giai bai toan bang cach lap phuong trinh

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (369.8 KB, 38 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

sở giáo dục và đào tạo hải dng

sáng kiến kinh nghiệm:

các Ph

ơng pháp giải ph

ơng trình vô tỉ

môn: to¸n
 khèi líp: 9

nhËn xÐt chung

..
………

.
………

..
………

.
………

®iĨm thèng nhÊt
 B»ng sè:………

B»ng ch÷:………..

Giám khảo số 1:
 Giám khảo số 2:

năm học: 2009 - 2010

Phũng giáo dục và đào tạo thành phố hải dơng
Trờng thcs thch khụi

các Ph

ơng pháp giải ph

ơng trình vô tỉ

S phỏch
(Do CT hi ng chm

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Môn: Toán

Tên tác giả:

Phạm Thị Thuỷ

ỏnh giỏ ca hi ng khoa học nhà trờng

Nhận xét, ghi điểm, xếp loại
( Chủ tịch HĐ kí, đóng dấu )

………
………
………
………
………
………
………

sở giáo dục và đào tạo hải dơng
phịng giáo dục và đào tạo tP hải dơng

s¸ng kiến kinh

nghiệm:

các Ph

ơng pháp giải ph

-

ơng trình vô tỉ

Bộ môn:Toán

Khối lớp: 9

ỏnh giỏ ca phũng giỏo dục

Nhận xét, xếp loại
(Kí tên, đóng dấu)

………
………
………
………

Sè ph¸ch
(Do Së GD & ĐTghi)

Số phách

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Tên tác giả: .. 
 Đơn vị công tác:

t vn

Phng trỡnh vơ tỷ là phơng trình chứa ẩn trong dấu căn .Trong chơng trình đại số
9 ,phơng trình vơ tỷ là một dạng tốn khó. Khi gặp các phơng trình có chứa căn
t-ơng đối phức tạp, học sinh rất lúng túng khơng tìm ra cách giải và hay mắc sai
lầm khi giải .. Có những phơng trình khơng thể giải bằng các phơng pháp quen
thuộc. Khi gặp phơng trình vơ tỷ , học sinh thờng chỉ quen một phơng pháp là
nâng luỹ thừa 2 vế để làm mất dấu căn. Nhng trong quá trình giải sẽ thờng mắc
phải một số sai lầm trong phép biến đổi tơng đơng phơng trình ,vì vậy dẫn đến
thừa hoặc thiếu nghiệm. Có một số phơng trình sau khi làm mất dấu căn sẽ dẫn
đến phơng trình bậc cao, mà việc nhẩm nghiệm để đa về phơng trình bậc nhất,
bậc 2 để giải lại rất là khó khăn . Vì vậy học sinh sẽ rất lúng túng và khơng tìm ra
lời giải .

Để khắc phục những tồn tại trên khi dạy cho học sinh giải phơng trình vơ tỷ ,
giáo viên cần trang bị cho học sinh các kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa và
kiến thức mở rộng, hình thành các phơng pháp giải một cách kịp thời. Với mỗi
phơng trình cần để cho học sinh nhận dạng phát hiện ra cách giải và tìm ra cách
giải phù hợp nhất , nhanh nhất. Qua mỗi dạng tổng quát cách giải và hớng dẫn
học sinh đặt đề toán tơng tự, từ đó khắc sâu cách làm cho học sinh. Nếu biết phân
dạng , chọn các ví dụ tiêu biểu , hình thành đờng lối t duy cho học sinh thì sẽ tạo
nên hứng thú nghiên cứu, giúp học sinh hiểu sâu, nhớ lâu và nâng cao hiệu quả
giáo dục . Chính vì thế trong q trình dạy bộ mơn tốn ở lớp 9A1 và lớp 9A2 của
trờng tơi đã mạnh dạn chọn đề tài này. "Phơng pháp giải phơng trình vơ tỷ" có
thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh khá giỏi rèn luyện cho học
sinh năng lực từ những kiến thức quen biết, nhận dạng và đa những bài tập cha
biết cách giải về dạng bài tập quen biết đã biết cách giải, có đợc hệ thống bài tập

để nâng cao chất lợng giáo dục, đặc biệt là ôn luyện cho học sinh thi cuối cấp
cũng nh thi vào PTTH

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

giải quyết vn

I. nh ngha:

Phơng trình vô tỷ là phơng trình có chứa ẩn số trong căn thức.
Ví dụ: 3x 31 1 x

II. Các b ớc giải ph ơng trình (dạng chung)
- Điều kiện xác định của phơng trình.

- Dùng các phép biến đổi tơng đơng đa về dạng phơng trình đã học.
- Giải phơng trình vừa tìm đợc.

- Đối chiếu kết quả tìm đợc với điều kiện xác định và kết luận nghiệm.

Chú ý: Với những phơng trình có ĐKXĐ là xR (trong q trình biến đổi
khơng đặt điều kiện) khi tìm đợc nghiệm phải thử li.

III. Các kiến thức cơ bản về căn thức.
- Một số âm không có căn bậc chẵn.

- Mun nõng lờn luỹ thừa bậc chẵn cả hai vế của phơng trình để đợc phơng
trình tơng đơng phải đặt điều kiện.

A
A2 

2 B A A B

A
A
B

A       víi A > 0; A2 > B > 0

IV. Các dạng ph ơng trình cơ bản.

1. Dạng 1: f(x) g(x) (1)

Sơ đồ cách giải: f(x) g(x) <=> g (x) > 0 (2)

f(x) = [g(x)]2 (3)
Giải (2) tìm điều kiện cña Èn

Giải (3) rồi đối chiếu với điều kiện của ẩn để kết luận nghiệm.
2. Dạng 2: f(x) g(x) h(x) (1)

Tìm điều kiện có nghĩa của phơng trình:
f(x) > 0

g(x) > 0 (2)

h (x) > 0

Với điều kiện (2) hai vế của phơng trình (1) khơng âm nên bình phơng vế của
phơng trình (1) rồi rút gọn ta đợc:

)
(
)
(
)]
(
[
)
(
).
(

2 f x g x

x
h
x
g
x

f    (3)

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

3. D¹ng 3: f(x) g(x)  h(x) (C¸ch giải nh dạng 2)
4. Dạng 4: f(x) g(x) h(x) p(x) (1)

Điều kiện có nghĩa của phơng trình:
f(x) > 0

g(x) > 0 (2)

h (x) > 0
p (x) > 0

Bình phơng hai vế đa về dạng: F(x) G(x)  H(x)

Tuỳ theo từng trờng hợp để giải phơng trình vơ tỷ (căn bậc n).
5. Dạng 5: f(x) g(x)n f(x).g(x) h(x) (1)

§iỊu kiện: f(x) > 0
g(x) > 0

Đặt ẩn phụ a = f(x) g(x) (a > 0)

)
(
)
(
)

(

).
(

2 f x g x

a
x
g
x

f   

Đa phơng trình (1) về các phơng trình đã biết cách giải rồi giải.
V. Các ph ơng pháp giải ph ơng trình vơ tỷ .

Trên đây là 5 dạng phơng trình vô tỷ nhng không phải bao giờ ta cũng gặp một
trong 5 dạng trên hoặc bất cứ phơng trình vô tỷ nào cũng có thể đa về một trong 5
dạng trên. Sau đây là một phơng pháp giải phơng trình vô tỷ.

1. Ph ơng pháp nâng lên luỹ thừa.

( Thờng dùng khi 2 vế của phơng trình có luỹ thõa cïng bËc).

Để làm mất căn bậc n thì ta nâng cả 2 vế của phơng trình lên luỹ thừa n.
Nếu n chẵn thì ta chỉ thực hiện đợc khi cả vế của phơng trình khơng âm.

VÝ dơ1: Giải phơng trình: 3 25 3 3 4

x x (1).

