Bài soạn sáng kiến kinh nghiệm toán 7

Giúp học sinh lớp 8 giải các bài toán cực trị
A - đặt vấn đề
I. Lý do chọn đề tài :
Toán học có vị trí đặc biệt trong việc nâng cao và phát triển dân trí góp
phần tạo nên nguồn chất xám, nguồn tài nguyên quý nhất cho đất nớc toán học
không chỉ cung cấp cho con ngời những kỹ năng tính toán cần thiết mà còn rèn
luyện cho con ngời một khả năng t duy logic, một phơng pháp luận khoa học .
Toán học là tiền đề, là then chốt của mọi ngành khoa học khác
Để có thể phát triển khả năng t duy và sáng tạo trong việc học toán và giải
toán thì tìm ra kết quả một bài toán cha thể coi là kết thúc đợc mà phải tiến hành
khai thác mổ xẻ và phát triển bài toán đó .
Trong quá trình dạy học toán nói chung cũng nh quá trình dạy học giải toán
nói riêng ngời dạy cũng nh ngời học cần tạo cho mình một thói quen là: Sau khi
tìm đợc lời giải bài toán, dù là đơn giản hay phức tạp cần tiếp tục suy nghĩ, lật lại
vấn đề đó để tìm đễn kết quả mới hơn . Hãy luôn suy nghĩ đến việc khai thác bài
toán để sáng tạo ra bài toán mới trên cơ sở bài toán đã cho .
Chính vì lý do trên tôi chọn đề tài : Khai thác phát triển các bài toán
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau .
II. Mục đích :
Nhằm phát triển t duy logic và phơng pháp luận khoa học, phát triển óc thế
giới quan duy vật biện chứng và duy vật lịch sử . Thông qua đề tài hình thành cho
học sinh những năng lực thích ứng với những thay đổi trong thực tế để tự chủ, tự
lập trong lao động, trong cuộc sống . Kích thích trí tởng tợng gây hứng thú học
tập toán, góp phần rèn luyện phơng pháp học tập và rèn luyện có kế hoạch, khoa
học, chủ động, sáng tạo và linh hoạt .
III. Nội dung :
III.1. Tính chất dãy tỉ số bằng nhau :
Ngời thực hiện :
Phạm Thị Duyên
Giáo viên trờng THCS Quán Toan .
- 1 -

Giúp học sinh lớp 8 giải các bài toán cực trị
Từ
d
c
b
a
=
ta suy ra
db
ca
db
ca
d
c
b
a


=
+
+
==
với b d; b -d
Từ dãy tỉ số bằng nhau
f
e
d
c
b
a

==
ta suy ra :

fdb
eca
fdb
eca
f
e
d
c
b
a


=
++
++
===
III.2. Hệ thống các bài tập áp dụng :
A. Dạng 1: Các bài toán chứng minh :
1. Bài toán 1: ( Bài 73/14/SBT) :
Cho a,b,c 0 . Từ tỉ lệ thức
d
c
b
a
=
hãy rút ra tỉ lệ thức
c

dc
a
ba

=

Lời giải :
Từ tỉ lệ thức
d
c
b
a
=
d
b
c
a
=
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
dc
ba
d
b
c
a


==
Từ
c

a
dc
ba
=


ta suy ra :
c
dc
a
ba

=

Từ đâyta có thể phát biểu và chứng min bài toán tơng tự sau :
2. Bài toán 2 :
Cho a,b,c,d 0 . Từ tỉ lệ thức
d
c
b
a
=
hãy suy ra tỉ lệ thức :

c
dc
a
ba
+
=

+
Sau khi giải bài toán trên ta có bài toán tổng quát sau :
3. Bài toán 3 :
Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức
d
c
b
a
=
ta có thể suy ra tỉ lệ thức :
c
ndmc
a
nbma
+
=
+
Lời giải :
Ngời thực hiện :
Phạm Thị Duyên
Giáo viên trờng THCS Quán Toan .
- 2 -
Giúp học sinh lớp 8 giải các bài toán cực trị
Từ
d
c
b
a
=

d
b
c
a
=
. áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :

ndmc
nbma
nd
nb
mc
ma
d
b
c
a
+
+
====
Từ
c
ndmc
a
nbma
c
a
ndmc
nbma

++
=
+
=
+
+
Cũng từ bài toán 1 và 2 ta có thể giải bài toán :
4. Bài toán 4 :
Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức
d
c
b
a
=
( a b 0; c d 0 )
Ta có thể suy ra tỉ lệ thức :
dc
dc
ba
ba

