  7n + 1 = 21k + 15  3  A(n)  3
 A(n)  3 víi  n mµ (2, 3) = 1

VËy A(n)  6 víi  n  N

<i><b>VÝ dơ 2</b></i>: CMR: NÕu n  3 th× A(n) = 32n_{+ 3}n_{+ 1  13 Víi  n N}

<i><b>Giải</b></i>

Vì n 3 n = 3k + r (k  N); r  {1; 2; 3}
 A(n) = 32(3k + r)_{+ 3}3k+r_{+ 1}

= 32r₍₃6k_{- 1) + 3}r₍₃3k_{- 1) + 3}2r_{+ 3}r_{+ 1}

ta thÊy 36k_{- 1 = (3}3₎2k_{- 1 = (3}3_{- 1)M = 26M  13}
33k_{- 1 = (3}3_{- 1)N = 26N  13}

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

víi r = 2  32n_{+ 3}n_{+ 1 = 3}4_{+ 3}2_{+ 1 = 91  13}
 32n_{+ 3}n_{+ 1}

VËy víi n  3 th× A(n) = 32n_{+ 3}n_{+ 1  13 Víi  n  N}

<i><b>Ví dụ 3</b></i>: Tìm tất cả các số tự nhiên n để 2n_{- 1  7}

<i><b>Gi¶i</b></i>

LÊy n chia cho 3 ta cã n = 3k + 1 (k  N); r  {0; 1; 2}
Víi r = 0  n = 3k ta cã

2n_{- 1 = 2}3k_{- 1 = 8}k_{- 1 = (8 - 1)M = 7M  7}
víi r =1  n = 3k + 1 ta cã:

2n_{- 1 = 2}8k +1_{- 1 = 2.2}3k_{- 1 = 2(2}3k_{- 1) + 1}
mµ 23k_{- 1  7  2}n_{- 1 chia cho 7 d 1}

víi r = 2  n = 3k + 2 ta cã :
2n_{- 1 = 2}3k + 2_{- 1 = 4(2}3k_{- 1) + 3}
mµ 23k_{- 1  7  2}n_{- 1 chia cho 7 d 3}
VËy 23k_{- 1  7  n = 3k (k N)}

<i><b>Bài tập tơng tự</b></i>

<i><b>Bài 1</b></i>: CMR: An = n(n2_{+ 1)(n}2_{+ 4)  5 Víi  n  Z}

<i><b>Bµi 2</b></i>: Cho A = a1 + a2 + … + an
B = a5_{1 + a}5_{2 +}…_{+ a}5

n

<i><b>Bài 3</b></i>: CMR: Nếu (n, 6) =1 thì n2_{- 1  24 Víi  n  Z}

<i><b>Bài 4</b></i>: Tìm số tự nhiên W để 22n_{+ 2}n_{+ 1  7}

<i><b>Bài 5</b></i>: Cho 2 số tự nhiên m, n để thoả mãn 24m4_{+ 1 = n}2
CMR: mn  55

<i><b>Hớng dẫn - Đáp số</b></i>

<i><b>Bài 1</b></i>: + A(n) 6

+ LÊy n chia cho 5  n = 5q + r r  {0; 1; 2; 3; 4}
r = 0  n  5  A(n)  5

r = 1, 4  n2_{+ 4  5  A(n)  5}
r = 2; 3  n2_{+ 1  5  A(n)  5}
 A(n)  5  A(n)  30

<i><b>Bài 2</b></i>: Xét hiệu B - A = (a5_{1 - a1) +}…_{+ (a}5_{n - an)}
Chỉ chứng minh: a5_{i - ai 30 l}

<i><b>Bài 3</b></i>: Vì (n, 6) =1  n = 6k + 1 (k  N)
Víi r  {1}

r = 1 n2_{- 1  24}

<i><b>Bµi 4</b></i>: XÐt n = 3k + r (k  N)
Víi r  {0; 1; 2}

Ta cã: 22n_{+ 2}n_{+ 1 = 2}2r₍₂6k_{- 1) + 2}r₍₂3k_{- 1) + 2}2n_{+ 2}n_{+ 1}
Làm tơng tù VD3

<i><b>Bµi 5</b></i>: Cã 24m4_{+ 1 = n}2_{= 25m}4_{- (m}4_{- 1)}
Khi m  5  mn  5

Khi m  5 th× (m, 5) = 1  m4_{- 1  5}

<i>(V× m5_{- m}</i>_<i>₅</i>_<i>_(m4_{- 1)}</i>_<i>₅</i>_<i>_m4_{- 1}</i>_<i>₅₎</i>

 n2_{ 5  ni5 Vậy mn 5}

<b>4. Phơng pháp 4:</b> sử dụng phơng pháp phân tích thành nhân
tử

Giả sử chøng minh an  k

Ta có thể phân tích an chứa thừa số k hoặc phân tích thành các thừa số mà
các thừa số đó chia hết cho các thừa số của k.