§KX§: xR

Lập phơng hai vế của phơng trình (1) ta đợc:

(1) <=> 25 + x + 3 - x + 3. 3 (25x)(3 x).(3 25x3 3 x)64 (2)

V× 3 25 3 3 4





x x (theo 1), (2) <=> 28 + 12 3 (25x).(3 x) 64

<=> 123 (25x).(3 x) 36 <=> 3 (25x).(3 x) 3
Lập phơng hai vế của (3) ta đợc:

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

<=> x2 + 22x - 48 = 0 <=> (x - 2)(x + 24) = 0
<=> x = 2

x = - 24

Thư l¹i: + Víi x = 2 ta cã 3 2523 3 2314

+ Víi x = - 24 ta cã 3 24 25 3 3 24 1 3 4

Vậy nghiệm của phơng trình (1) là: x = 2; x = -24

VÝ dô 2: 1 x 4x 3 (1)

§iỊu kiƯn - 4 < x < 1 (*)

Khi đó 2 vế của phơng trình (1) khơng âm, bình phơng hai vế ta có:
(1) <=> 1 - x + 4 + x + 2 (1 x)(4x) 9 <=> (1 x)(4x) 2 (2)
Bình phơng hai vế của phơng trình (2) ta có:

(2) <=> (1 - x)(4 + x) = 4 <=> - x2 - 3x + 4 = 4 <=> x(x + 3) = 0
<=> x = 0

x = - 3

Đối chiếu với điều kiện (*) ta có nghiệm của phơng trình (1) là: x = 0; x = -3
Ví dụ 3: Giải phơng trình

x 1 5x1 3x 2 (1)

+ ở phơng trình (1) hai vế đều có căn bậc hai, học sinh có thể mắc sai lầm để
nguyên hai vế nh vậy và bình phơng hai vế để làm mất căn . Vì vậy giáo viên cần

phân tích kỹ sai lầm mà học sinh có thể mắc phải tức cần khắc sâu cho học sinh
tính chất của luỹ thừa bậc 2:

a = b  a2 = b2 ( Khi a, b cïng dÊu )

Vì vậy khi bình phơng hai vế đợc phơng trình mới tơng đơng với phơng trình
ban đầu khi hai vế cùng dấu.

ở phơng trình (1), VP  0 , nhng vế trái cha chắc đã  0 vì vậy ta nên chuyển
vế đa về phơng trình có 2 vế cùng  0.

(1) x1 5x 1 3x 2

Đến đây học sinh có thể bình phơng hai vế:
x1 5x1 3x 2

 2 7 2 15 2 13 2





 x x x (*)

Ta lại gặp phơng trình có một vế chứa căn , học sinh có thể mắc sai lầm là bình
phơng tiếp 2 vế để vế phải mất căn mà không để ý hai vế đã cùng dấu hay cha.
 4 14 49 2 4(15 2 13 2)








 x x x x

0
4
24

11 2   

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

 (11x 2)(x 2)0










2
11

2
x
x

Và trả lời phơng trình (*) có 2 nghiệm : ; 2
11

2
2

1  x 

x

Sai lầm của học sinh là gì? Tơi cho học sinh khác phát hiện ra những sai lầm :
+ Khi giải cha chú ý đến điều kiện để các căn thức có nghĩa nên sau khi giải
khơng đó chiếu với điều kiện ở (1) : ĐK : x1 vì vy

11
2
1

x không phải là
nghiệm của (1)

+ Khi bình phơng hai vế của phơng trình (*) cần có ®iỊu kiƯn

7
2
0

2 x  x

vËy x2 2 không là nghiệm của (1)

- Sau khi phõn tớch sai lầm mà học sinh thờng gặp , từ đó tơi cho học sinh tìm ra
cách giải đúng khơng phạm sai lầm đã phân tích .

C1: Sau khi tìm đợc

11
2



x và x2 thử lại (1) không nghiệm đúng Vậy (1) vô
nghiệm.

( cách thử lại này làm khi việc tìm TXĐ của phơng trình đã cho là tơng đối phức
tạp )

2
3

1
5

1
1

x

x
x

x

C2: Đặt điều kiện tồn tại của các căn thøc cđa (1)

Sau khi giải đến (*) khi bình phơng hai vế đặt thêm điều kiện
7
2



x vËy x thoả

mÃn :

1

7

2 x

nên phơng trình (1)vô nghiệm

C3: Cú th dựa vào điều kiện của ẩn để xét nghiệm của phơng trình .
Điều kiện của (1) : x1 do đó x5x x15x1 x1 5x1
Vế trái <0. VP  0 nên phơng trình (1) vơ nghiệm .

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Bài tập t ơng tự : Giải phơng trình

a) 4x1 3x4 x 2 b) x 2 x1 2x1 x3
VÝ dô 2: Giải phơng trình :

2
7

1 3
3

x

x (2)

ở phơng trình (2) học sinh cũng nhận xét có chứa căn bậc 3 nên nghĩ đến việc
lập phơng hai vế :

Chú ý: + ở căn bậc lẻ: 2n1 A có nghĩa với A nên không cần đặt điều kiện















0

7

0

1 x

+ ở luỹ thừa bậc lẻ: a=b  a2n+1=b2n+1; (n



N) nên không cần xột n du
ca hai v.

Giải:+ Lập phơng hai vế

. 7 3 1.





3
7

1   3  23    3  2 

 x x x x x

x (**)

Đến đây có thể học sinh rất lúng túng vì sau khi lập phơng hai vế, vế trái nhìn
rất phức tạp, giáo viên hớng dẫn học sinh nghĩ đến hằng đẳng thức:

( a+b)3 =a3+b3+3a2b+3ab2=a3+b3+3ab(a+b)
VËy (**) cã thÓ viÕt :

x17 x33 (x1)(7 x).



3 x13 7 x



8 (I)
(đến đây thay 3 x13 7 x 2 vào phơng trình) ta đợc:
833 (x1)(7 x).28 (x1)(7 x)0 ( II)

Giải ra: x1 1;x2 7; Thay lại vào PT đã cho ta thấy nghiệm đúng , nên đó là 2
nghiệm của PT ban đầu. Vậy (2) có nghiệm x1 1;x2 7

+ ở phơng trình (2) ngoài việc lập phơng hai vế cần sử dụng hằng đẳng thức một
cách linh hoạt để đa phơng trình về dạng đơn giản a.b = 0 rồi giải.

Chú ý: Do từ (I) suy ra (II) ta thực hiện phép biến đổi khơng tơng đơng , vì nó chỉ
tơng đơng khi x thoả mãn : 3 x13 7 x 2. Vì vậy việc thay lại nghiệm của (II)
vào phơng trình đã cho là cần thiết . Nếu khơng thử lại có th s cú nghim ngoi
lai.

Bài tập t ơng tự : Giải phơng trình :
a) 3 x 1 3 x 1 3 5x







b) 3 2 1 3 3 2 4






 x

x

c)3 2x 1 3 2x 1 310x





</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

2. Ph ơng pháp đ a về ph ơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.

Phơng pháp này là: Khi gặp phơng trình mà biểu thức trong căn có thể viết đợc
dới dạng bình phơng của một biểu thức thì sử dụng hằng đẳng thức A2 A để

làm mất dấu căn đa về phơng trình n gin

Ví dụ1: Giải phơng trình: x2 - 4x - 3 = 5



x (1)

§iỊu kiƯn x > - 5 (*)

Với điều kiện trên: (1) <=> x2 3x +

4
9

= x + 5 + x5 +

4
1

<=>

2
2

2
1
5
2




















 x

x <=>

2
1
5
2





 x

x

(V× x5 + 0

 )

x -

2
1
5
2




 x NÕu x >

2
3

-2
1
5
2





 x NÕu x <

2
3



x = x - 2 NÕu x >
2
3



x = - x + 1 NÕu x <
2
3

x > 2 x > 2

x + 5 = x2 - 4x + 4 x2 - 5x -1 = 0
x < 1  x < 1

x + 5 = x2 - 2x + 1 x2 - 3 x - 4 = 0

2
292
5

x = -1

§èi chiÕu với điều kiện (*) nghiệm của (1) là: x =

2
292

5 ; x = -1

Ví dụ 2: Giải phơng trình

1
2
2
1

2     

 x x x

x = 2 (1)

Điều kiện: x > -1 (*)

Với điều kiƯn trªn:

(1) <=> ( x11)2  ( x11)2 2 <=> x11 x112

<=>
<=>

<=>

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

(v× x110) <=> x1 1 1 x1









































1

0

1

0

1 x

1x0

Đối chiếu với điều kiện (*) nghiƯm cđa (1) lµ: - 1 < x < 0
Ví dụ 3: Giải phơng trình :

2x 22 2x 3 2x138 2x 3 5 (3)

NhËn xÐt: + ở phơng trình (3) học sinh có thể nhận xét vế trái có cùng căn bậc
hai nên có thể bình phơng hai vế. Nhng ở phơng trình này sau khi bình phơng (lần
1) vẫn còn chứa căn nên rất phức t¹p.

