Ứng dụng lý thuyết đồ thị trong giải toán phổ thông

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
¾¾¾¾¾¾¾¾¾

LÊ BÌNH LONG

ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ
TRONG GIẢI TỐN PHỔ THƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2017


ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
¾¾¾¾¾¾¾¾¾

LÊ BÌNH LONG

ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ
TRONG GIẢI TỐN PHỔ THƠNG

Chun ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. CAO VĂN NUÔI

Đà Nẵng – Năm 2017

LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên của luận văn em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng
dẫn TS. Cao Văn Ni đã tận tình hướng dẫn em trong suốt q trình thực hiện để
em có thể hồn thành được luận văn này.
Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến tất cả các thầy cô giáo đã tận
tình dạy bảo em trong suốt thời gian học tập của khóa học.
Đồng thời cũng xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo và đồng nghiệp trường
THPT chuyên Lê Thánh Tông, Quảng Nam đã tạo điều kiện, giúp đỡ và động viên
em trong quá trình học tập.

LÊ BÌNH LONG


LỜI CAM ĐOAN
Tơi cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn
của TS. Cao Văn Nuôi.
Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai
công bố trong bất kỳ cơng trình nào khác.
Tác giả luận văn

LÊ BÌNH LONG


MỤC LỤC
1. Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . .

1

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . .

1

4. Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài . . . . . . . . . . . . .

2

6. Cấu trúc của luận văn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Chương 1. ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG

3

1.1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG . . . . . . . . . .

3

1.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2. Ví dụ về đồ thị vô hướng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.3. Đồ thị đẳng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.4. Dùng ma trận để biểu diễn đồ thị . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.5. Đồ thị con, đồ thị thành phần, đồ thị sinh . . . . . . . . . .

6

1.2. CÁC YẾU TỐ CƠ BẢN CỦA ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG . . . . . . . .

7

1.2.1. Bậc của đỉnh trong đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.2. Đường đi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.3. Liên thông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.4. Chu trình của đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.5. Chỉ số ổn định trong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.2.6. Sắc số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.3. MỘT SỐ ĐỒ THỊ ĐƠN VÔ HƯỚNG . . . . . . . . . . . . . . . .

17


1.3.1. Đồ thị đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.3.2. Đồ thị đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.3.3. Đồ thị lưỡng phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.3.4. Cây và bụi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.3.5. Đồ thị phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

Chương 2. ĐỒ THỊ CÓ HƯỚNG

25

2.1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ SỞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.1.1. Định nghĩa đồ thị có hướng . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.1.2. Bậc, nửa bậc vào, nửa bậc ra . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.1.3. Dây chuyền - liên thông . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.2. MỘT SỐ ĐỒ THỊ CÓ HƯỚNG ĐẶC BIỆT . . . . . . . . . . . . .

27

2.2.1. Đồ thị phản chu trình

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.2.2. Turnier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

Chương 3. ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ TRONG GIẢI TỐN
PHỔ THƠNG

33

3.1. DẤU HIỆU SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ VÀ CÁCH CHUYỂN
TỪ BÀI TOÁN BAN ĐẦU SANG BÀI TOÁN ĐỒ THỊ . . . . . .

33

3.1.1. Dấu hiệu cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

3.1.2. Phương pháp chuyển đổi mơ hình . . . . . . . . . . . . . .

33

3.2. ỨNG DỤNG CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA ĐỒ THỊ . . . . . .

34

3.3. ỨNG DỤNG CÁC TÍNH CHẤT VỀ ĐƯỜNG ĐI, CHU TRÌNH . .

38

3.4. TÔ MÀU ĐỒ THỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

3.5. ÁP DỤNG GIẢI MỘT SỐ ĐỀ THI . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70


QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao)

1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong những năm gần đây, bài tốn Tổ hợp ln có mặt trong đề thi chọn học
sinh giỏi Quốc gia, đề thi Olympic khu vực và Quốc tế. Một trong những công cụ
mạnh để giải quyết bài toán Tổ hợp là Lý thuyết đồ thị.
Hiện nay, Lý thuyết đồ thị cũng được Bộ giáo dục quy định là một chuyên đề
phải dạy chuyên sâu đối với học sinh chuyên Toán bậc trung học phổ thông, là
một nội dung được quy định trong kỳ thi học sinh giỏi cấp Quốc gia. Tài liệu về
Lý thuyết đồ thị đã được một số tác giả quan tâm biên soạn song ít chú trọng vào
phương pháp đồ thị hóa các bài tốn.
Với mong muốn có một tài liệu tương đối đầy đủ về Lý thuyết đồ thị để giảng
dạy cho học sinh chuyên Toán, cùng với sự hướng dẫn của Thầy giáo Cao Văn
Nuôi, tôi đã chọn đề tài : « Ứng dụng Lý thuyết đồ thị trong giải Tốn phổ thơng »
cho luận văn thạc sĩ của mình.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
- Hệ thống các kiến thức về Lý thuyết đồ thị được dùng trong chương trình
Tốn phổ thơng.
- Xây dựng phương pháp vận dụng Lý thuyết đồ thị trong giải Tốn phổ thơng
.
- Nâng cao trình độ chun mơn nghiệp vụ để phục vụ cho công tác giảng dạy,
bồi dưỡng học sinh giỏi.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Nghiên cứu các nội dung cơ bản của Lý thuyết đồ thị được sử dụng trong kỳ
thi học sinh giỏi quốc gia: tính chất cơ bản của đồ thị vơ hướng và có hướng, tính
chất cơ bản của đường đi và chu trình Euler, đường đi và chu trình Hamilton, định
lý Turan; các vận dụng tính chất của đồ thị, tơ màu đồ thị, các bài tốn tổ hợp có
thể giải được bằng Lý thuyết đồ thị .

