Bồi dưỡng HSG Chuyên Tìm GTLN, GTNN của biểu thức Toán 8

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (445.98 KB, 9 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 1
CHUYÊN ĐỀ TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC

I. Các kiến thức thường sử dụng là:

+ Bất đẳng thức Côsi: “Cho hai số không âm a, b; ta có bất đẳng thức:
2
a b

ab
+ 

;
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b”.

+ Bất đẳng thức:

(

)

(

2 2

)(

2 2

)

ac bd+  a +b c +d (BĐT: Bunhiacopxki);
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a b

c =d .

+ a +  +b a b ; Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ab  0.

+ Sử dụng “bình phương” để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Nếu y= +a



f x( )



2 thì min y = a khi f(x) = 0.

Nếu y= −a



f x( )



2 thì max y = a khi f(x) = 0.

+ Phương pháp “tìm miền giá trị” (cách 2 ví dụ 1 dạng 2).
II. CÁC DẠNG BÀI TOÁN VÀ CÁCH GIẢI

* Dạng 1:CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT ĐA THỨC 
Bài tốn 1: Tìm GTNN của các biểu thức:

a) A=4x2+4x+11

b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6)
c) C=x2−2x+y2−4y+7
Giải:

a) A=4x2+4x+11=4x2+4x+ +1 10=

(

2x+1

)

2+10 10
 Min A = 10 khi 1

2
x= − .

b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) = (x-1)(x+6)(x+2)(x+3)
= (x2 + 5x – 6)(x2 + 5x + 6) = (x2 + 5x)2 – 36  -36

 Min B = -36 khi x = 0 hoặc x = -5.
c) C=x2−2x+y2−4y+7

= (x2 – 2x + 1) + (y2 – 4y + 4) + 2 = (x – 1)2 + (y – 2)2 + 2  2
 Min C = 2 khi x = 1; y = 2.

Bài toán 2: Tìm GTLN của các biểu thức:
a) A = 5 – 8x – x2

b) B = 5 – x2 + 2x – 4y2 – 4y

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 2
a) A = 5 – 8x – x2 = -(x2 + 8x + 16) + 21 = -(x + 4)2 + 21  21

 Max A = 21 khi x = -4.
b) B = 5 – x2 + 2x – 4y2 – 4y

= -(x2 – 2x + 1) – (4y2 + 4y + 1) + 7

= -(x – 1)2 – (2y + 1)2 + 7  7
 Max B = 7 khi x = 1, 1

2
y= − .
Bài tốn 3: Tìm GTNN của:
a) M = − + − + − + −x 1 x 2 x 3 x 4
b) N =

(

2x−1

)

2−3 2x− +1 2
Giải:

a) M = − + − + − + −x 1 x 2 x 3 x 4

Ta có: x− + − = − + −  − + − =1 x 4 x 1 4 x x 1 4 x 3
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 1)(4 – x)  0 hay 1 x 4

2 3 2 3 2 3 1

x− + − = − + −  − + − =x x x x x

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 2)(3 – x)  0 hay 2 x 3
Vậy Min M = 3 + 1 = 4 khi 2 x 3.

b) N =

(

2x−1

)

2−3 2x− + =1 2 2x−12−3 2x− +1 2
Đặt t= 2x−1 thì t  0

Do đó N = t2 – 3t + 2 = 3 2
2

1
( )

t− − 1

4
N

  − .

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 3 0 3

2 2

t− =  =t

Do đó 1
4
N= − khi

3 5

2 1

3 3 2 4

2 1

3 1

2 2

2 1

2 4

x x

t x

x x

 − =  =

 

=  − =  

 − = −  = −

 

 

Vậy min 1 5

4 4

N = −  =x hay 1
4
x= − .