+ biểu thức trong căn có thể viết đợc dới dạng bình phơng của một biểu thức
Giải :
ĐK:
2
3
0
3

2x   x ; 2x 22 2x 3 2x138 2x 3 5

C1: Đến đây để giải (***) ta có thể phá dấu giá trị tuyệt đối, trớc khi phá dấu A
thì cần xét dấu của A

NhËn xÐt: 2x 310 vËy chØ xÐt dÊu 2x 3 4

NÕu

2

19

2

3

163

2

04

32 























x

Th× 2x 31 2x 3 45 2 2x 3 8 2x 3 4
Giải ra

2
9

x (Không thoả m·n ®iỊu kiƯn)

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

+ NÕu

2
19

3
4
3

2x   x

Thì 2x 31 2x 345 0x0 vô số nghiƯm x tho¶ m·n

2
19
2


x

KÕt ln:

2
19
2


x

C2: ( Để giải (***) cũng có thể sử dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối .

B
A
B

A   dấu = xảy ra khi và chỉ khi A.B0)

Giải: (***)

5
3
2
4
1
3
2

5
4
3
2
1
3
2

















x
x

Ta cã: 2x 31 4 2x 3  2x 314 2x 3 5

VËy: 2x 31 4 2x 3 5 Khi



2x 31



4 2x 3

0

2

3

0

3

2

4 x

Giải ra:

2
19
2

x

Bài tập t ơng tự: Giải phơng trình
a) x2 4 x 2  x7 6 x 2 1

b) x 2x1 x 2x1  2 (Nh©n 2 vế với 2 thì trong căn sẽ xuÊt

hiÖn

3. Ph ơng pháp đặt ẩn phụ.

Phơng pháp đặt ẩn phụ là phơng pháp hay mà tôi rất tâm đắc , phơng pháp này
có thể dùng để giải đợc rất nhiều phơng trình

Việc giải phơng trình vơ tỷ thờng gây ra nhiều khó khăn, phức tạp: Nếu cứ
nâng lên luỹ thừa để làm mất dấu căn thì dẫn đến phơng trình bậc cao, nhiều khi
khơng biết cách giải. Tuy nhiên, nếu đặt ẩn phụ một cách thích hợp thì có thể
chuyển phơng trình vơ tỷ đã cho về một phơng trình hay một hệ phơng trình đại
số đã có cách giải quen thuộc. Phơng pháp này nói chung khơng làm phức tạp
thêm bài tốn. Cách đặt ẩn phụ cịn tuỳ thuộc vào bài tốn cụ thể, vì vậy phải rất
linh hoạt.

ở phơng pháp này dùng cách đặt ẩn phụ để đa về dạng phơng trình vơ tỷ đơn giản
Cách đặt ẩn phụ: + Đặt 1 ẩn phụ

+ Đặt 2 ẩn phụ
+ Đặt nhiỊu Èn phơ
A)

Cách đặt 1 ẩn phụ :

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

phụ đã đặt .Giải phơng trình tìm ẩn phụ , từ đó tìm ẩn chính.
VD1:Giải phơng trình:

2x2+6x+12+ 2 3 2


 x

x =9 (4)

-Nhận xét:+ ở phơng trình này nếu bình phơng 2 vế sẽ đa về một phơng trình
bậc 4 mà việc tìm nghiệm là rất khó

+ BiĨu thøc trong vµ ngoµi căn có mối liên quan :
2x2+6x+12=2(x2+3x+2)+8

ớng giải :+ Đặt ẩn phụ là y= 2 3 2

x
x

+ Chú ý: Đối với ĐK: x2+3x+20 có thể giải đợc nhng với những
bài toán mà biểu thức trong căn phức tạp thì có thể tìm giá trị của x rồi thử lại
xem có thoả mãn ĐK hay khơng

Gi¶i: §K: x2+3x + 20  (x+1) (x+2) 0 









1
2

x
x

Đặt : 2 3 2

x

x =y0

PT (4)  2y2+y+8=9
 2y2+y -1=0

Gi¶i ra:y1=1/2 ( Thoả mÃn ĐK); y2=-1( Loại)
Thay vào: 2 3 2

x

x =1/2 x2+3x+2=1/4
Gi¶i ra:x1=

2
2
3

 ; x

2
2
3



§èi chiÕu víi §K: x=

2
2
3

thoả mÃn là nghiệm của PT (4)

VD2: Giải phơng trình:
0
7
12
6

2 2 2

x x x

x

( Đề thi học sinh giỏi tỉnh lớp 10 năm 2003-2004)
H

íng dÉn : §K :6x2  12x70;x

Ta biến đổi để thấy đợc mối quan hệ giữa các biểu thứctrong phng trỡnh:

0
7
)
2
(
6

2 2 2

x x x

x

Đặt :x2 2xa

Ta có phơng trình: 6a7a(I)
Giải(I) tìm a từ đó tìm x.
VD2: Giải phơng trình:

x
x

x 1)( 1 1) 2
1

(     

HD: ở bài này ta tìm mối liên hệ các biểu thức bằng cách đặt : 1x u ;

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Giải: ĐK : -1x1;
C1: Đặt:

( 2 1) 2( 1)

)
1
(
)
1

(
2
)
1
2
)(
1
(
)
5
(
1
)
2
0
(
1
2
2
2
2

u
u
u
u
u
u
u
x
u
u
x














0
)
1
(
2
1
2
0
1
2
u
u
u

+ NÕu :u10 u1(tho¶ m·n) x11 x0 (Thoả mÃn ĐK)

0

1

4

5 )1

2(

2

0

1

2 )1

(2

1

2

2
2
2
2

u

Giải ra: u1 1(loại);

25
24
1
5
1
5
1 2

x

u thoả mÃn điều kiện

VËy

25
24
;

0 
 x

x lµ nghiƯm cđa (5)

c2:ở bài này có thể đặt : 1 x a; 1x b ;

Đa về hệ phơng trình:

2 )1

)(

1 (

2
2

b

a

b

a

b

a

C2: Đặt ẩn phụ đa phơng trình về 2 ẩn: ẩn chính và ẩn phụ, tìm mối quan hệ
giÃ ẩn chính và ẩn phụ.

VD3: Giải phơng trình:2 x2 2 x (6)

Nhận xét:- Nếu bình phơng hai vế đa về phơng trình bậc 4 khó nhẩm nghiệm vơ
tỷ.Vì vậy ta có thể đặt ẩn phụ nhng cha đa đợc về phơng trình chỉ chứa một ẩn.
-Hãy tìm cách đa về một hệ phơng trình có 2 ẩn là ẩn chính và ẩn phụ. Tìm mối
quan hệ giữa ẩn chính và ẩn phụ từ đó đ a về phng trỡnh n gin.

Giải: ĐK:

0

2

0

2 x

Đặt: y 2 x x 2 y2






 ;Ta cã hÖ:

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Đây là hệ phơng trình đối xứng












y
x

y
x
x
y
x
y
1
0
)
1
)(
(

+ NÕu x=y ta có phơng trình: 2 x x giải ra x1 (thoả mÃn điều kiện)

+ Nếu1-x=y ta có phơng trình: 2 x 1 x giải ra:

2
5
1

x ( Thoả mÃn điều
kiện)

Vậy phơng trình (6) có 2 nghiệm

2
5
1

;
1 2
1

x
x
VD4: Giải phơng trình:

2 2006 2006

x

Cách 1: Đặt x2006 y ta có hệ phơng trình

2006

2
2

y

x

y

x

giải ra



































1 2006

1 x

x

y

x

y

x

từ đó sử dụng phơng pháp 1 để giải tiếp.

