Đề thi( có ĐA) HSG Toán 9

Phòng giáo dục đào tạo huyện Đề thi học sinh giỏi huyện
Trực ninh Năm học 2007-2008
* * * * * * * Môn Toán lớp 9
Thời gian làm bài 120 phút ( không kể thời gian giao đề )
Bài 1 (5 điểm)
Cho biểu thức :

3 3 3 1 2
2 2 1
x x x x
A
x x x x
+ +
= +
+ +
, (với
0; 1x x
)
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm các giá trị của x để
0A A+ =
Bài 2 (3 điểm)
Giải phơng trình :
4 1 5
2x x x
x x x
+ = +
Bài 3 (4 điểm)
Cho phơng trình :
( ) ( ) ( )
2 2

x m 2 x m 3m 4 0 m là tham số 1 + =
a) Chứng minh phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
b) Tìm m để tí số giữa hai nghiệm của phơng trình có giá trị tuyệt đối bằng 2 .
Bài 4 (8 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O), AB < AC . Gọi M là một điểm di
động trên cạnh BC .Vẽ đờng tròn (P) đi qua B và M , và tiếp xúc với AB . Vẽ đ-
ờng tròn (Q) đi qua C và M , và tiếp xúc với AC . Hai đờng tròn (P) và (Q) cắt
nhau tại một điiểm thứ hai là N .
a) Chứng minh rằng điểm N thuộc Đờng tròn (O)
b) Chứng minh rằng hai đờng thẳng BP và CQ cắt nhau tại một điểm D cố
định.
c) Xác định vị trí của điểm M để tam giác NBC có diện tích lớn nhất .
=== Hết ===

Đáp án chấm học sinh giỏi
môn Toán 9
Năm học 2007 - 2008
==================
Bài 1 ( 5 điểm)
Cho biểu thức :

3 3 3 1 2
2 2 1
x x x x
A
x x x x
+ +
= +
+ +
, (với

0; 1x x
)
c) Rút gọn biểu thức A.
d) Tìm các giá trị của x để
0A A+ =
Đáp án :
Xét với
0; 1x x
a) (3 điểm)
Xét với
0; 1x x
, ta có
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 1x x x x x x x x x x
+ = + = + + = +
nên
3 3 3 1 2
2 2 1
x x x x
A
x x x x
+ +
= +
+ +

3 3 3 1 2
( 2)( 1) 2 1
x x x x
x x x x
+ +

=
+ +



( ) ( ) ( )
( ) ( )
3 3 3 ( 1) 1 2 2
( 2)( 1)
3 3 3 1 4
( 2)( 1)
3 3 3 1 4
( 2)( 1)
3 2
( 2)( 1)
x x x x x x
x x
x x x x
x x
x x x x
x x
x x
x x
+ + +
=
+
+
=
+
+ + +

=
+
+ +
=
+
mà x+3
x
+2 = x+2
x
+
x
+2=
x
(
x
+2)+(
x
+2) = (
x
+2)(
x
+1)
nên

( ) ( )
( ) ( )
2 1
2 1
1
1

x x
A
x x
x
A
x
+ +
=
+
+
=

b)(2 điểm)
Với
0; 1x x
, ta có
1
0 0 0
1
+
+ = =

x
A A A A A
x

mà x 0 x 1 0
x 1
nên 0 x 1 0 x 1 x 1
x 1

+ >
+
< < <


Kết hợp x<1 với điều kiện x

0, x

1, ta có
0 x 1 <

Vậy
0 x 1 <
Bài 2 (3 điểm)
Giải phơng trình :
4 1 5
2x x x
x x x
+ = +
Đáp án:
Điều kiện
(*)

0
1
0
5
2 0
x

x
x
x
x













Ta có

4 1 5 4 5 1
2 2x x x x x x
x x x x x x
+ = + =
(1)
Chứng minh: 2
x
-
5
x
và

x
-
1
x
không đồng thời bằng không (cho 2
x
-
5
x
= 0,

x
-
1
x
= 0 , suy ra điều vô lí )
Do đó
5 1 5 1
2 2
4
5 1
2
x x x x
x x x x
x
x
x x
x x