- Ngoài ra, luận văn cũng đề cập đến một số bài toán đồ thị thuần túy có sử
dụng các kiến thức cơ bản của đồ thị.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Phân tích, tổng hợp các tài liệu để tìm hiểu những vấn đề liên quan đến đề
tài.


2
- Sưu tầm các đề thi học sinh giỏi Toán Quốc gia, khu vực và quốc tế có liên
quan đến Lý thuyết đồ thị.
- Hệ thống hóa lý thuyết và các đề thi đã thu thập.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Đề tài có thể sử dụng như là tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi, tài liệu tham khảo
dành cho học sinh chuyên Toán, sinh viên và giáo viên giảng dạy Toán quan tâm
đến Lý thuyết đồ thị.
6. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia thành 3 chương.
Chương 1: Tác giả trình bày các kiến thức cơ bản về đồ thị vơ hướng.
Chương 2: Tác giả trình bày các kiến thức cơ bản về đồ thị có hướng.
Chương 3: Tác giả trình bày một số dấu hiệu sử dụng phương pháp đồ thị và
cách chuyển từ bài tốn ban đầu sang bài tốn đồ thị, các ví dụ minh họa và áp
dụng giải một số đề thi.


3
CHƯƠNG 1

ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG

1.1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG

1.1.1. Định nghĩa 1.1. Một đồ thị vô hướng (hữu hạn) là một tập hợp hữu
hạn các điểm (gọi là đỉnh của đồ thị) cùng với tập hợp các đoạn đường cong hay
thẳng (gọi là cạnh của đồ thị) có các đầu mút tại các đỉnh của đồ thị. Đồ thị thường
được ký hiệu là G=(V;E) với V là tập đỉnh và E là tập cạnh của đồ thị.
Các đỉnh của đồ thị thường được ký hiệu bằng các chữ cái A, B, C,... hoặc
đánh số thứ tự 1, 2, 3, ...Cạnh nối hai đỉnh A, B được ký hiệu là AB hoặc BA.
Nếu có nhiều cạnh cùng nối hai điểm thì ta gọi các cạnh này là cạnh kép hay
cạnh song song.
Nếu hai đầu mút của một cạnh trùng nhau thì ta gọi cạnh này là khuyên.
Hai đỉnh A, B được gọi là kề nhau nếu chúng được nối bởi một cạnh. Một
đỉnh không là đầu mút của cạnh nào cả thì được gọi là đỉnh cơ lập.
Một đồ thị vơ hướng khơng có khun và khơng có cạnh kép được gọi là đồ
thị đơn.
1.1.2. Ví dụ về đồ thị vơ hướng
Hình 1.1 cho một đồ thị vơ hướng có 4 đỉnh A, B, C, D và 4 cạnh AB, BC,
CD, DA. Đồ thị được biểu diễn bởi 2 cách khác nhau.

Hình 1.1: đồ thị vơ hướng


4
Trong hình 1.2, đồ thị có 4 đỉnh A, B, C, D trong đó: AA là khuyên, cạnh AB
là cạnh song song, C là đỉnh treo, D là đỉnh cô lập.

Hình 1.2: ví dụ về khun, cạnh song song, đỉnh cô lập, đỉnh treo.
1.1.3. Đồ thị đẳng cấu
Định nghĩa 1.2. Hai đồ thị G1 (V1 ; E1 ) và G2 (V2 ; E2 ) được gọi là đẳng cấu với
nhau (được coi chỉ là một đồ thị) nếu tồn tại một song ánh f : V1 → V2 sao cho hai
đỉnh A và B kề nhau trong G1 khi và chỉ khi f (A), f (B) kề nhau trong G2 .
Nhận xét. Nếu hai đồ thị đẳng cấu với nhau thì chúng có cùng số đỉnh và số

cạnh. Điều ngược lại khơng đúng.
Ví dụ. Hình 1.3 và hình 1.4.
1.1.4. Dùng ma trận để biểu diễn đồ thị
Định nghĩa 1.3. Cho đồ thị vơ hướng G(V ; E) có n đỉnh là A1 , A2 , ..., An . Ma
trận kề của G là ma trận vuông A = (ai j )nxn trong đó ai j là số cạnh (khuyên) nối
Ai với A j .
Nhận xét. Từ định nghĩa trên ta suy ra ma trận kề của đồ thị vô hướng ln
đối xứng qua đường chéo chính và phụ thuộc vào cách đánh số thứ tự các đỉnh.
Ma trận kề của đồ thị đơn là ma trận 0 - 1, tức là ma trận chỉ có các số 0 và 1.
Ví dụ. Đồ thị cho ở hình 1.5 có biểu diễn là ma trận kề như hình 1.6.
Định nghĩa 1.4. Cho đồ thị vơ hướng G(V ; E) có n đỉnh là A1 , A2 , ..., An và
có m cạnh là e1 , e2 , ..., em . Ma trận liên thuộc của G là ma trận A = (ai j )nxm trong
đó ai j bằng 0 nếu cạnh e j không chứa đỉnh Ai và ai j bằng 1 nếu cạnh e j chứa đỉnh
Ai .


5

Hình 1.3: Ví dụ về hai đồ thị đẳng cấu.

Hình 1.4: Ví dụ về hai đồ thị có cùng số đỉnh và số cạnh nhưng khơng đẳng cấu.

Hình 1.5:

Hình 1.6:

Nhận xét. Ma trận liên thuộc phụ thuộc vào cách đánh thứ tự các đỉnh và các
cạnh.

6
Ví dụ. Đồ thị ở hình 1.7 có ma trận liên thuộc như hình 1.8.

Hình 1.7: Đồ thị

Hình 1.8: Ma trận liên thuộc.

