Bài toán đồ thị con đẳng cấu trong khai phá dữ liệu đồ thị và ứng dụng phát hiện đồ thị con phổ biến (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THƠNG

PHẠM THỊ LIÊN

BÀI TỐN ĐỒ THỊ CON ĐẲNG CẤU TRONG
KHAI PHÁ DỮ LIỆU ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG
PHÁT HIỆN ĐỒ THỊ CON PHỔ BIẾN

LUẬN VĂN THẠC SĨ: KHOA HỌC MÁY TÍNH

Thái Nguyên - 2020


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này do tự bản thân tơi tìm hiểu, nghiên cứu dưới sự
hướng dẫn của PGS. TS. Đồn Văn Ban. Các chương trình thực nghiệm do chính bản
thân tơi lập trình, các kết quả là hoàn toàn trung thực. Các tài liệu tham khảo được trích
dẫn và chú thích đầy đủ.
TÁC GIẢ LUẬN VĂN

Phạm Thị Liên


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới tập thể các thầy cô giáo Viện công nghệ
thông tin – Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, các thầy cô giáo Trường
Đại học Công nghệ thông tin và truyền thông - Đại học Thái Ngun đã dạy dỗ chúng tơi
trong suốt q trình học tập chương trình cao học tại trường.
Đặc biệt tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS. Đoàn Văn Ban
đã quan tâm, định hướng và đưa ra những góp ý, chỉnh sửa q báu cho tơi trong quá

trình làm luận văn tốt nghiệp. Cũng như các bạn bè, đồng nghiệp, gia đình và người
thân đã quan tâm, giúp đỡ và chia sẻ với tôi trong suốt q trình làm luận văn tốt nghiệp.
Dù đã có nhiều cố gắng nhưng chắc chắn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót vì
vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy, cô và các bạn để luận văn này
được hồn thiện hơn.
Tơi xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 08 năm 2020

Phạm Thị Liên


MỤC LỤC
Trang

MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 1
CHƯƠNG 1: KHAI PHÁ ĐỒ THỊ ....................................................................... 3
1.1. Cấu trúc đồ thị ............................................................................................ 3
1.2. Các dạng biểu diễn cấu trúc dữ liệu đồ thị ................................................ 6
1.2.1. Danh sách liên thuộc ........................................................................... 6
1.2.2. Danh sách liền kề ................................................................................ 7
1.2.3. Ma trận liên thuộc ............................................................................... 8
1.2.4. Ma trận liền kề .................................................................................... 9
1.2.5. Dạng chính tắc của đồ thị.................................................................. 10
1.3. Các kỹ thuật khai phá đồ thị .................................................................... 14
1.3.1. Phát hiện cấu trúc cộng đồng mạng xã hội ....................................... 15
1.3.2. Khai phá đồ thị con thường xuyên đóng ........................................... 19
1.4. Tổng kết chương 1 ................................................................................... 20
CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN ĐỒ THỊ ĐẲNG CẤU VÀ KHAI PHÁ ĐỒ THỊ CON
PHỔ BIẾN .......................................................................................................... 21
2.1. Bài toán đồ thị đẳng cấu........................................................................... 21

2.2. Thuật toán kiểm tra đồ thị đẳng cấu ........................................................ 24
2.2.1. Thuật tốn Dijsktra tìm đường đi ngắn nhất ..................................... 24
2.2.2. Thuật tốn tính khoảng cách d(u, v) trong các đồ thị phụ thêm và đồ
thị kết đôi .................................................................................................... 24
2.2.3. Thuật tốn xác ma trận dấu và dạng chính tắc của nó ...................... 25
2.2.4. Thuật tốn sắp xếp các đỉnh của hai đồ thị để kiểm tra tính đẳng cấu
của chúng dựa vào dạng chính tắc .............................................................. 26
2.2.5. Một số tính chất của đồ thị đẳng cấu ................................................ 26
2.3. Bài toán đẳng cấu đồ thị con SGI ............................................................ 30
2.3.1. Một số khái niệm cơ sở và ký hiệu ................................................... 31
2.3.2 Cây quyết định của đồ thị .................................................................. 32
2.3.3. Thuật toán xây dựng cây quyết định ................................................. 36
2.4. Khai phá đồ thị con phổ biến ................................................................... 40
2.4.1. Cây các đồ thị con dạng chính tắc .................................................... 40
2.4.2. Phép kết nối N-Join hai đồ thị .......................................................... 41


2.4.3. Phép N-Extension ............................................................................. 43
2.5. Thuật toán FFSM cho khai phá đồ thị con phổ biến trong CSDL đồ thị 44
2.6. Kết luận chương 2 .................................................................................... 47
CHƯƠNG 3 THỬ NGHIỆM VÀ ĐÁNH GIÁ .................................................. 48
3.1. Dữ liệu và môi trường thử nghiệm .......................................................... 48
3.1.1. Bộ dữ liệu thử nghiệm ...................................................................... 48
3.1.2. Môi trường thử nghiệm ..................................................................... 49
3.2. Cài đặt và thử nghiệm thuật tốn tìm kiếm tra đồ thị đẳng cấu ............... 50
3.2.1. Mơ tả u cầu bài tốn kiếm tra đồ thị đẳng cấu .............................. 50
3.2.2. Kết quả thử nghiệm ........................................................................... 50
3.3. Thử nghiệm thuật toán FFSM cho khai phá đồ thị con phổ biến ............ 53
3.3.1. Mô tả yêu cầu bài toán khai phá đồ thị con phổ biến ....................... 53
3.3.2. Phân tích đánh giá kết quả ................................................................ 53

3.4. Kết luận chương 3 .................................................................................... 55
KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN .......................................................... 56
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................. 57


