Những ứng dụng của các định lý sylow trong lý thuyết nhóm hữu hạn

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
-----------------------------------------

LÊ THỊ THANH TÂM

NHỮNG ỨNG DỤNG CỦA CÁC ĐỊNH LÝ SYLOW
TRONG LÝ THUYẾT NHĨM HỮU HẠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

ĐÀ NẴNG, NĂM 2018


ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
-----------------------------------------

LÊ THỊ THANH TÂM

NHỮNG ỨNG DỤNG CỦA CÁC ĐỊNH LÝ SYLOW
TRONG LÝ THUYẾT NHÓM HỮU HẠN

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 8460104

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN NGỌC CHÂU

ĐÀ NẴNG, NĂM 2018

LỜI CẢM ƠN
Đề tài “ Những ứng dụng của các Định lý Sylow trong lý thuyết nhóm
hữu hạn ” là nội dung tôi chọn để nghiên cứu và làm luận văn tốt nghiệp sau
hai năm theo học chương trình cao học chuyên ngành Đại số và lý thuyết số
tại trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng.
Để hoàn thành q trình nghiên cứu và hồn thiện luận văn này,
lời đầu tiên tôi xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn
TS. Nguyễn Ngọc Châu đã tận tình hướng dẫn tơi trong suốt q trình nghiên
cứu để tơi có thể hồn thiện luận văn này.
Tơi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến tất cả các quý thầy cô
giáo, những người đã truyền đạt kiến thức quý báu cho tôi suốt trong thời gian
học tập vừa qua.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn những người thân, bạn bè đã ln bên tơi,
động viên tơi hồn thành khóa học và bài luận văn này.
Trân trọng cảm ơn!

Lê Thị Thanh Tâm


LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi được sự
hướng dẫn khoa học của T.S Nguyễn Ngọc Châu. Các số liệu, kết quả nêu
trong luận văn là trung thực và chưa được công bố trong các cơng trình khác.
Nếu khơng đúng như trên tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm về luận văn của
mình.
Người cam đoan.

Lê Thị Thanh Tâm

CÁC KÍ HIỆU ĐƢỢC SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN

ℕ

: Tập các số tự nhiên

ℕ∗

: Tập các số nguyên dương

𝐴≤𝐵

: 𝐴 là nhóm con của 𝐵

𝐴⊲𝐵

: 𝐴 là nhóm con chuẩn tắc của 𝐵

𝐺

: Cấp của nhóm 𝐺, số phần tử của tập 𝐺

[𝐴: 𝐵]

: Chỉ số của nhóm con 𝐵 trong nhóm 𝐴

𝐴≅𝐵

: Nhóm 𝐴 đẳng cấu với nhóm 𝐵

𝑝|𝑛

: 𝑝 chia hết 𝑛 hay 𝑝 là ước của 𝑛

𝑝∤𝑛

: 𝑝 không chia hết 𝑛

𝑛⋮𝑝

: 𝑛 chia hết cho 𝑝, hay 𝑛 là bội của 𝑝

𝑛  𝑝

: 𝑛 không chia hết cho 𝑝, hay 𝑛 không là bội của 𝑝

𝑥

: Nhóm xyclic sinh bởi phần tử 𝑥

𝐶𝐺 (𝑆)

: Nhóm tâm hóa của 𝑆 trong 𝐺

𝑁𝐺 (𝑆)

: Nhóm chuẩn hóa của 𝑆 trong 𝐺

𝐺𝐿(𝑛, 𝐾)

: Nhóm các ma trận vng khả nghịch cấp 𝑛 trên trường 𝐾.

𝐼𝑛

: Ma trận đơn vị cấp 𝑛

𝐷𝑛

: Nhóm nhị diện cấp 2𝑛

𝑆𝑛

: Nhóm đối xứng trên 𝑛 phần tử

𝐴𝑛

: Nhóm thay phiên trên 𝑛 phần tử


ℤ𝑛

: Nhóm xyclic cấp 𝑛 với phép tốn cộng

𝐶𝑛

: Nhóm xyclic cấp 𝑛 với phép tốn nhân

𝐾4

: Nhóm ℤ2 × ℤ2 ,

𝑠𝑝

: Số các 𝑝- nhóm con Sylow của một nhóm hữu hạn


MỤC LỤC
Lời cam đoan
Một số kí hiệu
Mở đầu .................................................................................................. 1
Chƣơng 1: Cấu trúc nhóm và các định lý Sylow ................................ 3
1.1 Một số khái niệm và kết quả của cấu trúc nhóm ........................... 3
1.1.1 Một số kết quả của cấu trúc nhóm ....................................... 3
1.1.2 Một số nhóm quen thuộc ..................................................... 6
1.2 Các Định lý Sylow và kết quả liên quan ...................................... 8
1.3 Tích trực tiếp của hai nhóm ......................................................... 12
Chƣơng 2: Những ứng dụng của các Định lý Sylow ........................... 15
2.1 Khảo sát tính chất của một số lớp nhóm hữu hạn .......................... 15
2.1.1 Nhóm hữu hạn bất kì............................................................ 15
2.1.2 Nhóm có cấp 𝑝𝑞, với 𝑝, 𝑞 là hai số nguyên tố ...................... 16
2.1.3 Nhóm cấp 𝑝2 𝑞, với 𝑝, 𝑞 là hai số nguyên tố ......................... 17
2.1.4 Nhóm có cấp 𝑝2 𝑞2 , với 𝑝, 𝑞 là hai số nguyên tố................... 19
2.2 Xác định và phân loại đẳng cấu một số lớp nhóm hữu hạn ........... 19
2.2.1 Nhóm có cấp 𝑝𝑞, với 𝑝, 𝑞 là hai số nguyên tố ..................... 19
2.2.2 Nhóm có cấp 𝑝2 𝑞, với 𝑝, 𝑞 là hai số nguyên tố ................... 23
2.2.3 Nhóm có cấp 𝑝2 𝑞2 , với 𝑝, 𝑞 là hai số nguyên tố................... 33
Kết luận ................................................................................................. 35
Tài liệu tham khảo ................................................................................. 36