Chú ý : Cách này thờng sử dụng khi quan hệ ẩn chính và ẩn phụ a c v h
ph-ng trỡnh i xng.

Cách 2: Đa 2 vế về cùng bậc:

2006
2
1
2
1
2

1
2006
2
1
2
1
2006
2
1
4
1
2006
2006
4
1
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x

Đến đây tiếp tục giải theo phơng pháp 1

Bài tập t ơng tự : Giải phơng trình

a) 3 1 23 2 1

x

x ; HD: Đặt ẩn phụ y 3 2x 1 ta cã hÖ :

















x

y

x

2

1

2

1

3
3

b) 2 2 2 1 4 1

x x

x ; HD : Đặt Èn phô yx2 x
c)4 2 6 7 2 2 3 9 15

x x x

x

B) Đặt 2 ẩn phụ:

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

VD1: Giải phơng trình: 3 2 x x11 (7)

Nhận xét: ở vế trái có căn bậc 2 và căn bậc 3 nên việc nâng luỹ thừa 2 vế để làm
mất dấu căn là rất khó.

+ Hai biĨu thøc trong căn có mối quan hệ: 2 xx11 (hằng số)

+ Đặt 2 ẩn phụ: Sẽ đa về hệ 2 phơng trình không chứa căn và giải.
Giải: ĐK: x1 Đặt:

3 2 x u; x1v
Ta có hệ phơng trình:

1 v

u

v

u

gi¶i ra u1 0;u2 1;u3 2

Từ đó: x1 1;x2 2;x3 10 ( thoả mãn điều kin)

Vậy phơng trình (7) có 3 nghiệm: x1 1;x2 2;x3 10

VD2: Giải phơng trình:
3
1
2

3 x x

( Đề thi vào Phan Bội Châu 2005)

HD: Đặt3 x 2a; x1b; Ta cã hƯ:

















3 b

a

b

a

Giải ra:a=1; b=1 ; từ đó giải ra tìm x=3
Tổng qt: Đối với phơng trình có dạng:
 n a f(x)mbf(x) c

Ta thờng đặt: un a f(x);vmb f(x) Khi đó ta đợc hệ phơng trình:

















b

a

v

u

c

v

u

m

n hc

b

a

v

u

c

v

u

m
n

Giải hệ này tìm u, v sau dó tìm x
VD3: Giải phơng trình:

3 3 12 3 3 12 3 9 2 1 0








 x x

x (9)

Nhận xét: Nếu lập phơng hai vế thì cũng rất phức tạp vì khơng đa đợc về dạng
a.b=0 nh ở phơng trình (2)

9 2 1 (3 1)(3 1)






 x x

x . Nên có th t 2 n ph

Giải: Đặt 3 3 1

x

u 3 3 1


 x

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

(9) trë thµnh:

















2

1

3
3
2
2

v

u

uv

v

u

Gi¶i ra:











1 v

u

vËy ta cã:

0

1

3

1

3

3
3





















x

VËy (9) cã nghiÖm x=0

Bài tập tơng tự: Giải phơng trình :

a) 1

2
1
2

3 x   x 

b) 3 3 1




a x b

x

Ngoài cách trên có một số bài khi đặt 2 ẩn phụ nhng khơng đa đợc về hệ PT thì
ta có thể tìm quan hệ của 2 ẩn phụ , thay vào hệ thức đã đặt lúc đầu để đ a về
ph-ơng trỡnh n gin. Nh cỏc VD sau:

VD4: Giải phơng trình:

2( 2 2) 5 3 1



 x

x (10)

Nhận xét: Nếu bình phơng hai vế của phơng trình sẽ đa về phơng trình bậc 4 rÊt
khã gi¶i:

íng dÉn : + NhËn xÐt gì về biểu thức x3+1 ?
có dạng HĐT: x3 + 1=(x+1)(x2-x+1)

+ Tìm mối quan hệ giữa x2+2 vµ x3 +1 
x2 +2 =(x2-x+1)+(x+1)

+ Từ đó ta có thể đặt 2 ẩn phụ: 1; 2 1

x b x x

a và tìm mèi quan hƯ a, b tõ

đó tìm x
Giải:
ĐK :x1

)
1
)(
1
(
5
)
1
(

2 2 2






 x x x

x

§Ỉt 1; 2 1






 x b x x

a

Ta có: a2=x+1 ; b2= x2-x+1 ; x2+2=a2+b2
Phơng trình đã cho trở thành:

(2 )( 2 ) 0
5

)
(

2 2 2








b
a
b
a
ab
b
a






a
b
b
a
2
2

* Víi a= 2b ta cã: 1 2 2 1





 x x

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

















2
37
5
2
37
5
0
3
5
2
1
2
x
x
x
x

( Thoả mÃn điều kiện)

+ Với b=2a Ta có: 2 1 2 1





 x x

x . Từ đó giải ra tìm x

( ở dạng này việc tìm mối quan hệ giữa các biểu thức ở hai vế là rất quan trọng
. Vì vậy trớc khi giải phải quan sát nhận xét để tìm ra phơng pháp giải phù hợp).
VD5:Giải phơng trình:

2(3 5) 2 9 3 2 2 30






 x x x

x

( Đề thi vào Phan Bội Ch©u 2004-2005)

HD : Hãy biểu diễn để thấy mối quan hệ các biểu thức:
32x31 x2 93(x29)2x3

Đặt:2x3a; x2 9b ;

Ta có PT: (3 1) 3 2 (3 1)( ) 0








 b a b b b a

a

Giải ra: 

3
1
b
a
b

9
3
2
3
1
9
2
2
x
x
x

; Giải ra: x=0
VD5: Giải phơng trình:5 2 3 16 2( 2 8);



 x

x

( Đề thi vào Phan Bội Châu 2005)

HD: Biến đổi 5 2(x2)(x2  2x4) 2(x2 8)

Mèi liªn hƯ: 2 8 ( 2 2 4) (2 4)







 x x x

x ;

Đặt: 2(x2) a; x2 2x4 b

Ta có phơng trình:5 2( 2 2) (2 )( 2 ) 0







 a b a b a b

ab
Từ đó tìm a,b, v tỡm c x

BT T ơng tự: Giải phơng tr×nh
a) 2( 2 3 2) 3 3 8





 x x

x

b) 2 3 1 3 3 2 2 5 3 16









 x x x x

x
H

íng dÉn :NhËn xÐt: (2 3)( 1) 2 3 5 3







 x x x

x
Đặt :
4
3
4
3
0
1
;
0
3
2
2
2
2
2
2

v
u
x
x
v
u
x
v
x
u

Nên ta có phơng trình: 2 2 20 2 ( )2 ( ) 20 0












v u v uv u v u v

u

Đặt: u+v=t. Ta có phơng trình: t2-t-20=0
Gi¶i ra: 






)
(
4
5
loai
t
t

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Đến đây dùng phơng pháp 1 để giải: x=3
C) Đặt nhiu n ph:

VD1: Giải ph ơng trình : 2 2 1 2 3 2 2 2 2 3 2 2












 x x x x x x

x

Nhận xét: + Phơng trình này nhìn rất phức tạp , nếu nghĩ đến phơng pháp bình
phơng 2 vế thì sẽ đa về một phơng trình phức tạp .

+ Việc đặt điều kiện để các căn thức có nghĩa có thể phức tạp , nên ta giải phơng
trình tìm x rồi thử lại.

+ Quan sát nhận xét các biểu thức trong căn :

)
2
(
)
3
2
2
(
)
2
3
(

)
1
2

( 2 2 2 2











 x x x x x x

x

Nên có thể nghĩ đến phơng pháp đặt ẩn phụ :

Gi¶i: §Ỉt 2x2 1u; x2  3x 2v; 2x22x3z; x2  x2t

Ta cã hÖ :



















2
2
2

v

z

t

u

t

z

v

u

Từ đó suy ra: 2 2 1 2 2 3







t x x x

u Gi¶i ra : x=-2

Thay vào thoả mãn phơng trình đã cho , Vậy phơng trình có nghiệm x=-2

( Phơng pháp này tơi thấy hay và độc đáo , từ đó GV có thể đặt nhiều đề toán
đẹp)

5. Phơng pháp bất đẳng thức.

Ta dùng bất đẳng thức đánh giá mỗi vế của phơng trình để từ đó suy ra
nghiệm của phơng trình. Khi giải phơng trình vô tỷ thờng dùng phơng pháp bất
đẳng thức ở nhiều dạng khác nhau.

