Gián án Bài toán thể tích hay và khó

Trường THPT Đốc Binh kiều
Môn HÌNH HỌC 12 Nâng Cao
Tài liệu toán 12A1
DẠNG HÌNH CHÓP ĐÁY TAM GIÁC
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, có
, 3AB a AC a= =
,
SBC là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi I là trung điểm BC.
a. Chứng minh SI vuông góc với mp(ABC).
b. Tính thể tích S.ABC theo a.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác đều cạnh a, SA=2a, SA vuông góc với
đáy, M và N là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC.
a. Tính thể tích S.ABC
b. Tính thể tích A.BCNM
Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác vuông cân đỉnh B, AB=a, SA=2a, SA
vuông góc với đáy. Mặt phẳng qua A vuông góc với SC cắt SB, SC tại H và K.
a. Chứng minh BC vuông góc với mp(SAB)
b. Chứng minh
2 2 2
AH HK AK+ =
c. Tính thể tích S.ABC và thể tích S.AHK
Bài 4: Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và đáy là
60
0
, O là hình chiếu của S trên mp(ABC)
a. Tính thể tích S.ABC
b. Gọi M là trung điểm SC. Tính thể tích khối ABOM.
Bài 5: Cho điểm M nằm trong tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng a. Chứng minh
rằng tổng các khoảng cách từ M tới bốn mặt của hình tứ diện là một số không phụ thuộc vào
vị trí của điểm M.
Bài 6: Cho khối chóp S.ABC. Một mặt phẳng (P) cắt các cạnh SA, SB và SC của hình chóp

lần lượt tại A’, B’ và C’. Chứng minh rằng:
/ / /
/ / /
.
.
. .
S A B C
S ABC
V
SA SB SC
V SA SB SC
=
Bài 7: Chứng minh rằng có phép vị tự tỉ số k biến tứ diện ABCD thành tứ diện A
/
B
/
C
/
D
/
thì
/ / / /
3
A B C D
ABCD
V
k
V
=
Bài 8: Cho tứ diện đều ABCD có O là tâm của tam giác BCD. I là trung điểm của AO. Mặt

phẳng (IBC) chia khối chóp ABCD làm hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
Bài 9: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh AD vuông góc với mp(ABC),
4AC AD cm
= =
,
AB=3cm, BC=5cm. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mp(BCD).
Bài 10: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AD là đường cao và AB=2, AC=4. Trên đường
thẳng vuông góc với mp(ABC) tại A lấy điểm S sao cho SA=6. Gọi E, F là trung điểm của
SB, SC và H là hình chiếu của A trên EF.
a. Chứng minh H là trung điểm của SD.
b. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ACE).
c. Tính thể tích hình chóp A.BCEF
Biên soạn : ĐOÀN QUỐC VINH 12A1 1
Trường THPT Đốc Binh kiều
Môn HÌNH HỌC 12 Nâng Cao
Tài liệu toán 12A1
Bài 11: Cho hình chóp O.ABC có các cạnh OA=OB=OC=a và vuông góc với nhau từng đôi
một. Gọi H là hình chiếu của điểm O lên mp(ABC) và các điểm A’, B’, C’ lần lượt là hình
chiếu của H lên các mặt phẳng (OBC), (OCA) và (OAB).
a. Tính thể tích tứ diện HA’B’C’
b. Gọi S là điểm đối xứng của H qua O. Chứng tỏ S.ABC là tứ diện đều.
Bài 12: Cho tứ diện ABCD và điểm M là điểm nằm trong của tứ diện đó. Gọi h
A
, h
B
, h
C
, h
D

lần lượt là khoảng cách từ điểm A, B, C, D đến các mặt đối diện, còn m
A
, m
B
, m
C
, m
D
lần
lượt là khoảng cách từ điểm M đến (BCD), (ACD), (ABD) và (ABC). Chứng minh:
1
C
A B D
A B C D
m
m m m
h h h h
+ + + =
Bài 13: Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, các cạnh bên tạo
với mặt đáy một góc 60
0
. Hãy tính thể tích khối chóp đó.
Bài 14: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA=2a và SA
vuông góc với mp(ABC). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường
thẳng SB, SC. Tính thể tích của khối A.BCNM
Bài 15: Cho tứ diện ABCD và các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, BD, AC sao
cho BC=4BM, AC=3AP, BD=2BN. Mặt phẳng (MNP) cắt AD tại Q. Tính tỷ số
AQ
AD
và tỷ