+

ữ ữ

=
+


5 1
2
4
5 1
2
x x
x x
x
x
x x
x x


ữ ữ

=
+

4
4
5 1
2
x
x

x
x
x x
x x

=
+


4 1
1 0
5 1
2
x
x
x x
x x

ữ

ữ
+ =
ữ
ữ

+
ữ

(2 )
(1)

mà 2
x
-
5
x
và
x
-
1
x
không đồng thời bằng không nên:

1
1 0
5 1
2x x
x x
+ >
+
Do đó (2)
2 2
2
4
0 4 0 4
2
x
x x x
x
x
=

= = =

=


Ta thấy: x=2 thoả mãn điều kiện (*) vì
2 0
1
2 0
2
5
2.2 0
2












x = -2 không thoả mãn điều kiện (*) , vì
5
( 2).2 0
2

<

(mâu thuẫn điều
kiện thứ ba của (*) )
Vậy phơng trình đã cho có một nghiệm là x=2
Bài 3 (4 điểm)
Cho phơng trình :
( ) ( ) ( )
2 2
x m 2 x m 3m 4 0 m là tham số 1 + =
a) Chứng minh phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
b) Tìm m để tí số giữa hai nghiệm của phơng trình có giá trị tuyệt đối bằng 2 .
Đáp án :
a) (2 điểm)
Phơng trình (1) là phơng trình bậc hai có tích các hệ số a.c là :
1.(
2
m 3m 4 +
) = - (
2
3 9 9
m 2m. 4
2 4 4
+ +
) = - (m -
3
2
)
2
-

7
4

Với mọi giá trị của m , ta có (m -
3
2
)
2


0

- (m -
3
2
)
2


0


- (m -
3
2
)
2
-
7
4

< 0 hay a.c < 0
do đó phơng trình (1) có
2
b 4ac =
> 0 với mọi m
Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m .
b) (2 điểm)
Ta có phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu với mọi giá trị của m
( vì có tích các hệ số ac < 0 ) nên tỉ số giữa hai nghiệm của phơng trình có giá trị
tuyệt đối bằng 2 thì x
1
= - 2x
2
hoặc x
2
=

-2x
1

hay (x
1
+ 2x
2
) ( x
2
+ 2x
1
) = 0

1 2
x .x
+ 2(x
1
+ x
2
)
2
= 0 (*)
Theo hệ thức Vi-ét ta có

( )
( )
1 2
2
1 2
x x m 2 2
x .x m 3m 4 3

+ =


= +


Thay (2) và (3) vào (*) ta đợc :
m
2
-5m + 4 = 0

Giải phơng trình trên ta tìm đợc m = 1 ; m = - 4
Vậy m = 1 ; m = - 4
Bài 4 (8 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O), AB < AC . Gọi M là một điểm di
động trên cạnh BC .Vẽ đờng tròn (P) đi qua B và M , và tiếp xúc với AB . Vẽ đ-
ờng tròn (Q) đi qua C và M , và tiếp xúc với AC . Hai đờng tròn (P) và (Q)cắt
nhau tại một điiểm thứ hai là N .
a) Chứng minh rằng điểm N thuộc đờng tròn (O)
b) Chứng minh rằng hai đờng thẳng BP và CQ cắt nhau tại một điểm D cố
định.
c) Xác định vị trí của điểm M để tam giác NBC có diện tích lớn nhất .
Đáp án :

N
M
Q
P
E
O
D
C
B
A
a) (3điểm )
Vì AB và AC lần lợt là hai tiếp tuyến của đờng tròn (P) và (Q)
nên
ã
ã
ã
ã

ABM BNM và ACM CNM= =
( góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến
và một dây)
Xét tứ giác ABNC có

ã ã ã
ã
ã
ã
ã
ã
0
BAC BNC BAC BNM MNC
BAC ABC ACB
180 (tổng ba góc trong ABC)
+ = + +
= + +
=
nên tứ giác ABNC nội tiếp đờng tròn ( tứ giác có tổng hai góc đối diện
bằng 180
0
)
suy ra điểm N thuộc đờng tròn ngoại tiếp ABC
hay N thuộc đờng tròn (O)
b) ( 2 điểm )