D DA HSG TOAN 9 LAM DONG

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
LÂM ĐỒNG

ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi có 1 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9
NĂM HỌC 2011-2012

Môn : TỐN

Thời gian làm bài: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề)
Ngày thi :18/02/2012

Câu 1: (2,0 điểm) Cho a – b = 3.Tính giá trị của biểu thức: A= a2_{(a+1) – b}2_{(b – 1) +ab – 3ab(a}
– b +1).

Câu 2: (2,0 điểm) Rút gọn : B = 1007 2013 1007 2013

2 2

 



Câu 3: (2,0 điểm) Chứng minh : n3_{– 6n}2_{– 13n + 18}_{chia hết cho 6 . ( n}__{Z )}

Câu 4: (2,0 điểm) Cho hàm số y = f(x) = (4m - m2_{-5)x -} ₂₀₁₂_{.So sánh f(1-} ₂₀₁₁_{) và}

f(1-2013).

Câu 5: (1,5điểm) Cho ABC có trung tuyến AM .Chứng minh :

2

2 2 2 BC

AB AC 2AM

2

  

Câu 6 : (1,5điểm) Tìm số tự nhiên a biết a + 13 và a – 76 là các số chính phương.

Câu 7: (1,5điểm) Chứng minh rằng với mọi x,y ta có : 4 4 3 3

<i>x</i> <i>y</i> <i>xy</i> <i>x y</i>

Câu 8: (1,5điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C =



2<i>x</i> 3



2 2 2<i>x</i> 3 6

Câu 9: (1,5điểm) Cho ABC có _Aµ nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) .Chứng minh rằng:

BC 2R.sin A

Câu 10:(1,5điểm) Tìm các số nguyên tố x,y thoả mãn : x2_{– 2y}2_{= 1}

Cõu 11:(1,5điểm) Cho ABC, đờng thẳng d cắt AB , AC và trung tuyến AM theo thứ tự

tại E ,F,N

(EA,B và FA,C ).Chøng minh : AB AC 2AM
AEAF AN .

Câu12:(1,5điểm) Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng a ở ngồi đường trịn. Gọi OH là
khoảng

cách từ tâm O đến a và M là một điểm chuyển động trên a. Từ M kẻ hai tiếp
tuyến

MA,MB với đường tròn (O) (A, B là hai tiếp điểm). Gọi D là giao điểm của
AB với

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

- Giám thị khơng được giải thích gì thêm.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
LÂM ĐỒNG

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9
NĂM HỌC 2011-2012

Mơn : TỐN

Ngày thi :18/02/2012

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC VÀ THANG ĐIỂM

Câu 1(2,0 điểm) Biết a – b = 3. Tính giá trị của biểu thức: A= a2_{(a+1) – b}2_{(b – 1) +ab –}
3ab(a–b+1).

A = a3_{+ a}2_–b3_+b2_+ab–3a2_{b +3ab}2_–3ab
0,5đ

= (a3_–3a2_{b +3ab}2_{– b}3_{) + (a}2_{–2ab +b}2₎
0,5đ

= (a–b)3_+(a–b)2
0,5đ
= 33₊₃2₌₃₆

0,5đ

Câu 2(2,0 điểm) B = 2014 2 2013 2014 2 2013

4 4

 

 0,5đ

= ( 2013 1)2 ( 2013 1)2

4 4

 

 0,5đ

= 2013 1 2013 1

2 2

 

 0,5đ

= -1
0,5đ

Câu 3: (2,0 điểm) Chứng minh : n3_{– 6n}2_{– 13n + 18}_{chia hết cho 6 . ( n}__{Z )}

A = n3_{– 6n}2_{– 12n + 18} _{A = n}3_{– n – 6n}2_{–12 n + 18} _0,5đ

A = n(n – 1)(n+1) – 6n2_{– 12n + 18} _0,5đ

Do n(n – 1)(n+1) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên n(n – 1)(n+1) 6 0,5đ

Mặt khác – 6n2_{– 12n + 18} _{6 nên A 6} _0,5đ

Câu 4: (2,0 điểm) Cho hàm số y = f(x )= (4m-m2_-5)x- ₂₀₁₂_{.So sánh f(1-} ₂₀₁₁_)và

f(1-2013).

Biến đổi (4m - m2 _{- 5) =}_ _

_

_{m 2}_

_

2_₁_

 

0,5đ

  

_

m 2

_

21 0

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Lập luận 1 2011 1  2013

0,5đ

 _{f (1} _{2011) f (1}  ₂₀₁₃₎
0,5đ

Câu 5 : (1,5điểm) Cho tam giác ABC có trung tuyến AM .Chứng minh :

2

2 2 2 BC

AB AC 2AM

2

  

Vẽ AHBC ,HBC

c/m được AB2_+AC2 _{= 2AH}2_{+ BH}2_{+ CH}2 ₍₁₎
0,5đ

c/m được AH2_{= AM}2 _{- HM}2

BH2_{= BM}2 _{-2BM. HM+HM}2

CH2_{= HM}2 _{-2HM. CM+CM}2 ₍₂₎
0,5đ

Từ (1),(2) 

2

2 2 2 BC

AB AC 2AM

2

  

0,5đ

Câu 6: (1,5điểm) Tìm số tự nhiên a biết a + 13 và a – 76 là các số chính phương.
Vì a + 13 và a – 76 là các số chính phương

Đặt a + 13 = _m2_{, a – 76 =}_n2_{với m, n}__N.

