Đề thi HSG Toán 11 năm 2020 Trường THPT Nguyễn Xuân Ôn

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1007.14 KB, 10 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 1

SỞ GD VÀ ĐT NGHỆ AN

TRƯỜNG THPT NGUYỄN XUÂN ÔN

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2019 - 2020

MƠN TỐN 11

Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (6,0 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình sau:
a)



3sin 2

x



1 2sin





x

 

1 

sin 3

x



cos 2

x



sinx



0

3 2 3 2

20 6

17 5

3

6

3

5 (

3 8) 2

5x

3

5

12 x

y

x

y

x

y

x

y

x



 

 

 















Câu 2 (5,0 điểm)

a) Gọi S là tập tất cả các số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên
một số trong tập S. Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 45.

b) Cho dãy số (un) xác định bởi





3 2

1
2

( 1)

3 2 2 1 , *

n
n

u

n u

u n n n n N

n







 

     


Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un).
Câu 3 ( 5,0 điểm)

a) Cho tứ diện ABCD, trên hai cạnh AD và BC lần lượt lấy các điểm M và N sao cho
1

D 2

AM CN

M  NB  . Hai điểm E, F lần lượt thuộc BM và DN sao cho EF/ /AC. Tính tỉ số
EF
AC.
b) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với

AD

/ /

BC

và AD2BC. Gọi O là

giao điểm của AC và BD, điểm M thay đổi nằm trong hình thang sao cho OM khơng song song
với cạnh nào của hình thang. Qua M dựng đường thẳng song song với SO cắtcác mp(SAB), (SBC),
(SCD) và (SDA) lần lượt tại các điểm E, F, G và H.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 2
Câu 4 (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nhọn có M(3; 1) là
trung điểm cạnh BC, đường thẳng AC đi qua điểm E(1;3) . Điểm D(4; 2) đối xứng với A qua tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, điểm C thuộc đường thẳng d:

x



2 y

 

3

0

và có hồnh độ

dương. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

Câu 5 (2,0 điểm) Cho ba số không âm a, b, c thỏa mãn

a + b + c



0

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:





3 3

a

b

ac(a

c)

bc(b

c) 5abc

P

a

b

c



 

 



 

… Hết …

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 3
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG 2 NĂM HỌC 2019 - 2020 
(Đáp án gồm 5 trang)

Câu Nội dung Điểm

1a)



3sin 2

x



1 2sin





x

 

1



sin 3

x



cos 2

x



sinx



0

3.0

Ta có









(1) 3 sin 2 1 (2sin 1) 2cos 2 sin cos 2 0
3 sin 2 1 (2sin 1) cos 2 (2sin 1) 0

x x x x x

x x x x

     

1.0



2sin

1 



3 sin 2

1 cos 2



0 2sin

1 0

3 sin 2

cos 2

1 0

x

 







 

  



 



0.5
*

2

1

6 2sin

1 0

sinx

5

2

6 x

k

x

k









  



  

  

 





0.5
*

3 1 1

3 sin 2 cos 2 1 0 sin 2 cos 2

2 2 2

2 2

6 6 6

sin 2 sin

6 6

2 2

6 6 2

x x x x

x k x k

x

x k x k

    
 
    
      
        
 
   
       
          

 


0.75

Vậy PT đã cho có nghiệm

2 ,

,

6

2 x

 



k



x

  



k



x

 



k



k



0.25

1b)

3 2 3 2

20 6

17 5

3

6

3

5 (1)

(

3 8) 2

5x

3

5

12 (2)

x

y

x

y

x

y

x

y

x



 

 

 















3.0 
ĐK:
2
6 0
5 0

2 5 0

x
y
x x

  
  

  

Đặt
2
2
6 6
5
5

a x x a

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 4

Thay vào (1) ta có

2 2

3 3 2 2

2 2

20 17 3(6 ) 3(5 )

3 2 3 2 ( ) 3( ) 2 0

( Do 3( 3 ) 2 0)

a b a a b b

a a b b a b a ab b

a b a ab b

    

 

          

     

6  

x

5    

y

x

1

thế vào (2) ta có

1.0

3 2 3 2

( 3 3 8) 2 5 3 5( 1) 12

( 3 5) 2 5 3 5 2 5

x x x x x x x

       