THUẬT NGỮ VÀ TỪ VIẾT TẮT
Thuật ngữ

Diễn giải

CAM

Canonical Adjacency Matrix

Community Social Structure

Cấu trúc cộng đồng mạng xã hội

CSDL

Cơ sở dữ liệu

FFSM

FastFrequent Subgraph Mining

GI

Graph isomorphism - Đẳng cấu đồ thị

Graph isomorphism problem

Bài toán đồ thị đẳng cấu

SFI

Viện Santa Fe

SGI

SubGraph Isomorphism – Đẳng cấu đồ
thị con


DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

Hình 1.1 Các đồ thị vơ hướng và có hướng .......................................................... 4
Hình 1.2. Hợp của hai đồ thị ................................................................................. 5
Hình 1.3. G1’ là phần bù của G1............................................................................ 5
Hình 1.4. Danh sách liên thuộc của đồ thị ............................................................ 7
Hình 1.5. Đồ thị vơ hướng .................................................................................... 7
Hình 1.6. Biểu diễn danh sách liền kề của đồ thị hình 1.5 ................................... 8
Hình 1.7. Ma trận liên thuộc của đồ thị vơ hướng ................................................ 8
Hình 1.8. Ma trận liền kề của đồ thị trong ví dụ 1.6............................................. 9
Hình 1.9. Các đồ thị con cực đại ......................................................................... 11
Hình 1.10. Mạng lưới cộng tác của các nhà khoa học làm việc tại SFI [1]........ 17
Hình 2.1. Các phần tử hàng - cột của ma trận liền kề......................................... 33
Hình 2.2. Cây quyết định để phân lớp các ma trận liền kề của G ...................... 34
Hình 2.3. Cấu trúc từ điển và các chỉ mục cho cây quyết định .......................... 35
Hình 2.4. Cây quyết định của G và G’................................................................ 35

Hình 2.5. Cây quyết định compact để phân lớp các ma trận liền kề {A, B, …, F}
và {A’, B’, …, F’} của đồ thị G và G’ ................................................................. 37
Hình 2.6. Hai phép tốn N-Join va N-Extension ................................................ 43
Hình 3.1. Mơ tả cấu trúc bộ dữ liệu thử nghiệm với kho gồm 2 đồ thị .............. 48
Hình 3.2. Bộ dữ liệu đơn giản thử nghiệm thuật tốn kiểm tra 2 đồ thị đẳng cấu
............................................................................................................................. 51
Hình 3.3. Kết quả đồ thị đẳng cấu với bộ dữ liệu đơn giản ................................ 51
Hình 3.4. Kết quả đồ thị đẳng cấu với đồ thị target có kích thước lớn .............. 52
Hình 3.5. Ví dụ về khơng tồn tại đẳng cấu đồ thị con ........................................ 52
Hình 3.6. Thời gian chạy thuật toán FFSM trên bộ dữ liệu 10000 đồ thị .......... 53
Hình 3.7. Số đồ thị con tìm được ứng với các độ hộ trợ tối thiểu khác nhau trên
bộ dữ liệu 10.000 đồ thị ...................................................................................... 54


DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 3.1. Thông tin phần cứng được sử dụng thử nghiệm ...................................... 49
Bảng 3.2. Tổng hợp kết quả chạy thuật toán FFSM trên 2 bộ dữ liệu ..................... 54


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Khai phá dữ liệu là lĩnh vực đang được nhiều người tập trung nghiên cứu và
phát triển nhiều ứng dụng phổ biến. Trong đó, bài toán khai phá đồ thị con thường
xuyên đã và đang thu hút được nhiều sự quan tâm nghiên cứu bởi phạm vi ứng dụng
quan trọng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như trong tin-sinh (bioinformatics), tinhóa (cheminformatics) khai thác đăng nhập trang web, lập chỉ mục video, hay lập chỉ
mục cơ sở dữ liệu hiệu quả, ... Vấn đề khai phá mẫu thường xuyên là từ một tập dữ
liệu các đối tượng với một ngưỡng độ hỗ trợ tối thiểu minsup. Dữ liệu có thể rất đa
dạng từ dữ liệu nhị phân, dữ liệu số nguyên, số thực hoặc các dữ liệu có cấu trúc phức

tạp hơn như cấu trúc cây, đồ thị, … Cho đến nay vẫn chưa có lời giải hiệu quả cho
bài tốn này do độ phức tạp của bài toán là rất lớn khi đồ thị có số đỉnh lớn và mật độ
các cạnh dày. Tuy nhiên, sự phức tạp của những vấn đề này sẽ giảm khi cơ sở dữ liệu
(CSDL) đồ thị có thêm thông tin về các đỉnh và các cạnh đã được gán nhãn. Có thể
sử dụng các nhãn để hạn chế các đỉnh có thể tạo thành các cặp trong quá trình kiểm
tra sự đẳng cấu của đồ thị con.
Và đó chính là lý do em lựa chọn đề tài “Bài toán đồ thị con đẳng cấu trong
khai phá dữ liệu đồ thị và ứng dụng phát hiện đồ thị con phổ biến” để nghiên cứu làm
luận văn thạc sĩ của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu thuật tốn đẳng cấu đồ thị và thuật toán phát hiện đồ thị con phổ
biến trong CSDL đồ thị.
3. Đối tượng nghiên cứu
- Bài toán đồ thị con đẳng cấu
- Khai phá dữ liệu đồ thị
- Bài toán khai phá đồ thị con phổ biến trong CSDL đồ thị
- Thuật toán FFSM
- Thuật toán SGI Decision Tree.