<i><b>VÝ dô 1</b></i>: CMR: 36n_{- 2}6n_{ 35 Víi  n  N}

<i><b>Gi¶i</b></i>

Ta cã 36n_{- 2}6n_{= (3}6₎n_{- (2}6₎n_{= (3}6_{- 2}6_)M
= (33_{+ 2}3_{) (3}3_{- 2}3_)M

= 35.19M  35 VËy 36n_{- 2}6n_{ 35 Víi  n  N}

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<i><b>Giải</b></i>

Ta thấy 232 = 17.19 mà (17;19) = 1 ta chøng minh

A  17 vµ A  19 ta cã A = (20n_{- 3}n_{) + (16}n_{- 1) cã 20}n_{- 3}n_{= (20 - 3)M  17M}
16n_{- 1 = (16 + 1)M = 17N  17 (n ch½n)}

 A  17 (1)

ta cã: A = (20n_{- 1) + (16}n_{- 3}n₎
cã 20n_{- 1 = (20 - 1)p = 19p  19}

cã 16n_{- 3}n_{= (16 + 3)Q = 19Q  19 (n chẵn)}
A 19 (2)

Từ (1) và (2) A  232

<i><b>VÝ dô 3</b></i>: CMR: nn_{- n}2_{+ n - 1  (n - 1)}2_{Víi  n >1}

<i><b>Gi¶i</b></i>

Víi n = 2  nn_{- n}2_{+ n - 1 = 1}
vµ (n - 1)2_{= (2 - 1)}2_{= 1}

 nn_{- n}2_{+ n - 1 (n - 1)}2

với n > 2 đặt A = nn_{- n}2_{+ n - 1 ta có A = (n}n_{- n}2_{) + (n - 1)}
= n2_(nn-2_{- 1) + (n - 1)}

= n2_{(n - 1) (n}n-3_{+ n}n-4₊…_{+ 1) + (n - 1)}

= (n - 1) (nn-1_{+ n}n-2₊…_{+ n}2 ₊₁₎

= (n - 1) [(nn-1_{- 1) +}…_{+( n}2 _{- 1) + (n - 1)]}
= (n - 1)2_{M  (n - 1)}2

Vậy A (n - 1)2 <i>_(ĐPCM)</i>

<i><b>Bài tập tơng tự</b></i>

<i><b>Bài 1</b></i>: CMR: a. 32n +1 _{+ 2}2n +2_{ 7}
b. mn(m4_{- n}4_{)  30}

<i><b>Bµi 2</b></i>: CMR: A(n) = 3n_{+ 63  72 víi n ch½n n  N, n  2}

<i><b>Bµi 3</b></i>: Cho a vµ b là 2 số chính phơng lẻ liên tiếp
CMR: a. (a - 1) (b - 1)  192

<i><b>Bµi 4</b></i>: CMR: Với p là 1 số nguyên tố p > 5 thì p4_{- 1 240}

<i><b>Bài 5</b></i>: Cho 3 số nguyên dơng a, b, c và thoả mÃn a2_{= b}2_{+ c}2_{. CMR: abc  60}

<i><b>Híng dÉn - Đáp số</b></i>

<i><b>Bài 1</b></i>: a. 32n +1 _{+ 2}2n +2_{= 3.3}2n_{+ 2.2}n
= 3.9n_{+ 4.2}n

= 3(7 + 2)n_{+ 4.2}n
= 7M + 7.2n_{ 7}

b. mn(m4_{- n}4_{) = mn(m}2_{- 1)(m}2_{+ 1) - mn(n}2_{- 1) (n}2_{+ 1)  30}

<i><b>Bµi 3</b></i>: Cã 72 = 9.8 mµ (8, 9) = 1 vµ n = 2k (k  N)
cã 3n_{+ 63 = 3}2k_{+ 63}