số thể tích hai phần của khối tứ diện ABCD được chia bởi mp(MNP).
Bài 16: Cho hình chóp S.ABCD có hai tam giác ABC và SBC là hai tam giác đều cạnh a,
góc giữa cạnh SA và mp(ABC) bằng 60
0
. Tính thể tích khối chóp S. ABC theo a
Bài 17: Cho hình chóp S.ABC có mp(SBC) vuông góc với mp(ABC), góc giữa hai mặt còn
lại và mp(ABC) bằng 45
0
, biết tam giác ABC vuông cân tại A. Tính thể tích khối S.ABC
theo a (biết AB=a).
Bài 18: Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có chiều cao bằng h và góc
·
ASB 2
ϕ
=
. Tính thể
tích khối chóp S.ABC
Bài 19: Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C và
( )
SA ABC⊥
,
SC=a. Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) để thể tích khối chóp lớn nhất.
Bài 20: Khối chóp S.ABC có
( )
SA ABC⊥
, tam giác ABC cân tại A, độ dài trung tuyến AD
bằng a, cạnh bên SB tạo với đáy một góc
α
, và tạo với mặt (SAD) một góc
β

. Tính thể tích
khối chóp S.ABC
Bài 21: Tính thể tích khối tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau:
AB CD a
AC BD b
AD BC c
= =


= =


= =

Bài 22: Cho tứ diện ABCD. Gọi d là khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD,
α
là
góc giữa hai đường thẳng đó. Chứng minh rằng:
1
. . .sin
6
ABCD
V AB CD d
α
=
Biên soạn : ĐOÀN QUỐC VINH 12A1 2
Trường THPT Đốc Binh kiều
Môn HÌNH HỌC 12 Nâng Cao
Tài liệu toán 12A1
Bài 23: Cho đường tròn đường kính AB nằm trên mp(P) và một điểm M di động trên đường

tròn. Trên đường thẳng vuông góc với mp(P) tại A, lấy một điểm S, mặt phẳng (Q) qua A
vuông góc với SB tại K cắt SM tại H. Xác định vị trí của M để thể tích khối chóp S.AHK lớn
nhất. Chứng minh rằng khi đó cung
¼
AM
nhỏ hơn cung
¼
BM
.
Bài 24: Cho điểm M trên cạnh SA, điểm N trên cạnh SB của khối chóp tam giác S.ABC sao
cho
1
2
SM
MA
=
và
2
SN
NB
=
. Mặt phẳng (Q) qua MN và song song với SC chia khối chóp thành
hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó.
Bài 25: Cho tứ diện ABCD có điểm O nằm trong tứ diện và cách đều các mặt của tứ diện
một khoảng r. Gọi h
A
, h
B
, h
C

và h
D
lần lượt là khoảng cách từ các điểm A, B, C và D đến các
mặt đối diện. Chứng minh
1 1 1 1 1
A B C D
r h h h h
= + + +
Bài 26: Cho hình chóp tam giác S.ABC và M là một điểm nằm trong tam giác ABC. Các
đường thẳng qua M song song với SA, SB, SC lần lượt cắt các mặt phẳng (BSC), (CAS),
(ABS) tại A’, B’ và C’. Chứng minh:
a.
/
.
.
M BCS
S ABC
V
MA
V SA
=
b.
/ / /
MA MB MC
SA SB SC
+ +
không đổi. Tìm tổng đó.
Bài 27: Cho đường tròn đường kính AB=2R nằm trong mặt phẳng (P) và một điểm M nằm
trên đường tròn đó sao cho
·

MAB
α
=
. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A, lấy điểm S
sao cho SA=h. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SM và SB.
a. Chứng minh
( )
SB mp KHA
⊥
b. Gọi I là giao điểm của HK với (P). Hãy chứng minh AI là tiếp tuyến của đường tròn đã
cho.
c. Cho h=2R,
0
30
α
=
. Hãy tính thể tích khối chóp S.KHA
Bài 28: Cho cạnh bên của hình chóp O.ABC đôi một vuông góc với nhau và OA=a, OB=b,
OC=c. Tính thể tích của khối lập phương nằm trong hình chóp này mà một đỉnh trùng với O
và ba cạnh cùng xuất phát từ O nằm trên OA, OB, OC còn đỉnh đối diện với O thuộc
mp(ABC).
Bài 29: Trên nửa đường tròn đường kính AB=2R, lấy một điểm C tùy ý (C khác A và B). Kẽ
CH AB⊥

( )
H AB∈
, Gọi I là trung điểm của CH. Trên nửa đường thẳng It vuông góc với
mp(ABC), lấy điểm S sao cho
·
0