       

0,25





3 2 3 2

(x 3x 5) 2x 5x 1 2x 5x x

       





3 2

2 5 1

3 5 . (2 5 1)

2 5 1

x x

x x x x x

x x

 

     

 

0,5

3 2

2x 5x 1 0

3x 5 2x 5x

x x x

   

 

    



5 33 9 33

4 4

2x 5x 1 0

5 33 9 33

4 4

x y

    

  




   

    

  



(thỏa mãn)

0.5

3 2 3

3x 5 2x 5x (2x 5) (2x 5)

x   x   x x   x x  (3)
với x0 Đặt ax x, b 2x5

ta có a2b2 ab  a b 0 vô nghiệm
với 2

x  Đặt ax x, b  2x 5

ta có  a2 b2 ab  a b 0 vô nghiệm

0.5

Câu 2 a) 3.0

Có 9.A97 1632960 số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau

Phép thử Chọn ngẫu nhiên một số trong tập S nên số phần tử không gian mẫu
là n( ) 1632960 

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 5

Một sô chia hết cho 45 khi số đó chia hết cho 9 và chia hết cho 5.

Ta có 0 1 2 ... 9    45 chia hết cho 9 nên để tạo một số có 8 chữ số đơi
một khác nhau thì ta lấy 8 chữ số trong 10 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 mà tổng
8 chữ số đó chia hết cho 9. Suy ra phải bỏ hai chữ số có tổng bằng 9. Tức là
bỏ đi một trong các bộ

 

0;9 ,

 

1;8 ,

 

2;7 ,

 

3;6 ,

 

4;5 .

Mặt khác vì số cần tìm chia hết cho 5 nên phải chứa 0 hoặc 5

0.75

TH1. Chỉ chứa một trong hai số 0 hoặc 5

- Loại bộ

 

0;9 . Chữ số cuối là 5 nên có 7! = 5040 số
- Loại bộ

 

4;5 . Chữ số cuối là 0 nên có 7! = 5040 số

0.75

TH2. Có cả hai bộ

 

0;9 và

 

4;5 .

Trong TH này ta loại một trong ba bộ

 

1;8 ,

 

2;7 ,

 

3;6 .
Chẳng hạn loại bộ

 

1;8 thì ta lập được 7! + 6.6! = 9360
Vậy TH này có 3.9360 = 28080

0.5

Vậy cả hai TH có 28080 + 2.5040 = 38160
Xác suất cần tìm 38160 53

1632960 2268

0.5

b)





3 2

1
2

( 1)

3 2 2 1 , *

n
n

u

n u

u n n n n N

n







       



2.0

Từ hệ thức truy hồi ta có

2
1

( 1)

3( 1)( 1)

3( 1)

1
n
n

n n

n u

u n n n

n
u u

n n
n n



    

    



0.25

2 3 3

1 1

3 3

3 3 3 ( 1) 2

1 1

( 1) 2

n n n n

n n

u u u u

n n n n

u u

n n

 



          

 

     



</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 6

Xét dãy số (vn) với n n 3

u

v n

n

 

Ta có vn1 vn 2 suy ra dãy số (vn) là một cấp số cộng có số hạng đầu
1

1 1 1

u

v    với công sai d = 2

0.5

1 ( 1). 1 ( 1).2 2 1

n

v   v n d   n  n 0.25

Suy ra 3 4 2

2 1 2

n

n n

u

v n n u n n n

n

        0.5

Câu 3 a) 2.0 điểm

0.25
Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt CD tại K

Ta có AC //(BMK) mà E thuộc (BMK) và EF//AC nên EF nằm trong
mp(BMK), do đó F là giao điểm của DN và (BMK)  F BKDN
Trong mp(BKM), từ F kẻ đường thẳng song với MK cắt BM tại E
Ta có hai điểm E, F cần tìm

0.5

Do 1

MD 2

AM CK CN

KD NB

   nên NK//BD Suy ra 1

D D 3

KF NK CK

FB  B  C 

0.5

3
4
EF BF

MK BK

   mà 2

3
MK

AC  Do đó

3 2 1

. .

