Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Toán học: Đồ thị phẳng và bài toán tô màu bản đồ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG

ĐINH THỊ DỊU - C01055

ĐỒ THỊ PHẲNG VÀ
BÀI TỐN TƠ MÀU BẢN ĐỒ

Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp
Mã số: 8.46.01.13

TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2019


MỞ ĐẦU
Các sơ đồ giao thông, sơ đồ mạng lưới thông tin hay sơ đồ tổ
chức của một cơ quan, trường học đã khá quen thuộc với nhiều
người. Đó là những hình ảnh sinh động và cụ thể của một khái
niệm tốn học trừu tượng - khái niệm đồ thị.
Có thể hiểu đơn giản đồ thị là một cấu trúc toán học rời rạc,
bao gồm hai yếu tố đỉnh và cạnh, cùng mối quan hệ giữa chúng.
Đồ thị là một mơ hình tốn học cho nhiều vấn đề lý thuyết và
thực tiễn đa dạng.
Lý thuyết đồ thị đề cập tới nhiều bài tốn có ý nghĩa thực
tiến thiết thực, cùng nhiều phương pháp xử lý và thuật toán giải
độc đáo hiệu quả, giúp ích cho sự phát triển tư duy tốn học nói
chung và khả năng vận dụng trong cuộc sống thường ngày nói
riêng. Chủ đề về đồ thị cịn có trong các đề thi Olympic về tốn
học ở một số nước.

Đồ thị phẳng và bài tốn tơ màu bản đồ là một trong những
chủ đề quan trọng và hấp dẫn của lý thuyết đồ thị. Bài tốn tơ
màu cho đồ thị có nhiều tác dụng trong khoa học và đời sống,
được nhiều người quan tâm nghiên cứu và vận dụng. Chẳng hạn
tô màu bản đồ, xếp lịch học tập, lập kho chứa hóa chất, thiết
kế các bản mạch điện tử, bố trí các trạm truyền tin, xác lập các
tuyến xe buýt thành phố, v.v...
Đề tài luận văn cao học:
"Đồ thị phẳng và bài tốn tơ màu bản đồ"
nhằm mục đích tìm hiểu và trình bày một số kiến thức cơ bản
về đồ thị, đồ thị phẳng và các kết quả lý thuyết, các định lý liên
quan đến bài toán tô màu (tô đỉnh, tô cạnh và tô diện - tô màu
bản đồ) trên các loại đồ thị khác nhau, cách tô màu đỉnh, cạnh
và diện dựa trên các kết quả lý thuyết đã có và đề cập một số
ứng dụng thiết thực của bài tốn tơ màu trong thực tế.
Nội dung luận văn được viết trong ba chương.

1


Chương 1

Đồ thị phẳng và tính
chất
Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về đồ thị và đồ
thị phẳng. Mục 1.1 nhắc lại các khái niệm dùng trong lý thuyết
đồ thị và các phép toán trên đồ thị. Mục 1.2 nêu khái niệm về
đồ thị phẳng, tính chất đặc trưng của các đồ thị phẳng. Trong
chương dẫn ra nhiều ví dụ minh họa các khái niệm và kết quả đã
trình bày

1.1
1.1.1

Khái niệm cơ bản về đồ thị
Đồ thị vô hướng

Trong thực tế ta thường gặp các sơ đồ giao thơng (Hình 1.1)
hay sơ đồ mạch điện (Hình 1.2). Các sơ đồ này được khái quát
thành một sơ đồ vẽ ở Hình 1.34.

Hình 1.1: Sơ đồ
khu phố

Hình 1.2: Sơ đồ
mạch điện

2

Hình 1.3: Đồ thị đại
diện


Từ đó ta đi tới định nghĩa sau.
Định nghĩa 1.1. Đồ thị là một tập hợp hữu hạn và khác rỗng
các điểm, gọi là đỉnh, và một tập hợp các đoạn (thẳng hay cong)
nối liền một số cặp điểm này, gọi là cạnh của đồ thị (số cạnh
có thể bằng 0).
Mỗi đỉnh của đồ thị thường được ký hiệu bằng một chữ cái
(a, b, c . . .) hoặc một chữ số (1, 2, 3, . . .). Cạnh nối đỉnh i và đỉnh