2

4. Phạm vi nghiên cứu
+ Lý thuyết:
- Tìm hiểu lý thuyết đồ thị và các phương pháp khai phá dữ liệu đồ thị.
- Nghiên cứu các thuật tốn tìm đồ thị con đẳng cấu và các thuật toán khai
phá đồ thị con phổ biến.
+ Thực nghiệm:
- Xây dựng chương trình thực nghiệm thuật tốn.
- Áp dụng chương trình trên một số bộ cơ sở dữ liệu trong khai phá dữ liệu đồ

thị.
5. Ý nghĩa khoa học
Đây là một hướng nghiên cứu lý thuyết, xây dựng các thuật tốn tìm kiếm đồ
thị con đẳng cấu và đồ thị con phổ biến và kiểm thử trên các bộ dữ liệu về đồ thị.
6. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý thuyết: Sưu tập các tài liệu có liên quan đến đề
tài, nghiên cứu để hiểu sâu các nội dung vấn đề cần nghiên cứu.
- Phương pháp nghiên cứu thực nghiệm: Cài đặt chương trình thử nghiệm
phương pháp tìm kiếm đồ thị con đẳng cấu và thuật toán FFSM để liệt kê các đồ thị
con phổ biến trên các bộ dữ liệu và đánh giá hiệu suất của phương pháp.
- Phương pháp trao đổi khoa học: Trao đổi nội dung nghiên cứu với giáo viên
hướng dẫn, với các đồng nghiệp để đề xuất và giải quyết các nội dung luận văn đề ra.
7. Cấu trúc đề tài
Luận văn được chia thành các phần chính như sau:
Chương 1: Khai phá dữ liệu đồ thị
Chương 2: Đồ thị đẳng cấu và đồ thị con phổ biến
Chương 3: Thử nghiệm thuật tốn tìm đồ thị con phổ biến
Kết luận và hướng phát triển.


3

CHƯƠNG 1: KHAI PHÁ ĐỒ THỊ
Khai phá đồ thị (Graph Mining) là tập hợp các công cụ và kỹ thuật được sử
dụng để (i) phân tích các thuộc tính của đồ thị trong thế giới thực, (ii) dự đoán cấu
trúc và tính chất của đồ thị đã cho có thể ảnh hưởng đến một số ứng dụng và (iii) phát
triển các mơ hình có thể tạo ra biểu đồ thực tế phù hợp với các mơ hình được tìm thấy
trong các biểu đồ quan tâm trong thế giới thực. Chương này trình bày những khái
niệm cơ sở về đồ thị, các dạng biểu diễn cấu trúc, dạng chính tắc của đồ thị và các
kỹ thuật khai phá dữ liệu đồ thị.

1.1. Cấu trúc đồ thị
Một đồ thị (Graph) là một dạng biểu diễn hình ảnh của một tập các đỉnh (nút)
đại diện cho các đối tượng dữ liệu (thực thể), trong đó các cặp đối tượng được kết nối
bởi các cạnh (cung) thể hiện mối quan hệ giữa chúng [8].
Định nghĩa 1.1. Cho trước đồ thị G = (V, E), trong đó V là tập các đỉnh và E  V ×
V là tập các cạnh. Đường đi có độ dài n đi từ nút v đến w là dãy các cạnh (v0, v1), (v1,
v2), …, (vn-1, vn), trong đó v0 = v, vn = w và (vi, vi+1)  E. Đường đi đơn là đường đi
không đi qua một đỉnh nào quá một lần.
Hiển nhiên, đường đi ngắn nhất đi từ đỉnh s đến đỉnh t là đường đi đơn có độ
dài (số cạnh) ít nhất trong số các đường đi giữa hai đỉnh.
Hai cạnh được gọi là cạnh bội hay song song nếu chúng cùng tương ứng với
một cặp đỉnh. Một cạnh (v, w) của đồ thị G được gọi là khuyên (loop) nếu v = w. Đồ
thị khơng có các cạnh bội được gọi là đơn đồ thị, ngược lại gọi là đa đồ thị.
Hai đỉnh u và v trong đồ thị G được gọi là liền kề nếu (u, v)  E, hoặc (v, u)
 E. Nếu e = (u, v) thì e gọi là cạnh liên thuộc với các đỉnh u và v. Cạnh e cũng được
gọi là cạnh nối các đỉnh u và v. Các đỉnh u và v gọi là các điểm đầu mút của cạnh e.
Một đồ thị là vô hướng nếu E là tập các cạnh khơng có thứ tự, ngược lại là đồ thị có
hướng. Đồ thị có trọng số nếu trên mỗi cạnh được gắn với một trọng số, ngược lại là
đồ thị khơng trọng số, hay nói chính xác hơn là các cạnh của đồ thị đều có trọng số
là 1.


4

Ví dụ 1.1.
2
2

e1

e

1

e3

3

1

3

e4
e2
4

a. Đa đồ thị vơ hướng. e4 và e5 là các
cạnh song song

c. Đơn đồ thị có hướng

4

e5

b. Đa đồ thị vô hướng. e là khuyên

d. Không phải đơn đồ thị có
hướng do có các cặp cạnh
nối cùng một cặp đỉnh.

e. Khơng phải đơn đồ thị có
hướng do có cạnh nối một
đỉnh với chính nó.

Hình 1.1 Các đồ thị vơ hướng và có hướng
Trong luận văn này chúng ta chỉ những đơn đồ thị vô hướng, không trọng số,
gọi tắt là đồ thị.
Định nghĩa 1.2. Một đồ thị (vơ hướng) được gọi là liên thơng nếu ln có đường đi
đơn giữa mọi cặp đỉnh phân biệt của đồ thị.
Tính chất 1.1. Giữa mọi cặp đỉnh phân biệt của một đồ thị liên thơng ln có đường
đi đơn [16].
Các đồ thị con liên thông rời nhau, được gọi là các thành phần liên thông của
đồ thị đang xét. Như vậy, một đồ thị là liên thông khi và chỉ khi nó chỉ có một thành
phần liên thơng.
Định nghĩa 1.3. Bậc của đỉnh v trong đồ thị G, ký hiệu deg(v), là số các cạnh liên thuộc
với nó. Đỉnh v được gọi là đỉnh treo nếu deg(v) = 1 và gọi là đỉnh cô lập nếu deg(v) = 0.
Bậc của đỉnh là số các đỉnh liền kề với đỉnh đó.
Tính chất 1.2. Tổng số bậc của các đỉnh trong đồ thị G bằng hai lần số cạnh [16].