1.1.5. Đồ thị con, đồ thị thành phần, đồ thị sinh
Định nghĩa 1.5. Cho đồ thị G1 (V1 ; E1 ). Đồ thị G2 (V2 ; E2 ) được gọi là đồ thị
con của G nếu V2 ⊆ V1 và E2 ⊆ E1 .
Định nghĩa 1.6. Cho đồ thị G2 (V2 ; E2 ) là đồ thị con của đồ thị G1 (V1 ; E1 ).
G2 được gọi là đồ thị thành phần của G1 nếu mọi cạnh của G1 nối 2 đỉnh của G2
cũng là cạnh của G2 .
Định nghĩa 1.7. Cho đồ thị G1 (V1 ; E1 ) và V2 ⊆ V1 . Ta gọi đồ thị thành phần
G2 của G1 với tập đỉnh V2 là đồ thị sinh ra bởi tập đỉnh V2 trong G1 , ký hiệu là
G1 [V2 ].
Ví dụ. Đồ thị K5 trong hình 1.9 có đồ thị con là đồ thị có các cạnh được tơ
đậm và 4 đỉnh nằm trên các cạnh đó. Nếu thêm vào đồ thị con này hai cạnh a và b
thì ta được đồ thị thành phần.

Hình 1.9: Đồ thị K5


7

1.2. CÁC YẾU TỐ CƠ BẢN CỦA ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG
1.2.1. Bậc của đỉnh trong đồ thị
Trong phần này ta luôn giả sử đồ thị được ký hiệu là G(V ; E)
Định nghĩa 1.8. Bậc của đỉnh trong đồ thị là số cạnh xuất phát từ đỉnh đó (các
khuyên được tính gấp đơi). Bậc của đỉnh A trong đồ thị G(V ; E) được ký hiệu là

deg(A), dG (A) hoặc d(A). Bậc nhỏ nhất của đỉnh trong đồ thị G(V ; E) ký hiệu là
δ (G), bậc lớn nhất của đỉnh trong đồ thị G(V ; E) ký hiệu là ∆(G) .
Nhận xét. Từ định nghĩa trên ta có: Bậc của đỉnh là số ngun khơng âm, đỉnh
treo có bậc là 1, đỉnh cơ lập có bậc là 0.
Ví dụ. Đồ thị G trong hình 1.10 có d(A) = 0, d(B)3, d(C) = 2, d(D) = 3, δ (G) =
0, ∆(G) = 3 .

Hình 1.10:
Định lý 1.1 [1]. Trong đồ thị vô hướng G(V ; E), tổng số bậc của tất cả các
đỉnh bằng hai lần số cạnh.
Chứng minh. Thật vậy, mỗi cạnh AB được tham gia tính 1 lần bậc của A và 1 lần
bậc của B. Do đó tổng số bậc của đỉnh gấp đôi số cạnh của đồ thị.
Nhận xét. Vì tổng số bậc bằng hai lần số cạnh nên tổng số bậc của các đỉnh
trong một đồ thị bao giờ cũng là số chẵn.
Hệ quả 1.2 [1]. Số đỉnh bậc lẻ của đồ thị vô hướng là số chẵn.
Chứng minh. Gọi V1 là tập đỉnh có bậc lẻ, V2 là tập đỉnh có bậc chẵn. Theo định
lý trên ta có:
∑ d(v) + ∑ d(v) = 2 |E|. Vì 2 |E| chẵn, ∑ d(v) chẵn nên ∑ d(v) chẵn. Mặt
v∈V1

v∈V2

v∈V2

v∈V1


8
khác vì d (v) lẻ với v ∈ V1 nên trong tổng ∑ d(v) phải có chẵn các số hạng hay
v∈V1

trong V1 phải có chẵn đỉnh lẻ.
Từ hệ quả trên ta nhận thấy nếu đồ thị G có lẻ đỉnh thì số đỉnh bậc chẵn phải
là số lẻ.
Định lý 1.3 [3]. Trong mọi đồ thị đơn n đỉnh (n ≥ 2) bao giờ cũng có ít nhất
hai đỉnh cùng bậc.
Chứng minh. Thật vậy, trong đồ thị đơn n đỉnh thì khơng thể có đồng thời một
đỉnh (A chẳng hạn) bậc 0 và một đỉnh (B chẳng hạn) bậc (n – 1). Bởi vì nếu B có
bậc (n – 1) thì B là đầu mút của (n – 1) cạnh nối B với (n – 1) đỉnh cịn lại, trong
đó có A, do đó A khơng thể có bậc là 0. Ngược lại nếu A có bậc là 0 thì A khơng
nối với B nên B có bậc nhiều nhất là (n – 2). Khi đó ta có n đỉnh, mỗi đỉnh chỉ có
thể là một trong (n – 1) bậc (từ 0 đến (n – 2) hoặc từ 1 đến (n – 1)). Vì vậy theo
ngun tắc Dirichlet phải có ít nhất hai đỉnh cùng bậc .
Tổng quát hơn ta có định lý sau:
Định lý 1.4 [3]. Nếu một đồ thị đơn n đỉnh (n > 2) có 2 đỉnh cùng bậc thì đồ
thị phải có đúng 1 đỉnh bậc 0 hoặc một đỉnh bậc (n − 1).
Chứng minh. Trước hết, ta có nếu đồ thị G có hai đỉnh cùng bậc thì bậc đó khơng
thể là 0 hoặc (n – 1). Thậy vậy, nếu G có hai đỉnh cùng bậc và là bậc 0 (các đỉnh
khác có bậc đơi một khác nhau) thì khi loại bỏ hai đỉnh cơ lập này đi ta được một
đồ thị G’ có (n – 2) đỉnh có bậc đơi một khác nhau, điều này trái với định lý 1.3
nói trên. Cịn nếu G có hai đỉnh cùng bậc là (n – 1) thì đồ thị bù G” của G có hai
đỉnh cùng bậc 0 và các đỉnh khác có bậc đơi một khác nhau, điều này không xảy
ra do trái với định lý 1.3.
Như vậy, G phải có đúng hai đỉnh cùng bậc là k (k = 0 và k = (n − 1)). Suy ra
G phải có đúng một đỉnh bậc 0 hoặc có đúng một đỉnh bậc (n – 1) (nếu khơng thì
G phải có hai đỉnh nữa có cùng bậc j = k, trái giả thiết).
Định lý 1.5 [7]. Cho đồ thị G(V ; E). Khi đó ta có: ∑ (d(X) + d(Y )) =
XY ∈E