= (32k_{- 1) + 64  A(n)  8}

<i><b>Bµi 4</b></i>: Đặt a = (2k - 1)2_{; b = (2k - 1)}2_{(k  N)}

Ta cã (a - 1)(b - 1) = 16k(k + 1)(k - 1)  64 và 3

<i><b>Bài 5</b></i>: Có 60 = 3.4.5 Đặt M = abc

Nếu a, b, c đều không chia hết cho 3  a2_{, b}2_{và c}2_{chia hết cho 3 đều d 1}
 a2_{ b}2_{+ c}2_{. Do đó có ít nhất 1 số chia hết cho 3. Vậy M  3}

Nếu a, b, c đều không chia hết cho 5  a2_{, b}2_{và c}2_{chia 5 d 1 hoặc 4  b}2
+ c2_{chia 5 thì d 2; 0 hoặc 3.}

 a2_{ b}2_{+ c}2_{. Do đó có ít nhất 1 số chia hết cho 5. Vậy M  5}
Nếu a, b, c là các số lẻ  b2_{và c}2_{chia hết cho 4 d 1.}
 b2_{+ c}2__{(mod 4)}_{ a}2_{ b}2_{+ c}2

Do đó 1 trong 2 số a, b phải là số chẵn.
Giả sử b là s chn

Nếu C là số chẵn M 4

Nếu C là số lẻ mà a2_{= b}2_{+ c}2_{a là số lẻ}
b2_{= (a - c) (a + b) }






 





 








2
2
2

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>



2
<i>b</i>

ch½n  b  4  m  4
VËy M = abc  3.4.5 = 60

<b>5. Phơng pháp 5:</b> biến đổi biểu thức cần chứng minh về dạng
tổng

Giả sử chứng minh A(n)  k ta biến đổi A(n) về dạng tổng của nhiều hạng tử và
chứng minh mọi hạng tử đều chia hết cho k.

<i><b>VÝ dô 1</b></i>: CMR: n3_{+ 11n  6 víi  n  z.}

<i><b>Gi¶i</b></i>

Ta cã n3_{+ 11n = n}3_{- n + 12n = n(n}2_{- 1) + 12n}

= n(n + 1) (n - 1) + 12n
V× n, n - 1; n + 1 là 3 số nguyên liên tiếp
n(n + 1) (n - 1)  6 vµ 12n  6

VËy n3_{+ 11n  6}

<i><b>VÝ dơ 2</b></i>: Cho a, b  z tho¶ m·n (16a +17b) (17a +16b)  11
CMR: (16a +17b) (17a +16b) 121

<i><b>Giải</b></i>

Có 11 số nguyên tố mà (16a +17b) (17a +16b)  11
 







11
16b
17a

11
17b
16a




(1)

Cã 16a +17b + 17a +16b = 33(a + b)  11 (2)
Tõ (1) vµ (2)  







11
16b

17a

11
17b
16a




VËy (16a +17b) (17a +16b)  121

<i><b>VÝ dơ 3</b></i>: T×m n  N sao cho P = (n + 5)(n + 6)  6n.

<i><b>Gi¶i</b></i>

Ta có P = (n + 5)(n + 6) = n2_{+ 11n + 30}
= 12n + n2_{- n + 30}
Vì 12n  6n nên để P  6n  n2_{- n + 30  6n}

















(2)n

30

(1)3

1) -n(n

6n30

6n -

n2









Tõ (1)  n = 3k hc n = 3k + 1 (k  N)
Tõ (2)  n  {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}
VËy tõ (1); (2)  n  {1; 3; 6; 10; 15; 30}
Thay các giá trị của n vµo P ta cã

n  {1; 3; 10; 30} là thoả mÃn

Vậy n {1; 3; 10; 15; 30} th× P = (n + 5)(n + 6)  6n.

