Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (746.25 KB, 10 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
SỞ GD VÀ ĐT NGHỆ AN
<b>TRƯỜNG THPT NGUYỄN XUÂN ÔN </b>
<b>ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI </b>
<b>NĂM HỌC: 2019 – 2020 </b>
<b>MƠN: TỐN 11 </b>
<i>Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) </i>
<b>Câu 1 (6</b><i>,0 điểm</i>) Giải phương trình và hệ phương trình sau:
a)
3 2 3 2
<b>Câu 2 (5,0</b><i> điểm</i>)
a) Gọi S là tập tất cả các số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số
trong tập S. Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 45.
b) Cho dãy số (<i>un</i>) xác định bởi
1
3 2
1
2
( 1)
3 2 2 1 , *
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>u</i>
<i>n</i> <i>u</i>
<i>u</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>N</i>
<i>n</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
Tìm số hạng tổng quát của dãy số (<i>un</i>).
<b>Câu 3 ( 5,0</b><i> điểm</i><b>) </b>
a) Cho tứ diện ABCD, trên hai cạnh AD và BC lần lượt lấy các điểm M và N sao cho 1
D 2
<i>AM</i> <i>CN</i>
<i>M</i> <i>NB</i> .
Hai điểm E, F lần lượt thuộc BM và DN sao cho <i>EF</i> / /<i>AC</i>. Tính tỉ số <i>EF</i>
<i>AC</i> <b>. </b>
b) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với
Chứng minh rằng: <i>MF</i>2(<i>ME</i><i>MG</i>)4<i>MH</i> 9<i>SO</i>.
<b>Câu 5 (</b><i>2,0 điểm</i>) Cho ba số không âm a, b, c thỏa mãn
3 3
3
… Hết …
<b>ĐÁP ÁN </b>
<b>Câu </b> <b>Nội dung </b>
<b>1a) </b>
*
*
3 1 1
3 sin 2 cos 2 1 0 sin 2 cos 2
2 2 2
2 2
6 6 6
sin 2 sin
7
6 6
2 2
6 6 2
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>k</i> <i>x</i> <i>k</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>k</i> <i>x</i> <i>k</i>
<sub></sub> <sub> </sub> <sub> </sub>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub>
Vậy PT đã cho có nghiệm
<b>1b) </b>
3 2 3 2
ĐK:
2
6 0
5 0
2 5 0
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<sub></sub> <sub></sub>
Đặt
2
2
6 6
5
5
<i>a</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>a</i>
<i>y</i> <i>b</i>
<i>b</i> <i>y</i>
<sub></sub>
Thay vào (1) ta có
2 2
3 3 2 2
2 2
20 17 3(6 ) 3(5 )
3 2 3 2 ( ) 3( ) 2 0
( Do 3( 3 ) 2 0)
<i>a</i> <i>b</i> <i>a a</i> <i>b b</i>
<i>a</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>a b</i> <i>a</i> <i>ab b</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>ab</i> <i>b</i>
<sub></sub> <sub></sub>
3 2 3 2
3 2 3 2
( 3 3 8) 2 5 3 5( 1) 12
( 3 5) 2 5 3 5 2 5
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
3 2 3 2
(<i>x</i> 3<i>x</i> 5) 2<i>x</i> 5<i>x</i> 1 2<i>x</i> 5<i>x</i> <i>x</i>
3 2
2
2 5 1
3 5 . (2 5 1)
2 5 1
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
2
3 2
2x 5x 1 0
3x 5 2x 5x
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
2
5 33 9 33
4 4
2x 5x 1 0
5 33 9 33
4 4
<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>
<sub> </sub> <sub> </sub>
<sub> </sub> <sub> </sub>
(thỏa mãn)
3 2 3
3x 5 2x 5x (2x 5) (2x 5)
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x x</i> (3)
với <i>x</i>0 Đặt <i>a</i><i>x x</i>, <i>b</i> 2<i>x</i>5
ta có <i>a</i>2<i>b</i>2 <i>ab</i> <i>a</i> <i>b</i> 0 vô nghiệm
với 2
5
<i>x</i> Đặt <i>a</i><i>x</i> <i>x</i>, <i>b</i> 2<i>x</i> 5
ta có <i>a</i>2 <i>b</i>2 <i>ab</i> <i>a</i> <i>b</i> 0 vô nghiệm
Một sô chia hết cho 45 khi số đó chia hết cho 9 và chia hết cho 5.