* Chứng tỏ tập giá trị ở 2 vế là rời nhau, khi đó phơng trình vơ nghiệm.
Ví dụ: Giải phơng trình:

2
4
1 2
2



 x

x . §KX§: xR

Ta thÊy x2 > 0xR nên

1
1

x và 2 4 2

x => 2 1 2 4 3




 x

x
Hay vế trái lớn hơn hoặc bằng 3 mà vế phải bằng 2
Vậy phơng trình đã cho vơ nghiệm.

* Sử dụng tính đơn điệu của hàm số:
1

1
1

2 3

3 x  x  (*) ĐKXĐ: xR

Dự đoán nghiệm: x = 1

Víi x = 1 ta cã:VÕ tr¸i 3 2.1 1 3 1 1 1 0 1








=> vÕ tr¸i = vÕ phải = 1 => x = 1 là nghiệm của phơng trình (1)
Nếu x > 1 thì 3 2 1 1




</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

3 1 0




x

NÕu x < 1 th× 3 2 1 1




x

3 x10

Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của phơng tr×nh (1)

* Sử dụng điều kiện xảy ra dấu = ở bất đẳng thức khơng chặt.“ ”
Ví dụ: Giải phơng trình:

28
1
4
2
36



 y

x - 4 x 2 y1 (1)

§iỊu kiƯn: x -2 > 0 x > 2 (*)
y - 1 > 0 y > 1

Khi đó (1) <=> 4 . 1 28

1
4
2
2
9























 x y y

x (2)

áp dụng bất đẳng thức Cauchy với hai số dơng ta có:

6
3
.

2
2
.
2
9
2
2
2
9








 x x x

x
4
2
.
2
2
.
2
4
2
1

1
4








 y y y

y

=> 1 4.6 4 28

4
4
2
2
9

y
y
x
x (3)

Để phơng trình (2) có nghiệm thì (3) phải lấy dấu = tức là có:

2
2
9

x
x
1

1
4

y
y

Ta thấy (4) thoả mÃn điều kiện (*)

Vậy nghiệm của phơng trình (1) là x = 11 vµ y = 5

* áp dụng bất đẳng thức để đánh giá một vế của phơng trình rồi kết hợp với
phơng trình đã cho kết luận nghim.

Ví dụ: Giải phơng trình

2
1

1 2 2

x x x x x

x (1)

§KX§: x2 + x - 1 > 0 (*)

x - x2 + 1 > 0

=> vÕ tr¸i < 1 = vế phải (loại)

<=> x = 11 (4)
y = 5

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho mỗi số hạng ở vế trái của (1)

Ta cã:

2
1
1
1

2   




x x x

x

2
1
1
1

2   




 x x x

x

=> 2 1 2 1 1









x x x x

x

Kết hợp với phơng trình (1) ta đợc: 0  x2 - x + 2 < x+1

(x-1)2 < 0. Đẳng thức xảy ra khi x=1 (thoả mÃn điều kiện (*)).

Thử : Thay x=1 vào phơng trình (1) ta thấy x=1 là nghiệm duy nhất của phơng
trình (1).

6. Phơng pháp sử dụng tam thức bậc hai:

Đa phơng trình đã cho về dạng chính tắc ax2 + bx +c = 0 ) (a 0)
Ví dụ: Giải phơng trình

x2 - 7x + 2(x+2). x324 (1)
§KX§: x  -3

Khi đó (1) <=> x2 + x - 8x - 24 + 2(x+2). 3 0




x

<=> - 8(x +3) + 2(x +2). x3 + x 2 + x = 0

Đặt y = x3 (y > 0) , (2) <=> - 8y2 + 2(x + 2)y + x2 + x = 0

 = (x + 2)2 + 8(x2 + x) = (3x + 2)2

y1 =

4
8

2
3

2 x x

x 









, y2 =

2
1
8

2
3

2 








 x x x

+ Víi y1 =

4
x



ta cã

3 x

x  <=> x + 4 x30 <=> x +3 + 4 x3 30

 = 4 + 3 = 7

=> x32 7 < 0 (lo¹i)
7

2
3 


x > 0

<=> x +3 = 4 + 7 - 4 7 <=> x = 8 - 4 7 < -3 (lo¹i)
+ Víi y2 =

2
1



x

ta cã

2
1
3 
 x

x

<=> x + 1 - 2 x30 <=> x + 3 - 2 x3 20, ' = 1 + 2 = 3

0
3
1
3

x (loại)

0
3
1
3

x (TMĐK)

<=> x + 3 = 1 + 3 + 2 3 <=> x = 1 + 2 3 (tho¶ m·n)
<=>

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

VËy x = 1 + 2 3 là nghiệm của phơng trình (1)

7. Phơng pháp đa về dạng tổng của đa thức không âm bằng không.
Ví dụ: Giải phơng trình.

x + y + z + 4 = 2 x 24 y 36 z 5 (1)

§KX§: x > 2 ; y > 3 ; z > 5 (*)

(1) <=> (x - 2 - 2 x 21)(y 3 4 y 34)(z 5 6 z 59)0

<=> ( 2 1)2 ( 3 2)2 ( 5 3)2 0










 y z

x

x 2 10 x - 2 = 1 x = 3
<=> x 3 20 <=> y - 3 = 4 <=> y = 7
z 5 30 z -5 = 9 z = 14

Đối chiếu với điều kiện (*) nghiệm của phơng trình (1) là: x = 3; y = 7; z = 14
8. Phơng pháp Đoán nghiệm, chứng minh nghiƯm duy nhÊt

VÝ dơ: Gi¶i pt: 5 6 3 3 4 2 1





 x x

Nhận xét: Nếu sử dụng 5 phơng pháp trên đều khó giải đợc nên suy nghĩ để tìm
cách giải khác.

íng dÉn : + Thư nhÈm tìm nghiệm của pt
+ Chứng minh nghiệm duy nhất
Giải: Nhận thÊy x 1 lµ mét nghiiƯm cđa pt

+ XÐt x 1 th×

5

3

12

3

2

5

12

3

4

5 6

3 4

4

6

4

6 xx

x

nên pt vô nghiệm

+ xét x 1 ta cã:

5

3

2

1

2

3

4

5

6 3 4

4
6

x

nên pt vô nghiệm

Vậy pt có 2 nghiệm x=-1 và x=1
Ví dụ 2: Giải phơng trình: 
5 x13 x8x3 1

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

+NÕu x<0 th× 5 x 11;3 x8 2;x3 11

VËy VP <1; VT>1 nên phơng trình vô nghiệm .

+ Nếu x>0 thì VP<1; VT>1 nên phơnhg trình vô nghiệm.
Vậy x=0 là nghiệm duy nhất của phơng trình

BT tơng tự: Giải phơng tr×nh

9
2
1

23
2

28 3 2
3 2









 x x x

x
H

íng dÉn : TX§: x1

NhËn thÊy x=2 lµ nghiƯm

Chøng tá: 1x<2 thì phơng trình vô nghiệm

x>2 phơng trình vô nghiệm

( những phơng trình phức tạp mà việc sử dụng các phơng pháp 1 đến phơng
pháp 4 đều không giải đợc thỡ ta ngh n phng phỏp 5).