<i><b>Bài tập tơng tự</b></i>

<i><b>Bài 1</b></i>: CMR: 13_{+ 3}3_{+ 5}3_{+ 7}3_{ 2}3

<i><b>Bµi 2</b></i>: CMR: 36n2_{+ 60n + 24  24}

<i><b>Bµi 3</b></i>: CMR: a. 5n+2_{+ 26.5}n_{+ 8} 2n+1_{ 59}
b. 9 2n_{+ 14 5}

<i><b>Bài 4</b></i>: Tìm n N sao cho n3_{- 8n}2_{+ 2n  n}2_{+ 1}

<i><b>Hớng dẫn - Đáp số</b></i>

<i><b>Bài 1</b></i>: 13_{+ 3}3_{+ 5}3_{+ 7}3_{= (1}3_{+ 7}3_{) + (3}3_{+ 5}3₎
= 8m + 8N  23

<i><b>Bµi 2</b></i>: 362_{+ 60n + 24 = 12n(3n + 5) + 24}

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

<i><b>Bµi 3</b></i>: a. 5n+2_{+ 26.5}n_{+ 8} 2n+1
= 5n_{(25 + 26) + 8} 2n+1
= 5n_{(59 - 8) + 8.64} n
= 5n_{.59 + 8.59m  59}
b. 9 2n_{+ 14 = 9} 2n_{- 1 + 15}

= (81n_{- 1) + 15}
= 80m + 15  5

<i><b>Bµi 4</b></i>: Cã n3_{- 8n}2_{+ 2n = (n}2_{+ 1)(n - 8) + n + 8  (n}2_{+ 1)  n + 8  n}2_{+ 1}
NÕu n + 8 = 0  n = -8 (tho¶ m·n)

NÕu n + 8  0  n + 8 n2_{+ 1}




















































8

0

7

n

8

0

9

n

8

1

n

8

n

8

1

-n

8

n

2
2
2
2

<i>n</i>

<i>n</i>

<i>n</i>

<i>n</i>

<i>n</i>

<i>n</i>

Víi

Víi

Víi

Víi

 n  {-2; 0; 2} thử lại
Vậy n {-8; 0; 2}

<b>6. Phơng pháp 6:</b> Dùng quy nạp toán học
Giả sử CM A(n) P víi n  a (1)

Bớc 1: Ta CM (1) đúng với n = a tức là CM A(n)  P

Bớc 2: Giả sử (1) đúng với n = k tức là CM A(k)  P với k  a
Ta CM (1) đúng với n = k + 1 tức là phải CM A(k+1)  P
Bớc 3: Kết luận A(n)  P với n  a

<i><b>VÝ dô 1</b></i>: Chøng minh A(n) = 16n_{- 15n - 1  225 víi  n  N}*

<i><b>Gi¶i</b></i>

Với n = 1  A(n) = 225  225 vậy n = 1 đúng

Gi¶ sư n = k  1 nghÜa lµ A(k) = 16k_{- 15k - 1  225}
Ta ph¶i CM A(k+1) = 16 k+1_{- 15(k + 1) - 1  225}
ThËt vËy: A(k+1) = 16 k+1_{- 15(k + 1) - 1}

= 16.16k_{- 15k - 16}

= (16k_{- 15k - 1) + 15.16}k_{- 15}
= 16k_{- 15k - 1 + 15.15m}
= A(k) + 225

mà A(k) 225 (giả thiết quy nạp)
225m 225

VËy A(n)  225

<i><b>VÝ dơ 2</b></i>: CMR: víi  n N*_{và n là số tự nhiên lẻ ta cã} 2 ₁ ₂ 2

 <i>n</i>

<i>n</i>

<i>m</i> 

<i><b>Gi¶i</b></i>

Víi n = 1  m2_{- 1 = (m + 1)(m - 1)  8 (v× m + 1; m - 1 là 2 số chẵn liên tiếp}
nên tích của chúng chia hÕt cho 8)

Gi¶ sư víi n = k ta cã 2<i>k</i> _ ₁ ₂<i>k</i>2

<i>m</i>  ta ph¶i chøng minh

3

2 1 ₁ ₂ _



 <i>_k</i>

<i>k</i>

<i>m</i> 

ThËt vËy 2 ₁ ₂ 2

 <i>k</i>

<i>k</i>

<i>m</i>   <i>m</i>2<i>k</i> 12<i>k</i>2.<i>q</i> (<i>q</i><i>z</i>)

 2 2 2. 1


  <i>_q</i>

<i>m</i> <i>k</i> <i>k</i>

cã <i>m</i> <i>k</i>

 