1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong lý thuyết nhóm hữu hạn, một định lý quan trọng và nổi tiếng là
Định lý Lagrange: “ Với một nhóm hữu hạn 𝐺 cấp 𝑛, mọi nhóm con của 𝐺 đều
có cấp là ước của 𝑛 ”. Ngược lại, nếu 𝑑 là một ước nguyên dương của cấp của
một nhóm hữu hạn 𝐺, có ln tồn tại một nhóm con cấp d của nhóm 𝐺 hay
khơng? Trả lời cho câu hỏi này là khơng, chẳng hạn nhóm thay phiên 𝐴4 có cấp
12, nhưng khơng có nhóm con cấp 6 nào. Tuy nhiên, nếu d là một lũy thừa của
một số nguyên tố 𝑝, thì Định lý Sylow khẳng định sự tồn tại của những nhóm
con cấp d. Các Định lý Sylow cùng với các 𝑝-nhóm con Sylow có nhiều ứng
dụng sâu sắc và hiệu quả trong lý thuyết nhóm, chẳng hạn: xác định và phân
loại đẳng cấu nhóm hữu hạn, khảo sát một số tính chất của nhóm như tính giao
hốn, tính đơn, tính giải được,…
Nhằm tìm hiểu những ứng dụng của Định lý Sylow, tôi chọn đề tài cho
luận văn thạc sĩ của mình là: “ Những ứng dụng của các Định lý Sylow trong lý
thuyết nhóm hữu hạn ”.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cấu trúc nhóm và p- nhóm hữu hạn.
- Tìm hiểu p- nhóm con Sylow và các Định lý Sylow.
- Các ứng dụng của các Định lý Sylow trong nhóm hữu hạn.
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
- Nhóm và p- nhóm hữu hạn.
- Các ứng dụng của các Định lý Sylow trong nhóm hữu hạn.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu.
- Thu thập và hệ thống các tài liệu về lý thuyết nhóm có liên quan đến nội
dung đề tài. Đặc biệt là các tài liệu về Định lý Sylow và các ứng dụng của

chúng.


2

- Phân tích, khảo sát các tài liệu thu thập được.
- Trao đổi với người hướng dẫn và các chuyên gia để thực hiện đề tài.
5. Cấu trúc luận văn.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo, nội
dung của luận văn được chia thành 2 chương:
Chƣơng 1: Cấu trúc nhóm và các định lý Sylow.
Để làm cơ sở cho chương sau, chương này nhắc lại những khái niệm, kết
quả về cấu trúc nhóm, đặc biệt là các Định lý Sylow và các hệ quả liên quan.
1.1 Một số khái niệm và kết quả của cấu trúc nhóm.
1.2 Các Định lý Sylow và kết quả liên quan.
1.3 Tích trực tiếp của hai nhóm.
Chƣơng 2: Những ứng dụng của các Định lý Sylow.
Chương này là phần chính của luận văn, trình bày một số ứng dụng của
các Định lý Sylow trong nhóm hữu hạn.
2.1 Khảo sát tính chất của một số lớp nhóm hữu hạn.
2.2 Xác định và phân loại đẳng cấu một số lớp nhóm hữu hạn.


3

CHƢƠNG 1.

CẤU TRÚC NHÓM VÀ CÁC ĐỊNH LÝ SYLOW.

Để làm cơ sở cho chương sau, chương này nhắc lại những khái niệm, kết

quả về cấu trúc nhóm, đặc biệt là các Định lý Sylow và các hệ quả liên quan.
Các chứng minh chi tiết có thể xem trong [1], [3], [4].
1.1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CỦA CẤU TRÚC NHĨM
1.1.1. Một số kết quả của cấu trúc nhóm.
Mệnh đề 1.1.1.1 [3]
Cho một nhóm 𝐺, kí hiệu
𝑍 𝐺 = {𝑎 ∈ 𝐺 ∶ 𝑎𝑥 = 𝑥𝑎. ∀𝑥 ∈ 𝐺}
khi đó 𝑍 𝐺 là một nhóm con giao hốn và chuẩn tắc của 𝐺.
Nhóm 𝑍 𝐺 được gọi là nhóm con tâm của 𝐺.
Mệnh đề 1.1.1.2 [1]
Cho 𝐺 là một nhóm và 𝑆 là một nhóm con của 𝐺. Khi đó hai tập con
𝐶𝐺 𝑆 = 𝑔 ∈ 𝐺 𝑔𝑠𝑔−1 = 𝑠, ∀𝑠 ∈ 𝑆 }
𝑁𝐺 𝑆 = 𝑔 ∈ 𝐺 𝑔𝑆𝑔−1 = 𝑆}
là hai nhóm con của 𝐺.
Định nghĩa 1.1.1.3 [1]
Hai nhóm con 𝐶𝐺 𝑆 và 𝑁𝐺 𝑆 được gọi lần lượt là nhóm tâm hóa và
nhóm chuẩn hóa của 𝑆 trong 𝐺.
Định nghĩa 1.1.1.4 [1]
Một nhóm 𝐺 được gọi là nhóm xyclic nếu nó chứa một phần tử 𝑎 sao
cho mọi phần tử của 𝐺 đều bằng một lũy thừa nguyên nào đó của 𝑎. Phần tử 𝑎
có tính chất như thế được gọi là một phần tử sinh của nhóm xyclic 𝐺.


4

Hệ quả 1.1.1.5 [4]
(i)

Mọi nhóm xyclic đều là nhóm giao hốn.