+
=

+

Lời giải :
Từ
d
c

b
a
=


d
b
c
a
=
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau :
dc
ba
dc
ba
d
c
b
a


=
+
+
==
Từ
dc
dc
ba
ba

dc
ba
dc
ba

+
=

+



=
+
+
Đến đây ta có bài toán đảo của bài toán 4 :
5. Bài toán 5 :
Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức
dc
dc
ba
ba

+
=

+
1
Ta có thể suy ra tỉ lệ thức
d

c
b
a
=
Lời giải
Ta có
dc
dc
ba
ba

+
=

+
1
0
+
bbaba
Và c + d c d
d

0
dc
dc
ba
ba

+
=

+
dc
ba
dc
ba


=
+
+

Ta có
d
b
dcdc
baba
c
a
dcdc
baba
dc
ba
dc
ba
=
++
++
==
++

++
=


=
+
+
Ngời thực hiện :
Phạm Thị Duyên
Giáo viên trờng THCS Quán Toan .
- 3 -
Giúp học sinh lớp 8 giải các bài toán cực trị
Từ
d
b
c
a
=
với b 0 ; d 0 ta suy ra
d
c
b
a
=
Đặc biệt hoá bài toán 4; 5 khi a=d ta lại có bài toán sau :
6. Bài toán 6 :
Chứng minh rằng nếu a
2
= bc thì :
bc

bc
ba
ba

+
=

+
Điều đảo lại có đúng không ?
7. Bài toán 7 :
Cho
d
c
b
a
=
chứng minh rằng ta có thể suy ra tỉ lệ thức :
dc
dc
ba
ba
32
32
32
32
+

=
+

Lời giải
Từ
d
c
b
a
=


dc
ba
dc
ba
d
b
c
a
d
b
c
a
32
32
32
32
3
3
2
2
+

=
+
+
====
Ta có :
dc
dc
ba
ba
dc
ba
dc
ba
32
32
32
32
32
32
32
32
+

=
+


+

=
+
+
Từ đó ta có thể tổng quát hoá thành bài toán sau :
8. Bài toán 8 :
Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức
d
c
b
a
=
ta có thể suy ra tỉ lệ thức :
dncm
ndmc
bnam
nbma
''''
+
+
=
+
+
Lời giải
Từ
d
c
b
a
=

dncm
bnam
dn
bn
cm
am
ndmc
nbma
nd
nb
mc
ma
d
b
c
a
''
''
'
'
'
'
+
+
===
+
+
====
Từ

dncm
ndmc
bnam
nbma
dncm
bnam
ndmc
nbma
''''''
''
+
+
=
+
+

+
+
=
+
+
9. Bài toán 9 :
Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức
d
c
b
a
=
ta có thể suy ra tỉ lệ thức :
Ngời thực hiện :

Phạm Thị Duyên
Giáo viên trờng THCS Quán Toan .
- 4 -
Giúp học sinh lớp 8 giải các bài toán cực trị
22
22
dc
ba
cd
ab


=
Lời giải
Từ tỉ lệ thức
d
c
b
a
=
22
22
2
2
2
2
dc
ba
cd
ab

d
b
c
a
d
b
c
a


====
Bài toán 9 tơng tự bài toán sau :
10. Bài toán 10 :
Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức
d
c
b
a
=
ta có thể suy ra tỉ lệ thức :

22
22
2
2
dc
ba
c
a

=
và ta có bài toán đảo của bài toán 10 .
11. Bài toán 11 :
Chứng minh rằng:Từ tỉ lệ thức
22
22
2
2
dc
ba
c
a


=
ta có thể suy ra tỉ lệ thức
d
c
b
a
=
Lời giải
Ta có
2
2
222
222
22
22

2
2
d
b
dcc
baa
dc
ba
c
a
=
+
+
=


=
Suy ra
d
b
c
a
d
b
c
a
=

=






22
hay
d
c
b
a
=
Khai thác bài toán 11 dẫn đến bài toán tổng quát sau :
12. Bài toán 12 :
Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức
kk
kk
kk
kk
dc
ba
dc
ba
22
22

22
22


=
+
+
( k

N )
Ta suy ra đợc
d
c
b
a
=
13. Bài toán 13 :
Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức
d
c
b
a
=
Ngời thực hiện :
Phạm Thị Duyên
Giáo viên trờng THCS Quán Toan .
- 5 -