∑ d 2 (X).

X∈V

Chứng minh. Gọi X là đỉnh tùy ý trong G. Giả sử các đỉnh kề với X là V1 ,V2 , ...,Vn .
Khi đó d (X) = n và các cạnh XV1 , XV2 ,..., XVn . Do đó:
[d(X) + d(V1 )] + [d(X) + d(V2 )] + ... + [d(X) + d(Vn )]
= nd(X) + d(V1 ) + d(V2 ) + ... + d(Vn ) = d 2 (X) + d(V1 ) + d(V2 ) + ... + d(Vn ).
Cứ tiếp tục như vậy cho tất cả các đỉnh còn lại của G, từ mỗi đỉnh X của G thì tổng


9
trong vế trái của đẳng thức cần chứng minh đại lượng d(X) xuất hiện d(X) lần. Do
đó ta có điều phải chứng minh.
1.2.2. Đường đi
Định nghĩa 1.9. Cho đồ thị vô hướng G(V ; E). Một dãy các cạnh dạng ei =
(Ai , Ai+1 ) với i = 1, 2, ..., m − 1 được gọi là dãy cạnh liên tiếp. Trong dãy cạnh liên
tiếp các cạnh có thể lặp lại.
Ví dụ. Trong hình 1.11, dãy các cạnh e1 , e2 , e3 , e4 , e5 , e1 là dãy cạnh kế tiếp
còn dãy cạnh e1 , e2 , e3 , e4 , e5 , e6 không phải là dãy cạnh kế tiếp.

Hình 1.11:
Định nghĩa 1.10. Cho đồ thị vô hướng G(V ; E). Một dãy các cạnh liên tiếp ei =
(Ai Ai+1 ) với i = 1, 2, ..., m − 1 được gọi là một đường đi nếu các đỉnh A1 , A2 , ..., Am
đôi một khác nhau và nó cịn được ký hiệu là H = (A1 , e1 , A2 , e2 , ..., em−1 , Am ),
trong đó A1 : đỉnh đầu, Am : đỉnh cuối.
Đặc biệt đường đi qua tất cả các đỉnh của đồ thị được gọi là đường đi Hamilton.
Trong trường hợp đồ thị G là đồ thị đơn thì đường đi H có thể được ký hiệu là
H = (A1 , A2 , ..., Am ).
Số cạnh của đường đi H được gọi là độ dài của đường đi, ký hiệu là l (H).
Ví dụ. Trong hình 1.12, ta có một đường đi được tơ đậm từ A đến G và đường
đi này có độ dài bằng 4.

1.2.3. Liên thông
Định nghĩa 1.11. Hai đỉnh A và B của đồ thị được gọi là liên thơng nếu có
một đường đi nối A và B.
Một đồ thị G được gọi là liên thông nếu mọi cặp đỉnh của G đều liên thông.
Một cạnh CD được gọi là cầu nếu bỏ đi cạnh CD thì hai điểm C, D khơng cịn liên
thơng nữa.
Nhận xét: Quan hệ liên thơng của hai đỉnh có tính chất sau:


10

Hình 1.12:
(a) Mỗi đỉnh A liên thơng với chính nó.
(b) Nếu A liên thơng với B thì B liên thơng với A.
(c) Nếu A liên thông với B và B liên thơng với C thì A liên thơng với C.
Quan hệ liên thông này chia tập đỉnh của đồ thị thành các lớp có tính chất sau:
(1) Các đỉnh cùng thuộc một lớp thì liên thơng với nhau.
(2) Các đỉnh khơng cùng một lớp thì khơng liên thơng với nhau.
Các lớp đỉnh này là đỉnh của các đồ thị thành phần liên thông trong một đồ thị G
cho trước được gọi là thành phần liên thông của đồ thị đã cho.
Ví dụ. Trong hình 1.13 ta có một đồ thị gồm hai thành phần liên thơng.

Hình 1.13:
1.2.4. Chu trình của đồ thị
Định nghĩa 1.12. Cho trước đồ thị G với tập đỉnh V và tập cạnh E. Một dãy
cạnh dạng ei = (Ai , Ai+1 ) với i = 1, 2, ..., m được gọi là một chu trình nếu các đỉnh
A1 , A2 , ..., Am đôi một khác nhau và Ai = Am+1 . Đặc biệt chu trình qua tất cả các
đỉnh của đồ thị được gọi là chu trình Hamilton. Một chu trình thường được ký
hiệu là H = (A1 , e1 , A2 , e2 , ..., em , Am+1 = A1 ).

