De thi thu DH so 8co dap an

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (156.95 KB, 5 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

--- 
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

KHOA TOÁN – TIN 
---

ĐỀ THI THỬĐẠI HỌC- CAO ĐẲNG 2010 
MƠN TỐN

Thời gian: 180’, khơng kể giao đề

--- 
Câu I : (3,0 điểm)

Cho hàm số y = x3 - 3x2 +2 có đồ thị (C) trong hệ tọa độ Oxy
1. Khảo sát và vẽđồ thị hàm số

2. Gọi E là tâm đối xứng của đồ thị (C).Viết phương trình đường thẳng qua E và cắt (C) tại
ba điểm E, A, B phân biệt sao cho diện tích tam giác OAB bằng 2

Câu II : (2,0 điểm)

1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = 2cosx + sin2x trên [0; 2π]
2. Tính tích phân

(

) (

)

3 2

2 2

0 1 1 2 1

x

I dx

x x

+ + + +

∫

Câu III : (1,0 điểm)

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, biết khoảng cách giữa AB và mặt phẳng
(SCD) bằng 2. Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 600 .Tính thể tích hình chóp
S.ABCD

Câu IV : (1,0 điểm)

Tìm các cặp số thực (x ; y) thỏa mãn phương trình sau:

4 3 2 2 3 2

1 1 4 2 2 2

2

x x y x y x y x xy

e

− + −

+

e

− + +

=

x

+

x y

+

xy

−

x

+

Câu V : (2,0 điểm)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M( 1; -1; 1) và hai đường
thẳng 1

1 :

1

2

3 x

y

z

d

=

+

=

−

và 2

1

4 :

1

2

5 x

y

z

d

=

−

=

−

1. Chứng minh rằng điểm M và các đường thẳng d1 và d2 cùng nằm trên một mặt
phẳng. Viết phương trình mặt phẳng đó

2. Gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu của điểm M trên Ox, Oy, Oz . Viết phương
trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (ABC) sao cho ∆ cắt đường thẳng
(d2) đồng thời ∆ vng góc với (d1)

Câu VI : (1,0 điểm)

Giải phương trình sau trên tập các số phức biết nó có một nghiệm thực:
z3−(5+i z) 2+4(i−1)z−12 12+ i =0

---HẾT---

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

KHOA TOÁN TIN Đ

ÁP N THI TH

môn : Toán

hớng dẫn chấm và biểu điểm

Nội dung Điểm

Cõu I : (3,0 điểm)

Cho hàm số y = x3 - 3x2 +2 có đồ thị (C) trong hệ tọa độ Oxy

1. Khảo sát và vẽđồ thị hàm số

2. Gọi E là tâm đối xứng của đồ thị (C).Viết phương trình đường thẳng qua E và cắt (C) tại
ba điểm E, A, B phân biệt sao cho diện tích tam giác OAB bằng 2

a) Tập xác định : R 0,25

b) Sù biÕn thiªn
* Giíi h¹n

-, limy
x

Limy

→+∞ → ∞

= +∞ = −∞ 0,25

(2,0)

* Bảng biến thiên

y’ = 3x2-6x , y’= 0 ⇔ 0

x
x

=



=


x -∞ 0 2 +∞

y’ + 0 - 0 +

y 2 +

∞

-∞ -2

Hàm số ng biến trên các khoảng (-∞ ;0) vµ ( 2 ; +∞)

Nghịch biến trên (0; 2)
Hàm sốđạt cực đại tại x = 0, ycđ = 2

Đạt cực tiểu tại x =2, yct = -2

0,25

0,5

0,25

c. Đồ thị

+ im cc đại, cực tiểu :(0;2), (2;-2)

+ Giao víi Oy : (0;2)
+ Giao víi Ox :
NX :

0,5

1
2

O

x

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

---

+E (1;0)

0,25

(1,0)

+ PT đường thẳng ∆ qua E, thỏa mãn yêu cầu bài tốn phải có dạng y = k(x-1)
( Do trường hợp x =1 không thỏa mãn)

Hoàng độ giao điểm của (C ) và ∆ là nghiệm của PT: (x-1)(x2-2x-2-k)=0

+ Để∆ cắt (C ) tại 3 điểm phân biệt thì PT x2-2x-2-k = 0 phải có hai nghiệm phân

biệt khác 1 ⇔ k>-3 0,25

+ Tính được dt∆OAB =12d O( , ).∆ AB= k k+3

0,25

+ Từ giả thiết suy ra k có 3 giá trị -1; -1± 3 .