(ii) Với mỗi số ngun dương 𝑛 thì có duy nhất một nhóm xyclic cấp 𝑛.
(iii) Hai nhóm xyclic có cùng bậc thì đẳng cấu với nhau.
Mệnh đề 1.1.1.6 [4]
Nếu 𝐺 là một nhóm giao hốn hữu hạn và 𝑝 là số nguyên tố chia hết
cấp của 𝐺 thì 𝐺 có một phần tử cấp 𝑝.
Mệnh đề 1.1.1.7 [4]
Nếu 𝐺 là một nhóm hữu hạn, 𝑃 là một 𝑝-nhóm con Sylow của 𝐺 và
𝐻 là một 𝑝- nhóm con của 𝐺. Khi đó, 𝑁𝐻 𝑃 = 𝐻 ∩ 𝑃.
Định lý 1.1.1.8 [3] (Định lý Lagrange)
Giả sử 𝐺 là một nhóm hữu hạn và 𝑆 là một nhóm con của 𝐺. Khi đó,
𝐺 là một bội của 𝑆 .
Hệ quả 1.1.1.9 [1]
Mọi nhóm hữu hạn có cấp là một số nguyên tố đều là nhóm xyclic và
được sinh ra bởi một phần tử bất kì, khác phần tử đơn vị của nhóm.
Định nghĩa 1.1.1.10 [1]
Giả sử 𝑆 là một nhóm con của nhóm 𝐺. Lực lượng của tập 𝐺/𝑆 gồm
các lớp kề trái của 𝑆 trong 𝐺, được gọi là chỉ số của nhóm con 𝑆 trong nhóm 𝐺,
và được kí hiệu là [𝐺: 𝑆].
Định nghĩa 1.1.1.11 [4]
Nếu 𝑆 là một nhóm con chỉ số 2 của một nhóm 𝐺, thì 𝑆 là nhóm con
chuẩn tắc của 𝐺.


5

Định nghĩa 1.1.1.12 [1]
Giả sử 𝑝 là một số nguyên tố.
(i)

Nhóm 𝐻 được gọi là một 𝑝- nhóm nếu cấp của nó là một lũy thừa

của 𝑝.
(ii) Nhóm 𝐻 được gọi là một 𝑝-nhóm con của nhóm 𝐺 nếu 𝐻 vừa là một
nhóm con của 𝐺 vừa là một 𝑝- nhóm.
(iii) Nhóm 𝐻 được gọi là một 𝑝- nhóm con Sylow của nhóm hữu hạn 𝐺
nếu 𝐻 là một 𝑝- nhóm con của 𝐺 và 𝐻 = 𝑝𝑛 là lũy thừa cao nhất của 𝑝 chia
hết 𝐺 .
Mệnh đề 1.1.1.13 [4]
Nếu 𝐻 là một 𝑝- nhóm Sylow của nhóm hữu hạn 𝐺, thì
𝑔−1 𝐻𝑔 = {𝑔−1 𝑕𝑔 / 𝑕 ∈ 𝐻}
cũng là một 𝑝- nhóm Sylow của 𝐺.
Định lý 1.1.1.14 [1]
Mỗi 𝑝-nhóm giao hốn đều đẳng cấu với một tích trực tiếp của các
𝑝- nhóm xyclic. Hai sự phân tích như thế chỉ có thể khác nhau ở thứ tự của
các nhân tử.
Định nghĩa 1.1.1.15 [2]
Một nhóm 𝐺 được gọi là nhóm đơn nếu 𝐺 ≠ 1 và 𝐺 chỉ có hai
nhóm con chuẩn tắc là {1} và 𝐺.
Định nghĩa 1.1.1.16 [2]
Một nhóm 𝐺 được gọi là nhóm giải được nếu tồn tại một dãy các
nhóm con
1 = G0 ⊂ G1 ⊂ ⋯ ⊂ Gn = G


6

trong đó mỗi 𝐺𝑖 là nhóm con chuẩn tắc của 𝐺𝑖+1 và nhóm thương 𝐺𝑖+1 /𝐺𝑖 là
giao hốn, với mọi 𝑖 = 0, … , 𝑛 − 1.
1.1.2 Một số nhóm quen thuộc.
Định nghĩa 1.1.2.1 [1]

Xét đa giác đều 𝑛 cạnh 𝑃𝑛 với 𝑛 > 2. Gọi 𝑎 là phép quay mặt phẳng
xung quanh tâm của 𝑃𝑛 một góc (có hướng) bằng 2𝜋 𝑛, còn 𝑏 là phép đối xứng
qua một đường thẳng đi qua tâm của 𝑃𝑛 và một đỉnh của nó. Khi đó, tất cả các
phép đối xứng của 𝑃𝑛 (tức là các biến đối đẳng cự của mặt phẳng biến 𝑃𝑛 thành
chính nó) được liệt kê như sau:
𝑒, 𝑎, 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 −1 , 𝑏, 𝑎𝑏, … , 𝑎𝑛−1 𝑏
Chúng lập thành một nhóm khơng giao hốn cấp 2𝑛, kí hiệu 𝐷𝑛 , và
được gọi là nhóm nhị diện. Nhóm 𝐷𝑛 cịn được biểu thị qua các phần tử sinh và
các quan hệ như sau:
𝐷𝑛 = 𝑎, 𝑏 | 𝑎𝑛 = 𝑒, 𝑏2 = 𝑒, (𝑎𝑏)2 = 𝑒
Định nghĩa 1.1.2.2 [1]
Giả sử 𝑇 là một tập hợp nào đó. Khi ấy, dễ dàng kiểm tra lại rằng
tập hợp 𝑆(𝑇) tất cả các song ánh trên 𝑇 cùng với phép hợp thành các ánh xạ
lập nên một nhóm.
Nhóm 𝑆(𝑇) được gọi là nhóm đối xứng trên tập hợp 𝑇. Mỗi nhóm
con của 𝑆(𝑇) được gọi là một nhóm các phép thế trên 𝑇.
Đặc biệt, nếu 𝑇 = {1, 2, … , 𝑛} thì nhóm 𝑆(𝑇) được kí hiệu đơn giản
là 𝑆𝑛 và gọi là nhóm đối xứng trên 𝑛 phần tử. Nhóm 𝑆𝑛 là một nhóm hữu hạn
cấp 𝑛!.
Với 𝑛 > 2, ta đặt
∆𝑛 =

(𝑗 − 𝑖) ∈ 𝑍
1≤𝑖<𝑗 ≤𝑛


7

Xét tác động của 𝛼 ∈ 𝑆𝑛 trên ±∆𝑛 , được định nghĩa như sau:
𝛼 ∆𝑛 =

𝛼 𝑗 −𝛼 𝑖 ,

𝛼(− ∆𝑛 ) = −𝛼(∆𝑛 )

1≤𝑖<𝑗 ≤𝑛

Vì mỗi 𝛼 ∈ 𝑆𝑛 là một song ánh trên tập {1, 2, … , 𝑛}, nên mỗi
nhân tử của ∆𝑛 xuất hiện trong 𝛼(∆𝑛 ) đúng một lần với dấu ±1. Do đó,
𝛼 ∆𝑛 = ±∆𝑛 .
Định nghĩa 1.1.2.3 [1]
Kí số (hoặc dấu) của phép thế 𝛼, kí hiệu bởi 𝑠𝑔𝑛(𝛼), là số sau đây:
𝑠𝑔𝑛 𝛼 =

𝛼(∆𝑛 )
∆𝑛

∈ {−1, +1 }.