11
Nhận xét. Một khun lập thành một chu trình có độ dài 1. Một đồ thị có chu
trình độ dài 2 khi nó có cạnh kép. Do đó, trong đồ thị đơn, một chu trình có độ dài
ít nhất là 3.
Các định lý sau cho ta điều kiện đủ để một đồ thị có chu trình.
Định lý 1.6 [12]. Cho trước đồ thị G với tập đỉnh V và tập cạnh E. Nếu bậc
của một đỉnh bất kỳ trong G khơng nhỏ hơn 2 thì G phải có ít nhất một chu trình.
Chứng minh. Ta xuất phát từ một đỉnh và đi theo các cạnh của đồ thị. Do bậc của
mỗi đỉnh không nhỏ hơn 2 nên khi ta đi vào mỗi đỉnh chưa đi qua ta lại có thể đi
ra khỏi đỉnh đó cho tới khi ta đi tới một đỉnh đã qua rồi. Do đó ta thu được một
chu trình .
Định lý 1.7 [12]. Một đồ thị có n đỉnh và có khơng ít hơn n cạnh ln có ít
nhất một chu trình.
Chứng minh. Ta chứng minh bằng quy nạp.
Với n = 1, 2 mệnh đề hiển nhiên đúng vì một đồ thị như vậy phải có khun hoặc
cạnh kép, tức là có chu trình.
Giả sử mệnh đề đúng với n, nghĩa là một đồ thị tùy ý có n đỉnh và có khơng ít hơn
n cạnh ln có chu trình, ta chứng minh mệnh đề cũng đúng cho mọi đồ thị G có
(n + 1) đỉnh và khơng ít hơn (n + 1) cạnh tùy ý. Vì đồ thị có khun hoặc có cạnh
kép ln có chu trình nên ta giả sử G là đồ thị đơn.
Xét đồ thị G có (n + 1) đỉnh và khơng ít hơn (n + 1) cạnh bất kỳ. Xét con đường
W có độ dài lớn nhất (có nhiều cạnh nhất) trong đồ thị G đã cho. Giả sử A và B là
hai đỉnh đầu và cuối của W. Khi đó mọi đỉnh kề với B phải thuộc W. Thật vậy, giả
sử có một đỉnh C kề với B nhưng khơng thuộc W thì ta có thể bổ sung thêm C vào
W để có một con đường dài hơn W, vơ lý. Xét hai trường hợp:
(1) Bậc của B không nhỏ hơn 2.
Khi đó B phải kề với ít nhất một đỉnh C nào đó trên W. Gọi W1 là đoạn đường
nằm trên W đi từ C đến B, và do đó ta có một chu trình đi qua B và qua C khi bổ
sung thêm cạnh BC vào W1 .

(2) Bậc của B bằng 1. Ta xét đồ thị G1 sinh ra từ G bằng cách bỏ đỉnh B. Khi
đó G1 có n đỉnh và khơng ít hơn n cạnh nên theo giả thiết quy nạp, tồn tại một chu
trình trong G1 và đây cũng là chu trình cần tìm trong G.
Khái niệm đường đi Hamilton và chu trình Hamilton là các khái niệm quan
trọng thường được khai thác trong tốn phổ thơng. Sau đây ta đưa ra một số kết
quả quan trọng cho hai khái niệm này.
Định lý 1.8 (Dirac) [1]. Một đồ thị đơn có n đỉnh (n ≥ 3) và mọi đỉnh X của


12
G đều có d (X) ≥ n2 thì G có chu trình Hamilton.
Chứng minh. Ta chứng minh bằng phản chứng.
Giả sử G khơng có chu trình Hamilton. Ta thêm vào một số đỉnh mới và nối mỗi
đỉnh này với mọi đỉnh của G, ta thu được đồ thị mới G . Giả sử k (lớn hơn 0) là số
đỉnh tối thiểu cần thiết thêm vào G để G chứa một chu trình Hamilton. Như vậy
G có n + k đỉnh.
Gọi p là một chu trình Hamilton AYB...A trong G , trong đó A và B thuộc G và Y
là đỉnh mới. Khi đó B khơng kề với A vì nếu ngược lại thì ta bỏ đỉnh Y sẽ có được
chu trình Hamilton, trái với giả thiết về tính tối thiểu của k. Hơn nữa nếu A là một
đỉnh nào đó (khác với Y) kề với A và B là đỉnh kế tiếp của A trong p thì B khơng
thể là đỉnh kề của B, vì nếu trái lại thì ta có thể thay p bởi chu trình AA ...BB ...A
trong đó khơng có Y. Như vậy với một đỉnh kề với A ta có một đỉnh khơng kề với
B, tức số đỉnh khơng kề với B khơng ít hơn số đỉnh kề với A (số đỉnh kề với A
không nhỏ hơn 2n + k). Mặt khác, theo giả thiết, số đỉnh kề với B cũng không nhỏ
hơn 2n + k. Vì khơng có đỉnh nào vừa kề với B lại vừa không kề với B nên số đỉnh
của G không ít hơn 2 n2 + k = n + 2k, mâu thuẫn với giả thiết G có n + k đỉnh.
Do đó ta có điều phải chứng minh.
Bằng phương pháp phản chứng tương tự, ta có thể chứng minh được một tính
chất tổng quát hơn định lý 1.8:
Định lý 1.9 [1]. Một đồ thị đơn có n đỉnh và hai đỉnh bất kỳ nào của G cũng