9. Phơng trình vô tỷ có biện luận.

Ví dụ 1: Giải và biện luận phơng trình:
3

3 a x a x b

(1)

ĐKXĐ: x > 0

Lập phơng 2 vế của phơng trình (1) ta đợc:

a + x a x a x a x a xb





   




 33 2 . 3 3 (2)

V× 3 a x 3 a x 3 b





 nªn (2) <=> 3.3 a2  x.3 b b 2a <=> 3 2 3

3
2
b
a
b
x
a   

(b  0) <=> a2 - x =

b
a
b
27
)
2
( 3


<=> x = a2 -

b
a
b
27
)
2

( 3


<=> x =

b
b
a
ab
b
a
27
15
6

8 3 3 2 2






<=> x =

b
ab
b
a
b
ab

b
a
a
27
2
8
16

8 3 2 2 3 2 2






 <=> x =

b
b
a
b
a
27
)
8
(
)
( 2

Vì x > 0 nên

b
b
a
b
a
27
)
8
(
)
(  2 

> 0
- NÕu a + b 0 th×:

+ Khi a > 0; 0 < b < 8: Phơng trình (1) vô nghiệm.

+ Khi a > 0; b < 0 hc b > 8: Phơng trình (1) có nghiệm: x =

b
b
a
b
a
27
)
8

(
)
( 2

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

- NÕu a = b = 0; Ph¬ng trình (1) có vô số nghiệm x > 0
Kết luận:Nếu a > 0 và 0 < b < 8: Phơng trình (1) vô nghiệm

Nếu a > 0 và b < 0 hoặc b > 8; Phơng trình (1) có nghiệm
x =

b
b
a
b
a

)
8
(
)

( 2

Nếu a = - b 0 : Phơng trình (1) có nghiệm x = 0
NÕu a = b = 0 : Ph¬ng trình (1) có vô số nghiệm x > 0
Nếu a < 0 : Phơng trình (1) vô nghiệm

Ví dụ 2: Giải và biện luận phơng trình:

2
)

(
)

(

4
4

4 a b

b
x
x
a

x
a
b
x

b
x
x

a

(a, b là tham số: a b)
ĐKXĐ: a - x > 0

x - b > 0
+ NÕu a > b thì b < x < a (2)

Đặt 4 x b u, 4 a x v ,(u, v > 0). Ta cã u4 + v4 = a - b

Khi đó (1) <=>

. 4 4 4

4 u v

v
u

v
u
u

v 




 <=> u5 + v5 - u4v - uv4 = 0

<=> u4(u - v) - v4 (u - v) = 0 <=> (u - v)(u4 - v4) = 0 <=> (u - v)2 (u + v)(u2 + v2) =
0

V× u2 + v2 0 nªn u + v  0 nªn u -v = u => u =v
<=> 4 x b4 a x <=> x - b = a – x <=> x =

2
b
a

(thoả mÃn điều kiện (2)
+ Nếu a < b: Phơng trình (1) vô nghiệm

Kết luận: Nếu a > b: Phơng trình (1) có nghiệm x = 
2

b
a

NÕu a < b: Phơng trình (1) vô nghiệm
VI. Một số sai lầm khi giải phơng trình vô tỷ.

Thng hc sinh hay mắc sai lầm khi giải phơng trình vơ tỷ mà có căn bậc chẵn,
đó là:

- Khơng tìm tập xác định khi giải:

- Không đặt điều kiện khi biến đổi tơng đơng các phơng trình.
Ví dụ: Giải phơng trình: 3x 2 2x 3 5x1 (1)
Giải sai:

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

)
3
2
)(
1
5

( x x

<=> 2 10 2 17 3 4 2






 x x

x <=> 10x2 17x 3 1 2x





 (2)

<=> 10x2 - 17x + 3 = 1 + 4x2-4x (3) <=> 6x2 – 13x + 2 = 0 <=> (x - 2)(6x - 1)
= 0

x = 2
x =

6
1

Vậy nghiệm của phơng trình (1) là x = 2; x =
6
1
Phân tích sai lầm:

õy hc sinh khơng chú ý đến điều kiện có nghĩa của cn thc.

Trong ví dụ trên: Điều kiện x >
2
3

. Do vËy
6
1

<
2
3

nªn x =
6
1

khơng là nghiệm
của phơng trình (1). Để khắc phục sai lầm này ta tìm ĐKXĐ của phơng trình
hoặc giải rồi thử các giá trị tìm đợc của ẩn vào phơng trình đã cho để kết luận
nghiệm.

- Không đặt điều kiện để biến đổi tơng đơng các phơng trình.

ở ví dụ trên: các phơng trình (2) và (3) khơng tơng đơng mà
Phơng trình (2) <=> 1 - 2x > 0

10x2 - 17x + 3 = (1- x)2

=> Nh vậy phơng trình (3) tơng đơng với phơng trình (2) khi x<

2
1
.
=>x = 2 cũng không là nghiệm của phơng trình (1).

Gii đúng:
ĐKXĐ: x >

2
3

(*) . Ta cã: (1) <=> 10x2 17x 3 1 2x






</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

6

1

6

1 ,2

2

1 0213

6

2

1

441 1317

10

021

2

1

2

x

xx

x

xx

x

xx

x

Đối chiếu với điều kiện (*) => phơng trình (1) vô nghiệm.

kết luận

Trờn õy tụi ó trỡnh by cách nhận dạng và các phơng pháp giải phơng trình vô
tỷ. Trớc khi giải học sinh nhận xét và thử các biện pháp từ đễ đến khó để tìm ra
phơng pháp phù hợp để giải. Sau đó học sinh sẽ giải các bài tập t ơng tự cùng
dạng, và tự đặt thêm một số bài tập để khắc sâu thêm phơng pháp giải .

Tôi nghĩ rằng với mỗi vấn đề , mỗi chuyên đề toán học chúng ta đều dạy theo
từng dạng , đi sâu mỗi dạng và tìm ra hớng t duy ,hớng giải và phát triển bài
tốn .Sau đó ra bài tập tổng hợp để học sinh biệt phân dạngvà tìm ra cách giải
thích hợp cho mỗi bài thì chắc chắn học sinh sẽ nắm vững vấn đề . Và tôi tin
chắc rằng toán học sẽ là niềm say mê với tất cả học sinh .Việc vận dụng sáng
kiến kinh nghiệm này đã mang lại nhiều hiệu quả trong việc giải các bài tốn
có liên quan và giải các bài tốn thuộc dạng này. Phần đơng các em đều có
hứng thú làm bài tập nếu nh bài tập có phơng pháp giải hoặc vận dụng các
ph-ơng pháp giải của một loại toán khác và giải.

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

phải vận dụng nhiều đơn vị kiến thức cùng một lúc và giải quyết vấn .

Với cách học và cách hớng dẫn học sinh làm bài nh vậy không những nâng
cao kiến thức cho các em mà còn là hình thức củng cố, khắc sâu kiến thức cho
các em.

Trong tài này tôi đã nêu đợc một số phơng pháp về giải phơng trình
vơ tỷ, mỗi phơng pháp có một số ví dụ minh hoạ do tơi tuyển chọn ở một số
liệu tham khảo. Do điều kiện vừa học tập vừa cơng tác, kinh nghiệm cịn hạn
chế nên q trình viết khó tránh khỏi đơn điệu, nhng tơi hy vọng rằng một
phần nào đó giúp chúng ta hiểu kỹ hơn về tốn giải ph ơng trình vơ tỷ và phơng

pháp giải từng dạng.

Thông qua nghiên cứu đề tài này, bản than tôi thực sự rút ra đợc nhiều kiến
thức quý báu, giúp tơi hồn tành tốt hơn cho cơng việc giảng dạy sau nay.

Tơi rất mong nhận đợc sự đóng góp ý kiến q báu của thày, cơ và bạn bè
đồng nghiệp để vốn kiến thức của tôi ngày càng hoàn thiện và phong phú hơn.
Qua một năm tham gia giảng dạy và thử nghiệm về sáng kiến kinh nghiệm của
mình tơi cũng đạt đợc những kết quả nhất định nh sau:

Khi chưa áp dụng chuyên đề Sau khi áp dụng chuyên đề

Giỏi Khá TB Dưới TB Giỏi Khá TB Dưới TB

5% 15,5% 20% 59,5% 17% 30,4% 20% 32,6%

Với kinh nghiệm nho nhỏ nh vậy tôi xin đợc trao đổi cùng các đồng
nghiệp.Tôi rất mong đợc sự góp ý chân thành của các đồng nghiệp và các thầy cơ
đã có nhiều kinh nghiệm trong giảng dạy .