<i>m</i> <i>k</i>

_

<i>k</i> <i>q</i>

_

<i>k</i> <i>q</i> <i>k</i> <i>q</i>
.
2
.
2
1
1
.
2
1

1 2 2 2 2 4 2 3

2 1 _ _ _












= ₂ 3₍₂ 1 2 ₎ ₂ 3
 <i>k</i>

<i>k</i>

<i>k</i> <i>_q</i> <i>_q</i>



VËy 2 ₁₂ 2

 <i>n</i>

<i>n</i>

<i>m</i>  với n 1

<i><b>Bài tập tơng tự</b></i>

<i><b>Bài 1</b></i>: CMR: 33n+3_{- 26n - 27  29 víi  n  1}

<i><b>Bµi 2</b></i>: CMR: 42n+2_{- 1  15}

<i><b>Bài 3</b></i>: CMR số đợc thành lập bởi 3n_{chữ số giống nhau thì chia hết cho 3}n_{với n}

là số nguyên dng.

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

<i><b>Bài 1</b></i>: Tơng tự ví dụ 1.

<i><b>Bài 2</b></i>: Tơng tự ví dụ 1.

<i><b>Bài 3</b></i>: Ta cần CM  

sèa

<i>n</i>

<i>a</i>
<i>aa</i>

3

... _{ 3}n₍₁₎
Víi n = 1 ta cã <i>aa</i>...<i>a</i> 111<i>a</i>3

Giả sử (1) đúng với n = k tức là  

sèa

<i>k</i>

<i>a</i>
<i>aa</i>

3

... _{ 3}k

Ta chứng minh (1) đúng với n = k + 1 tức là phải chứng minh




a
sè
1
3
...

<i>k</i>
<i>a</i>

<i>aa</i> _{ 3}k+1_{ta cã 3}k+1_{= 3.3}k_{= 3}k_{+ 3}k₊₃k

Cã   

<i>k</i>
<i>k</i>
<i>k</i>
<i>k</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>a</i>

<i>a</i>
<i>a</i>
<i>aa</i>
3
3
3
3
...
...
...
...
1





a
sè

<i>k</i>
<i>k</i>
<i>k</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>aa</i>
<i>a</i>
<i>aa</i>
3

3
3
.

2 _... _.₁₀ _...

10
.

...  





2.3 3



1

3
3
1
10
10
... 



 <i>k</i> <i>k</i> <i>k</i>

<i>k</i>

<i>a</i>

<i>aa</i>__ 



<b>7. Phơng pháp 7:</b> sử dụng đồng d thức

Giải bài toán dựa vào đồng d thức chủ yếu là sử dụng định lý Euler và định lý
Fermat

<i><b>VÝ dô 1</b></i>: CMR: 22225555_{+ 5555}2222_{ 7}

<i><b>Gi¶i</b></i>

Cã 2222  - 4 (mod 7)  22225555_{+ 5555}2222_{ (- 4)}5555_{+ 4}5555_{(mod 7)}
L¹i cã: (- 4)5555_{+ 4}2222_{= - 4}5555_{+ 4}2222

= - 42222₍₄3333_{- 1) =}_-₄₂₂₂₂



_{ }

₄₃ 1111 ₁




V× 43_{= 64  (mod 7)}

_{ }

₄₃ 1111 ₁ ₀




 (mod 7)

 22225555_{+ 5555}2222_{ 0 (mod 7)}
VËy 22225555_{+ 5555}2222_{ 7}

<i><b>VÝ dô 2</b></i>: CMR: 324 1 334 1 5 22



 

 <i>n</i>

<i>n</i>

víi  n  N

<i><b>Gi¶i</b></i>

Theo định lý Fermat ta có:
310_{ 1 (mod 11)}
210_{ 1 (mod 11)}

Ta t×m d trong phÐp chia lµ 24n+1_{vµ 3}4n+1_{cho 10}
Cã 24n+1_{= 2.16}n_{ 2 (mod 10)}

 24n+1_{= 10q + 2 (q  N)}
Cã 34n+1_{= 3.81}n_{ 3 (mod 10)}
 34n+1_{= 10k + 3 (k  N)}
Ta cã: ₃24 1 ₃34 1 ₅ ₃10 _2 ₂10 _3





 

 <i>n</i> <i>_q</i> <i>_k</i>

<i>n</i>

= 32_.310q_{+ 2}3_.210k_{+ 5}
 1+0+1 (mod 2)
 0 (mod 2)
mµ (2, 11) = 1

VËy 324 1 334 1 5 22



 