Bài toán 4: Cho x + y = 1.Tìm GTNN của biểu thức M = x3 + y3.
Giải:

M = x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) = x2 - xy + y2

2 2 2 2

2 2

( )

2 2 2 2 2 2 2

x y x y x y

xy x y  

= + + − + = + + − 

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 3

2 2

( )

M x y

  +

Ngoài ra: x + y = 1  x2 + y2 + 2xy = 1  2(x2 + y2) – (x – y)2 = 1
=> 2(x2 + y2) ≥ 1

Do đó 2 2 1

x +y  và 2 2 1 1

2 2

x +y =  = =x y

Ta có: 1( 2 2)
2

M  x +y và ( 2 2) 1 1 1. 1

2 2 2 4

x +y  M  =
Do đó 1

M  và dấu “=” xảy ra 1
2
x y
 = =

Vậy GTNN của 1 1

4 2

M =  = =x y

• Dạng 2: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT PHÂN THỨC
Bài tốn 1:

Tìm GTLN và GTNN của: 42 3
1
x

y

x
+
=

+ .
Giải:

* Cách 1:

2 2

4 3 ax 4 3

1 1

x x a

y a

x x

+ − + + −

= = +

+ +

Ta cần tìm a để −ax2+4x+ −3 alà bình phương của nhị thức.
Ta phải có: ' 4 (3 ) 0 1

4
a

a a

a
= −


 = + − =  

=

- Với a = -1 ta có:

2 2

4 3 x 4 4 ( 2)

1 1

1 1 1

x x x

y

x x x

+ + + +

= = − + = − +

+ + +

1.
y

  − Dấu “=” xảy ra khi x = -2.
Vậy GTNN của y = -1 khi x = -2.
- Với a = 4 ta có:

2 2

4 3 -4x 4 1 (2 1)

4 4 4

1 1 1

x x x

y

x x x

+ + − −

= = + = − 

+ + +

Dấu “=” xảy ra khi x = 1
2.
Vậy GTLN của y = 4 khi x = 1

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 4
Vì x2 + 1 0 nên: 42 3 yx2 4 3 0

1
x

y x y

x
+

=  − + − =

+ (1)

y là một giá trị của hàm số (1) có nghiệm

- Nếu y = 0 thì (1) 3

4
x
 = −

- Nếu y 0 thì (1) có nghiệm   = −' 4 y y( − 3) 0 (y+1)(y−4)0
1 0

4 0
y

y
+ 

  − 

 hoặc

1 0
4 0
y

y
+ 

 − 


1 y 4

 −  
Vậy GTNN của y = -1 khi x = -2.

Vậy GTLN của y = 4 khi x = 1
2.
Bài tốn 2: Tìm GTLN và GTNN của:

2
2

1
1
x x
A

x x
− +
=

+ + .
Giải:

Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình ẩn x sau đây có nghiệm:

2
2

1
1
x x

a

x x
− +
=

+ + (1)
Do x2 + x + 1 = x2 + 2.1

2.x +

1 3 1 3

4 4 x 2 4

 

+ = +  + 

 

Nên (1) ax2 + ax + a = x2 – x + 1 (a – 1)x2 + (a + 1)x + (a – 1) = 0 (2)
• Trường hợp 1: Nếu a = 1 thì (2) có nghiệm x = 0.

• Trường hợp 2: Nếu a  1 thì để (2) có nghiệm, điều kiện cần và đủ là  0, tức là:

( 1) 4( 1)( 1) 0 ( 1 2 2)( 1 2 2) 0
1

(3 1)( 3) 0 3( 1)

a a a a a a a

a a a a

+ − − −   + + − + − + 

 − −     

Với 1
3

a= hoặc a = 3 thì nghiệm của (2) là ( 1) 1
2( 1) 2(1 )

a a

x

a a

− + +

= =

− −

Với 1
3

a= thì x = 1
Với a = 3 thì x = -1

Kết luận: gộp cả 2 trường hợp 1 và 2, ta có:
GTNN của 1

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 5
a) Cho a, b là các số dương thỏa mãn ab = 1. Tìm GTNN của biểu thức:

2 2 4

( 1)( )

A a b a b

a b

= + + + +

+ .