4 3 2
EF EF MK

AC  MK AC  

0.75

F

B D

C

A

N

M

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 7
b) 3.0 điểm

Kẻ đường thẳng OM cắt AB, BC, CD và AD lần lượt tại I, K, L và N
Ta có mp (SMO) cắt các mp(SAB), (SBC), (SCD), (SDA) theo các giao
tuyến SI, SK, SL, SN.

Qua M kẻ đường thẳng song song với SO cắt các đường thẳng SI, SK, SL,
SN lần lượt tại các điểm E, F, G và H là các điểm cần dựng

0.5

Ta có MAB

OAB

ME IM S

SO  IO  S

0.5

Tương tự MBC
OBC

S
MF

SO  S ,

MCD
OCD

S
MG

SO  S , D

MAD
OA

MH S
SO  S

0.5

Ta có SOAD 4SOBC 2SOAB 2SOCD 4S1 0.5
Suy ra

D
D

1 1 1 1 1

2 4S

2 2 4

2 4S

2 2 4

MBC MAB MC MAD

OBC OAB OCD OAD

MBC MAB MC MAD ABCD

S S

MF ME MG MH

SO SO SO SO S S S S

S S S

S S S S S

      

     

1.0
E

H

L
I

O

A D

B C

S

K
N

G

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 8

Vậy MF2(MEMG)4MH 9SO

Câu 4 2.0

Gọi H là trực tâm tam giác ABC.

Ta có BH song song với CD vì cùng vng góc với AC

Tương tự CH song song với BD nên BDCH là hình bình hành.

0.5

Do M là trung điểm của BC nên M cũng là trung điểm của DH. Vậy H(2; 0) 0.25
Gọi C(3-2c; c) suy ra B(3+2c ; -c-2)

Ta có BH   



2c 1;c2



, EC 



2 2 ; c c3



. ( 2 1).(2 2 ) (c 2).(c 3) 5c 3 8
BH EC  c  c      c

0.5

BH ECnên 2

. 0 5 3 8 0 8

5
c
BH EC c c

c
 



     

 

Do C có hồnh độ dương nên C(5; -1), B(1; -1)

0.5

PT AH : x – 2 = 0 và PT AC : x + y = 4 suy ra tọa độ A(2 ; 2) 0.25

Câu 5 2.0

Đặt x a ,y b ,z c

a b c a b c a b c

  

     

Ta có x, y, z khơng âm và x + y + z = 1

0.5
H

I

C
B

A

D
M

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 9

3 3

3 3 2 2 2

P x y xz(x z) yz(y z) 5xyz
x y z(x y 5xy) z (x y)

      

      

Ta có





3 3

3 3 (x y) (1 z) 2 2 3 3 2

x y , x y 5xy x y (1 z)

4 4 4 4

 

          

0.5









2 2 2

1 z 3 5 3 1 1

P z 1 z z (1 z) z z

4 4 4 2 4 5



           0.5

1
5

P  khi và chỉ khi

x y z 1 x y

x y

3
z
3

z 5



      

  

 

  



  



Vậy GTNN của P là 1
5
 khi

3
c
a b

0.5

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 10

Website HOC247 cung cấp một mơi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh,
nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh 
nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các
trường chuyên danh tiếng.

I.

Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng
các khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học.

- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường

PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng

TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn.

II.

Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS
lớp 6, 7, 8, 9 u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở
các kỳ thi HSG.

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho
học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh Trình, TS. Trần Nam 
Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành
tích cao HSG Quốc Gia.

III.

Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các
môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham
khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi miễn
phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh.

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

</div>

Đề thi HSG Toán 11 năm 2020 Trường THPT Nguyễn Xuân Ôn



3sin 2

<i>x</i>



1 2sin





<i>x</i>

 

1



sin 3

<i>x</i>



cos 2

<i>x</i>



sinx



0

20 6

17 5

3

6

3

5

(

3

8) 2

5x

3

5

12

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>



<sub> </sub>

<sub> </sub>

<sub> </sub>

<sub></sub>























<i>AD</i>

/ /

<i>BC</i>

<i>x</i>



2

<i>y</i>

 

3

0

a + b + c



0





a

b

ac(a