 <i>n</i>

<i>n</i>

víi  n  N

<i><b>VÝ dô 3</b></i>: CMR: ₂₂4 1 ₇ ₁₁






<i>n</i>

víi n  N

<i><b>Gi¶i</b></i>

Ta cã: 24_{ 6 (mod)  2}4n+1_{ 2 (mod 10)}
 24n+1_{= 10q + 2 (q  N)}

 ₂24 1 ₂10 2





 <i>_q</i>

<i>n</i>

Theo định lý Fermat ta có: 210_{ 1 (mod 11)}
 210q_{ 1 (mod 11)}

7
2

7

224 1 10 2




 

 <i>_q</i>

<i>n</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

Vậy ₂₂4 1 ₇ ₁₁

<i>n</i>

với n N (ĐPCM)

<i><b>Bài tập tơng tự</b></i>

<i><b>Bài 1</b></i>: CMR ₂₂6 2 ₃₁₉

<i>n</i>

với n  N

<i><b>Bµi 2</b></i>: CMR víi  n  1 ta cã
52n-1_{. 2}2n-1₅n+1 _{+ 3}n+1 _.22n-1_{ 38}

<i><b>Bµi 3</b></i>: Cho sè p > 3, p  (P)
CMR 3p_{- 2}p_{- 1  42p}

<i><b>Bài 4</b></i>: CMR với mọi số nguyên tố p đều có dạng
2n_{- n (n  N) chia ht cho p.}

<i><b>Hớng dẫn - Đáp số</b></i>

<i><b>Bài 1</b></i>: Làm tơng tù nh VD3

<i><b>Bµi 2</b></i>: Ta thÊy 52n-1_{. 2}2n-1₅n+1 _{+ 3}n+1 _.22n-1₂

Mặt khác 52n-1_{. 2}2n-1₅n+1 _{+ 3}n+1 _.22n-1_{= 2}n₍₅2n-1_{.10 + 9. 6}n-1₎
V× 25  6 (mod 19)  5n-1_{ 6}n-1_{(mod 19)}

 25n-1_{.10 + 9. 6}n-1 _{ 6}n-1_{.19 (mod 19) 0 (mod 19)}

<i><b>Bài 3</b></i>: Đặt A = 3p_{- 2}p_{- 1 (p lẻ)}

Dễ dàng CM A  2 vµ A  3  A  6
NÕu p = 7  A = 37_{- 2}7_{- 1  49  A  7p}
NÕu p  7  (p, 7) = 1

Theo định lý Fermat ta có:
A = (3p_{- 3) - (2}p_{- 2)  p}
Đặt p = 3q + r (q  N; r = 1, 2)

 A = (33q+1_{- 3) - (2}3q+r_{- 2)}

= 3r_.27q_{- 2}r_.8q_{- 1 = 7k + 3}r_(-1)q_{- 2}r_{- 1 (k  N)}
với r = 1, q phải chẵn (vì p lẻ)

A = 7k - 9 - 4 - 1 = 7k - 14

VËy A  7 mµ A  p, (p, 7) = 1  A  7p
Mµ (7, 6) = 1; A  6

 A  42p.

<i><b>Bài 4</b></i>: Nếu P = 2  22_{- 2 = 2  2}
Nếu n > 2 Theo định lý Fermat ta có:
2p-1_{ 1 (mod p)}

 2m(p-1)_{ 1 (mod p) (m  N)}
XÐt A = 2m(p-1)_{+ m - mp}

A  p  m = kq - 1

Nh vậy nếu p > 2  p có dạng 2n_{- n trong đó}
N = (kp - 1)(p - 1), k  N u chia ht cho p

<b>8. Phơng pháp 8:</b> sử dụng nguyên lý Đirichlet

Nếu đem n + 1 con thỏ nhốt vào n lồng thì có ít nhất 1 lồng chứa tõ 2 con
trë lªn.

<i><b>VÝ dơ 1</b></i>: CMR: Trong n + 1 sè nguyªn bÊt kú cã 2 sè cã hiƯu chia hÕt cho n.