5

Tính chất 1.3. Mọi đơn đồ thị n đỉnh (n ≥ 2) có tổng bậc của hai đỉnh tuỳ ý khơng
nhỏ hơn n đều là đồ thị liên thơng [16].
Tính chất 1.4. Nếu một đồ thị có đúng hai đỉnh bậc lẻ thì hai đỉnh này phải liên thơng,
tức là có một đường đi nối chúng [16].
Định nghĩa 1.4. Hợp của hai đơn đồ thị G1 = (V1, E1) và G2 = (V2, E2) là một đơn đồ
thị G có tập các đỉnh là V1 V2 và tập các cạnh là E1  E2, ký hiệu là G = G1 G2.
Ví dụ 1.2.

Hình 1.2. Hợp của hai đồ thị
Định nghĩa 1.5. Đơn đồ thị G’=(V, E’) được gọi là đồ thị bù của đơn đồ thị G = (V,
E) nếu G và G’ khơng có cạnh chung nào (E  E’= ) và G  G’là đồ thị đầy đủ,
đồ thị có các cạnh nối hai đỉnh bất kỳ.
Dễ thấy rằng nếu G’ là bù của G thì G cũng là bù của G’. Khi đó ta nói hai đồ
thị là bù nhau.
Ví dụ 1.3.

Hình 1.3. G1’ là phần bù của G1
Định nghĩa 1.6. Cho trước hai đồ thị G1 = (V1, E1) và G2 = (V2, E2), ta nói G1 là đồ
thị con của G2 (G2 là đồ thị cha của G) khi và chỉ khi V1 ⊆ V2 và E1 ⊆ E2. Trường
hợp V1 = V2 ta nói G1 là đồ thị con bao trùm G2.


6

Định nghĩa 1.7. Cho trước đồ thị G = (V, E), với mỗi S  V, đồ thị con cảm sinh
(induced) bởi S trong đồ thị, ký hiệu là GS = (S, E  SS).
Như vậy, đồ thị G1 = (V1, E1) là đồ thị con cảm sinh của G2 = (V2, E2), nếu V1
⊆ V2 , E1 ⊆ E2 và với mọi cạnh (u, v)  E1 thì u, v  V1.
Định nghĩa 1.8. Đồ thị G được gọi là đầy đủ (clique) nếu mọi cặp đỉnh đều liên thuộc
với nhau, nghĩa là  vi, vj  V, i  j thì (vi, vj)  E.
1.2. Các dạng biểu diễn cấu trúc dữ liệu đồ thị
Cách biểu diễn đồ thị trực quan nhất là hình vẽ, nhưng khơng thể lưu trữ trực
tiếp các hình vẽ đồ thị trong máy tính. Có nhiều cách khác nhau để lưu trữ (biểu diễn)
các đồ thị trong máy tính [8, 17]. Sử dụng cấu trúc dữ liệu (cách biểu diễn) nào thì
tùy theo cấu trúc của đồ thị và thuật toán dùng để thao tác trên đồ thị đó. Trong lý
thuyết, người ta thường sử dụng hai cấu trúc chính là danh sách và cấu trúc mảng (ma
trận). Trong các ứng dụng cụ thể, cấu trúc tốt nhất có thể là kết hợp của cả hai. Người

ta hay dùng các cấu trúc danh sách cho các đồ thị thưa (sparse graph), do chúng địi
hỏi ít bộ nhớ. Trong khi đó, các cấu trúc ma trận cho phép truy nhập dữ liệu nhanh
hơn, nhưng lại cần lượng bộ nhớ lớn nếu đồ thị có kích thước lớn [1, 4].
1.2.1. Danh sách liên thuộc
Danh sách liên thuộc (Incidence list) - Mỗi đỉnh có một danh sách các cạnh nối với
đỉnh đó. Các cạnh của đồ thị được có thể được lưu trong một danh sách riêng (có thể
cài đặt bằng cấu trúc mảng (array) hoặc danh sách liên kết (linked list)), trong đó mỗi
phần tử ghi thông tin về một cạnh, bao gồm: cặp đỉnh mà cạnh đó nối (cặp này sẽ có
thứ tự nếu đồ thị có hướng), trọng số và các dữ liệu khác. Danh sách liên thuộc của
mỗi đỉnh sẽ chiếu tới vị trí của các cạnh tương ứng tại danh sách cạnh này.
Ví dụ 1.4. Cho đồ thị vơ hướng


7

Hình 1.4. Danh sách liên thuộc của đồ thị
1.2.2. Danh sách liền kề
Danh sách liền kề (Adjacency List) - Mỗi đỉnh của đồ thị có một danh sách
các đỉnh kề nó (nghĩa là có một cạnh nối từ đỉnh này đến mỗi đỉnh đó). Trong đồ thị
vơ hướng, cấu trúc này có thể gây trùng lặp. Chẳng hạn nếu đỉnh 3 nằm trong danh
sách của đỉnh 2 thì đỉnh 2 cũng phải có trong danh sách của đỉnh 3. Lập trình viên có
thể chọn cách sử dụng phần khơng gian thừa, hoặc có thể liệt kê các quan hệ kề cạnh
chỉ một lần. Biểu diễn dữ liệu này thuận lợi cho việc từ một đỉnh duy nhất tìm mọi
đỉnh được nối với nó, do các đỉnh này đã được liệt kê tường minh.
Định nghĩa 1.9. Danh sách liền kề. Với mỗi đỉnh i của đồ thị chúng ta lưu trữ danh
sách các đỉnh kề với nó, ký hiệu là List (i),
List(i) = { j V: (i, j)  E hoặc (j, i)  E },
Với cách biểu diễn này, mỗi đỉnh i của đồ thị, tương ứng với một danh sách
tất cả các đỉnh kề với nó và được ký hiệu là List(i). Để biểu diễn List(i), ta có thể
dùng các kiểu dữ liệu kiểu tập hợp, mảng hoặc danh sách liên kết.