Ta có 0 1 2 ... 9 45 chia hết cho 9 nên để tạo một số có 8 chữ số đơi một khác nhau
thì ta lấy 8 chữ số trong 10 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 mà tổng 8 chữ số đó chia hết cho 9.
Suy ra phải bỏ hai chữ số có tổng bằng 9. Tức là bỏ đi một trong các bộ
Mặt khác vì số cần tìm chia hết cho 5 nên phải chứa 0 hoặc 5
TH1. Chỉ chứa một trong hai số 0 hoặc 5
- Loại bộ
TH2. Có cả hai bộ
Trong TH này ta loại một trong ba bộ
Vậy TH này có 3.9360 = 28080
Vậy cả hai TH có 28080 + 2.5040 = 38160
Xác suất cần tìm 38160 53
1632960 2268
<b>b) </b>
1
3 2
1
2
( 1)
3 2 2 1 , *
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>u</i>
<i>n</i> <i>u</i>
<i>u</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>N</i>
<i>n</i>
Từ hệ thức truy hồi ta có
2
1
2
1
( 1)
3( 1)( 1)
3( 1)
1
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i> <i>u</i>
<i>u</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i>
<i>u</i> <i>u</i>
<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
2 3 3
1 1
3 3
1
3 3 3 ( 1) 2
1 1
( 1) 2
1
<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
<i>u</i> <i>u</i> <i>u</i> <i>u</i>
<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
<i>u</i> <i>u</i>
<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
Xét dãy số (vn) với
3
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>u</i>
<i>v</i> <i>n</i>
<i>n</i>
Ta có <i>vn</i>1 <i>vn</i> 2 suy ra dãy số (vn) là một cấp số cộng có số hạng đầu
1
1 1 1
1
<i>u</i>
<i>v</i> với
công sai d = 2
1 ( 1). 1 ( 1).2 2 1
<i>n</i>
<i>v</i> <i>v</i> <i>n</i> <i>d</i> <i>n</i> <i>n</i>
Suy ra <i>n</i> 3 2 1 4 2 2
<i>n</i> <i>n</i>
<i>u</i>
<i>v</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>u</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i>
<b>Câu 3 </b> <b>a) 2.0 điểm </b>
Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt CD tại K
Ta có AC //(BMK) mà E thuộc (BMK) và EF//AC nên EF nằm trong mp(BMK), do đó F là
Trong mp(BKM), từ F kẻ đường thẳng song với MK cắt BM tại E
Ta có hai điểm E, F cần tìm
Do 1
MD 2
<i>AM</i> <i>CK</i> <i>CN</i>
<i>KD</i> <i>NB</i>
<b> nên NK//BD Suy ra </b> 1
D D 3
<i>KF</i> <i>NK</i> <i>CK</i>
<i>FB</i> <i>B</i> <i>C</i>
3
4
<i>EF</i> <i>BF</i>
<i>MK</i> <i>BK</i>
<b> mà </b> 2
3
<i>MK</i>
<i>AC</i> <b> Do đó </b>
3 2 1
. .
4 3 2
<i>EF</i> <i>EF MK</i>
<i>AC</i> <i>MK AC</i>
<i><b>F</b></i>
<i><b>B</b></i> <i><b><sub>D</sub></b></i>
<i><b>C</b></i>
<i><b>A</b></i>
<i><b>N</b></i>
<i><b>M</b></i>
Kẻ đường thẳng OM cắt AB, BC, CD và AD lần lượt tại I, K, L và N
Ta có mp (SMO) cắt các mp(SAB), (SBC), (SCD), (SDA) theo các giao tuyến SI, SK, SL,
SN.