Gi¶i

Lấy n + 1 số nguyên đã cho chia cho n thì đợc n + 1 số d nhận 1 trong các số
sau: 0; 1; 2; …; n - 1

 cã Ýt nhÊt 2 sè d cã cïng sè d khi chia cho n.
Gi¶ sư ai = nq1 + r 0  r < n

aj = nq2 + r a1; q2  N
 aj - aj = n(q1 - q2)  n

VËy trong n +1 sè nguyªn bÊt kú cã 2 sè cã hiƯu chia hÕt cho n.

Nếu khơng có 1 tổng nào trong các tổng trên chia hết cho n nh vậy số d
khi chia mỗi tổng trên cho n ta đợc n số d là 1; 2; …; n - 1

VËy theo nguyªn lý Đirichlet sẽ tồn tại ít nhất 2 tổng mà chi cho n cã
cïng sè d  (theo VD1) hiÖu cïadr tổng này chia hết cho n (ĐPCM).

<i><b>Bài tập tơng tự</b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

<i><b>Bài 2</b></i>: CMR: Tồn tại 1 bội của sè 1993 chØ chøa toµn sè 1.

<i><b>Bµi 3</b></i>: CMR: Víi 17 số nguyên bất kỳ bao giờ cũng tồn tại 1 tỉng 5 sè chia hÕt
cho 5.

<i><b>Bµi 4</b></i>: Cã hay không 1 số có dạng.

19931993 1993000 00 1994

<i><b>Hớng dẫn - Đáp số</b></i>

<i><b>Bài 1</b></i>: Xét dÃy số 17, 172_,_{, 17}25_{(tơng tự VD2)}

<i><b>Bài 2</b></i>: Ta có 1994 số nguyên chứa toàn bộ số 1 là:
1

11
111

1
số
1994

11

111

Khi chia cho 1993 thì có 1993 số d theo nguyên lý §irichlet cã Ýt nhÊt 2 sè cã
cïng sè d.

Giả sử đó là

ai = 1993q + r 0  r < 1993

aj = 1993k + r i > j; q, k  N
 aj - aj = 1993(q - k)

)
(
1993
0

00
11

111__{ }_ _ __  <i>q</i> <i>k</i>

0
sè
i
1
sè
1994
j

-i

)
(
1993
10

.
11

111 <i>j</i> <i>q</i> <i>k</i>




_
 


1
sè
1994
j

-i

mµ (10j_{, 1993) = 1}


 


1
sè
1994

11

111 _{ 1993 (ĐPCM)}

<i><b>Bài 3</b></i>: Xét dÃy số gồm 17 số nguyên bất kú lµ
a1, a2, …, a17

Chia các số cho 5 ta đợc 17 số d ắt phải có 5 số d thuộc tập hợp{0; 1; 2; 3; 4}
Nếu trong 17 số trên có 5 số khi chia cho 5 có cùng số d thì tổng của
chúng sẽ chia hết cho 5.

Nếu trong 17 số trên không có số nào cã cïng sè d khi chia cho 5  tån
t¹i 5 sè cã sè d kh¸c nhau  tỉng c¸c sè d lµ: 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10  10

VËy tỉng cđa 5 sè nµy chia hÕt cho 5.

<i><b>Bµi 4</b></i>: XÐt d·y sè a1 = 1993, a2 = 19931993, …
a1994 =     

1993
sè
1994

1993

1993

®em chia cho 1994  cã 1994 sè d thuéc tËp {1; 2; …; 1993} theo nguyªn lý
Đirichlet có ít nhất 2 số hạng có cùng số d.

Gi¶ sư: ai = 1993 … 1993 (i sè 1993)
aj = 1993 … 1993 (j sè 1993)

 aj - aj  1994 1  i < j  1994
 1993 1993.10<i>ni</i>1993

1993
số

i

-j

<b>9. Phơng pháp 9:</b> phơng pháp phản chứng
Để CM A(n) p (hoặc A(n) p )

+ Giả sử: A(n) p (hoặc A(n) p )
+ CM trên giả sử là sai

+ Kết ln: A(n)  p (hc A(n)  p )

<i><b>VÝ dơ 1</b></i>: CMR n2_{+ 3n + 5  121 víi  n  N}

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

 (2n + 3)2_{+ 11  121 (1)}
 (2n + 3)2_{ 11}

V× 11 là số nguyên tố 2n + 3 11
 (2n + 3)2_{ 121 (2)}
Tõ (1) vµ (2)  11  121 v« lý