90ASB =
a. Chứng minh rằng khi C chạy trên nửa đường tròn đã cho thì
a1. Mặt phẳng (SAB) cố định.
a2. Điểm cách điều S, A, B, I chạy trên một đường thẳng cố định.
Biên soạn : ĐOÀN QUỐC VINH 12A1 3
Trường THPT Đốc Binh kiều
Môn HÌNH HỌC 12 Nâng Cao
Tài liệu toán 12A1
b. Cho AH=x. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo R và x. Tìm vị trí của C để thể tích đó
lớn nhất.
Bài 30: Cho tứ diện ABCD
a. Chứng minh nếu chân H của đường cao của hình tứ diện xuất phát từ A trùng với trực
tâm của tam giác BCD và nếu
AB AC
⊥
thì
AC AD
AD AB
⊥


⊥

b. Giả sử BC=CD=BD, AB=AC=AD. Gọi H là chân đường cao của hình tứ diện xuất
phát từ A, J là chân của đường vuông góc hạ từ H xuống AD. Đặt AH=h, HJ=d. Tính thể
tích của hình tứ diện ABCD theo d và h.
DẠNG HÌNH CHÓP ĐÁY TỨ GIÁC
Bài 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và cạnh đáy
là 60
0

, O là hình chiếu của S trên đáy.
a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD
b. Mặt phẳng (P) qua A vuông góc với SC cắt SB, SC và SD lần lượt tại B’, C’ và D’ và
/
2
3
SB
SB
=
. Chứng minh BD vuông góc (SAC), (P) song song BD và B’D’ // BD.
c. Tính
/ / / /
.
.
S A B C D
S ABCD
V
V
và
/ / / /
.S A B C D
V
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hai mặt phẳng (SAB) và
(SAD) cùng vuông góc với đáy,
3SB a
=
a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD
b. Gọi G là trọng tâm của tam giác SAC. Tính thể tích khối chóp G.ABCD
Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a. Góc giữa mặt bên và đáy là 60
0

.
a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD
b. Trên hai cạnh SB và SD lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho
2
SM SN
BM DN
= =
. Tìm
giao điểm P của mp(AMN) và SC. Tính tỉ số
SP
CP
c. Tính thể tích S.AMNP
Bài 4: Cho khối chóp đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a
a. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a và
α
với
α
là góc hợp bởi cạnh bên và
mặt đáy.
b. Tính thể tích khối lăng trụ ngoại tiếp khối chóp S.ABCD
Biên soạn : ĐOÀN QUỐC VINH 12A1 4
Trường THPT Đốc Binh kiều
Môn HÌNH HỌC 12 Nâng Cao
Tài liệu toán 12A1
c. Mặt phẳng
( )
β
qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC và SD lần lượt tại B’, C’ và D’
và
/

1
3
BB
SB
=
. Chứng minh trực tâm H của tam giác SAC thuộc
( )
mp
β
. Tính tỉ số
/ / /
.
.
S AB C D
S ABCD
V
V
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là vuông cạnh a, tam giác SAB cân tại S nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy, góc giữa SC và đáy là 30
0
, I là trung điểm AB.
a. Chứng minh rằng SI vuông góc với mp(ABCD)
b. Tính thể tích khối chóp S.ABCD
c. Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB, mp(CDG) cắt SA, SB tại M, N. Tính thể tích
khối ABCDMN
Bài 6: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với các cạnh
1
AB=BC=CD=
2
AD

, tam giác SBD là tam giác vuông nằm trên mặt phẳng vuông góc với
đáy, có các cạnh góc vuông SB=8a, SD=15a.
a. Xác định hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD) và tính khoảng cách từ S đến
mp(ABCD)
b. Tính thể tích V
S.ABCD
c. Tính thể tích V
S.ABC

Bài 7: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc
·
0
45SAC =
. Tính thể tích của
khối chóp S.ABCD
Bài 8: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi B’, D’ lần lượt là trung
điểm của SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tìm tỉ số thể tích của hai khối
S.AB’C’D’ và S.ABCD
Bài 9: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD mà khoảng cách từ đỉnh A đến mp(SBC) bằng
2a. Với giá trị nào của góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp thì thể tích của khối chóp
nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất ấy.
Bài 10: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB=a,
2SA a=
. Gọi M, N và P lần lượt là
trung điểm của cạnh SA, SB và CD. Chứng minh đường thẳng MN vuông góc với đường
thẳng SP. Tính theo a thể tích của khối tứ diện AMNP
Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB=AD=2a,
CD=a, góc giữa hai mp(SBC) và mp(ABCD) bằng 60
0
. Gọi I là trung điểm của cạnh AD.

Biết hai mp(SBI) và mp(SCI) cung vuông góc với mp(ABCD). Tính thể tích khối S.ABCD
theo a
Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của
các cạnh SB, BC, CD. Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối CMNP.
Biên soạn : ĐOÀN QUỐC VINH 12A1 5