KL : Có 3 đường thẳng thỏa mãn yêu cầu là y = -x +1 ; y =

(

− ±1 3

)

(

x−1

)

0,25

Câu II : (2,0 điểm)

1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = 2cosx + sin2x trên [0; 2π]
2. Tính tích phân

(

) (

)

3 2

2 2

0 1 1 2 1

x

I dx

x x

+ + + +

∫

+ Hàm số liên tục trên [0;2π]

+ Tính y’ = 2cos2x - 2sinx, x∈

[

0; 2π

]

y’= 0 ⇔ ;5 ;3

6 6 2

x∈π π π

 

0,5

(1,0)

+) y(0)=2, ( ) 3 3; (5 ) 3 3; (3 ) 0; (2 ) 2

6 2 6 2 2

y π = y π = − y π = y π =

0,25

Suy ra

[0;2 ] [0;2 ]

3 3 3 3

ax , min

2 2

m y y

π
π

= = −

0,25

+ Đặt 2+ 1+x=t⇒ x =(t-2)2 -1, dx = 2(t-2)dt ; x =0⇒ t =3, x = 3⇒ t = 4

0,25

(1,0) + Đưa về

2
3

42 36
2 16

I t dt

t t

 

=  − + − 

 

∫

0,25

+ Tính ra được I = -12+ 42ln4

3 0,5

Câu III : (1,0 điểm)

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

+ Goij I, J lần lượt là trung điểm của
AB và CD, H là hình chiếu của I trên
SJ. Chứng tỏđược IH = 2 và

gócSJI =600

+ Gọi O là tâm đáy, chứng minh được
SO = 2, IJ= 4

+ Tính được VS.ABCD = 32

9 ( Đvtt)

0,5

0,25

Câu IV : (1,0 điểm)

Tìm các cặp số thực (x ; y) thỏa mãn phương trình sau:

4 3 2 2 3 2

1 1 4 2 2 2

2

x x y x y x y x xy

e

− + −

+

e

− + +

=

x

+

x y

+

xy

−

x

+

+ Đặt x4−x y3 +x y2 2− =1 u, x3y−x2+xy+ =1 v

PT trở thành eu +ev =u+ +v 2 (2)

+ Xét f(t)=et - t - 1. Chứng tỏđược ( ) 0,

( ) 0 0

f t t

≥ ∀




= ⇔ =



Từđó PT (2) ⇔ u = v = 0

0,25

+ Giải hệ

4 3 2 2

3 2

1 0

x x y x y

x y x xy

 − + − =




− + + =



(

)

2 3

1
1

x xy x y
x xy x y

 − = −

⇔
 − = +
 .
Đặt
2
3

x xy a

x y b

 − =




 , giải ra ta được

1
0
a
b
=


=

 hoặc

2
3
a
b
= −


= −


+ Thay trở lại tìm được hai cặp (x;y) là (1;0) và (-1;0) . Kết luận

0,25

Câu V : (2,0 điểm)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M( 1; -1; 1) và hai đường
thẳng 1: 1

1 2 3

x y z

d = + =

− − và 2

1 4

1 2 5

x y z

d = − = −

1. Chứng minh rằng điểm M và các đường thẳng d1 và d2 cùng nằm trên một mặt
phẳng. Viết phương trình mặt phẳng đó

d

1qua M1(0;-1;0), véc tơ chỉ phương u1(1; 2; 3)− −

d2 qua M2(0;1;-4), u2(1; 2;5)

0,25

(1,0)

+ Chứng tỏ d1 và d2 đồng phẳng và viết được PT mp(d1,d2) : - x - 2y + z -2 = 0

+ Chứng tỏ M∈mp(d1,d2). Kết luận

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

---

(1,0)

+ A(1;0;0), B(0; -1;0), C(0;0;1); mp(ABC): x - y + z -1 = 0
+ d2cắt (ABC) tại H(

1 3

; 0;

2 2

 

−

 

 

+ Đường thẳng ∆ cần tìm có véc tơ chỉ phương u∆ =u n1, (ABC)

=(-5;-4;1) , đồng
thời đi qua H

Suy ra PT ∆:

1
5
2
4
3
2

x t

y t

z t



= − −




= −



 = +



0,25

Câu VI : (1,0 điểm)

Giải phương trình sau trên tập các số phức biết nó có một nghiệm thực:
z3−(5+i z) 2+4(i−1)z−12 12+ i =0

+ Gọi nghiệm thực đó là a thay vào pt suy ra hệ

3 2

5 4 12 0

4 12 0

a a a

a

a a

 − − − =



⇔ =



− + + =



0,25

+ Khi đó PT đã cho tương đương với

(

)

(

)

6 (1 ) 2 2 0

(1 ) 2 2 0

z z i z i

z

z i z i

− + − − + =

=


⇔

+ − − + =



0,25

+ Giải ra được các nghiệm là 6, 2i và -1-i . Kết luận

0,5

- Trên đây chỉ là h−ớng dẫn làm bài; phải lý luận hợp lý mới cho điểm
- Những cách giải khác đúng vẫn đ−ợc điểm tối đa

- Điểm toàn bài đ−ợc làm tròn đến 0,5

</div>

De thi thu DH so 8co dap an

(

) (

)

∫

2

<i>e</i>

+

<i>e</i>

=

<i>x</i>

+

<i>x y</i>

+

<i>xy</i>

−

<i>x</i>

+

1

:

1

2

3

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>z</i>

<i>d</i>

=

+

=

−

−

1

4

:

1

2

5

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>z</i>

<i>d</i>

=

−

=

−

O

x

(

)

(

)

(

) (

)

∫

[

]

∫

2

<i>e</i>

+

<i>e</i>

=

<i>x</i>

+

<i>x y</i>

+

<i>xy</i>

−

<i>x</i>

+

(

)

(

)

<sub>(</sub>

<sub>)</sub>

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về