j (i = j) được ký hiệu là (i, j) hoặc (j, i). Một đồ thị như thế
cịn có tên gọi là đồ thị vơ hướng và thường được ký hiệu bằng
một chữ cái in hoa (có thể kèm theo chỉ số), như G, G1 , G2 , H,
K, N ,. . .
Nếu đồ thị G có tập đỉnh là V và tập cạnh là E ⊆ V × V
thì ta viết G = (V, E). Ta dùng ký hiệu n = |V | là số đỉnh và
m = |E| là số cạnh của đồ thị (n > 0, m ≥ 0).
Để dễ hình dung, mỗi đồ thị thường được biểu diễn bởi một
hình vẽ trên mặt phẳng. Chẳng hạn, Hình 1.3 biểu diễn một đồ
thị có 5 đỉnh: a, b, c, d, e và 8 cạnh: (a, b), (a, d), (a, e), (b, c),
(b, d), (b, e), (c, d) và (d, e). Chú ý rằng điểm cắt nhau của hai
cạnh (a, d) và (b, e) trong hình vẽ khơng phải là một đỉnh của
đồ thị.
Đỉnh i gọi là kề đỉnh j nếu có một cạnh của đồ thị nối i với
j. Nếu ký hiệu cạnh này là e thì ta viết e = (i, j) và nói cạnh e
liên thuộc đỉnh i và đỉnh j. Ta cũng nói i và j là hai đầu mút
của e. Cạnh e và e gọi là kề nhau nếu e, e có chung đỉnh.
Định nghĩa 1.2. Bậc của một đỉnh v trong đồ thị là số cạnh
liên thuộc nó, ký hiệu là ρ(v). Đỉnh có bậc 0 gọi là đỉnh cơ lập,
đỉnh có bậc 1 gọi là đỉnh treo. Ví dụ trong đồ thị vẽ ở Hình 3
ta có ρ(a) = ρ(e) = 3, ρ(b) = ρ(d) = 4, ρ(c) = 2.
Dễ dàng chứng minh: Trong một đồ thị vô hướng, tổng số bậc
của mọi đỉnh bằng hai lần số cạnh của đồ thị và số đỉnh có bậc
lẻ bao giờ cũng là một số chẵn.
Cùng với bậc của đỉnh, ta còn dùng các khái niệm sau:
+ Bậc nhỏ nhất của G là số δ(G) := min{ρ(v)|v ∈ V }.
3


+ Bậc lớn nhất của G là số ∆(G) := max{ρ(v)|v ∈ V }.

+ Bậc trung bình của G là số
2m
d(G) := |V1 |
(trong đó n = |V |, m = |E|)
ρ(v) =
n
v∈V

Rõ ràng là δ(G) ≤ d(G) ≤ ∆(G).
Với đồ thị vẽ ở Hình 1.3 thì δ(G) = 2, ∆(G) = 4
và d(G) = 16
5 = 3, 2.

1.1.2

Các phép tốn trên đồ thị

Cho đồ thị vơ hướng G = (V, E) với tập đỉnh V , tập cạnh
E. Xét các phép tốn:
• Bỏ đỉnh. Với v ∈ V , ta ký hiệu G − v là đồ thị nhận được
từ G bằng cách bỏ đỉnh v và các cạnh liên thuộc v.
• Bỏ cạnh. Với e ∈ E, ta ký hiệu G − e là đồ thị nhận được
từ G bằng cách bỏ cạnh e (không bỏ hai đỉnh đầu mút của e).
• Co cạnh. Với e ∈ E, ta ký hiệu G \ e là đồ thị nhận được
bằng cách co cạnh e thành một điểm duy nhất. Hình 1.4 minh
họa các đồ thị G, G − e và G \ e.

Hình 1.4: Đồ thị G, cạnh e và các đồ thị G − e và G \ e tương ứng

• Đồ thị con của đồ thị G = (V, E) là đồ thị nhận được từ

G bằng cách bỏ một số đỉnh và một số cạnh của G. Lưu ý là khi
bỏ đi một đỉnh của đồ thị ta đồng thời bỏ đi tất cả các cạnh liên
thuộc đỉnh ấy, cịn khi bỏ đi một cạnh thì hai đỉnh đầu mút của
cạnh ấy vẫn được giữ nguyên.
Nói chính xác, H = (V , E ) là một đồ thị con của G = (V, E)
nếu V ⊆ V và E ⊆ E. Ta cũng nói G chứa H. Ta nói H là một
đồ thị con cảm sinh của G nếu H là một đồ thị con của G và
E = {(x, y) ∈ E : x, y ∈ V }. Ở đây H là đồ thị con của G sinh
bởi tập đỉnh V ⊆ V . Vì thế ta còn viết H = G[V ]. Đồ thị con
4