Nếu 𝑠𝑔𝑛 𝛼 = 1, thì ta nói 𝛼 là một phép thế chẵn. Trái lại, nếu
𝑠𝑔𝑛 𝛼 = −1, thì 𝛼 là một phép thế lẻ.
Mệnh đề 1.1.2.4 [1]
Tập 𝐴𝑛 gồm tất cả các phép thế chẵn trên tập {1, 2, … , 𝑛} là một
nhóm con của nhóm 𝑆𝑛 .
Nhóm 𝐴𝑛 có cấp

𝑛!
2

, được gọi là nhóm thay phiên trên 𝑛 phần tử.

Mệnh đề 1.1.2.5 [4]
Cho hai ma trận 𝐴 =

0
𝑖

𝑖
0

và 𝐵 =

𝜀
0

0
2
2 , với 𝑖 = −1 và
𝜀

𝜀 ≠ 1 là một căn bậc ba của đơn vị. Khi đó nhóm con sinh bởi hai phần tử
𝐴, 𝐵 là một nhóm khơng giao hốn cấp 12 của nhóm 𝐺𝐿(2, ℂ), ký hiệu
𝑆𝐺𝐿(2, ℂ).
Các phần tử của nhóm 𝑆𝐺𝐿(2, ℂ) thỏa mãn các hệ thức sau:
𝐵𝐴 = 𝐴𝐵 2 , 𝐵 2 𝐴 = 𝐴𝐵, 𝐴4 = 𝐼2 , 𝐵 3 = 𝐼2


8

1.2. CÁC ĐỊNH LÝ SYLOW VÀ KẾT QUẢ LIÊN QUAN.

Định nghĩa 1.2.1 [4]
Hai nhóm con 𝑆 và 𝑇 của một nhóm 𝐺 được gọi là liên hợp nếu tồn
tại 𝑔 ∈ 𝐺 sao cho 𝑔−1 𝑆𝑔 = 𝑇, trong đó 𝑔−1 𝑆𝑔 = {𝑔−1 𝑠𝑔 / 𝑠 ∈ 𝑆}.
Định nghĩa 1.2.2 [4]
Cho 𝐴 và 𝐵 là hai tập con khác rỗng của một nhóm 𝐺, và 𝐻 là một
nhóm con của 𝐺. Tập 𝐵 được gọi là 𝐻- liên hợp của 𝐴 nếu ∃𝑕 ∈ 𝐻 sao cho
𝑕−1 𝐴𝑕 = 𝐵. ( Nếu 𝐻 = 𝐺 thì 𝐴 và 𝐵 là liên hợp nhau ).
Bổ đề 1.2.3 [4]
Cho 𝐺 là nhóm hữu hạn, 𝐴 là tập con khác rỗng của 𝐺, và 𝐻 là
nhóm con của 𝐺. Khi đó, số các 𝐻- liên hợp phân biệt của 𝐴 bằng chỉ số của
𝑁𝐻 (𝐴) trong 𝐻, tức là [𝐻: 𝑁𝐻 (𝐴)].
Mệnh đề 1.2.4 [4]
Giả sử 𝒜 là một tập các tập con của nhóm 𝐺 và 𝐻 ≤ 𝐺. Trên 𝒜 ta
định nghĩa một quan hệ hai ngôi như sau: với 𝐴 và 𝐵 thuộc 𝒜, 𝐴~𝐵 nếu 𝐵 là
𝐻 - liên hợp của 𝐴. Khi đó, ~ là một quan hệ tương đương trên 𝒜.
Bổ đề 1.2.5 [4]
Giả sử 𝒜 là một tập hợp khác rỗng các tập con của nhóm 𝐺, 𝐻 ≤ 𝐺 .
Giả sử rằng với mỗi 𝐴 ∈ 𝒜 và với mỗi 𝑕 ∈ 𝐻 , 𝑕 −1 𝐴𝑕 ∈ 𝒜 . Kí hiệu ~ là một
quan hệ tương đương trên 𝒜, được định nghĩa như sau: 𝐴, 𝐵 ∈ 𝒜, 𝐴~𝐵 nếu
B là một 𝐻- liên hợp của 𝐴. Gọi ℛ là tập hợp tất cả đại diện của các lớp
tương đương. Khi đó
𝒜 =

[𝐻: 𝑁𝐻 𝑅 ]
𝑅∈ℛ


9

Hệ quả 1.2.6 [4]

Cho

𝑃

là

một tập con khác

rỗng của

nhóm

𝐺.

Đặt

𝒜 = {𝑔−1 𝑃𝑔/𝑔 ∈ 𝐺}; ℛ , 𝐻, và ~ được xác định như trong Bổ đề 1.2.5. Khi
đó
𝒜 =

[ 𝐻: 𝑁𝐻 𝑅 ] = [ 𝐺: 𝑁𝐺 𝑃 ]
𝑅∈ℛ

Hệ quả 1.2.7 [4]
Cho 𝒜 = { 𝐴 / 𝐴 ⊂ 𝐺, 𝐴 = 1 }, ~ là một quan hệ tương đương trên
𝒜 được định nghĩa như Bổ đề 1.2.5, với 𝐻 = 𝐺 và ℛ là, tập hợp các phần tử
đại diện của các lớp tương đương. Đặt
ℛ ∗ = { 𝑅 / 𝑅 ∩ 𝑍(𝐺) = ∅, 𝑅 ∈ ℛ }. Khi đó
𝐺 = 𝑍(𝐺) +