VËy n2_{+ 3n + 5  121}

<i><b>VÝ dô 2</b></i>: CMR n2_{- 1  n với n N}*

<i><b>Giải</b></i>

Xét tập hợp số tự nhiên N*

Giả sử n 1, n N*_{sao cho n}2_{- 1  n}

Gọi d là ớc số chung nhỏ nhất khác 1 của n  d  (p) theo định lý Format ta có
2d-1_{ 1 (mod d)  m < d}

ta chøng minh m\n

Gi¶ sư n = mq + r (0  r < m)

Theo gi¶ sư n2_{- 1  n  n}mq+r_{- 1  n}

 2r_(nmq_{- 1) + (2}r_{- 1)  n  2}r_{- 1  d v× r < m mà m N, m nhỏ nhất khác 1 cã}
tÝnh chÊt (1)

 r = 0  m\n mµ m < d cũng có tính chất (1) nên điều giả sử là sai.
Vậy n2_{- 1 n với n N}*

<i><b>Bài tập tơng tự</b></i>

<i><b>Bài 1</b></i>: Có tồn t¹i n  N sao cho n2_{+ n + 2 49 không?}

<i><b>Bài 2</b></i>: CMR: n2_{+ n + 1  9 víi  n  N}*

<i><b>Bµi 3</b></i>: CMR: 4n2_{- 4n + 18  289 víi  n N}

<i><b>Hớng dẫn - Đáp số</b></i>

<i><b>Bi 1</b></i>: Gi s tn tại n  N để n2_{+ n + 2  49}
 4n2_{+ 4n + 8  49}

 (2n + 1)2_{+ 7  49 (1)  (2n + 1)}2₇

Vì 7 là số nguyên tố 2n + 1  7  (2n + 1)2_{ 49 (2)}
Từ (1); (2) 7 49 vô lý.

<i><b>Bài 2</b></i>: Giả sử tồn tại n2_{+ n + 1  9 víi  n}
 (n + 2)(n - 1) + 3 3 (1)

vì 3 là số nguyên tố  






3
1

3
2




<i>n</i>
<i>n</i>

 (n + 2)(n - 1)  9 (2)
Từ (1) và (2) 3 9 vô lý

<i><b>Bi 3</b></i>: Giả sử  n  N để 4n2_{- 4n + 18  289}
 (2n - 1)2_{+ 17  17}2

 (2n - 1)  17

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

<b>Tài liệu tham khảo</b>

1. Số học Nguyễn Vũ Thanh

2. Toán chọn lọc cấp II Lê Hải Châu

3. 400 bài toán chọn lọc Vũ Dơng Thuỵ Trơng Công Thành Nguyễn Ngọc
Đạm

4. Chuyờn s hc Vừ i Mau

5. Bài tập số học về đại số - Tủ sách ĐHSP – Nhà xuất bản GD 1985.

6. Thực hành giaỉ toán cấp II – Trung tâm nghiên cứu đào tạo bồi dỡng giáo
viên.

7. 250 bài toán số học đại số – Võ Đại Mau – Lê Tất Hùng – Vũ Thị Nhàn.
8. Các đề vơ định tốn các nớc Nh xut bn Hi phũng.

9. 255 bài toán số học chọn lọc Sở GD Hà Tây 1993.

10. Chuyên đề bồi dỡng giỏi toán 6 - Đinh Vũ Nhân – Võ Thị ái Nơng –
Hoàng Chỳng.

11. Số học bà chúa của toán học Hoµng Chóng.

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

<b>Néi dung</b> <b> Trang</b>

A Mở đầu...1

B Nội dung...2

Phần I: Tóm tắt lý thuyết...2

Phần II: Các phơng pháp giải các bài toán chia hết...4

1. Phơng pháp sử dụng dấu hiệu chia hết...4

2. Phơng pháp sử dụng tính chất chia hết...6

3. Phơng pháp sử dụng xét tập hợp số d trong phép chia...8

4. Phơng pháp sử dụng các phơng pháp phân tích thành nhân tử...10

5. Phng phỏp bin i biu thc cn chng minh v dng tng...11

6. Phơng pháp quy nạp toán học...13

7. Phng phỏp s dng ng d thc...14

8. Phơng pháp sử dụng nguyên lý Đ...16

</div>

<!--links-->