H = (V , E ) gọi là đồ thị con bao trùm của G nếu V = V ,
tức tập đỉnh của H và của G trùng nhau

1.1.3

Đồ thị đẳng cấu

Hai đồ thị G1 và G2 gọi là đẳng cấu nếu chúng có số đỉnh
và số cạnh như nhau và có phép tương ứng một - một giữa tập
đỉnh của G1 và G2 sao cho hai đỉnh được nối với nhau bởi một
cạnh trong đồ thị này khi và chỉ khi hai đỉnh tương ứng trong đồ
thị kia cũng được nối với nhau bởi một cạnh và ngược lại. Hình
1.5 vẽ các đồ thị đẳng cấu với đồ thị vẽ ở Hình 1.3. Các cạnh của
hai đồ thị ở Hình 1.5 chỉ gặp nhau ở đỉnh. Các đồ thị đẳng cấu
được xem là tương đương (là một)

Hình 1.5: Các đồ thị đẳng cấu với đồ thị ở hình 1.3

1.1.4

Phần bù của đơn đồ thị

Định nghĩa 1.3. Một đồ thị mà giữa hai đỉnh bất kỳ của nó có
khơng q một cạnh nối được gọi là một đơn đồ thị. Cho G là
một đơn đồ thị với tập đỉnh V , thì phần bù hay đồ thị bù
G của G là một đơn đồ thị, với cùng tập đỉnh V và hai đỉnh kề
nhau trong G khi và chỉ khi chúng khơng kề nhau trong G.

Hình 1.6: Phần bù G của đơn đồ thị G

Định nghĩa 1.4. Đường P từ đỉnh v tới đỉnh w là một dãy
liên tiếp các cạnh: (a0 , a1 ), (a1 , a2 ),. . . ,(ak−1 , ak ) với (ai−1 ,
5


ai ) ∈ E, a0 = v, ak = w và k ≥ 1, trong đó các đỉnh a0 , a1 ,. . . , ak
đều khác nhau. Để đơn giản, đôi khi ta viết P = {a0 , a1 , . . . , ak }
và nói đó là đường nối đỉnh v và đỉnh w. Đỉnh v gọi là đỉnh
đầu, đỉnh w gọi là đỉnh cuối của đường P . Một đường nối một
đỉnh với chính nó (đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối) gọi là một chu
trình. Độ dài của đường (chu trình) là số cạnh của đường (chu
trình) đó.
Ví dụ với đồ thị vẽ ở Hình 1.3, một đường nối đỉnh a và đỉnh
c là (a, e), (e, b), (b, c) hay viết gọn là {a, e, b, c}. Hai đường
khác từ a tới c là {a, e, d, c} và {a, b, c}. Đồ thị này có các
chu trình sau: {a, b, c, d, e, a}; {b, d, e, b},. . .

Hình 1.7: Đồ thị liên

thơng

Hình 1.8: Đồ thị không liên thông

Định nghĩa 1.5. Một đồ thị gọi là liên thơng nếu có đường
nối hai đỉnh bất kỳ của đồ thị. Trái lại, đồ thị gọi là không liên
thông. Đồ thị không liên thông sẽ bị tách thành một số đồ thị con
liên thông, đôi một khơng có đỉnh chung và cạnh chung. Mỗi đồ
thị con liên thông như thế gọi là một thành phần liên thơng.
Ví dụ đồ thị vẽ ở Hình 1.7 là liên thơng, cịn đồ thị vẽ ở Hình
1.8 là khơng liên thông (gồm 3 thành phần liên thông).
Định nghĩa 1.6. Một đồ thị khơng có chu trình gọi là một rừng.
Một rừng liên thông gọi là một cây, tức cây là một đồ thị liên
thơng và khơng có chu trình. Rừng có thể gồm nhiều thành phần
liên thơng khác nhau, mỗi thành phần liên thông là một cây. Như
vậy, rừng gồm nhiều cây. Đỉnh có bậc 1 trong cây gọi là một lá.
Đồ thị hình sao là một cây có duy nhất một đỉnh khơng phải
là lá.
Ví dụ phả hệ của một họ tộc là một cây (cây phả hệ).
6


Một số tính chất đặc trưng của cây: cây n đỉnh có đúng n − 1
cạnh, trong một cây, bao giờ cũng có một đường duy nhất nối
một cặp đỉnh bất kỳ của cây.