Ví dụ 1.5. Cho trước đồ thị vơ hướng

Hình 1.5. Đồ thị vơ hướng


8

Danh sách liền kề của đồ thị trên theo cấu trúc danh sách liên kết là:

Hình 1.6. Biểu diễn danh sách liền kề của đồ thị hình 1.5
Đồ thị có trọng số (có các trọng số trên các cạnh), được gắn nhãn thường biểu
diễn theo ma trận liền kề.
1.2.3. Ma trận liên thuộc
Ma trận liên thuộc (Incidence matrix) - Đồ thị được biểu diễn bằng một ma
trận [bij] kích thước n × m, trong đó n là số đỉnh và m là số cạnh, trong đó bi,j = 1 nếu
đỉnh vi liên thuộc (là một trong 2 đầu) với cạnh ej và bằng 0 trong các trường hợp
khác.
Định nghĩa 1.10. Cho đồ thị vô hướng G = (V, E), với v1, v2, ..., vn là các đỉnh và e1,
e2, ..., em là các cạnh của G. Ma trận liên thuộc của G theo thứ tự trên của V và E là
ma trận AG = {aij | i = 1..n, j = 1..m}, trong đó aij là bằng 1 nếu cạnh ej nối với đỉnh vi
và bằng 0 nếu cạnh ej khơng nối với đỉnh vi.
Ví dụ 1.6. Ma trận liên thuộc theo thứ tự các đỉnh v1, v2, v3, v4, v5 (xếp theo cột) và
các cạnh e1, e2, e3, e4, e5, e6 (xếp theo hàng) là:

Hình 1.7. Ma trận liên thuộc của đồ thị vô hướng


9

1.2.4. Ma trận liền kề

Ma trận liền kề (adjacency matrix) một ma trận n × n, trong đó n là số đỉnh
của đồ thị. Cấu trúc này tạo thuận lợi cho việc tìm các đồ thị con và để đảo các đồ thị.
Định nghĩa 1.11. Giả sử G = (V, E) là đồ thị có n đỉnh (|V | = n), V = {v1, v2, …, vn}.
Ma trận liền kề (adjacency matrix) của đồ thị G ứng với thứ tự các đỉnh v1, v2,..., vn
là ma trận AG = {aij | i, j = 1..n}, trong đó ai,j = 1 nếu (vi, vj)  E, ngược lại ai,j = 0.
Từ định nghĩa suy ra ma trận liền kề biểu diễn đồ thị vô hướng là ma trận đối
xứng qua đường chéo chính, nghĩa là aij = aji, trong khi ma trận liền kề của một đồ thị
có hướng khơng có tính đối xứng.

Hình 1.8. Ma trận liền kề của đồ thị trong ví dụ 1.6
Cho trước một đồ thị có tập đỉnh V = {v1, v2, …, vn} thì sẽ có n! ma trận liền kề
tương ứng, bởi vì ứng mỗi cách sắp xếp các đỉnh (một hoán vị của V) thì ta có một ma trận
liền kề. Cho trước đồ thị G, ta ký hiệu AM(G) là tập các ma trận liền kề của G.
Đối với đồ thị không có trọng số chúng ta có tính chất sau:
Tính chất 1.5. Cho G là một đồ thị (vô hướng không có trọng số) với ma trận liền kề
A theo thứ tự các đỉnh v1, v2, ..., vn. Khi đó số các đường đi khác nhau độ dài r từ vi
tới vj trong đó r là một số nguyên dương, bằng giá trị của phần tử dòng i cột j của ma
trận Ar [14].
Định nghĩa 1.12. Giả sử A là ma trận liền kề của một đồ thị. Ta ký hiệu diag[A] là
vector biểu diễn tất cả các phần tử trên đường chéo chính của A. Tương tự, upper[A]
là vector biểu diễn tất cả các phần tử phần tam giác trên của A (khơng kể các phần tử
trên đường chéo chính).


10

1.2.5. Dạng chính tắc của đồ thị
Theo các định nghĩa về cách biểu diễn nêu trên, thì một đồ thị có thể biểu diễn (lưu
trữ) theo khá nhiều danh sách và ma trận khác nhau, điều này gây ra nhiều khó khăn trong
việc tính tốn và xử lý đồ thị, như xử lý bài tốn tìm các đồ thị con đẳng cấu, đồ thị con

xuất hiện thường xuyên, đồ thị (mẫu) thường xun đóng, cực đại, ... Ví dụ, cho trước một
đồ thị có tập đỉnh |V| = n thì sẽ có n! ma trận liền kề tương ứng, bởi vì ứng mỗi cách sắp
xếp các đỉnh (một hốn vị của V) thì ta có một ma trận liền kề.
Một trong các vấn đề quan trọng của khai phá đồ thị là bài toán đẳng cấu đồ
thị: cho trước hai đồ thị P, Q, cần kiểm tra xem P có đẳng cấu với Q hay không.
Chúng ta giải quyết vấn đề này bằng cách chuyển mỗi đồ thị về dạng biểu diễn chính
tắc (duy nhất) của nó rồi sau đó so sánh hai dạng chính tắc của chúng [1, 4, 5, 10].
Dạng chính tắc của đồ thị là dạng biểu diễn của đồ thị sao cho nếu hai đồ thị đẳng
cấu với nhau thì dạng chính tắc của chúng là như nhau và ngược lại [1].
Để tiện cho việc biểu diễn đồ thị một cách thống nhất, chúng ta định nghĩa
lại ma trận liền kề theo nhãn (tên) của các đỉnh như sau.
Định nghĩa 1.13. Giả sử G = (V, E) là đồ thị liên thơng, vơ hướng có n đỉnh (|V| =
n). Ma trận liền kề (adjacency matrix) của G là ma trận A = {aij | i, j = 1..n} với
l(vi)

aij =

Nếu i = j

//Nhãn (tên) của đỉnh trong G

l(vi,vj)

Nếu i  j

0

Nếu giữa vi và vj không có cạnh nối với nhau.

//Nhãn (tên) của cạnh nối vi với vj.