𝑅∈ℛ ∗

𝐺: 𝑁𝐺 𝑅

𝐺 = 𝑍(𝐺) +

𝑅∈ℛ ∗

𝐺: 𝐶 𝑅

, hệ thức này được gọi là phương trình

lớp của nhóm 𝐺.
Mệnh đề 1.2.8 [4]
Nếu 𝐺 là một 𝑝- nhóm hữu hạn, 𝐺 ≠ { 1 }, thì 𝑍(𝐺) ≠ { 1 }.
Hệ quả 1.2.9 [4]
Nếu 𝐺 là một nhóm có cấp 𝑝2 , với 𝑝 là một số ngun tố, thì 𝐺 là
nhóm giao hốn.
Mệnh đề 1.2.10 [4]
Giả sử 𝐺 là một nhóm có cấp 𝑝𝑟 , 𝑟 ≥ 1. Khi đó 𝐺 có một nhóm
con chuẩn tắc cấp 𝑝 𝑟−1 .
Hệ quả 1.2.11
Giả sử 𝐺 là một nhóm có cấp 𝑝𝑟 , 𝑟 ≥ 1, khi đó:


10

(i)

𝐺 là nhóm giải được.

(ii) 𝐺 là nhóm đơn khi và chỉ khi 𝑟 = 1
Định lý 1.2.12 [4] ( Định lý Sylow thứ nhất )
Giả sử 𝐺 là một nhóm hữu hạn, 𝑝 là một số nguyên tố và 𝑝 𝑟 là lũy
thừa cao nhất của 𝑝 chia hết cấp của 𝐺. Khi đó, tồn tại một nhóm con của 𝐺
có cấp là 𝑝𝑟 .
Chứng minh:
Giả sử 𝐺 = 𝑛. Ta sẽ chứng minh Định lý bằng quy nạp theo 𝑛.


Nếu 𝑛 = 1. Định lý hiển nhiên đúng.



Nếu 𝑛 > 1. Giả sử Định lý đúng với mọi nhóm có cấp nhỏ hơn 𝑛.
Đặt



𝑍(𝐺) = 𝑐.

Trường hợp 1: 𝑝 | 𝑐
Ta có, 𝑍 𝐺 là nhóm giao hốn, 𝑍 𝐺

= 𝑐, 𝑝 | 𝑐. Theo Mệnh đề 1.1.1.6

thì 𝑍 𝐺 có một phần tử cấp 𝑝. Gọi 𝑁 là nhóm con xyclic sinh bởi một phần
tử có cấp 𝑝 của

𝑍 𝐺 . Khi đó:

𝐺/𝑁 = 𝐺 / 𝑁 =

𝑛
𝑝

𝑁 = 𝑝, 𝑁 ≤ 𝑍(𝐺) và N ⊲ G,

< 𝑛.

Vì 𝑝𝑟 là lũy thừa cao nhất của 𝑝 chia hết 𝐺 nên 𝑝𝑟−1 là lũy thừa cao
nhất của 𝑝 chia hết 𝐺 / 𝑁 . Theo giả thiết quy nạp, tồn tại 𝐻 = 𝐻/𝑁 ≤ 𝐺/𝑁
sao cho 𝐻 = 𝑝𝑟−1 = 𝐻/𝑁 = 𝐻 / 𝑁 = 𝐻 / 𝑝. Suy ra 𝐻 = 𝑝𝑟 , 𝐻 ≤ 𝐺.


Trường hợp 2: 𝑝 ∤ 𝑐
Theo Hệ quả 1.2.7, ta có: 𝐺 = 𝑍(𝐺) +

𝑅∈ℛ ∗

Vì 𝑝 | 𝐺 , 𝑝 ∤ 𝑐 nên 𝑝 ∤ 𝑍(𝐺), và ta có 𝑝 ∤

𝐺: 𝐶𝐺 (𝑅) .

𝑅∈ℛ ∗

𝐺: 𝐶𝐺 (𝑅) . Do đó tồn

tại 𝑅 ∈ ℛ ∗ sao cho 𝑝 ∤ 𝐺: 𝐶𝐺 (𝑅) .
Mặt khác, 𝐺 = 𝐺: 𝐶𝐺 𝑅

𝑝𝑟 | 𝐺 ). Giả sử
𝑅∩𝑍 𝐺 =𝑅

. 𝐶𝐺 (𝑅) nên 𝑝 𝑟 | 𝐶𝐺 (𝑅) (vì theo giả thiết

𝐺 = 𝐶𝐺 (𝑅) , vì 𝐶𝐺 (𝑅) ⊂ 𝐺
(mâu

thuẫn

vì

𝑅 ∈ ℛ∗

nên

nên

𝐶𝐺 𝑅 = 𝐺. Suy ra

𝑅 ∩ 𝑍 𝐺 = ∅ ).

Vậy


11

𝐺 ≠ 𝐶𝐺 (𝑅) , nếu

𝐶𝐺 (𝑅) < 𝐺 . Theo giả thiết quy nạp, 𝐶𝐺 𝑅 có nhóm

con 𝐻 cấp 𝑝 𝑟 . Do đó 𝐻 cũng là nhóm con của 𝐺 và 𝐻 có cấp 𝑝𝑟 .
Theo nguyên lý quy nạp, Định lý đã được chứng minh.
Định lý 1.2.13 [4] ( Định lý Sylow thứ hai )
Giả sử 𝐻 là một nhóm con của nhóm hữu hạn 𝐺, và 𝑃 là một
𝑝- nhóm con Sylow của 𝐺. Nếu 𝐻 là một 𝑝- nhóm thì 𝐻 được chứa trong
một 𝐺- liên hợp của 𝑃.
Chứng minh:
Đặt 𝒜 = { 𝑔−1 𝑃𝑔/ 𝑔 ∈ 𝐺 }, theo Hệ quả 1.2.6 ta có:
𝒜 =

𝑅∈ℛ[

𝐻: 𝑁𝐻 𝑅 ] = [ 𝐺: 𝑁𝐺 𝑃 ].

