Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 tỉnh Quảng Trị có đáp án chi tiết

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1007.89 KB, 8 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Trang | 1

UBND TỈNH QUẢNG TRỊ 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HĨA LỚP 12 
Khóa ngày 06 tháng 10 năm 2020

MƠN: TỐN 
Thời gian: 180 phút

Câu 1. ( 5,0 điểm)

1. Tìm tất các các điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số

y



cos

x



sin .

x

2. Tìm

m

để phương trình

2 x



4 x

 

1

2 m



0

có đúng 5 nghiệm phân biệt.

Câu 2. ( 5,0 điểm)

1. Chứng minh rằng

C

20201



2 C

20202

 

... 1010

C

20201010



1010.2

2019

.

2. Tìm tất cả các cặp số thực

 

x y

;

thỏa mãn

xy



4

và











20 8 .

x



y





x



y

xy



Câu 3. ( 6,0 điểm)

1. Cho hình chóp

S ABC

.

có đáy

ABC

là tam giác đều cạnh

a

,

tam giác

SAB

vuông cân tại

S

và nằm trong mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối chóp

S ABC

.

và khoảng

cách giữa hai đường thẳng

SB

và

AC

theo

a

.

2. Cho tam giác

ABC

ngoại tiếp đường tròn

( ).

I

Gọi

M D E

,

lần lượt là trung điểm của

,

;

BC IB IC

F G

,

lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác

ABD

và

ACE

.

Chứng minh
rằng

AM

vng góc

FG

.

Câu 4. (2,0 điểm)

Cho dãy số

 

x

n được xác định bởi

x

1



2

và

x

n1



2 

x

n

,

 

n

1.

Chứng minh dãy số

 

x

n có giới hạn và tìm giới hạn đó.

Câu 5. (2,0 điểm)

Xét các số thực dương

a b c

, ,

có tổng bằng 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2

18 .

b

c

a

b

abc

P

a

b

c

ab

bc

ca







</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Trang | 2

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1.1. Tìm tất các các điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số

y



cos

x



sin .

x

'

sin

cos

y

 

x



x

;

2

4 '

0

3

2

4 x

k

y

x

k









   



  

 





''

sin

cos

y



x



x

;

''

2 0; ''

3

2

0

4 y





 



k







 



y









k



















Vậy các điểm cực đại của hàm số là:

3

2

4 x







k



; Các điểm cực tiểu của hàm số là:

2

4 x

  



k



Câu 1. 2.Tìm

m

để phương trình

2 x



4 x

 

1

2 m



0

có đúng 5 nghiệm phân biệt.

4 2 4 2

2 x



4 x

 

1

2 m

 

0

2 x



4 x

 

1

2 m

Cách 1: Xét hàm số

f x

( )



2 x



4 x



1

có BBT của hàm số

f x

( )

và

f x

( )

Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm cửa đồ thị hàm số

f x

( )

và đường thẳng

y



m

. Vậy
phương trình đã cho có đúng 5 nghiệm phân biệt khi

2 m



1

hay

1 .

2 m



Cách 2: (HS 10,11).

2 x



4 x

 

1

2 m

(1)

. Đặt 2





,

0 t



x

t



PTTT:

2 t

  

4 t

1

2 m

(2).

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Trang | 3
Biện luận các trường hợp số nghiệm của (2) và (1). Từ đó kết luận

1 .

2 m



Cách 3: Nhận thấy nếu

x

0là nghiệm của (1) thì



x

0 cũng là nghiệm của pt (1). Do đó nếu các nghiệm

0

i

x



thì số nghiệm của phương trình (1) là số chẵn. Vậy đk cần để pt có 5 nghiệm là pt (1) có nghiệm
0

0 x



, thế vào tìm được

1 .

2 m



Giải phương trình khi

1

2 m



và kết luận.

Câu 2.1. Chứng minh rằng

C

20201



2 C

20202

 

... 1010

C

20201010



1010.2

2019

.

Cách 1: Ta có:





! ( 1)!

. .

! ! ( 1)!( )!

k k

n n

k C k n nC

k n k k n k





  

  

1 0

2020 2019

2 1

2020 2019
1010 1009
2020 2019

2020

2 2020

...