Từ định nghĩa suy ra ma trận liền kề là ma trận đối xứng qua đường chéo chính. Trên
đường chéo chính của ma trận liền kề là nhãn của các đỉnh, các phần tử còn lại là
nhãn của các cạnh, nếu có.
Định nghĩa 1.14. Cho trước ma trận liền kề A = {ai j | i, j = 1.. n} và alk là cạnh cuối
của A (alk  0, với l < k ở bên phải nhất trên hàng cuối cùng trong A), ma trận con
cực đại (maximal submatrix) của A là ma trận B = { bij | i, j = 1.. p}, p ≤ n, được định
nghĩa như sau:
(a)

Nếu hàng cuối của A có hai cạnh (hai giá trị khác 0) thì


11

+p=n

+ bij =

bi j

Nếu (0 < i, j ≤ p)  (i  l  j  k)  (i  k  j  l)

0

Ngược lại

(b) Nếu hàng cuối của A chỉ có một cạnh (một giá trị khác 0) thì
+p=n–1
+ bij = ai j với 0 < i, j ≤ p

Nhận xét: Ma trận con cực đại của ma trận chính A là một ma trận thu được từ
A sau khi loại bỏ đi một cạnh cuối theo cách hốn vị của tập đỉnh. Trường hợp (a) có
hai cạnh thì cạnh cuối được bỏ đi (vị trí đó được thay bằng 0), cịn trong trường hợp
(b) chỉ có một cạnh cuối thì đỉnh cuối (đỉnh cuối cùng năm trên đường chéo chính)
cũng được loại bỏ, nghĩa là bỏ đi hàng, cột cuối của ma trận.
Ví dụ 1.8. Cho trước hai đồ thị G1, G2 có 2 ma trận liền kề tương ứng là A1 và A2.

Xét các ma trận con cực đại của hai ma trận liền kề A1, A2 của G1, G2

Hình 1.9. Các đồ thị con cực đại
Hàng cuối của ma trận A1 có hai cạnh x, z và z là cạnh cuối, nên ma trận con
cực đại của nó là ma trận (a). Ma trận A2 ở hàng cuối chỉ có một cạnh y, do vậy bỏ đi
hàng cuối, cột cuối ta thu được ma trận (b). Ma trận (c) là ma trận con cực đại của


12

ma trận (a), ma trận (d) là ma trận con cực đại của ma trận (b) và (c), ma trận (e) là
ma trận con cực đại của ma trận (d).
Định nghĩa 1.15. Cho trước một ma trận liền kề A của đồ thị G = (V, E) có |V| = n
đỉnh, ta định nghĩa mã (code) của A, ký hiệu code(A), là dãy các phần tử của tam giác
dưới của A.
code(A) = a11a21a22 ... an1an2 ... ann−1ann
Cạnh ứng với nhãn đầu tiên trong mã của ma trận liền kề được gọi là cạnh đầu
tiên và cạnh ứng với nhãn ở cuối của mã là cạnh cuối cùng.
Nhận xét: Vì ma trận liền kề là ma trận đối xứng nên dựa vào code(A) ta dễ
dàng xác định được cả ma trận A.
Ta sử dụng thứ tự từ điển chính tắc (theo mã ký tự) trên các dãy các nhãn để
định nghĩa quan hệ thứ tự toàn phần của hai mã p và q bất kỳ.
Định nghĩa 1.16. Cho trước đồ thị G, dạng chính tắc của G là đồ thị có mã cực đại

của tất cả các mã các ma trận liền kề có thể. Ma trận liền kề có mã là chính tắc (cực
đại) được gọi là ma trận liền kề chính tắc CAM (Canonical Adjacency Matrix) của
G, ký hiệu là CAM(G).
CAM(G) = { A | A  AM(G)   B  AM(G)  code(A) ≥ code(B)}
Ví dụ 1.9. Xét các của hai ma trận liền kề ở ví dụ 1.8
code(A1) = “axb0ycxy0b” và code(A2) = “axbxzb0y0c”
Áp dụng thứ tự từ điển ta có code(A2) ≥ code(A1). Bằng cách xây dựng tất cả
các ma trận liền kề theo các hoán vị khác nhau của các đỉnh của đồ thị G và so sánh
mã của chúng, chúng ta thấy CAM(G) = A2, vì code(A2) là mã cực đại theo định
nghĩa.
Từ những định nghĩa nêu trên, chúng ta có một số tính chất quan trọng được
sử dụng để khai phá tập đồ thị con phổ biến [1], [3], [9].
Tính chất 1.6. Nếu A là ma trận liền kề của đồ thị liên thông G và B là ma trận con
cực đại của A thì code(A) ≥ code(B).
Chứng minh.
Dựa vào định nghĩa của ma trận con cực đại để chứng minh.


13

(a)

Nếu B là ma trận con được xác định theo trường hợp (a) của Định nghĩa

1.1.11 thì suy ra ngay được code(A) ≥ code(B), vì nhãn của cạnh cuối trong code(A)
được thay bằng 0. Biết rằng mọi nhãn trong tập L đều ≥ 0.
(b)