Vì 𝑅~𝑃, nên 𝑅 là 𝑝 - nhóm con Sylow của G. Theo Mệnh đề 1.1.1.7
𝑁𝐻 𝑅 = 𝐻 ∩ 𝑅. Do đó
𝐺: 𝑁𝐺 𝑃

=

𝑅∈ℛ[𝐻: (𝐻

∩ 𝑅)].

Nếu 𝐻 ∩ 𝑅 ≠ 𝐻 với mọi 𝑅 ∈ ℛ, khi đó (

𝑅∈ℛ

𝐻: 𝐻 ∩ 𝑅

) ⋮ 𝑝, suy

ra [ 𝐺: 𝑁𝐺 𝑃 ] ⋮ 𝑝. Mà 𝑃 ≤ 𝑁𝐺 𝑃 , 𝑃 là 𝑝- nhóm con Sylow của 𝐺 nên
𝐺: 𝑁𝐺 𝑃

= 𝐺 / 𝑁𝐺 𝑃  𝑝 (mâu thuẫn).

Vậy, tồn tại 𝑅 ∈ ℛ sao cho 𝐻 ∩ 𝑅 = 𝐻, suy ra 𝐻 chứa trong 𝑅. Mà
𝑅 ∈ 𝒜 nên 𝑅 là 𝐺- liên hợp của 𝑃.
Vậy 𝐻 được chứa trong một 𝐺- liên hợp của 𝑃.
Định lý đã được chứng minh.
Định lý 1.2.14 [4] ( Định lý Sylow thứ ba )
(i)

Hai 𝑝- nhóm con Sylow bất kì của một nhóm hữu hạn 𝐺 đều là

𝐺- liên hợp với nhau.
(ii) Gọi 𝑠𝑝 là số các 𝑝- nhóm con Sylow phân biệt của 𝐺. Khi đó
𝑠𝑝 ≡ 1 (mod 𝑝).
(iii) Nếu 𝐺 = 𝑝2 𝑚, (𝑝, 𝑚) = 1, thì 𝑠𝑝 | 𝑚.
Chứng minh:
(i)

Giả sử 𝑃 và 𝑃’ là hai 𝑝- nhóm con Sylow của 𝐺.


12

Áp dụng Định lý 1.2.13, 𝑃’ được chứa trong một 𝐺- liên hợp 𝑅 của 𝑃.

Theo Mệnh đề 1.1.1.13, 𝑃′ = 𝑅 , do đó 𝑃’ = 𝑅. Vậy 𝑃’ là một 𝐺- liên
hợp của 𝑃.
(ii) Giả sử 𝑃 là một 𝑝- nhóm con Sylow bất kỳ của 𝐺.
Từ (i) suy ra rằng: Với mọi 𝑅 là 𝑝- nhóm con Sylow của 𝐺 thì 𝑅 là
𝐺 - liên hợp của 𝑃.
Ngược lại, với mọi 𝑅 là 𝐺- liên hợp của 𝑃 thì theo Mệnh đề 1.1.1.13 𝑅 là
𝑝- nhóm con Sylow của 𝐺. Theo Bổ đề 1.2.3, ta có
𝑠𝑝 = [ 𝐺: 𝑁𝐺 𝑃 ] =

𝑅∈ℛ

[ 𝑃: 𝑁𝑃 𝑅 ]

Mà 𝑅 là 𝑝- nhóm con Sylow của 𝐺 nên 𝑁𝑃 𝑅 = 𝑅 ∩ 𝑃. Do đó,
𝑠𝑝 =

𝑅∈ℛ

[ 𝑃: 𝑃 ∩ 𝑅 ].

Mặt khác, tồn tại duy nhất 𝑅1 ∈ ℛ sao cho 𝑅1 = 𝑃. Do đó với mọi
𝑅 ∈ ℛ, 𝑅 ≠ 𝑅1 thì 𝑅 ≠ 𝑃. Vì vậy 𝑃 ∩ 𝑅 ≠ 𝑃. Hơn nữa,
[ 𝑃: 𝑃 ∩ 𝑅 ] ⋮ 𝑝. Từ đó suy ra (
Vậy,

𝑠𝑝 = 𝑃: 𝑃 +

𝑅1 ≠𝑅∈ℛ

𝑅1 ≠𝑅∈ℛ

𝑃: 𝑃 ∩ 𝑅

𝑃: 𝑃 ∩ 𝑅

𝑃 ⋮ 𝑝 nên

) ⋮ 𝑝.

= 1 + 𝑘𝑝 ( 𝑘 ∈ ℕ ),

hay

𝑠𝑝 ≡ 1 (mod 𝑝).
(iii) Ta có: 𝑁𝐺 𝑃 ≤ 𝐺,
Suy ra

𝐺: 𝑁𝐺 𝑃

𝐺 = 𝐺: 𝑁𝐺 𝑃

. 𝑁𝐺 𝑃

= 𝐺 / 𝑁𝐺 𝑃 .
= 𝑠𝑝 . 𝑁𝐺 𝑃

hay 𝑠𝑝 | 𝐺 . Vì

𝑠𝑝 , 𝑝 = 1 nên 𝑠𝑝 |𝑚.
Định lý đã được chứng minh.

1.3 TÍCH TRỰC TIẾP CỦA HAI NHĨM.
Định nghĩa 1.3.1 [1]
Giả sử 𝐻 và 𝐾 là các nhóm (với luật hợp thành viết theo lối nhân).
Trên tập hợp tích Decartes 𝐻 × 𝐾 = { 𝑕, 𝑘 / 𝑕 ∈ 𝐻, 𝑘 ∈ 𝐾 }, ta định nghĩa
một phép toán như sau: 𝑕1 , 𝑘1 . 𝑕2 , 𝑘2 = 𝑕1 𝑕2 , 𝑘1 𝑘2 . Dễ dàng kiểm tra
được tập 𝐻 × 𝐾 với phép tốn ở trên là một nhóm.