1010

2020

.

C





0 1 1009



2019 2019 2019

2020

...

VT



C



C

 

C

Xét

C

20190



C

12019

 

...

C

20191009



C

20191010

 

...

C

20192019



2

2019. Mà Cnk Cnn k nên



0 1 1009



2019

2019 2019 2019

2 C



C

 

...

C



2

Vậy

VT



2020



C

20190



C

20191

 

...

C

20191009





1010.2

2019 .

Cách 2:

Xét

(1



x

)

2020



C

20200



xC

20201



x C

2 20202

 

...

x

2020

C

20202020
Suy ra được:

2019 1 2 2019 2020

2020 2020 2020

2020(1



x

)



C



2 xC

 

... 2020

x

C

1 2 1010 1011 2020 2019

2020

2

2020

... 1010

2020

1011

2020

... 2020

2020

2020.2

C



C

 

C



C

 

C



Ta có:





! ! 1

. . ( 1) ( 1)

! ! ( 1)!( )! ( 1)!( 1)!

k n k

n n

n n n

k C k n k n k C

k n k k n k n k k

 

       

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Trang | 4
Do đó:

1 2020

2020 2020

2 2019

2020 2020
1010 1011
2020 2020

2020

2 2019

...

1010

1011

C



Vậy:

C

20201



2 C

20202

 

... 1010

C

20201010



1010.2

2019

Câu 2.2.Tìm tất cả các cặp số thực

 

x y

;

thỏa mãn

xy



4

và











20 8 .

x



y





x



y

xy



Đặt 2

;

(

4 )

S

 

x

y P



xy S



P

. Từ giả thiết ta có:

S



4 P



S P

(

 

8)

20 

0 (

8)

4

20

0 S



S P

 

P





. Xét pt theo S.

 

(

P



8)

 

4( 4

P



20)



P



16

. Điều kiện
phương trình có nghiệm

P



4

. Kết hợp điều kiện của giả thiết ta có

P



4,

P

 

4

2 P

   

S

(loại);

P

    

4 S

6 x y

,

là 2 nghiệm của pt

6

4

0 X



X

 

Vậy các cặp

 

x y

;



 

3 13; 3

 

13 ,

 

 

3 13; 3

 

13



Câu 3.1. Cho hình chóp

S ABC

.

có đáy

ABC

là tam giác đều cạnh

a

,

tam giác

SAB

vuông cân tại

S

và nằm trong mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối chóp

S ABC

.

và khoảng
cách giữa hai đường thẳng

SB

và

AC

theo

a

.

*Thể tích:

3 .

24 a

V



*Khoảng cách giữa SB và AC:

Cách 1: Dựng Dđối xứng với C qua I

(

,

)

(

,(

)) 2 ( ,(

)) 2

d SB AC



d AC SBD



d I SBD



HK

ACBD
là hình thoi, nên IB ID IS, , đơi một vng góc.

2 2 2 2 2

1

28

21 .

3

7 a

d



SI



SB



SD



a

 

Cách 2: *Kẻ đt BDsong song với AC.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Trang | 5

3

4 a

HI



;

2 a

SI



2 2 2
2

2 2 2 2 2

1 .

3

21

28

7 IH SI

a

IK

d

IK



IH



SI





IH



SI



 

Câu 3.2.Cho tam giác

ABC

ngoại tiếp đường tròn

( ).

I

Gọi

M D E

,

lần lượt là trung điểm của

,

;

BC IB IC

F G

,

lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác

ABD

và

ACE

.

Chứng minh
rằng

AM

vng góc

FG

.

Gọi Hlà giao điểm thứ 2 của MDvà đường tròn qua A B D, , .

Gọi Klà giao điểm thứ 2 của MEvà đường tròn qua A C E, , .

Ta có:

1
2

AHM  B và 1

AKM  CEDM nên A H K, , thẳng hàng.

Tam giác MDEvà MKHđồng dạng (Vì MEDMHK). Suy raME MK. MD MH. , hay M nằm trên
trục đẳng phương của hai đường tròn tâm F G, .

Suy ra AM FG. (Trục đẳng phương vng góc với đường nối tâm)

Câu 4.