có tổng số bậc khơng nhỏ hơn n thì G có chu trình Hamilton.
Định lý 1.10 [1]. Một đồ thị đơn có n đỉnh (n ≥ 1) và mọi đỉnh X của G đều
có d (X) ≥ n−1
2 thì G có đường đi Hamilton.
Chứng minh. Nếu n = 1 thì G có đường đi Hamilton tầm thường.
Giả sử n > 1. Ta lập đồ thị H bằng cách thêm vào G đỉnh A và tất cả các cạnh nối
A với mọi đỉnh của G. Khi đó đồ thị H có n + 1 đỉnh, d (A) = n và với mọi đỉnh Y
n+1
n
tùy ý thuộc G ln có d (B) ≥ n−1
2 + 1 = 2 ≥ 2 . Như vậy mọi đỉnh trong H ln
có số bậc ≥ n2 . Theo định lý 1.8 thì H có chu trình Hamilton p. Trong p, bỏ đi đỉnh
A và các cạnh tới A thì ta được đường đi Hamilton trong G.
Định lý 1.11 [7]. Một đồ thị có n đỉnh (n ≥ 3) liên thơng và thuần nhất bậc 2
(mọi đỉnh của đồ thị đều có cùng số bậc là 2) ln có chu trình Hamilton.
Chứng minh. Giả sử G là đồ thị liên thông và thuần nhất bậc hai.
Vì G có hữu hạn đỉnh nên số đường đi sơ cấp trong G là hữu hạn. Gọi (α) =
(X1 , X2 , ..., Xk ) là một trong những đường đi sơ cấp có độ dài lớn nhất.
Nếu k < n thì trong G phải có một đỉnh Y khơng thuộc (α). Vì G liên thông nên


13
phải có một đỉnh Xi ∈ (α) kề với Y.
Nếu i ∈ {2, 3, ..., k − 1} thì d(Xi ) > 2, vơ lý vì G thuần nhất bậc 2.
Nếu i = 1 hoặc i = k thì ta có đường đi sơ cấp có độ dài lớn hơn (α) bằng cách
bổ sung vào (α) điểm Y ở đầu (i = 1) hoặc bổ sung Y ở cuối (i = k), điều này trái
với cách chọn (α). Do đó ta phải có k = n, suy ra (α) là đường đi Hamilton trong
G.
Vì d(X1 ) = d(X2 ) = 2 nên X1 phải kề với Xn vì nếu X1 kề với X j với j ∈ {3, ..., n − 1}
thì d(X j ) > 2, vơ lý vì G thuần nhất bậc 2. Khi đó (α) cũng chính là chu trình

Hamilton trong G.
Định lý 1.12 [7]. Một đồ thị G có chu trình Hamilton khi và chỉ khi G có một
đồ thị bộ phận liên thơng và thuần nhất bậc 2 (mọi đỉnh của đồ thị bộ phận đều
có cùng số bậc là 2).
Chứng minh.
Điều kiện cần. Hiển nhiên, vì nếu G có chu trình Hamilton thì chu trình này chính
là đồ thị bộ phận của G liên thông và thuần nhất bậc 2.
Điều kiện đủ. Giả sử G (V, E) có đồ thị bộ phận G (V, E ) liên thơng và thuần nhất
bậc 2. Khi đó, theo định lý 1.10, G (V, E ) có chu trình Hamilton. Rõ ràng chu
trình Hamilton này cũng là chu trình Hamilton trong G.
Định lý được chứng minh.
Định nghĩa 1.13 [5] . Một đường đi Euler trong đồ thị là một đường đi đi qua
tất cả các cạnh của đồ thị, mỗi cạnh đúng một lần. Một chu trình Euler là một
đường đi Euler và là một chu trình. Đồ thị có đường đi Euler được gọi là đồ thị
nửa Euler. Đồ thị có chu trình Euler được gọi là đồ thị Euler.
Định lý 1.13 (định lý Euler) [5]. Một đồ thị vô hướng, liên thông là đồ thị nửa
Euler khi và chỉ khi nó có nhiều nhất hai đỉnh bậc lẻ.
Một đồ thị vô hướng, liên thông là đồ thị Euler khi và chỉ khi mọi đỉnh của nó
đều có bậc chẵn.
Chứng minh. Giả sử G là đồ thị nửa Euler, xét một đường đi Euler trong G và xét
một đỉnh X trong đường đi này (mà không phải là điểm đầu hay điểm cuối). Vì số
lần đến X và đi khỏi X bằng nhau nên số cạnh liên thuộc với X là số chẵn. Như
vậy đồ thị cùng lắm có hai đỉnh bậc lẻ (là đỉnh đầu và đỉnh cuối của đường đi).
Nếu đồ thị là Euler thì thì nó có chu trình Euler, khi đó đỉnh đầu và đỉnh cuối và
các đỉnh khác có vai trị như nhau, nên tất cả các đỉnh đều có bậc chẵn. Ngược lại,
giả sử G có các đỉnh đều bậc chẵn, ta chứng minh G có chu trình Euler. Xét chu
trình C không đi qua cạnh nào quá một lần và có độ dài lớn nhất trong G, ta chứng