Tôi xin chân thành cảm ơn !

Hi Dương, ngày 25 tháng 03 năm 2010
Người thực hiện

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27></div>
(28)<div class='page_container' data-page=28></div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

TuÇn 15

TiÕt 30: kiểm tra chơng II

Ngày soạn: 12 /12/2009

Ngày dạy : 19/12/2009

I. Mơc tiªu.

- Kiểm tra hs kiến thức về hàm số bậc nhất: định nghĩa, tính chất, đồ thị;
đường thẳng song song, cắt nhau.

- Kiểm tra kỹ năng vận dụng các kiến thức đã học vào việc tìm hàm số bậc
nhất, vẽ đồ thị, tìm điều kiện để hai đường thẳng song song, cắt nhau.

- Kiểm tra về khả năng tính tốn, trình bày bài giải ca hc sinh.

II. Chuẩn bị.
1.Giáo viên :

- kim tra, đáp án, biểu điểm

2.Häc sinh

- «n tập lại các kin thc ó hc

- Chuẩn bị tốt các câu hỏi và bài tập ôn tập chơng II
- Giấy kiểm tra

III.Tiến trình dạy học.
1.Tổ chức

9A1: 9A2:
2.Đề bài:

*Đề lớp 9A1:

A.Bài tập trắc nghiệm: ( 3 ủ)

Chn ỏp án đúng trong các câu sau:

Câu 1: Hàm số nào sau đây là hàm số bậc nhất?

a) yx 1x b) y( 2 1)xx c ) y x2 d) y = 2x2 +

3 Câu 2: Với giá trị nào cuả a thì hàm số 3
2

2   








 a x a

y nghịch biến trên

tập số thực R?

a) a = 2 b) a > 4 c) a < 4 d) a = 1

Câu 3: Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số 1
2


 x

y .

a) A(1 ; 21 ) b) B(3 ; 3) c) C(-1 ; 12 ) d) D(-2 ; -1)

B.Bµi tËp tù luËn (7 đ)

Bài 1: (3 đ)

Cho hàm số bậc nhất: y = 2x + 1.
a,Vẽ đồ thị ( d) hàm số trên.

b,Tìm trên (d) điểm có hồnh độ và tung độ bằng nhau.

c, Tính góc tạo bởi đường thẳng (d) và tia Ox ( làm tròn đến phút).

Bài 2: (2 đ)

Xác định hàm số y = ax + b ( a0) trong mỗi trường hợp sau:

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

b,Đồ thị của hàm số đi qua điểm (1; -2) và song song với đường thẳng y = - 3x.

Bài 3: (2 đ)

Tìm m để hàm số y = (m – 2)x + 5

a, ng bin
b, Nghch bin

*Đề lớp 9A2:

A.Bài tập trắc nghiƯm: ( 3 đ)

Chọn đáp án đúng trong các câu sau:

Câu 1: Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số 1
2


 x

y .

a) A(-1 ; 21 ) b) B(-2 ; -1) c) C(1 ; 21 ) d)

D(3 ; 3) Câu 2: Với giá trị nào cuả a thì hàm số 3
2

2   








 a x a

y nghịch biến

trên tập số thực R?

a) a = 1 b) a < 4 c) a > 4 d) a = 2

Câu 3: Hàm số nào sau đây là hàm số bậc nhất?
a) y( 21)xx b)

x
x

y   1 c ) y = 2x2 + 3 d) y x2

B.Bµi tËp tù ln (7 đ)

Bài 1: (3 ñ)

Cho hàm số bậc nhất: y = 3x + 1.
a,Vẽ đồ thị ( d) hàm số trên.

b,Tính góc tạo bởi đường thẳng (d) và tia Ox ( làm trịn đến phút).

Bài 2: (2 đ)

Xác định hàm số y = ax + b ( a0) trong mỗi trường hợp sau:

a, Khi a = 2, đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hồnh độ bằng 4 .
b, Đồ thị của hàm số đi qua điểm (1; -2) và song song với đường thẳng y = - 5x.

Baøi 3: (2 ñ)

Tìm m để hàm số y = (m + 3)x - 8

a, Đồng biến
b, Nghịch biến

3. Đáp án và biểu điểm:
*Đề lớp 9A1:

A.Bài tập trắc nghiƯm: ( 3 đ)

Câu 1 : b, Câu 2: b, Câu 3: a,
Mỗi câu đúng được 1 đ.

B.Bµi tËp tù ln (7 đ)

Bài 1:

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

x 0 -1/2

y = 2x + 1 1 0

*Vẽ đồ thị: (0,5ủ)

b) Goïi A (m; m) là điểm phải tìm .

Vì A



(d) nên : m = 2m + 1 (0,5

ñ)

 m = -1.

(0,25 ñ)

Vậy A(-1; -1) là điểm thuộc đường thẳng (d) có hồnh độ và tung độ
bằng nhau.
(0,25 đ)

c,Đường thẳng (d) cắt trục hoành tại M(-12 ; 0) và cắt trục tung tại N(0; 1)
.(0,25
đ)

Góc tạo bởi đường thẳng (d) và tia Ox là góc nhọn OMN ( vì a >0). (0,25
đ)

Aùp dụng tỉ số lượng giác vào tam giác OMN vng tại O, ta có:

Tg OMN = 2

2
1
1




OM
ON

. (0,25

ñ)

 OMN



630 26’.

(0,25 ñ)

Bài 2: a) Khi a= 2, đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hồnh độ
bằng 3

Nên ta thay a = 2; x =3; y = 0 vào hàm số y = ax + b, ta được:
2.3 + b = 0

(0,5 ñ)



y

1
2



x




 



 M

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

 b = -6. (0,25 đ)

Vậy hàm số cần tìm là: y = 2x -6. (0,25

đ)

b)Đồ thị hàm số y = ax + b song song với đường thẳng y = -3x.

 a = - 3 và b 0. (0, 25

đ)

Hàm số có dạng : y = -3x + b. (1)

Ngoài ra, đồ thị của hàm số đi qua điểm (1; -2) nên:

Thay x = 1; y = -2 vào (1) ta được:

-3. 1 + b = -2 (0, 25

ñ)

 b = 1 0. (0,25

đ)

Vậy hàm số cần tìm là: y = -3x + 1. (0,25

đ)

Bài 3:

a, Hàm số đồng biến  m 2 0  m2 (0,5 )

b, Hàm số nghịch biÕn  m 2 0  m2 (0,5

ñ) *Đề lớp 9A2:

A.Bài tập trắc nghiệm: ( 3 ñ)

Câu 1 : c, Câu 2: c, Câu 3: a,
Mỗi câu đúng được 1 đ.

B.Bµi tËp tù luËn (7 đ)

Bài 1:

a) *Bảng giá trị (0,75ñ)

x 0 -1/3

y = 3x + 1 1 0

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

b,Đường thẳng (d) cắt trục hoành tại M(-13; 0) và cắt trục tung tại N(0; 1).

(0,25 đ)

Góc tạo bởi đường thẳng (d) và tia Ox là góc nhọn OMN ( vì a >0).

(0,25 ñ)

Aùp dụng tỉ số lượng giác vào tam giác OMN vuông tại O, ta có:

Tg OMN = 11 3

ON

OM   . (0,75

ñ)

 OMN



710 57’.