b) Cho m, n là các số nguyên thỏa 1 1 1

2m+ =n 3. Tìm GTLN của B = mn.
Giải:

a) Theo bất đẳng thức Côsi cho hai số dương a2 và b2

2 2 2 2

2 2 2

a +b  a b = ab= (vì ab = 1)

2 2 4 4 4

( 1)( ) 2( 1) 2 ( ) ( )

A a b a b a b a b a b

a b a b a b

 = + + + +  + + + = + + + + +

+ + +

Cũng theo bất đẳng thức côsi cho hai số dương a + b và 4
a b+ .
Ta có: (a + b) + 4 2 (a b). 4 4

a b+  + a b+ =

Mặt khác: a b+ 2 ab=2

Suy ra: A 2 (a b 4 ) (a b) 2 4 2 8
a b

 + + + + +  + + =

+
Với a = b = 1 thì A = 8

Vậy GTNN của A là 8 khi a = b = 1.
b) Vì 1 1 1

2m+ =n 3 nên trong hai số m, n phải có ít nhất một số dương. Nếu có một trong hai số là âm thì B
< 0. Vì ta tìm GTLN của B = mn nên ta chỉ xét trường hợp cả hai số m, n cùng dương.

Ta có: 1 1 1 3(2 ) 2 (2 3)( 3) 9
2m+ = n 3 m+n = mn m− n− =
Vì m, n  N* nên n – 3  -2 và 2m – 3  -1.

Ta có: 9 =1.9 = 3.3 = 9.1; Do đó xảy ra:

+ 2 3 1 2

3 9 12

m m

n n

− = =

 



 − =  =

  và B = mn = 2.12 = 24

+ 2 3 1 3

3 3 6

m m

n n

− = =

 



 − =  =

  và B = mn = 3.6 = 18

+ 2 3 9 6

3 1 4

m m

n n

− = =

 



 − =  =

  và B = mn = 6.4 = 24
Vậy GTLN của B = 24 khi 2

12
m
n

=

 =

 hay

4
m
n

=

 =


Bài toán 4: Giả sử x và y là hai số thỏa mãn x > y và xy = 1. Tìm GTNN của biểu thức:

2 2

x y

A

x y

+
=

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 6
Giải:

Ta có thể viết:

2 2 2 2 2

2 2 ( ) 2

x y x xy y xy x y xy

A

x y x y x y

+ − + + − +

= = =

− − −

Do x > y và xy = 1 nên:

( ) 2 2 2

2 2

x y xy x y x y

A x y

x y x y x y

− + − −

= = − + = + +

− − −

Vì x > y  x – y > 0 nên áp dụng bất đẳng thức côsi với 2 số khơng âm, ta có:
2

2. .

2 2

x y x y

A

x y

− −

 +

−

Dấu “=” xảy ra 2 2

( ) 4 ( ) 2

2
x y

x y x y

x y
−

 =  − =  − =

− (Do x – y > 0)

Từ đó: 2 2 3
2
A + =

Vậy GTNN của A là 3 2
1
x y
xy

− =

  =



1 2

x
y
 = +


 

= − +

 hay

1 2

x
y
 = −



= − −

 Thỏa điều kiện xy = 1

* Dạng 3: CÁC BÀI TỐN MÀ BIỂU THỨC CHO CĨ CHỨA CĂN THỨC.
Bài tốn 1: Tìm GTLN của hàm số: y= x− +2 4−x.

Giải: 
* Cách 1:

Điều kiện: 2 0 2 4(*)

4 0

x

x
x

− 


  
 − 



Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: (ac + bd)2  (a2 + b2)(c2 + d2)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a b

c =d .

Chọn a= x−2;c=1;b= 4−x d; =1 với 2 x 4
Ta có:

(

) (

)

(

)

(

) (

)

2 2 2

2 4 2 4 . 1 1

2 4 .2

4 2

y x x x x

y x x

y y

 

= − + −  − + −  +

 

  − + − 

   

Vì y > 0 nên ta có: 0 y 2

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 7
* Cách 2:

Ta có: y= x− +2 4−x

Điều kiện: 2 0 2 4

4 0

x

x
x

− 


  
 − 



Vì y > 0 nên y đạt GTLN khi và chỉ khi y2 đạt GTLN.