14

minh C đi qua tất cả các cạnh của G, nghĩa là nó là chu trình Euler. Giả sử điều
này sai, như vậy có một cạnh (U,V) của G khơng thuộc C với đỉnh U nằm trong
C (vì nếu khơng thì C là một thành phần liên thơng của G). Ta xây dựng chu trình
C’ khơng có cạnh nào chung với C xuất phát từ cạnh (U,V). Vì số cạnh liên thuộc
với V nằm trong C là một số chẵn và (U,V) khơng thuộc C nên phải có ít nhất một
cạnh khác liên thuộc với V và không nằm trong C, giả sử là (V,W). Ta lại tiếp tục
lập luận với W, như vậy, ta sẽ tiếp tục được đường đi, cho đến khi nó phải dừng
lại. Khi dừng lại đường đi sẽ dừng lại ở một đỉnh khơng cịn cạnh liên thuộc để đi
ra, mọi đỉnh của đường đi có chẵn cạnh liên thuộc đều đã sử dụng, mà mới có một
cạnh liên thuộc với U được sử dụng nên khi dừng lại nó phải dừng lại tại U. Như
vậy ta có một chu trình C’ khơng có cạnh chung với C và có đỉnh chung là U. Xét
chu trình hợp của C và C’, ta thu được chu trình mới đi qua mỗi cạnh khơng q
một lần và có độ dài lớn hơn C, mâu thuẫn với cách chọn C. Như vậy G có chu
trình Euler.
Cuối cùng ta chứng minh đồ thị G với nhiều nhất hai đỉnh bậc lẻ có đường đi
Euler. Theo hệ quả 1.2, một đồ thị như vậy có 0 hoặc 2 đỉnh bậc lẻ. Nếu G khơng
có đỉnh bậc lẻ thì G là đồ thị Euler nên là đồ thị nửa Euler. Nếu G có 2 đỉnh bậc lẻ
thì ta nối hai đỉnh bậc lẻ lại để có đồ thị chỉ gồm các đỉnh bậc chẵn. Ta đã biết đồ
thị mới này có chu trình Euler. Đi dọc theo chu trình này sao cho cạnh cuối cùng
là cạnh mới, nhưng không sử dụng nó, ta sẽ được một đường đi Euler. Do đó G là
đồ thị nửa Euler.
1.2.5. Chỉ số ổn định trong
Định nghĩa 1.14. Ta gọi một cách tô màu các đỉnh của một đồ thị G cho trước
là một cách tô màu bộ phận nếu các đỉnh của một đồ thị thành phần của nó đều
được tơ bởi một số màu nào đó.
Một cách tơ màu bộ phận được gọi tơ màu ổn định nếu khơng có hai đỉnh kề
nhau của G được tô bởi một màu giống nhau.
Số lớn nhất các đỉnh của đồ thị G có thể tơ ổn định bởi một màu được gọi là
chỉ số ổn định trong của đồ thị G và được ký hiệu bởi α (G).
Một tập hợp các đỉnh đôi một không kề nhau được gọi là một tập hợp đỉnh ổn

định hoặc là một tập hợp các đỉnh độc lập.
Một tập hợp gồm α (G) đỉnh đôi một không kề nhau được gọi là tập ổn định
trong tối đại của đồ thị G. Chỉ số ổn định trong của một đồ thị G là số nhiều nhất
các đỉnh đôi một không kề nhau của đồ thị.
Ví dụ. Chỉ số ổn định trong của đồ thị Petersen và nhỏ hơn hoặc bằng 4, vì


15
trong 3 đỉnh bất kỳ của ngũ giác đều luôn có 2 đỉnh kề nhau nên trên ngũ giác bao
ngồi cũng như trên hình ngơi sao bên trong chỉ có không quá 2 đỉnh độc lập mà
thôi. Mặt khác ta chỉ ra rằng tập đỉnh {3, 6, 9, 10} là một tập ổn định trong đồ thị
G (xem hình 1.14). Vậy chỉ số ổn định trong của đồ thị Petersen là 4.

Hình 1.14: Đồ thị Petersen
Nhận xét. Xét bài tốn: trên bàn cờ có bao nhiêu cách đặt 8 quân hậu sao cho
khơng có hai qn hậu nào có thể ăn nhau. Bài tốn này chính là bài tốn xác định
chỉ số ổn định trong của một đồ thị tương ứng được xây dựng từ 64 ơ bàn cờ, trong
đó hai đỉnh được nối với nhau bởi một cạnh khi con hậu có thể đi bằng một nước
đi thơng thường để từ ơ này đến ơ kia. Đi tìm một cách sắp xếp 8 quân hậu thỏa
mãn điều kiện đề bài chính là bài tốn đi tìm một tập hợp ổn định trong tối đại trên
đồ thị biểu diễn bàn cờ theo luật đi của con hậu. Bài toán này cũng được nhà toán
học người Đức C. F. Gauss quan tâm, như những thư từ trao đổi của ông ta với H.
C. Schumacher, biên tập viên của một tờ tạp chí về cờ của Đức trong những năm
1850 cho thấy. Ngày nay, bằng lập trình, chúng ta có thể xác định được có 92 cách
sắp xếp 8 quân hậu thỏa mãn yêu cầu trên.
1.2.6. Sắc số
Giả sử một đồ thị G cho trước được tô màu ổn định. Nếu phân hoạch tập hợp
các đỉnh của G thành các tập hợp đỉnh cùng màu thì trong mỗi đồ thị sinh bởi một
tập con gồm các đỉnh này, không đồ thị nào chứa một cạnh cả. Số nhỏ nhất các lớp
phân hoạch có tính chất như vậy (cạnh bất kỳ của đồ thị G chỉ nối hai đỉnh thuộc

hai tập hợp khác nhau mà thơi) chính là số nhỏ nhất các màu có thể tơ các đỉnh


16
của đồ thị G một cách ổn định - được gọi là sắc số của đồ thị G và được ký hiệu là
χ(G).
Ví dụ. Sắc số của đồ thị Petersen là 3. Với 3 màu, ta có thể tơ ổn định các đỉnh
của đồ thị như trong hình 1.15 (mỗi con số tượng trưng cho một màu). Còn với 2
màu ta không thể tô ổn định cho các đỉnh của ngũ giác bên ngồi, do đó khơng thể
tơ màu ổn định cho các đỉnh của đồ thị Petersen.