Cho dãy số

 

x

n được xác định bởi

x

1



2

và

x

n1



2 

x

n

,

 

n

1.

Chứng minh dãy số

 

x

n có giới hạn và tìm giới hạn đó.

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Trang | 6
1

2 x



x

2



2 

2 ,

x

3



2 

2 ,

như vậy

x

3



x

1 nên từ (*) ta suy ra



x

2n1



là dãy
giảm. Cùng với tính bị chặn nên tồn tại

lim

2n 1

.

n

x





a

Từ

x

3

  

x

1

x

4

x

2. Tương tự tồn tại

lim

2n

.

n

x



b

Từ hệ thức truy hồi ở giả thiết, chuyển qua giới hạn ta được:

2

1

2 a

b

a

b

a

 













 









lim

2n 1

lim

2n

1

n

x





n

x



nên n

lim



x

n



1.

Cách 2: 1

1

2

1

2

1

n
n n
n

x





 



 





1

2

1

n n
n

x



  





0 2,

1 (0;1)

2

1 2

2 1

n

x

n

q

x

 

  



 

 





1

1. ...

1.

n

n n n

x



x

q

x



q

x

q



 







 



1 1

lim

x

n

  

1

0 lim

x

n

 

1 lim

x

n



1

Cách 3:

0 

x

n



2,

 

n

1.

Đặt xn 2 cosn, n

 

0; . Ta có 1 ; 1 2 cos

4 x 4

 

  

2 2cos

2(1 cos

)

2sin

2cos

2

n n

n n n n

x







x























 











1 1

1

2

3

2

3

n

n n n

 



















 



  











1
1 1

1 .

2

3

2

6

n n
n









 



 







 



 



 

 





 



1 2cos

lim

1.

3

2

6

n

n n

x













x









 





















Câu 5.

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Trang | 7

2

18 .

b

c

a

b

abc

P

a

b

c

ab

bc

ca







HD:

P

2 b

c

1

2 c

a

1

2 a

b

1

18 abc

3. a

b

c

ab

bc

ca





 





3

18

3 b

c

a

abc

a

b

c

ab

bc

ca











1

18

1

18

3 3 3

1 b

c

a

b

c

a

b

c

a

b

c

a

b

c

a

b

c









   



 





 



 









 





 

1

18

3

1 a

b

c

a

b

c









 









 

.(1)

Ta có:

1

9

3 a

  

b

c

a

 

b

c



(2)
Đặt

t

1

3 a

b

c

   

. Xét hàm

f t

( )

3 t

18 t

 

trên [3;)

Ta có:

f t

( ) 15





f

(3)

. (3)

Vậy minP15 đạt được khi các đẳng thức (1), (2), (3) xảy ra.

1

3 b

c

a

b

c

a

b

c

a

b

c

  



   





 





</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Trang | 8
Website HOC247 cung cấp một mơi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, 
giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên
danh tiếng.

I. Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng
xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và
Sinh Học.

- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường

Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn 
Đức Tấn.

II. Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho các em HS
THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG.

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh 
Trình, TS. Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc 
Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia.

III. Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả
các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư
liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và
Tiếng Anh.

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

</div>

Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 tỉnh Quảng Trị có đáp án chi tiết

<i>y</i>



cos

<i>x</i>



sin .

<i>x</i>

<i>m</i>

2

<i>x</i>



4

<i>x</i>

 

1

2

<i>m</i>



0

<i>C</i>



2

<i>C</i>

 

... 1010

<i>C</i>



1010.2

.

 

<i>x y</i>

;

<i>xy</i>



4











20

8 .

<i>x</i>



<i>y</i>





<i>x</i>



<i>y</i>

<i>xy</i>



<i>S ABC</i>

.

<i>ABC</i>

<i>a</i>

,

<i>SAB</i>

<i>S</i>

<i>S ABC</i>

.

<i>SB</i>

<i>AC</i>

<i>a</i>

.

<i>ABC</i>

( ).

<i>I</i>

<i>M D E</i>

,

,

,

,

;

<i>BC IB IC</i>

<i>F G</i>

,

<i>ABD</i>

<i>ACE</i>