0,25đ

 _m2_{– n}2_{= 89} _{(m – n)(m + n) = 89}
0,25đ

Vì 89 là số nguyên tố và m – n < m + n nên m n 1
m n 89

 




 


 m 45
n 44







0,75đ

a +13 = 452 _ _{a = 2012}
0,25đ

Câu 7 : (1,5điểm) Chứng minh rằng với mọi x,y ta có : <i>_x</i>4 <i>_y</i>4 <i>_xy</i>3 <i>_{x y}</i>3

   (1)
(1)  <i>x</i>4<i>y</i>4 <i>xy</i>3<i>x y</i>3  _x(x3_{- y}3_{) – y(x}3_{- y}3₎ 0

0,5đ

 (x-y)2(x2 + xy + y2)  0

0,25đ

 (x-y)2

2 2

y 3y

x 0

2 4

_ _ 

  

_ _ 

 

 

 

(2)
0,25đ (2) luôn đúng  (1) đúng

0,25đ

<b>H</b> <b>M</b>

<b>A</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Dấu “ =” xày ra khi x = y
0,25đ

Câu 8: (1,5điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C =



2<i>x</i> 3



2 2 2<i>x</i> 3 6
C=2<i>x</i> 32 2 2<i>x</i> 3 6

0,25đ

Đặt t = |2x- 3| 0  C = t2 – 2t + 6
0,5đ

C = (t –1)2_{+ 5}_₅
0,25đ

 _{giá trị nhỏ nhất của biểu thức C là 5 khi t = 1} _{x = 2 hoặc x = 1}
0,5đ

Câu 9: (1,5điểm) Cho tam giác ABC có Aµ nhọn nội tiếp đường trịn (O;R) .Chứng minh

rằng:BC 2R sin A

Vẽ đường kính BD  __{BCD vng tại C}
0,5đ

 BC = BD.sinD (1)
0,25đ

Ta có A Dµ µ , BD = 2R (2)
0,5đ

Từ (1) và (2)  BC = 2R.sinA
0,25đ

Câu 10: (1,5điểm) Tìm các số nguyên tố x,y thoả mãn : x2_{– 2y}2_{= 1}

x2_{– 2y}2_{= 1}_ _{(x-1)(x+1) = 2y}2 

0,5đ

Vì y nguyên tố và x+1 > x-1 nên chỉ xảy ra các trường hợp:

0,25đ

2)
2
2
2
1 2
3
1 1
2
<i>x</i>
<i>x</i> <i>y</i>
<i>y</i>
<i>x</i>



   

 

 
 _
(loại)
0,25đ
3)
2 ₃
1
2
1 2
<i>x</i>
<i>x</i> <i>y</i>
<i>y</i>
<i>x</i>

   

 

  _

0,25đ

Vậy (x;y) = (3;2)
0,25đ

Cõu 11: Cho ABC, đờng thẳng d cắt AB và AC và trung tuyến AM theo thứ tự là E , F ,

N . (EA,B và FA,C )Chøng minh : AB AC 2AM
AEAF  AN

<b>B</b>

<b>O</b>
<b>A</b>

<b>C</b>
<b>D</b>

1 2 3

1)
1 2
  
 

 
  
 

<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

KỴ BI,CS / /EF

(I,S tia AM)



0,25đ

Ta cã: AB AI AC, AS

AE AN AF AN
0,25đ

AB AC AI AS ( )
AE AF AN AN

    

0,25đ

c/m



BIM



CSM

(cgc)



IM MS



0,25đ

AI AS AI AI IM MS 2AM













0,25đ

Thay vào (*) ta đợc (đpcm)
0,25đ

Câu 12:

Cho đường trịn (O;R) và đường thẳng a ở ngồi đường tròn. Gọi OH là khoảng cách từ tâm O
đến a và M là một điểm chuyển động trên a. Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA,MB với đường tròn
(O) ( A,B là hai tiếp điểm). Gọi D là giao điểm của AB và OH. Chứng minh rằng D là điểm cố
định

Gọi C là giao điểm của AB và OM

Chứng minh được OC.OM = OD.OH

0,5đ

Lập luận OC.OM = OA2_{= R}2
0,25đ

 OD.OH = R2 0,5đ
0,25đ

Chứng minh được : OD R2
OH

 không đổi
0,25đ

D thuộc đoạn thẳng cố định OH nên D cố định
0,25đ

. . . HẾT . . . .

d

F
N
E

I

S
M
B

A

</div>

<!--links-->