(0,25 ñ)

Bài 2: a) Khi a= 2, đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hồnh độ
bằng 4

Nên ta thay a = 2; x =4; y = 0 vào hàm số y = ax + b, ta được:
2.4 + b = 0

(0,5 ñ)

 b = -8. (0,25 đ)

Vậy hàm số cần tìm là: y = 2x -8. (0,25

đ)

b)Đồ thị hàm số y = ax + b song song với đường thẳng y = -5x.

 a = - 5 vaø b 0. (0,25

®) Hàm số có dạng : y = -5x + b. (1)

Ngoài ra, đồ thị của hàm số đi qua điểm (1; -2) nên:
Thay x = 1; y = -2 vào (1) ta được:

-5. 1 + b = -2 (0,25

ñ)



y

1
3



x




 



 M

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

 b = 3 0. (0,25

đ)

Vậy hàm số cần tìm là: y = -5x + 3. (0,25

đ)

Bài 3:

a, Hàm số đồng biến  m3 0  m3 (1

ñ) b, Hàm số nghịch biến m3 0  m3

(1 đ)

4. NhËn xÐt- H íng dÉn vỊ nhµ:

+Ưu điểm
+Giáo viên nhận xÐt vỊ ý thøc cđa häc sinh trong giê kiĨm tra:

+Nhợc điểm
+Làm lại bµi kiĨm tra vµo vë bµi tËp

+Xem tríc bµi míi:" Phơng trình bậc nhất hai ẩn"
5.Đánh giá kết quả

Lớp T/S bµi 0-3 3-4,5 5-6 6,5-7,5 8-10 TB 

9A1
9A2

ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP TOÁN 9

HỌC KỲ I NĂM HỌC 09-10

A/ LÝ THUYẾT:

I- I S:

*

căn thức bậc hai

1.

Điều kiện tồn tại của căn thức bậc hai : A Cã nghÜa  A0

2.

Hằng đẳng thức : A2 A

3.

Liên hệ giữa phép nhân và phép khai ph ơng : A.B  A. B (A0;B0)

4.

Liên hệ giữa phép chia và phép khai ph ¬ng :

B
A
B
A

 (A0;B0)
5.

§ a thừa số ra ngoài căn: A2.B A B.

 (B0)
6.

§ a thõa sè vào trong căn: A B A2.B

 (A0;B0)

A B A2.B



 (A0;B0)

7.

Khử căn thức ở mÉu :

B
B
A
B

A .

 (B0)
8.

Trục căn thøc ë mÉu :

B
A

B
A
C
B
A

C

)

(

*

hàm số bậc nhất

. Định nghÜa Hµm sè bËc nhÊt :

Dạng TQ: yaxb Trong đó a; b là các hệ số ;a0
10.

Tính chất của hàm số bậc nhất:
+ TXĐ: xR

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

11.

Đồ thị của hàm số bËc nhÊt :

+ Đồ thị hàm số bậc nhất là đờng thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b;
cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ bằng

a
b

 .

+ Cách vẽ đồ thị của hàm số bậc nhất:
* Lập bảng giá trị

x 0 -b/a

y b 0

*Vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm: -b/a ( ở trục hoành) và b ( ở trục tung)  đồ thị
của hàm số bậc nhất y = ax + b ( a 0 )

12.Điều kiện để hai đờng thẳng: (d1): y = ax + b; (d2): y = a,x + b, :
a, Hai đờng thẳng cắt nhau a a,


 .

*Hai đờng thẳng cắt nhau trên trục tung

a a
b b

 

 





* Hai đờng thẳng vng góc với nhau  . ' 1.




a
a

b, Hai đờng thẳng song song với nhau

/
/

a a
b b

 

 





c, Hai đờng thẳng trùng nhau

/
/

a a
b b

 

 






13. Hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b :
* Hệ số góc: a.

* Cách tính góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b với trục Ox : dựa vào tỉ số lợng giác
a

tg 

 Trờng hợp: a > 0 thì góc tạo bởi đờng thẳng với trục Ox là góc nhọn.

 Trờng hợp: a < 0 thì góc tạo bởi đờng thẳng với trục Ox là góc tù (1800   )

II.

h×nh häc:

1. Các hệ thức về cạnh và đờng cao trong tam giác vuông

2. §ịnh nghĩa : “Tỷ số lượng giác của góc nhọn”

3. Nêu các tính chất của các tỉ số lợng giác

4. Phát biểu và viết các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông?

5. nh ngha ng trn - Tâm đối xứng - Trục đối xứng của đờng trịn

6. Đờng kính và dây của đờng trịn

7. Quan hệ giữa dây vàkhoảng cách từ tâm đến dây

8- §ịnh nghĩa vµ tÝnh chÊt tiếp tuyến của đường trịn

12- Các v trớ tng i ca đng thng v đường tròn.

B/ BÀI TẬP:
I.đại số

*D

ạ ng b i tà ậ p v ề c ă n b ậ c hai:

1, Rót gän biĨu thøc
2, Tìm ĐKXĐ

3, Giải PT

4, Tính giá trị của biểu thức

5, Các bài toán tổng hợp về rút gọn biểu thức:
*D

ạ ng b i tà ậ p v ề hµm sè:
1, NhËn biÕt hµm sè

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

3, Điều kiện để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất

4, Điều kiện để hàm số đã cho là hàm số đồng biến, nghịch biến
5, Tìm điều kiện để hai đờng thẳng song song, cắt nhau, trùng nhau

6, Vẽ đồ thị hàm số

7,Tìm toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng

8, Tính chu vi, diện tích các hình tạo bởi hai đờng thẳng
9, Tính góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b và trục Ox
10, Cách CM điểm thuộc đồ thị; điểm khơng thuộc đồ thị:
11, Lập phơng trình đờng thẳng:

+ Lập phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm

+ Lập phơng trình đờng thẳng biết hệ số góc và đi qua một điểm

+ Lập phơng trình đờng thẳng đi qua một điểm và song song với đờng thẳng cho
trớc

+ Lập phơng trình đờng thẳng song song với đờng thẳng cho trớc và cắt trục tung
tại điểm có tung độ bằng b

12, Cách chứng minh đờng thẳng đi qua một điểm cố định
13, Cách chứng minh ba điểm đồng quy, ba điểm thẳng hàng
14, Tìm điều kiện để hai đờng thẳng cắt nhau trên trục tung
15, Tìm điều kiện để hai đờng thẳng cắt nhau trên trục hồnh

ii.h×nh häc
*

Các bài toán áp dụng hệ thức lợng trong tam giác vuông
* Các bài toán về đ ờng trßn:

* Các bài tốn gắn với yếu tố chuyển động

đề kiểm tra chơng i
mơn: hình học - lớp 9a1
( Tiết 19- Ngày kiểm tra: 13/11/2009 )

Thêi gian lµm bµi 45 phút

bi:

Câu 1 (3 đ). Trong ABC có AB = 12 cm, ABC = 400, 

ACB = 300, đờng cao AH.
Hóy tớnh di AH, AC.

Câu 2 (2 đ). Dựng gãc nhän  biÕt sin = 2

5. Tính độ lớn gúc .

Câu 3 (5 đ). Cho ABC vuông ở A cã AB = 3 cm, AC = 4 cm.
a) Tính BC, B; C

b) Phân giác của A cắt BC t¹i E. TÝnh BE, CE.

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

đề kiểm tra chơng i

mơn: hình học - lớp 9a2
( Tiết 19- Ngày kiểm tra: 13/11/2009 )

Thêi gian lµm bµi 45 phót

đề bài:

Câu 1 (4 đ). Trong ABC vuông tại A, đờng cao AH có AH = 15 cm, BH = 20 cm.
Tớnh AB, AC, BC, HC.

Câu 2 (2 đ). Dựng góc nhän  biÕt cotg = 2

5 . Tính độ lớn gúc .

Câu 3 (4 đ). Cho ABC có AB = 6 cm, AC = 4,5 cm, BC = 7,5 cm.
a) Chøng minh ABC vu«ng.

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38></div>

giai bai toan bang cach lap phuong trinh

sáng kiến kinh nghiệm:

<b>các Ph</b>

<b> ơng pháp giải ph</b>

<b> ơng trình vô tỉ</b>

<b>các Ph</b>

<b> ơng pháp giải ph</b>

<b> ơng trình vô tỉ</b>

<i>Phạm Thị Thuỷ</i>

s¸ng kiến kinh

nghiệm:

<b>các Ph</b>

<b> ơng pháp giải ph</b>

<b> - </b>

<b>ơng trình vô tỉ</b>

<b>t vn </b>

<b>giải quyết vn </b>

1

7

2

<i>x</i>

<i>x</i>















0

7

0

1

<i>x</i>

<i>x</i>

<sub></sub>



















































1

1

1

1

0

1

1

0

1

1

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

2

19

2

3

163