Trường hợp thứ hai suy ra được trực tiếp từ thứ tự của tiếp đầu ngữ của

dãy các nhãn.
Tính chất 1.7. Nếu A là ma trận liền kề biểu diễn cho dạng chính tắc của đồ thị G
(CAM(G) = A) thì mọi tiếp đầu ngữ của code(A) kết thúc bằng nhãn của một đỉnh
đều biểu diễn cho đồ thị con của G ở dạng chính tắc.
Chứng minh.
Theo định nghĩa mã của ma trận là cực đại và tính chất cực đại của dãy mã
được bảo tồn chọ các tiếp đầu ngữ. Mặt khác từ một tiếp đầu ngữ bất kỳ của code(A)
kết thúc bằng nhãn của một đỉnh, ta đều xây dựng được một ma trận liền kề của một
đồ thị con của G và đồ thị đó cũng là dạng chính tắc.
Tính chất 1.8. Cho trước đồ thị G liên thông và đồ thị con H của G. Giả sử CAM(G)
= A và CAM(H) = B, khi đó ta có code(A) ≥ code(B).
Chứng minh. Được suy ra từ tính chất 1.6 và tính chất 1.7.
Tính chất 1.9. Cho trước một ma trận liền kề chính tắc A của đồ thị liên thông G
(CAM(G) = A) và B là ma trận con của A, khi đó B là ma trận liền kề của một đồ thị
con liên thông của G.
Chứng minh.
Để chứng minh B là ma trận liền kề của một đồ thị con liên thông của G thì
chỉ cần B là ma trận liền kề của một đồ thị con liên thông. Nghĩa là cần chỉ ra trong
nửa tam giác dưới của ma trận B không có một hàng nào chỉ chứa tồn số 0 (khơng
có cạnh nối với các đỉnh khác). Chúng ta chứng minh điều khẳng định trên qua hai
bước.
a/ Trước tiên chúng ta chỉ ra rằng mỗi hàng trong nửa tam giác dưới của ma
trận liền kề A thì ln có ít nhất một cạnh khác 0, nghĩa là mỗi đỉnh có ít nhất một
cạnh nối với một đỉnh khác.


14

Thật vậy, chúng ta giả thiết rằng có ít nhất một hàng i (i > 1) mà vi1 = vi2 = ... = vi
i−1

= 0. Theo giả thiết G là liên thơng nên phải tồn tại ít nhất một j (j > i) sao cho

max{v1j, v2j, . . . , vi−1 j } > 0. Ngược lại, sẽ khơng có đỉnh nào trong i − 1 đỉnh đầu
được nối với n − (i − 1) đỉnh còn lại, nghĩa là G không phải liên thông, mâu thuẫn với
giả thiết. Nếu tồn tại một cặp (i, j) như trên, nếu ta hoán vị A sao cho i và j đổi chỗ
cho nhau (một hốn vị mới), phần cịn lại giữ ngun. Khi đó chúng ta sẽ nhận được
mã của ma trận liền mới có code lớn hơn code(A), mâu thuẫn với giả thiết là code(A)
là cực đại.
b/ Dễ dàng suy ra tính chất trên (nửa tam giác dưới của ma trận liền kề A thì
ln có ít nhất một cạnh khác 0) là bất biến đối với ma trận con B suy ra từ A, nghĩa
là B biểu diễn cho đồ thị liên thơng.
Tính chất 1.10. Cho trước đồ thị G liên thông, CAM(G) = A và B là ma trận con
cực đại của A, khi đó tồn tại một đồ thị con H của G để CAM(H) = B.
Chứng minh.
Giả thiết A chỉ có một cạnh ở hàng cuối thì hiển nhiên code(B) sẽ là tiếp đầu
ngữ (prefix) của code(A). Chúng ta khơng thể tìm được đồ thị con nào để có mã lớn
hơn code(B). Điều này suy ra code(B) ≥ code(CAM(H)), trong đó CAM(H) là ma
trận liền kề chính tắc của đồ thị H. Nghĩa là B là CAM của đồ thị H.
Tương tự, suy ra đối với trường hợp ở hàng cuối của A có ít nhất hai cạnh.
1.3. Các kỹ thuật khai phá đồ thị
Khai phá (khai thác) đồ thị được tập trung nghiên cứu và phát triển ứng dụng
ngày càng tăng do hai lý do: Đầu tiên, rất nhiều dữ liệu tự nhiên xuất hiện dưới dạng
các biểu đồ, đồ thị, như các cấu trúc phân tử (molecules), mạng tương tác protein,
mạng sinh học, mạng Internet, mạng xã hội, ... [1, 4, 5, 10]. Thứ hai, về cơ bản, tất
cả các mối quan hệ 1-1, 1- n ( 1 – nhiều), n – m (nhiều – nhiều) trong cơ sở dữ liệu
quan hệ có thể được biểu diễn hoặc diễn giải một cách tự nhiên dưới dạng biểu đồ,
do đó làm cho biểu đồ trở thành một cơng cụ tự nhiên để phân tích dữ liệu đơn lẻ
cũng như đa quan hệ. Ví dụ, cơ sở dữ liệu khách hàng và sản phẩm (chứa thông tin
về người đã mua cái gì), dễ dàng được sử dụng dưới dạng biểu đồ lưỡng cực hoặc hệ

15

thống gắn thẻ hợp tác (hoặc xã hội), dữ liệu có thể được mơ hình hóa thành biểu đồ
ba bên của người dùng, tài nguyên và thẻ (tags).
Kỹ thuật khai phá đồ thị đã được phân loại thành các nhóm sau [8, 11].
 Phân cụm đồ thị (Graph clustering): Nhóm các đỉnh của đồ thị thành các
cụm có tính đến cấu trúc cạnh của đồ thị sao cho trong mỗi cụm thì có nhiều cạnh nối
các đỉnh với nhau và tương đối ít giữa các cụm khác nhau. Phân cụm đồ thị là nhóm
các đỉnh của một đồ thị đầu vào đã cho thành các cụm dựa trên kỹ thuật học khơng
giám sát. Các cụm đồ thị được hình thành dựa trên một số điểm tương đồng theo một
số độ đo trên đồ thị như độ cố kết, vector đặc trưng, độ đo trung tâm, độ đo trung
gian, … [1, 3, 4, 9].
 Phân lớp đồ thị (Graph Classification): nhiệm vụ chính là phân loại các biểu
đồ riêng biệt trong cơ sở dữ liệu đồ thị thành hai hoặc nhiều loại / lớp. Phân lớp dựa
trên kỹ thuật học có giám sát / bán giám sát trong đó các lớp dữ liệu được xác định
trước [16].
 Khai phá đồ thị con (Sub graph mining): đồ thị con là một đồ thị có các đỉnh
và cạnh là các tập con của đồ thị khác. Vấn đề khai thác đồ thị con thường xuyên là
tạo ra tập hợp các đồ thị con xuất hiện trong ít nhất theo một ngưỡng của n đồ thị đầu
vào đã cho [11, 12].
Trong phần này xin giới thiệu một số kỹ thuật, thuật toán khai phá đồ thị điển
hình trong các nhóm nêu trên.
1.3.1. Phát hiện cấu trúc cộng đồng mạng xã hội
Phát hiện cấu trúc cộng đồng mạng xã hội [1, 5] là một kỹ thuật điển hình
nhóm phân tích đồ thị theo cách tiếp cận phân cụm đồ thị.
Mạng xã hội là một tập hợp các thực thể được kết nối với nhau thông qua các
mối quan hệ, mối liên kết, ... Phân tích mạng xã hội là nghiên cứu về mối quan hệ
giữa các cá nhân bao gồm phân tích cấu trúc xã hội, vị trí xã hội, phân tích vai trị, và