13

Nhóm 𝐻 × 𝐾 gọi là tích trực tiếp của nhóm 𝐻 với nhóm 𝐾.
Nếu 𝐻, 𝐾 là hai nhóm giao hốn, thì 𝐻 × 𝐾 là nhóm giao hốn.
Nếu 𝐻, 𝐾 là hai nhóm hữu hạn, thì 𝐻 × 𝐾 = 𝐻 . 𝐾 .
Định lý 1.3.2 [4]
Nếu 𝐺 là một nhóm với hai nhóm con 𝐻 và 𝐾 sao cho 𝐻 ∩ 𝐾 = {1},
mọi phần tử của 𝐻 giao hoán với mọi phần tử của 𝐾 và 𝐻𝐾 = 𝐺. Khi đó
𝐺 ≅ 𝐻 × 𝐾.
Hệ quả 1.3.3 [4]
Cho 𝐺 là một nhóm với hai nhóm con chuẩn tắc 𝐻 và 𝐾, và giả sử
𝐻 ∩ 𝐾 = {1}, 𝐻𝐾 = 𝐺. Khi đó 𝐺 ≅ 𝐻 × 𝐾.
Mệnh đề 1.3.4 [4]
Nếu 𝐺 là nhóm hữu hạn với hai nhóm con 𝐻 và
𝐻𝐾 =

𝐻.𝐾
𝐻∩𝐾

𝐾 thì

.

Định lý 1.3.5 [4]
Cho 𝐺 là nhóm hữu hạn với hai nhóm con chuẩn tắc 𝐻 và 𝐾.
𝐻 . 𝐾 = 𝐺 . Khi đó , nếu 𝐻 ∩ 𝐾 = {1} hoặc 𝐻𝐾 = 𝐺 thì 𝐺 ≅ 𝐻 × 𝐾.
Định nghĩa 1.3.6 [4]
Cho 𝐺 là một nhóm và 𝐻, 𝐾 là các nhóm con chuẩn tắc của 𝐺. Nhóm 𝐺
được gọi là tích trực tiếp trong của 𝐻 và 𝐾 nếu:
(i)

𝐻𝐾 = 𝐺

(ii)

𝐻 ∩ 𝐾 = {1𝐺 }

Mệnh đề 1.3.7 [3]
Giả sử 𝑋 và 𝑌 lần lượt là nhóm xyclic cấp 𝑚 và 𝑛. Khi đó 𝑋 × 𝑌


14

là nhóm xyclic khi và chỉ khi 𝑚 và 𝑛 ngun tố cùng nhau.
Mệnh đề 1.3.8 [4]
Ta có: 𝐷3 × 𝐶2 ≅ 𝐷6 .


15

CHƢƠNG 2:

NHỮNG ỨNG DỤNG CỦA CÁC ĐỊNH LÝ SYLOW.

Chương này là phần chính của luận văn, trình bày một số ứng dụng của
các Định lý Sylow trong nhóm hữu hạn. Nội dung của chương được tham khảo
chủ yếu từ các tài liệu [4], [5], [7].
2.1 KHẢO SÁT TÍNH CHẤT CỦA MỘT SỐ LỚP NHĨM HỮU HẠN.
2.1.1. Nhóm hữu hạn bất kì.
Mệnh đề 2.1.1.1 [7]
𝑃 là 𝑝- nhóm con Sylow duy nhất của một nhóm hữu hạn 𝐺 nếu và
chỉ nếu 𝑃 là nhóm con chuẩn tắc của 𝐺.
Chứng minh:
Theo Định lý 1.2.14, 𝑃 là 𝑝- nhóm con Sylow duy nhất của 𝐺 tương
đương với: ∀𝑥 ∈ 𝐺, 𝑥 −1 𝑃𝑥 = 𝑃. Điều này có nghĩa là 𝑃 ⊴ 𝐺.
Mệnh đề 2.1.1.1 trên và Định lý 1.3.3 cho ta ba hệ quả sau.
Hệ quả 2.1.1.2 [6]
Giả sử 𝐺 là một nhóm cấp 𝑛 sao cho với mỗi ước nguyên tố 𝑝 của 𝑛,
𝐺 có duy nhất một 𝑝- nhóm con Sylow. Khi đó 𝐺 là tích trực tiếp của các
nhóm con Sylow của nó.
Hệ quả 2.1.1.3 [7]
Nếu 𝐺 là một nhóm giao hốn hữu hạn, thì 𝐺 là tích trực tiếp của các
nhóm con Sylow của nó.
Hệ quả 2.1.1.4
Giả sử 𝑝 là một số nguyên tố, và 𝐺 là một nhóm hữu hạn có duy nhất
một 𝑝- nhóm con Sylow. Khi đó 𝐺 khơng phải nhóm đơn.


16

2.1.2 Nhóm có cấp 𝒑𝒒, với 𝒑, 𝒒 là hai số nguyên tố.
Mệnh đề 2.1.2.1 [4]

Giả sử 𝐺 là một nhóm cấp 𝑝𝑞, với 𝑝, 𝑞 là hai số nguyên tố, 𝑝 < 𝑞.
Khi đó 𝐺 có duy nhất một 𝑞- nhóm con Sylow.
Chứng minh:
Theo Định lý 1.2.14, 𝑠𝑞 = 1 + 𝑘𝑞, 𝑘 ∈ ℕ, và 𝑠𝑞 | 𝑝. Vì 𝑝 < 𝑞 nên 𝑠𝑞 = 1,
nghĩa là 𝐺 có duy nhất một 𝑞- nhóm con Sylow.
Hệ quả 2.1.2.2
Giả sử 𝐺 là một nhóm cấp 𝑝𝑞, với 𝑝, 𝑞 là hai số nguyên tố. Khi đó
𝐺 là nhóm giải được và khơng phải là nhóm đơn.
Chứng minh:
Nếu 𝑝 = 𝑞, thì 𝐺 = 𝑝2 . Theo Hệ quả 1.2.11, 𝐺 giải được và khơng phải
nhóm đơn.
Nếu 𝑝 ≠ 𝑞, khơng mất tính tổng qt ta giả sử 𝑝 < 𝑞. Theo
Mệnh đề 2.1.2.1, 𝐺 có duy nhất một 𝑞- nhóm con Sylow 𝑄 cấp 𝑞.
Theo Mệnh đề 2.1.1.1, 𝑄 ⊴ 𝐺 , và do đó 𝐺 khơng phải nhóm đơn. Đồng
thời ta có dãy: 1 ≤ 𝑄 ≤ 𝐺, nên 𝐺 là nhóm giải được.
Mệnh đề 2.1.2.3 [4]
Nếu 𝐺 là nhóm có cấp 2𝑝, với 𝑝 nguyên tố lẻ, thì 𝐺 có duy nhất một
nhóm con cấp 𝑝. Hơn nữa, 𝐺 có đúng một nhóm con cấp 2 hoặc 𝐺 có 𝑝 nhóm
con cấp 2.
Chứng minh:
Gọi 𝑃 là 𝑝- nhóm con Sylow của 𝐺. Khi đó