Hình 1.9: Ví dụ về rừng, cây và đồ thị hình sao

1.2

Đồ thị phẳng và cơng thức Euler

Mục này nêu khái niệm về đồ thị phẳng, ví dụ về hai đồ thị
không phẳng, định lý đặc trưng cho các đồ thị phẳng và nêu công
thức Euler liên hệ giữa số đỉnh, số cạnh và số diện của một đồ
thị phẳng, cùng các hệ quả có liên quan.
Định nghĩa 1.7. Một đồ thị G gọi là đồ thị phẳng nếu nó có
thể biểu diễn được trên một mặt phẳng (hay tương đương, trên
mặt cầu) sao cho ứng với mỗi đỉnh là một điểm và ứng với mỗi
cạnh là một đoạn thẳng hay cong và bất kỳ hai cạnh nào cũng
khơng có điểm chung khác các đầu mút của chúng.
Rừng hay cây (Hình 1.9) và hai đồ thị vẽ ở Hình 1.5 là các
đồ thị phẳng.
K. Wagner (1936) và I. Fáry (1948) đã chứng minh (độc lập
nhau) được rằng mọi đơn đồ thị phẳng có thể vẽ trên mặt phẳng
sao cho các cạnh là các đoạn thẳng.
Khi đó, mỗi miền mặt phẳng giới hạn bởi các cạnh và không
chứa đỉnh hoặc cạnh ở bên trong của nó, gọi là một diện của đồ
thị phẳng. Biên của một diện là tập hợp các cạnh giới hạn diện
đó. Hai diện khác nhau gọi là kề nhau khi nào biên của chúng
có ít nhất một cạnh chung (hai diện chỉ có đỉnh chung thì khơng
xem là kề nhau). Diện giới hạn bởi 3 cạnh gọi là một tam giác.
Rõ ràng mỗi đồ thị phẳng liên thơng đều có một diện vơ hạn
duy nhất, còn mọi diện khác đều là diện hữu hạn.
7


Ví dụ, một bản đồ địa lý khơng có đảo và khơng có khun
(tức cạnh nối một đỉnh với chính nó) là một đồ thị phẳng: mỗi
đỉnh là điểm chung của ít nhất ba đường biên giới (mọi đỉnh đều

có bậc ≥ 3), mỗi cạnh là một đoạn đường biên giới nối hai đỉnh
và mỗi diện là một nước.

Hình 1.10: a) và b).Ví dụ về đồ thị phẳng

Sau đây là hai ví dụ điển hình về các đồ thị khơng phẳng
a) Đồ thị 5 đỉnh và mọi cặp đỉnh đều kề nhau là một đồ thị khơng
phẳng xem hình 1.14.
b) Đồ thị biểu diễn ba nhà, ba giếng và các con đường nối mỗi
nhà với mỗi giếng là một đồ thị không phẳng .
Nhận xét rằng mọi đồ thị con của một đồ thị phẳng cũng đều
là đồ thị phẳng và một đồ thị mà chứa dù chỉ một đồ thị con
không phẳng ắt phải là một đồ thị không phẳng. Từ đó suy ra
rằng một đồ thị bất kỳ mà chứa đồ thị con thuộc một trong hai
loại đồ thị không phẳng vừa kể trên đương nhiên là một đồ thị
không phẳng. Thực ra, như sau đây sẽ thấy, các đồ thị con này
là nguyên nhân sinh ra các đồ thị không phẳng theo nghĩa, mỗi
đồ thị không phẳng phải chứa một trong hai loại đồ thị không
phẳng này.
Để phát biểu chính xác hơn, ta cần tới khái niệm về đồ thị
đồng cấu như sau.
Định nghĩa 1.8. Hai đồ thị gọi là đồng cấu nếu cả hai nhận
được từ cùng một đồ thị thứ ba bằng cách thêm các đỉnh bậc hai
vào các cạnh của đồ thị đó.
Chẳng hạn, hai đồ thị vẽ ở Hình 1.13 là đồng cấu nhau.
Khái niệm đồng cấu cho phép phát biểu kết quả quan trọng
sau đây, được biết với tên gọi định lý Kuratowski, nêu điều
kiện cần và đủ để một đồ thị là phẳng.
8