nhiều mối quan hệ với những người khác. Phân tích mạng xã hội là xem xét các mối
quan hệ xã hội dựa vào lý thuyết đồ thị bao gồm các đỉnh và các cạnh (còn được gọi
là các liên kết hoặc kết nối). Các đỉnh được xem là những cộng đồng riêng lẻ trên


16

mạng, và các cạnh là các mối quan hệ giữa các cộng đồng. Cộng đồng mạng xã hội
là một tập hợp các cá nhân (tác nhân, thực thể) tương tác với nhau thông qua các
phương tiện truyền thông cụ thể, có khả năng vượt qua những ranh giới địa lý và
chính trị để theo đuổi lợi ích hay mục tiêu chung. Mục tiêu chính của phân tích mạng
xã hội là:
Xác định những thực thể, tác nhân quan trọng nhất trong mạng xã hội: Độ
trung tâm (Centrality) là một độ đo để hiệu chỉnh tầm quan trọng của các tác nhân và
giúp chúng ta hiểu được tầm ảnh hưởng trong xã hội và quyền lực trong một mạng
xã hội.
Phát hiện các cộng đồng trên mạng: Một số thực thể có liên kết chặt chẽ với
nhau tạo thành từng cụm, và giữa các cụm đó được nối với nhau chỉ bằng một số ít
cạnh khác. Nhiệm vụ xác định các cộng đồng được thực hiện thông qua nghiên cứu
cấu trúc mạng và cấu trúc liên kết giữa các thực thể trên mạng.
Cấu trúc cộng đồng mạng xã hội (Community Social Structure) gọi tắt là cộng
đồng mạng xã hội là một tập hợp các tác nhân tương tác thông qua các phương tiện
truyền thơng cụ thể, có khả năng vượt qua những ranh giới địa lý và chính trị để theo
đuổi lợi ích hay mục tiêu chung. Cộng đồng là một nhóm các thực thể có những tính
chất tương tự nhau, liên kết chặt chẽ với nhau hơn và cùng đóng một vai trò nhất định
trong mạng xã hội. Cộng đồng mạng xã hội còn được định nghĩa là những cấu trúc
xã hội rất mạnh mẽ và được tổ chức với nhau dựa trên những mối quan hệ, quan tâm
chung. Nó có thể là một sở thích, một lĩnh vực mà các thành viên trong cộng đồng
cùng quan tâm, hay một mục tiêu, dự án chung, theo vị trí địa lý, hoặc nghiệp
vụ. Người tham gia vào cộng đồng, vì quan tâm đến lợi ích chung này mà gắn kết các

thành viên cộng đồng với nhau. Một cộng đồng được mô tả như một nhóm các đỉnh
(đồ thị con) cùng chia sẻ các thuộc tính chung hoặc đóng vai trị tương tự trong một
mạng. Một cộng đồng có thể được định nghĩa là một tập hợp các đỉnh có mật độ liên
kết giữa các đỉnh cao và mật độ liên kết thấp với phần cịn lại của mạng. Nói cách
khác, một cộng đồng được tạo ra bởi một tập hợp các tác nhân có tương tác thường
xuyên với nhau hơn so với cá nhân khác ngồi cộng đồng. Do vậy, nó thường là một


17

tập hợp như: bạn bè, đồng nghiệp, nhóm những người có cùng sở thích, cùng chun
mơn, mối quan tâm, … [1, 3, 5].
Trong mạng xã hội, việc trích xuất, phát hiện được những cấu trúc cộng đồng
là rất hữu ích vì nó giúp chúng ta nghiên cứu được cấu trúc tổng thể của mạng. Đó là
một nhiệm vụ, thách thức rất khó khăn. Khái niệm của khám phá, phát hiện cộng
đồng tương tự như phân vùng (phân cụm) đồ thị nhưng có một số khác biệt như trong
phân vùng đồ thị, số lượng nhóm và kích thước của chúng đã được biết trước, nhưng
trong trường hợp phát hiện ra cộng đồng, chúng ta không biết về số lượng cộng đồng
trong mạng và cộng đồng cũng có thể khơng cùng kích cỡ với nhau.
Hình 1.10. hiển thị các cộng đồng của đồ thị mạng lưới cộng tác nghiên cứu
của các nhà khoa học làm việc tại Viện Santa Fe (SFI). Đồ thị bao gồm 118 đỉnh đại
diện cho các nhà khoa học làm việc tại SFI và các cộng tác viên của họ. Các cạnh
được liên kết giữa các nhà khoa học khi họ đã cơng bố cùng với nhau ít nhất một bài
báo. Ở mạng này ta quan sát được một số cộng đồng, mỗi cộng đồng biểu hiện cho
những tác giả đã cùng nhau công bố một hay nhiều bài báo khoa học. Mặt khác ta
cũng thấy giữa các cộng đồng trong mạng trên chỉ có một số ít mối liên kết. Các đỉnh
cùng màu là cùng một cộng đồng theo các lĩnh vực nghiên cứu của SFI.

Hình 1.10. Mạng lưới cộng tác của các nhà khoa học làm việc tại SFI [1]