Ta có: y2 = − + − +x 2 4 x 2 (x−2)(4−x)y2 = +2 2 (x−2)(4−x)

Do 2 4 2 0

4 0

x
x

x
− 

    − 

 nên áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số không âm cho ta:
2 (x−2)(4−x) − + − =(x 2) (4 x) 2

Do đó 2

2 2 4

y  + =

Dấu “=” xảy ra  − = −  =x 2 4 x x 3 (thỏa mãn điều kiện).
Vậy GTLN của hàm số y là 2 tại x = 3.

Bài tốn 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số: y=3 x− +1 4 5−x(1 x 5).
Giải:

a) GTLN:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số:
(3; 4) và (( x−1; 5−x) ta có:

(

) (

)

2 2 2 2

(3. 1 4. 5 ) (3 4 ). 1 5 100

y = x− + −x  +  x− + −x =

 

<=> y2 100
=> y 10

Dấu “=” xảy ra <= 1 5

3 4

x− −x

− hay 1 5

9 16

x− = −x

=> x = 61

25 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy GTLN của y là10 khi x = 61

25
* b) Gía trị nhỏ nhất:

Ta có: y = 3 x− +1 4 5− =x 3 x− +1 3 5− +x 5−x

= 3

(

x− +1 5−x

)

+ 5−x

Đặt: A = x− +1 5−x thì t2 = 4 + 2

(

x−1 5

)(

−x

)

 4
=> A2 và dấu “=” xảy ra khi x = 1 hoặc x = 5

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 8
Dấu “=” xảy ra khi x = 5

Do đó GTNN của y là 6 khi x = 5
Bài toán 3: GTNN của y là 6 khi x = 5

Tìm GTNN của biểu thức: M =

(

x−1994

)

2 + (x+1995)2
Giải:

M =

(

)

2 2

1994 ( 1995)

x− + x+ = x−1994+ +x 1995

Áp dụng bất đẳng thức: a +  +b a b ta có:
M = x−1994+ +x 1995 = −x 1994+1995+x

=> M  −x 1994 1995+ − =x 1

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 1994) . (1995 – x)  0
<=> 1994  x 1995

Vậy GTNN của M = 1  1994  x 1995

Bài toán 4:

Tìm GTNN của B = 3a + 4 1−a2 với -1 a 1
Giải:

B = 3a + 4 1 2 5 3 5 16

(

)

5 25

a a a

− =   +   −

Và áp dụng bất đẳng thức Cô si với hai số không âm cho ta

(

)

(

)

2 2

3 16

3 16 5 25

5 5 1 5 5

5 25 2 2

a a

a a

   + −

 
 

  +  −   + 

=> B

2 2

9 25 41 25

5 5

2 25

a a

 + + − 

  =



 

=> Do đó B 5 và dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi.

3
5
16

1
25
a

a
 =



 = −


<=> a = 3
5

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 9
Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội

dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi
về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh
tiếng.

I.Luyện Thi Online

-Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây
dựng các khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học.

-Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường
PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên
khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn.
II.Khoá Học Nâng Cao và HSG

-Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho các em HS
THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG.

-Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành
cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh Trình, TS.
Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng
đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia.

III.Kênh học tập miễn phí

-HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các
môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu
tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

-HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng
Anh.

V

ữ

ng vàng n

ề

n t

ảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

</div>

Bồi dưỡng HSG Chuyên Tìm GTLN, GTNN của biểu thức Toán 8

(

)

(

)(

)









(

)

(

)

(

)

(

) (

) (

)

(

)

(

) (

)

(

) (

)

(

)

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

<i><b>V</b></i>

<i><b>ữ</b></i>

<i><b>ng vàng n</b></i>

<i><b>ề</b></i>

<i><b>n t</b></i>

<i><b>ảng, Khai sáng tương lai</b></i>

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về