𝑃 = 𝑝. Theo

Mệnh đề 2.1.2.1, 𝐺 có duy nhất một nhóm con cấp 𝑝.
Gọi 𝑄 là 2- nhóm con Sylow của 𝐺, khi đó 𝑄 = 2. Theo Định lý 1.2.14,


17

ta có 𝑠2 ≡ 1 ( mod 2 ) và 𝑠2 | 𝐺 = 𝑝. Suy ra 𝑠2 = 1 hoặc 𝑠2 = 𝑝.
Vậy, 𝐺 có đúng một nhóm con cấp 2 hoặc 𝐺 có 𝑝 nhóm con cấp 2.
2.1.3 Nhóm có cấp 𝒑𝟐 𝒒, với 𝒑, 𝒒 là hai số nguyên tố.
Mệnh đề 2.1.3.1 [4]
Nếu 𝐺 là một nhóm cấp 12, thì 𝐺 hoặc chứa một 2- nhóm con Sylow
chuẩn tắc hoặc một 3- nhóm con Sylow chuẩn tắc.
Chứng minh:
Theo Định lý 1.2.14, ta có 𝑠2 = 1 hoặc 𝑠2 = 3, và 𝑠3 = 1 hoặc 𝑠3 = 4.
Mỗi 3- nhóm con Sylow của 𝐺 có cấp 3, và giao của hai nhóm cấp 3 phân biệt
chỉ là phần tử đơn vị. Mỗi 2- nhóm con Sylow của 𝐺 có cấp 4. Nếu 𝑠3 = 4 thì
𝐺 có 8 phần tử cấp 3, do đó 𝑠2 = 1. Vậy hoặc 𝑠3 = 1 hoặc 𝑠2 = 1. Nghĩa là
hoặc 𝐺 chứa một 3- nhóm con Sylow chuẩn tắc hoặc một 2- nhóm con Sylow
chuẩn tắc.
Chú thích 2.1.3.2
Một ví dụ để minh họa cho mệnh đề trên là: Nhóm thay phiên 𝐴4 có
𝑠2 = 1 và 𝑠3 = 4; cịn nhóm 𝐷6 có 𝑠2 = 3 và 𝑠3 = 1 (xem Định lý 2.2.2.6).
Tổng quát Mệnh đề trên ta có Mệnh đề sau
Mệnh đề 2.1.3.3 [5]
Giả sử 𝐺 là một nhóm có cấp 𝑝2 𝑞, với 𝑝, 𝑞 là hai số nguyên tố phân
biệt, khi đó hoặc 𝐺 có một 𝑝- nhóm con Sylow chuẩn tắc, hoặc 𝐺 có một
𝑞- nhóm con Sylow chuẩn tắc.
Chứng minh:
Gọi 𝑃 và 𝑄 lần lượt là 𝑝- nhóm con Sylow và 𝑞- nhóm con Sylow của
nhóm 𝐺.


18



Trường hợp: 𝑝 > 𝑞
Theo Định lý 1.2.14, ta có 𝑠𝑝 = 1 + 𝑘𝑝, 𝑠𝑝 | 𝑞. Vì 𝑞 < 𝑝 nên 𝑠𝑝 = 1,

nghĩa là 𝑃 ⊴ 𝐺.


Trường hợp: 𝑝 < 𝑞
Nếu 𝑠𝑞 = 1, 𝑄 là nhóm con chuẩn tắc trong 𝐺.
Nếu 𝑠𝑞 > 1 thì 𝑠𝑞 = 1 + 𝑘𝑞 với 𝑘 là một số nguyên dương.
𝑠𝑞 chia hết cho 𝑝2 nên 𝑠𝑞 = 𝑝 hoặc 𝑠𝑞 = 𝑝 2 .
Vì 𝑝 < 𝑞 nên 𝑠𝑞 = 𝑝2 do đó 𝑘𝑞 = 𝑝2 − 1 = (𝑝 − 1)(𝑝 + 1).
Vì 𝑞 là số nguyên tố nên 𝑞 | 𝑝 − 1 hoặc 𝑞 | 𝑝 + 1. Mà 𝑝 < 𝑞 nên

𝑞 | 𝑝 + 1.
Từ đó suy ra 𝑝 = 2, 𝑞 = 3 và 𝐺 = 12.
Theo Mệnh đề 2.1.3.1 𝐺 có một nhóm con chuẩn tắc cấp 3, hoặc 𝐺 có
một nhóm con chuẩn tắc cấp 4.
Mệnh đề đã được chứng minh.
Hệ quả 2.1.3.4
Nếu 𝐺 là một nhóm có cấp 𝑝2 𝑞, với 𝑝, 𝑞 là hai số nguyên tố, thì 𝐺 là
nhóm giải được và khơng phải là nhóm đơn.
Chứng minh:
Nếu 𝑝 = 𝑞, 𝐺 = 𝑝3 , theo Hệ quả 1.2.11, 𝐺 là nhóm giải được và khơng
phải là nhóm đơn.
Nếu 𝑝 ≠ 𝑞, theo Mệnh đề 2.1.3.3, 𝐺 không phải là nhóm đơn, và ta có
{1} ⊴ 𝑃 ⊴ 𝐺 hoặc {1} ⊴ 𝑄 ⊴ 𝐺, với 𝑃, 𝑄 lần lượt là 2- nhóm con Sylow và
3- nhóm con Sylow của 𝐺. Vì các nhóm có cấp 𝑞, cấp 𝑝2 đều là nhóm giao
hốn (Hệ quả 1.2.9), nên 𝐺 giải được.