Qua M kẻ đường thẳng song song với SO cắt các đường thẳng SI, SK, SL, SN lần lượt tại
các điểm E, F, G và H là các điểm cần dựng
Ta có <i>MAB</i>
<i>OAB</i>
<i>ME</i> <i>IM</i> <i>S</i>
<i>SO</i> <i>IO</i> <i>S</i>
Tương tự <i>MBC</i>
<i>OBC</i>
<i>S</i>
<i>MF</i>
<i>SO</i> <i>S</i> <b>, </b>
<i>MCD</i>
<i>OCD</i>
<i>S</i>
<i>MG</i>
<i>SO</i> <i>S</i> <b>, </b> <sub>D</sub>
<i>MAD</i>
<i>OA</i>
<i>MH</i> <i>S</i>
<i>SO</i> <i>S</i>
Ta có <i>S<sub>OAD</sub></i>4<i>S<sub>OBC</sub></i> 2<i>S<sub>OAB</sub></i> 2<i>S<sub>OCD</sub></i> 4<i>S</i><sub>1</sub>
Suy ra
D
D
1 1 1 1 1
2S
2 4S
2 2 4
2S
2 4S
9
2 2 4
<i>MBC</i> <i>MAB</i> <i>MC</i> <i>MAD</i>
<i>OBC</i> <i>OAB</i> <i>OCD</i> <i>OAD</i>
<i>MBC</i> <i>MAB</i> <i>MC</i> <i>MAD</i> <i>ABCD</i>
<i>S</i> <i>S</i>
<i>MF</i> <i>ME</i> <i>MG</i> <i>MH</i>
<i>SO</i> <i>SO</i> <i>SO</i> <i>SO</i> <i>S</i> <i>S</i> <i>S</i> <i>S</i>
<i>S</i> <i>S</i> <i>S</i>
<i>S</i> <i>S</i> <i>S</i> <i>S</i> <i>S</i>
<i><b>E</b></i>
<i><b>H</b></i>
<i><b>L</b></i>
<i><b>I</b></i>
<i><b>O</b></i>
<i><b>A</b></i> <i><b><sub>D</sub></b></i>
<i><b>B</b></i> <i><b>C</b></i>
<i><b>S</b></i>
<i><b>K</b></i>
<i><b>N</b></i>
<i><b>G</b></i>
Gọi H là trực tâm tam giác ABC.
Ta có BH song song với CD vì cùng vng góc với AC
Tương tự CH song song với BD nên BDCH là hình bình hành.
Do M là trung điểm của BC nên M cũng là trung điểm của DH. Vậy H(2; 0)
Gọi C(3-2c; c) suy ra B(3+2c ; -c-2)
Ta có <i>BH</i>
2
. ( 2 1).(2 2 ) (c 2).(c 3) 5c 3 8
<i>BH EC</i> <i>c</i> <i>c</i> <i>c</i>
<i>BH</i> <i>EC</i>nên 2
1
. 0 5 3 8 0 <sub>8</sub>
5
<i>c</i>
<i>BH EC</i> <i>c</i> <i>c</i>
<i>c</i>
Do C có hồnh độ dương nên C(5; -1), B(1; -1)
PT AH : x – 2 = 0 và PT AC : x + y = 4 suy ra tọa độ A(2 ; 2)
<b>Câu 5 </b>
Đặt <i>x</i> <i>a</i> ,<i>y</i> <i>b</i> ,<i>z</i> <i>c</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
Ta có <i>x, y, z</i> không âm và <i>x + y + z = </i>1
3 3
3 3 2 2 2
P x y xz(x z) yz(y z) 5xyz
x y z(x y 5xy) z (x y)
<i><b>H</b></i>
<i><b>I</b></i>
<i><b>C</b></i>
<i><b>B</b></i>
<i><b>A</b></i>
<i><b>D</b></i>
<i><b>M</b></i>
2 <sub>2</sub> <sub>2</sub>
1 z 3 5 3 1 1
P z 1 z z (1 z) z z
4 4 4 2 4 5
1
5
<i>P</i> khi và chỉ khi
1
x y z 1 <sub>x</sub> <sub>y</sub>
5
x y
3
z
3
z 5
5
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub> </sub>
Vậy GTNN của P là 1
5
khi
3
Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm,
<b>giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên </b>
danh tiếng.
<b>I.</b> <b>Luyện Thi Online</b>
-<b>Luyên thi ĐH, THPT QG:</b> Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng
xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh
Học.
-<b>Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: </b>Ơn thi <b>HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các </b>
trường <i>PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An</i> và các trường
Chuyên khác cùng <i>TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức </i>
<i>Tấn.</i>
<b>II.</b> <b>Khoá Học Nâng Cao và HSG </b>
-<b>Toán Nâng Cao THCS:</b> Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chuyên dành cho các em HS
THCS lớp 6, 7, 8, 9 u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG.
-<b>Bồi dưỡng HSG Tốn:</b> Bồi dưỡng 5 phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành
cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: <i>TS. Lê Bá Khánh Trình, TS. </i>
<i>Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn</i> cùng
đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia.
<b>III.</b> <b>Kênh học tập miễn phí</b>
-<b>HOC247 NET:</b> Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả
các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu
tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.
<i><b> Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90% </b></i>
<i><b>Học Toán Online cùng Chuyên Gia </b></i>