Hình 1.15:
Nhận xét. Rõ ràng đối với đồ thị có khun thì khơng tồn tại cách tô màu ổn
định cho đồ thị. Đối với đồ thị có cạnh kép thì ta có thể bỏ bớt cạnh kép để thu
được đồ thị đơn mà không ảnh hưởng đến việc tô màu cả. Đối với đồ thị liên thơng
thì sắc số của nó chính là sắc số lớn nhất của các thành phần liên thông. Do đó
trong phần tiếp theo của mục này ta chỉ xét các đồ thị liên thông và đơn.
Định lý 1.14 [12]. Với mỗi đồ thị G có bậc lớn nhất ∆(G), ta có χ(G) ≤
∆(G) + 1.
Chứng minh. Nếu như ta có ∆(G) + 1 màu để tơ thì ta có thể tơ ổn định n đỉnh của
đồ thị như sau: khi ta muốn tơ một đỉnh x thì ta tơ nó bởi một màu khác tất cả các
màu láng giềng của nó. Việc này ln ln thực hiện được bởi vì ta có ∆(G) + 1
màu để lựa chọn trong khi đó số láng giềng của x khơng vượt quá ∆(G).
Nhận xét. Đồ thị duy nhất có sắc số bằng 1 là các đồ thị chỉ có các đỉnh rời
rạc (tức là khơng có cạnh nào cả). Định lý sau cho một điều kiện cần và đủ cho đồ
thị có sắc số là 2.
Định lý 1.15 [12]. Cho đồ thị G có ít nhất 1 cạnh. Khi đó, G có sắc số là 2 khi
và chỉ khi G khơng có chu trình lẻ cạnh.
Chứng minh. Rõ ràng ta chỉ cần chứng minh cho đồ thị liên thông là đủ.
Nếu đồ thị G có sắc số là 2 thì các đỉnh của chu trình C bất kỳ trong G sẽ đan màu

17
nhau dọc theo chu trình và do đó C có độ dài chẵn.
Đảo lại, nếu G khơng có chu trình lẻ cạnh thì ta chứng minh rằng có thể tơ
màu ổn định các đỉnh của G bằng chỉ 2 màu. Trước hết ta chọn một đỉnh A0 của
đồ thị G. Với mỗi đỉnh A của G, ta chọn một con đường W nối đỉnh A0 với đỉnh
A. Ta sẽ tô màu đỉnh A bởi màu đỏ nếu độ dài l(W) là độ dài chẵn, trong trường
hợp ngược lại thì ta tô màu đỉnh A bởi màu xanh.
Màu của đỉnh A không phụ thuộc vào độ dài của con đường W. Thật vậy, nếu có
một con đường lẻ cạnh và một con đường chẵn cạnh nối A0 với đỉnh A thì tồn tại
trong G một dãy cạnh kế tiếp khép kín có lẻ cạnh, do đó tồn tại một chu trình lẻ
cạnh trong G, mâu thuẫn.
Với hai đỉnh A, B bất kỳ được nối trong đồ thị G bởi một cạnh k thì ta xét một con
đường W0 có cạnh ít nhất nối đỉnh A0 với đỉnh A. Rõ ràng là khi bổ sung thêm
cạnh k vào con đường W0 này hoặc bỏ bớt cạnh k, tùy theo trường hợp đỉnh B có
nằm trên con đường W0 hay khơng, ta sẽ thu được một con đường nối đỉnh A0 với
đỉnh B có độ dài l(W0 ) + 1 hoặc l(W0 ) − 1. Do tính chẵn lẻ của con đường nối
đỉnh A0 với đỉnh A và con đường nối A0 với đỉnh B là khác nhau nên màu của đỉnh
A và B khác nhau. Do đó điểm A được tơ màu ổn định và cách tô màu các đỉnh
của G như trình bày là ổn định. Định lý do đó được chứng minh.
1.3. MỘT SỐ ĐỒ THỊ ĐƠN VÔ HƯỚNG
1.3.1. Đồ thị đầy đủ
Định nghĩa 1.15. Một đồ thị đơn vô hướng được gọi là đồ thị đầy đủ nếu hai
điểm bất kỳ của nó ln được nối bởi đúng 1 cạnh.
Nhận xét.
(1) Với một số tự nhiên n (n ≥ 2) cho trước, có duy nhất một đồ thị đầy đủ n
đỉnh và nó được ký hiệu là Kn . Đặc biệt khi n = 3 thì K3 cịn được gọi là tam giác
(xem hình 1.16).
(2) Với một đồ thị G đơn khơng đầy đủ cho trước ta ln có thể bổ sung thêm

vào G một số cạnh để G trở thành đồ thị đầy đủ. Khi đó, đồ thị G có tập đỉnh trùng
với tập đỉnh của G và tập cạnh là các cạnh bổ sung để G trở thành đầy đủ được gọi
là đồ thị bù của G (xem hình 1.17, 1.18, 1.19).
Định lý 1.16 [1]. Mỗi đỉnh trong đồ thị Kn đều có bậc (n − 1) và Kn có n(n−1)
2
cạnh.
Chứng minh. Vì mỗi đỉnh nối với (n − 1) còn lại nên bậc của mỗi đỉnh là (n − 1)
và xuất phát từ mỗi đỉnh ta có (n − 1) cạnh.
Vì mỗi cạnh AB được tính 2 lần (một lần xuất phát từ A và 1 lần xuất phát từ B)


18

Hình 1.16: Các đồ thị đầy đủ K2 , K3 , K4 , K5

Hình 1.18: Đồ thị đầy đủ sau
Hình 1.17: Đồ thị không đầy đủ

khi bổ sung cạnh (là các đường

G

nét đứt)

Hình 1.19: Đồ thị bù G
của G
nên số cạnh của Kn là n(n−1)
2 .
Định lý 1.17 (Mantel) [7]. Với G là đồ thị gồm n đỉnh mà không chứa tam giác
2

thì số cạnh lớn nhất của G là n4 .
Chứng minh. Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
Với n = 1, n = 2, n = 3 thì định lý đúng.